高等数学同济版第六版上册D24隐函数求导讲义教材
高等数学2_2隐函数求导
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例2.16 求由方程
在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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例2.19. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y cos x ln x sin x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
y O
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dy d t dx dx dt
dy
x
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抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量
速度的方向
垂直分量
y
dy 0 dt
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 v2 达到最高点的时刻 t , 高度 g
落地时刻 抛射最远距离
4
因x=0时y=0, 故
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e y xy e 确定的隐函数 y y ( x) 例2.17 求由方程 在 x 0 处的二阶导数。
解: y 是 x 的函数, 方程两边对 x 求导得
解得
e y y y xy 0 y y y . e x
高等数学课件24隐函数
隐函数是曲面的局部表示
隐函数在曲面上的应用，如求 曲面的交点、求曲面的切线等
隐函数与等值线的几何意义
隐函数：通过方程F(x,y)=0定义的函数 等值线：满足F(x,y)=c的曲线 几何意义：隐函数描述了等值线的形状和位置
应用：在物理、工程等领域中，隐函数与等值线常用于描述物理量、工程参数的变化规律和分布情况
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导法则：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对x求导
隐函数求导公式：F(x,y)=0， y=f(x)，F(x,y)对y求导
应用范围：参数方程 法适用于求解含有参 数或参数的函数，如 圆锥曲线、旋转体等
注意事项：在求解过 程中，需要注意参数 的取值范围，避免出 现错误或遗漏
反表示法
反表示法是一种求解隐函数的方法 反表示法通过将隐函数转化为显函数，然后求解显函数 反表示法适用于求解具有简单形式的隐函数 反表示法可以应用于求解一元隐函数和多元隐函数
隐函数在微积分中的应用
隐函数求导：通过隐函数求导公式，求解隐函数的导数 隐函数积分：通过隐函数积分公式，求解隐函数的积分 隐函数极值：通过隐函数极值公式，求解隐函数的极值 隐函数方程：通过隐函数方程，求解隐函数的解
隐函数在解决实际问题中的应用
物理问题：如力学、热力学、 电磁学等
工程问题：如结构力学、流体 力学、控制理论等
隐函数的性质
隐函数存在定理：如果f(x,y)=0，且f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则存在一个开区间(x0δ,x0+δ)，使得在(x0-δ,x0+δ)内，f(x,y)的零点y=φ(x)是连续可微的。
高等数学课件上第24隐函数
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汇报人：
隐函数的极值与最
05
值
极值的定义与判定
极值的定义：函数 在某点处的值大于 或等于其附近所有 点的值，称为极值
极值的分类：极大 值和极小值
极值的判定：通过 求导数，判断函数 在某点处的导数是 否为零，以及导数 的符号是否改变
极值的应用：在解 决实际问题时，如 优化问题、物理问 题等，需要找到函 数的极值，以获得 最优解或最值
添加 标题
隐函数存在定理的条件：F(x,y)在点(x0,y0)处连续可微，且F(x0,y0)=0。
添加 标题
隐函数存在定理的应用：求解隐函数、证明隐函数存在性等。
定理的证明
单击添加标题
隐函数存在定理：如果方 程F(x,y)=0在点(x0,y0)处 有定义，且F(x0,y0)=0， 那么存在一个开区间(a,b)，
法线等
在物理中的应用
力学：求解力、加速度、速度等物理量 热力学：求解温度、压力、体积等物理量 电磁学：求解电场、磁场、电流等物理量 光学：求解光强、光速、折射率等物理量
在经济中的应用
价格决策：隐函数模型可以帮助企业进行价格决策，以实现利润最大化 投资决策：隐函数模型可以帮助投资者进行投资决策，以实现风险最小化 生产决策：隐函数模型可以帮助企业进行生产决策，以实现成本最小化 市场预测：隐函数模型可以帮助企业进行市场预测，以实现销售最大化
使得在(a,b)内，方程 F(x,y)=0有唯一解。
单击添加标题
证明思路：首先，假设存 在一个开区间(a,b)，使得 在(a,b)内，方程F(x,y)=0 有唯一解。然后，通过证 明F(x,y)在(a,b)内连续， 以及F(x0,y0)=0，从而得
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
结束
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
d2y dx 2
d dt
(t ) ( t )
dx
dt
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
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x a(t sint) y a(1cost)
x a cos3 t
y
a
sin 3
t
2
2
2
x3 y3 a3
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x2 y2 axa x2 y2
a(1cost)
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ea
a
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例8 一汽球从离5开 0m 0处 观离 察地 员面铅
上升 ,其速率 14m 0为 /mi.当 n 气球高 50m 度 0时,为
观察员视线的 率仰 是角 多 ? 增 少加
解 设t时 刻 ,气球上升h高 ,观度 察为 员 视 线
的 仰 角 ,则 为
tan h （相关方程）
500
四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数 对数求导法由参数 方程所确定函数的导数
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1、隐函数的导数 P102
定义: 设在方程 F(x, y) 0中,当x取某区 间内的任意值 , 相时应地总有满足这的方程 唯一y的值存,在 那么就说方F程 (x, y) 0在 该区间内确定了一函个数y隐 f (x).
同济版高等数学教材目录
同济版高等数学教材目录一、微积分基础1. 实数及数列1.1 实数1.1.1 不等式与绝对值1.1.2 数列与极限1.2 数列极限的计算1.2.1 无穷序列与无穷数列1.2.2 数列极限存在的判定2. 函数与连续性2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义与表示法2.1.2 基本初等函数2.1.3 一次函数与二次函数2.2 函数的极限与连续性2.2.1 函数极限的定义与性质2.2.2 函数的连续性与间断点2.2.3 闭区间连续函数的性质3. 导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与表示法3.1.2 导函数的求法3.1.3 连续与可导的关系3.2 导数的计算与应用3.2.1 基本初等函数的导数3.2.2 导数的四则运算3.2.3 函数的单调性与极值4. 微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.2 函数的单调性与凹凸性4.2.1 函数单调性的判定与应用 4.2.2 函数凹凸性的判定与应用4.3 泰勒公式与高阶导数4.3.1 泰勒公式与拉格朗日余项4.3.2 函数的高阶导数及其应用二、数列与级数1. 数列极限的概念与性质1.1 数列极限的定义1.2 数列极限存在的判定1.2.1 单调有界准则1.2.2 夹逼准则1.3 数列极限的运算与性质2. 函数的极限与连续性2.1 函数极限的定义与性质2.2 函数连续性的定义与性质2.3 连续函数的性质与运算3. 无穷级数3.1 数项级数的概念与性质3.2 收敛级数的判定方法3.2.1 正项级数的判别法3.2.2 任意项级数的判别法3.3 幂级数与函数展开3.3.1 幂级数的概念与性质3.3.2 幂级数的收敛半径3.3.3 幂级数的函数展开4. 函数的泰勒展开4.1 函数的泰勒展开与麦克劳林展开 4.2 一些常用函数的泰勒展开4.3 泰勒展开与函数的逼近三、多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续性1.1 多元函数的概念与性质1.2 多元函数的极限定义与性质1.3 多元函数的连续性定义与性质2. 偏导数与全微分2.1 多元函数的偏导数定义2.2 偏导数的计算与性质2.3 全微分的概念与计算3. 多元函数的微分法及其应用3.1 隐函数的求导法3.2 多元复合函数的求导法3.3 一阶全微分的应用3.3.1 方向导数与梯度3.3.2 最小值与最大值问题4. 二重积分的计算与应用4.1 二重积分的概念与性质4.2 二重积分的计算方法4.2.1 二重积分的累次积分法4.2.2 坐标变换法与极坐标法4.3 二重积分的应用4.3.1 质心与形心的计算4.3.2 二重积分在物理问题中的应用四、无穷级数及多元函数积分学1. 无穷级数的收敛1.1 无穷级数的概念与性质1.2 收敛级数的判定方法1.3 幂级数的性质与运算2. 曲线与曲面积分2.1 第一型曲线积分2.2 第二型曲线积分2.3 曲线积分的应用2.3.1 质量与质心的计算2.3.2 曲线积分在环线积分中的应用3. 曲面积分3.1 曲面积分的概念与性质3.2 双重积分的计算方法3.3 曲面积分的应用3.3.1 质量与质心的计算3.3.2 曲面积分在流量计算中的应用4. 三重积分的计算4.1 三重积分的概念与性质4.2 三重积分的计算方法4.2.1 三重积分的累次积分法4.2.2 坐标变换法与球坐标法4.3 三重积分的应用4.3.1 质量与质心的计算4.3.2 三重积分在物理问题中的应用以上是同济版高等数学教材的目录，涵盖了微积分基础、数列与级数、多元函数微分学、无穷级数及多元函数积分学等内容。
同济大学高等数学第六版上导数的概念公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
第22页
2.物理意义 非均匀改变量瞬时改变率.
变速直线运动:路程对时间导数为物体瞬时 速度.
v(t) lim s ds . t 0 t dt
交流电路:电量对时间导数为电流强度. i(t) lim q dq . t 0 t dt
在 x 1处不可导.
0
1
x
第26页
3. 函数 f ( x)在连续点的左右导数都 不存在
(指摆动不定) , 则 x0点不可导 .
比如,
f
(
x
)
x
sin
1 x
,
0,
x 0, x0
y
1
－1/π 0 1/π
x
在x 0处不可导.
第27页
4. 若f ( x0 ) , 且在点 x0的两个单侧导数 符号相反 , 则称点 x0为函数 f ( x)的尖点 (不可导点) .
★ 导数概念是概括了各种各样改变率而得出 一个更普通、更抽象概念, 它撇开了变量所代表 特殊意义, 而纯正从数量方面来刻画改变率本质
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
第9页
★ 如果函数 y f ( x)在开区间 I 内的每点 处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I 内可导.
y f (x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
高等数学,同济大学第六版,24
上式两边x求 对导得 y 1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y(x (x 1 )4 3 )2 x e x1[x1 13 (x 1 1 )x2 4 1 ]
数 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ __ ， d 2 y _ _ _ _ _ __ _ .
dx ( 1 ,1 )
dx 2
2 、 曲 线 x 3 y 3 xy 7 在 点 （ 1 ， 2 ） 处 的 切 线 方 程
是 ___________.
3、
曲
线
x y
t t
例5 设 函 y数 y(x)由 方x程 ef(y) ey确,定
其f中 具 有 二 阶 f导 1,求 数 y. 且
解 关系式两边取对数得 ln xf(y)y
上式两边x求 对导得 1f(y)yy (1)
x
y
1
(2)
(1)式两边再x求 对导得 x(1f(y))
x 1 2f(y )y 2f(y )y y yxx 22f(1(y)fy(2y ) 1 ) (2) f(xy 2)(1 (1f (fy)(3 y ))2 )
2
2
yaxa(1) 即yxa(2)
2
2
例7
求
由 dy
方xy程aacsion33stt
表
示
的
函
数
的
二 .
解
dy dx
dt dx
3asin2 tcost 3aco2st(si nt)
tatn
dt
d dx
同济大学高等数学第六版上第二章第二节 函数的求导法则
(sin x ) cos x sin x (cos x ) cos
2
x
cos
2
x sin cos
2
2
x
x
1 cos
2
sec x
2
x
即
2 (tan x ) sec x .
同理可得
2 (cot x ) csc x .
一、和、差、积、商的求导法则
定理
如果函数 u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商 (分母不为零 )在点 x处也 可导, 并且
(1) [ u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [ u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); ( 3) [ u( x ) v( x ) ] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) v ( x)
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
④
作为（2）的特殊情况
若 v c ，则 ( cu ) c u
或
[Cf ( x )] Cf ( x );
即常数因子可以提到导数符号的外面
[ k i f i ( x ) ]
i 1 n
k i f i( x )
u( x h) u( x ) v( x h) v( x ) h v ( x h )v ( x )
h 0
v ( x ) u( x )
lim
h
h 0
高等数学第六版第二章第四节隐函数求导
) (cos x) ( n) cos( x n π 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
(4) 利用莱布尼茨公式
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2.补充题 π x2 则 2 n 1) (填空题)（1）设 f ( x) ( x 3x 2) cos 16 ,
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2.参数方程求导法则
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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x (t ) 例3.求参数方程 所表示的函数y f ( x) 的
《高等数学》(同济六版)教学★
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
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高等数学教材同济版目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的图像与性质1.1.3 常用函数的性质介绍1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的运算性质1.2.3 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数1.4 导数与微分1.4.1 导数的定义1.4.2 导数的运算法则1.4.3 高阶导数与隐函数求导1.5 中值定理与应用1.5.1 高尔定中值定理1.5.2 柯西中值定理1.5.3 利用中值定理解决问题第二章一元函数微分学2.1 函数的极值与最值2.1.1 求函数的极值2.1.2 求函数在闭区间上的最大值与最小值2.1.3 求解优化问题的应用2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的单调性与凹凸性2.2.2 求函数的拐点2.2.3 凹凸函数的性质与应用2.3 不定积分2.3.1 不定积分的定义2.3.2 基本积分表与积分法2.3.3 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法2.4 定积分2.4.1 定积分的概念与性质2.4.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的运算法则2.4.3 定积分的几何应用2.5 微分方程2.5.1 一阶常微分方程2.5.2 可降阶的高阶微分方程2.5.3 可分离变量的高阶微分方程第三章一元函数积分学3.1 定积分的计算3.1.1 分部积分法3.1.2 变量代换法3.1.3 参数方程曲线的长度与曲边梯形的面积3.2 定积分的应用3.2.1 曲线的弧长与曲率3.2.2 曲线包围的面积与体积3.2.3 质量、质心与转动惯量3.3 定积分的进一步应用3.3.1 有理函数的积分3.3.2 特殊曲线所围成的面积3.3.3 参数积分与概率密度函数第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.1.1 多元函数极限的定义4.1.2 多元函数的连续性4.1.3 多元函数连续性的充要条件4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算法则4.2.2 隐函数与参数方程的偏导数4.3 方向导数与梯度4.3.1 方向导数的定义与计算4.3.2 梯度的定义与性质4.3.3 最速下降问题与等高线的切线方向4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值判定条件4.4.2 用拉格朗日乘数法求极值4.5 重积分4.5.1 二重积分的概念与计算4.5.2 二重积分的计算方法4.5.3 三重积分的概念与计算4.5.4 三重积分的计算方法第五章多元函数积分学5.1 曲线积分5.1.1 第一类曲线积分的定义与计算5.1.2 第二类曲线积分的定义与计算5.1.3 斯托克斯公式与格林公式5.2 曲面积分5.2.1 第一类曲面积分的定义与计算5.2.2 第二类曲面积分的定义与计算5.2.3 高斯公式与斯托克斯公式的应用5.3 多元函数应用题5.3.1 质心与转动惯量5.3.2 弹性势能与电势能5.3.3 均匀分布与热力学第六章空间解析几何6.1 空间直线与平面6.1.1 直线的方程与位置关系6.1.2 平面的方程与位置关系6.1.3 直线与平面的位置关系6.2 球面与圆锥面6.2.1 球面方程与性质6.2.2 圆锥面方程与性质6.2.3 球面与圆锥面的位置关系6.3 空间曲线与曲面6.3.1 参数曲线的切线与曲面的切平面6.3.2 空间曲线的弧长6.3.3 二次曲线与二次曲面的性质6.4 空间向量与平面直线等角问题6.4.1 向量的定义与运算法则6.4.2 空间向量的数量积与夹角6.4.3 平面直线的方向余弦与法向量第七章多元函数级数与泰勒展开7.1 级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 数项级数的收敛与发散7.1.3 数项级数的运算性质7.2 幂级数7.2.1 幂级数的收敛域与收敛半径7.2.2 幂级数的性质与运算7.2.3 幂级数的应用7.3 函数展开成幂级数7.3.1 泰勒级数的定义与性质7.3.2 函数展开成泰勒级数的条件7.3.3 函数展开成泰勒级数的例子7.4 泰勒展开的应用7.4.1 高阶导数与泰勒展开7.4.2 函数的逼近与误差估计7.4.3 三角函数的傅里叶展开这是一个关于《高等数学教材同济版》的目录，它共包含七个主要章节，每个章节又分为若干小节，全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点和概念。
《高等数学》电子课件(同济第六版)05第九章 第5节 隐函数的求导公式-PPT课件PPT文档共34页
-PPT课件 51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通
54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥
55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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同济高等数学教材目录导读第一章：函数与极限1.1 实数与数学归纳法1.2 函数的概念与性质1.3 极限的基本概念1.4 极限运算与极限存在准则1.5 无穷小量与无穷大量1.6 极限的运算法则1.7 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算法则2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 基本初等函数的导数第三章：一元函数积分学3.1 积分的概念与性质3.2 基本积分法与第一换元法3.3 两种重要的积分方法3.4 定积分3.5 牛顿—莱布尼茨公式与换元积分法第四章：多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.2 偏导数与全微分4.3 多元复合函数的求导法则4.4 隐函数及其导数4.5 方向导数与梯度第五章：多元函数积分学5.1 二重积分5.2 三重积分5.3 曲线与曲面积分5.4 向量场的积分第六章：无穷级数6.1 数项级数6.2 收敛级数的性质与判别法6.3 幂级数及其收敛半径6.4 函数展开成幂级数的条件与幂级数展开6.5 傅里叶级数第七章：常微分方程7.1 常微分方程7.2 一阶线性微分方程7.3 一阶方程的解法与常系数线性微分方程7.4 高阶线性微分方程及其解法7.5 常系数齐次线性微分方程与傅里叶级数展开7.6 非齐次线性微分方程的解法与特解的构造同济高等数学教材目录第一章：函数与极限第一章主要介绍了实数与数学归纳法、函数的概念与性质、极限的基本概念、极限运算与极限存在准则、无穷小量与无穷大量、极限的运算法则以及函数的连续性与间断点。
通过学习这些内容，我们可以建立起对函数和极限的基本认识，为后续章节的学习打下坚实基础。
第二章：导数与微分第二章主要介绍了导数的概念与性质、导数的计算法则、高阶导数与莱布尼茨公式、微分的概念与性质、微分中值定理以及基本初等函数的导数。
通过学习这些内容，我们可以了解到导数的计算和应用，以及微分的概念和性质。
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（完整版）同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.docx高等数学教案第二章导数与微分第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻 t0的速度考虑比值s s0 f (t) f (t0)t t0t t0这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 t t0 0 取比值 f (t)f (t0 )的极限如果这个极限存在设为 v 即t t0v lim f (t) f (t0)t t0t t0这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N作割线MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要确定曲线在点M(x ,y )( y 0f(x )) 处的切线只要000定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线 MN 的斜率为y y0 f ( x) f (x0)tanx0x x0x其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x x0如果当x0 时上式的极限存在设为 k即k f (x)f (x0)limx x0x x0存在则此极限 k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0))且以 k为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限lim f ( x) f ( x0)x x0x x0令 x x x0则 y f(x0x) f(x0)f( x) f(x0) x x0相当于 x0 于是lim f ( x) f (x0)x x0x x0成为lim y或 lim f (x0x) f (x0)x0x x0x定义设函数y f(x)在点仍在该邻域内)时相应地函数限存在则称函数 y f(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0处取得增量x(点x0 x y 取得增量 y f( x0x) f(x0)如果 y 与 x 之比当 x0 时的极x0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点 x0处的导数记为y |x x0即f ( x ) lim y lim f (x0x) f (x0)x x0xx 0也可记为 y |x x 0dy 或 df (x)x 0dx x x 0dx x函数 f(x)在点 x 处可导有时也说成 f(x) 在点 x具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f (x 0 ) lim f (x 0 h) f ( x 0 )hh 0f ( x ) lim f (x) f (x 0)x x 0 x x 0在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限 limf (x 0x) f (x 0) 不存在就说函数 y f(x)在点 x 0 处不可导x 0x如果不可导的原因是由于lim f (x 0x) f (x 0)x 0x 也往往说函数 y f(x) 在点 x 0 处的导数为无穷大如果函数 y f(x) 在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间 I 内可导这时对于任一 x I都对应着 f( x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数 y f(x)的导函数记作 yf ( x)dy 或 df (x)dx dx导函数的定义式y limf ( x x) f ( x)limf ( xh) f ( x)xx h 0hf (x )与 f (x)之间的关系函数 f(x)在点 x 0 处的导数 f(x)就是导函数 f (x)在点 x x 0 处的函数值即f ( x 0 ) f (x) x x 0导函数 f (x)简称导数而 f(x )是 f(x)在 x 处的导数或导数左右导数所列极限存在则定义f( x)在 x 0 的左导数 f ( x 0 ) f (x 0 h) f ( x 0 )limhh 0f( x)在 x 0 的右导数f (x 0 ) f (x 0 h) f (x 0 )lim hh 0如果极限 limf (x 0 h) f ( x 0) 存在则称此极限值为函数在h0 h如果极限 limf (x 0h) f ( x 0)存在则称此极限值为函数在hh导数与左右导数的关系f (x 0) Af (x 0) f (x 0 ) Af (x)在 x 0 处的值x 0 的左导数x 0 的右导数高等数学教案第二章导数与微分2．求导数举例例 1．求函数 f(x) C （C 为常数）的导数解 f ( x) lim f (xh) f ( x) lim CC 0 h 0h h 0h即 (C ) 0例 2 求 f (x)1x 的导数f (x h) f (x)1 1h 解f ( x) lim lim x h xlim h 0 h h 0hh 0 h(x h) x例 3 求 f (x) x 的导数解f (x)f ( x h) f (x)lim x h xlim hhh 0hlimh11x 2 xh 0h( x hx) h 0 x h例 2．求函数 f(x) x n (n 为正整数 )在 x a 处的导数解 f (a) lim f (x) f (a)lim x na n lim (x n 1ax n 2xax a x axa x a 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n 1 即 (x n )nx n 1lim11x 2h 0 (x h)xa n 1) na n 1(C) 0 (1 ) 1 ( x) 1(x )x x 22 x 更一般地有 (x )其中为常数例 3．求函数 f(x) sin x 的导数解 f (x)lim f ( x h) f ( x)lim sin( xh 0h h 01 hh lim2 cos(x2) sinhh2x 1h) sin xhlim cos(x h)sin h2 cos xh 02 h2即 (sin x) cos x用类似的方法可求得 (cos x ) sin x例 4．求函数 f(x) a x (a>0 a 1) 的导数解 f (x) limh) f (x) lim a x h a xh 0hh 0ha x lim a h1 令a h 1 t a x lim th 0 htlog a (1 t)a x 1 a x ln alog a e特别地有 (e x ) e x例 5．求函数 f(x) log a x (a>0 a 1) 的导数解 f ( x) limf (x h) f ( x) h 0h lim 1log a (xh ) h 0 hxlim log a ( x h) log a xh 0h1lim x log a (1 h )1lim log a (1 h )h xx hxx h 0x1log a e1x xln a解log a (x h) log a x 1log a (1 h ) f (x) lim hlimxh 0h0 h1lim log a (1 h ) h x 1log a e1x h 0 x xxlna即(log a x)1xln a1 特殊地x(log a x)1(ln x)1xln a x3．单侧导数极限 lim f (x h)f ( x)存在的充分必要条件是h 0hlim f ( x h) f (x)及 lim f (x h) f (x)h 0h h 0h 都存在且相等f( x)在 x 处的左导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f (x)0 h 0 hf( x)在 x 0 处的右导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f ( x)h 0h导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x 0 处可导的充分必要条件是左导数左导数f (x 0 ) 和右导数 f (x 0)都存在且相等如果函数 f(x)在开区间 (a, b)内可导且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在就说 f(x) 有闭区间 [a, b]上可导例 6．求函数 f(x) x|在 x 0 处的导数(0) lim f (0 h)f (0) lim |h|1h 0hh 0 hf (0) lim f (0 h) f (0) lim |h|1h 0 h h 0 h因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x) |x|在 x 0 处不可导四、导数的几何意义函数 y f(x)在点 x 0 处的导数 f (x 0)在几何上表示曲线y f(x) 在点 M( x 0, f(x 0 ))处的切线的斜率即f ( x 0) tan其中是切线的倾角如果 y f(x)在点 x 0 处的导数为无穷大这时曲线 y f(x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 x x 0为极限位置即曲线 y f( x)在点 M (x 0, f( x 0))处具有垂直于x 轴的切线 x x 0由直线的点斜式方程可知曲线 y f(x)在点 M(x , y )处的切线方程为y y 0 f (x 0)(x x 0)过切点 M(x , y )且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点 M 处的法线如果f (x 0) 0法线的斜率为1 从而法线方程为f ( x 0)y y 01( x x 0 )f (x 0 )例 8 求等边双曲线 1 1y x 在点 (2 , 2) 处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解y1所求切线及法线的斜率分别为x2k 1 ( 1 ) x 14k 21 1x 22k 14所求切线方程为 y 24( x 1 ) 即 4x y 42所求法线方程为 y 21(x 1) 即 2x 8y 15 04 2例 9 求曲线 y x x 的通过点 (0 4)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为31f ( x 0 ) (x 2 )3x 2x 03 x 02 x 2于是所求切线的方程可设为3y x 0 x2x 0(x x 0)根据题目要求点 (0 4)在切线上因此4 x 0 x 03x 0(0 x 0 )2解之得 x 0 4 于是所求切线的方程为3y 4 4 4 (x 4) 即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y f(x)在点 x 0 处可导即 limy (x 0 ) 存在则fxxlimy limy x lim y lim x f (x ) 0 0x 0x 0 x x 0 xx 0这就是说函数 y f(x)在点 x 0 处是连续的所以如果函数 y f(x)在点 x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7．函数 f (x)3x 在区间 ( , )内连续但在点 x 0 处不可导这是因为函数在点x 0 处导数为无穷大f (0 h) f (0) 3 h 0limhlimhh 0h 0x§2 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 u u(x)及 vv( x)在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外 )都在点 x 具有导数并且[u(x) v(x)] u (x) v (x)[u(x) v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x) u(x) u ( x)v( x) u(x)v (x)v(x)v 2 (x)证明 (1) [ u( x) v(x)] lim [ u( xh) v( x h)] [u(x)v( x)]hhlimu(x h) u( x)v( x h) v(x)u (x) v (x)h 0h h法则 (1) 可简单地表示为(u v) u v(2) [ u(x) v( x)] limu( xh)v(x h) u(x)v(x)h 0hlim 1 [u(x h)v(xh) u(x)v( x h)u( x)v(x h) u(x)v(x)]h 0 hlim u(x h) u( x) v( x h) u(x) v( xh) v( x)h 0 h hlimu(xh) u(x) lim v(x h)u(x) limv(xh) v(x)hh h 0hhu (x)v(x) u(x)v ( x)其中 lim v(x h)v(x) 是由于 v (x)存在故 v( x)在点 x 连续h 0法则 (2) 可简单地表示为(uv) u v uvu(x h) u(x)(3) u( x)limv(xh) v(x) lim u(x h)v(x) u( x)v( x h) v(x) hh h 0 v( x h)v( x)hlim [u(x h)u(x)] v(x) u(x)[v(x h) v(x)] h 0v(x h)v(x)hu(x h) u(x) v(x) u( x)v( xh) v( x) lim hv( x h)v(x)hh 0u (x)v(x) u(x)v (x)v 2( x)法则 (3) 可简单地表示为( u) u v uvvv 2(u v) u v(uv) u v uv ( u)u v uvv v 2定理 1 中的法则 (1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设 u u(x)、 v v(x)、ww(x)均可导则有(u v w) uv w(uvw) [( uv)w] (uv) w (uv) w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)u vw uv w uvw(Cu) Cu例 1． y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解 y (2x 3 5x 23x7) (2x 3) 5x 2) 3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)2 3x 2 5 2x3 6x 2 10x 3例 2 f (x) x 34cos x sin求 f (x)及 f ()22解32f ( x)(x ) (4 cos x) (sin 2)3x4sin xf () 3242 4例 3． y e x (sin x cos x) 求 y解 ye x ) (sin x cos x) e x (sin x cos x)e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x例 4． y tan x 求 y解 y(tan x)( sin x )cos xcos 2 x sin 2 xcos 2x(sin x) cos xsin x(cos x)cos 2 x1sec 2xcos 2x即(tan x) sec 2x例 5． y sec x 求 y 解y (secx) ( 1)(1) cos x 1 (cos x)cos xcos 2 x 即(sec x) sec x tan xsin x sec x tan xcos 2x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x) csc 2x(csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 I y 内单调、可导且 f (y) 0 那么它的反函数 y f 1( x)在对应区间 I x { x|x f(y) yI y } 内也可导并且[ f 1( x) ] f 1dy1 ( y)或 dxdxdy简要证明由于 x f(y)在 I y 内单调、可导 (从而连续 ) 所以 x f(y)的反函数 y f 1(x)存在且 f 1( x)在 I x 内也单调、连续任取 xI x 给 x 以增量x( x 0 xx I x ) 由 y f 1(x) 的单调性可知11于是y 1x xy因为 y f 1(x)连续故lim y0x 0从而[ f1(x)] lim y lim11x x f(y)x 0y0y上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例 6．设 x sin y y[2,]为直接函数则 y arcsin x 是它的反函数函数 x sin y 在开2区间 (,)内单调、可导且22(sin y)cos y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x ( 11)内有(arcsin x)1111cos y1sin 2 y 1 x2(sin y)类似地有(arccosx)11x2例 7．设 x tan y y(,) 为直接函数则 y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在22区间 (,)内单调、可导且22(tan y) sec2 y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x () 内有(arctan x)1111 (tan y)sec2 y1tan2 y 1 x2类似地有(arccot x)11x2例 8 设 x a y(a 0a1)为直接函数) 内单调、可导且(a y) a y ln a0因此由反函数的求导法则在对应区间(log a x)111(a y) a y ln a xln a则 y log a x 是它的反函数函数x a y在区间I y(I x (0)内有杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、 e x3、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理 3如果 u g( x)在点 x 可导函数 y f(u)在点 u g(x)可导则复合函数y f[g(x)] 在点 x 可导且其导数为dy dy dy dudx f (u) g ( x) 或dx du dx证明当 u g(x)在 x 的某邻域内为常数时y=f[(x)] 也是常数此时导数为零结论自然成立当 u g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有y f [ g(x x)] f [g (x)] f [ g( x x)] f [ g( x)]g(x x)g(x)x x g (x x)g(x)xf (u u) f (u)g( x x) g( x)u xdy lim y lim f (u u) f (u)lim g (x x)g (x) = f( u) g (x )dx x0x u0u x 0x简要证明dy lim y lim y u lim y lim u f (u)g (x)dx x 0 x x 0 ux u 0 u x 0 x例9 y e x3求dydx解函数 y e x3可看作是由 y e u u x3复合而成的因此dy dy du u3x 22x3dx du dx e3x e例 10y sin2x dy 1 x2求dx解函数y sin2x是由 y sin uu2x复合而成的1x2 1 x2因此dy dydu cosu2(1x2 )(2x)22(1x2)2x2 dx du(12)222 cosdx x(1 x ) 1 x 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量dy例 11． lnsin x 求dx(ln sin x)1(sin x)1cosx cot x解sin xdx sin x例 12． y31 2x2求 dydxdy 12解[(1 2x 2 )3 ]1(1 2x 2) 3(12x 2)4xdx3 33 (1 2x 2) 2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设 y f(u)u (v) v (x)则dy dy du dy du dvdx du dx du dv dxdy 例 13． y lncos(e ) 求 dx dy x 1x 解dx [ln cos(e )]cos(e x ) [cos(e )]1xxxxcos(e x ) [ sin(e )] (e ) e tan(e ) sin 1 dy例 14． y e x 求dx1)cos1(1)解dy(ex )e x(sinexsin 1sin 1sin 1dxx x x1 sin 1cos 1e xx 2 x 例 15 设 x 0 证明幂函数的导数公式(x )x1解因为 x(e ln x ) eln x 所以(x ) (e ln x) e ln x( ln x) eln xx 1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C) 0 (2)(x )x 1(3)(sin x) cos x (4)(cos x) sin x (5)(tan x) sec 2 x(6)(cot x) csc 2x(7)(sec x) sec x tan x(8)(csc x) csc x cot x (9)(a x ) a x ln a (10)( e x )e x(11) (log a x)1x ln a (12) (ln x)1(13) (arcsin x)1 1 x2(14) (arccos x) 11 x 2(15) (arctan x)1 1 x2(16) (arccot x)11 x 22．函数的和、差、积、商的求导法则设 u u(x) v v(x)都可导则 (1)(u v) u v (2)(C u) C u (3)(u v) u v u v (4) ( u )u vuvvv 23．反函数的求导法则设 x f(y)在区间 I y 内单调、可导且f (y) 0 则它的反函数 y f 1(x)在 I x f(I y )内也可导并且[ f1( x) ]1 或 dy 1f ( y)dxdxdy4．复合函数的求导法则设 y f(x)而 u g(x)且 f(u)及 g(x)都可导则复合函数 y f[g(x)] 的导数为dy dy du或 y (x) f (u) g (x)dxdu dx例 16 求双曲正弦 sh x 的导数 . 解因为sh x1x e x) 所以2 (e(sh x)1(e xe x) 1 (e x e x ) ch x22即 (sh x) ch x类似地有(ch x) sh x例 17 求双曲正切 th x 的导数解因为 th xsh x 所以ch x(th x) ch 2 x sh 2 x1ch 2xch 2x解因为 arsh x ln( x1x2 )所以(arsh x)1(1x)1x11x2x2 1 x2由 arch x ln( x x21) 可得 (arch x)1 x2 1由 arth x 1ln1x可得 (arth x)1 21x 1 x2类似地可得 (arch x)1(arth x)1 x211x2例 19． y sin nx sin n x (n 为常数 )求 y解 y (sin nx)sin n x + sin nx(sin n x)ncos nx sin n x+sin nx n sin n1x (sin x )ncos nx sin n x+n sin n 1x cos x n sin n 1x sin(n+1)x §2. 3高阶导数一般地函数 y f(x)的导数 y f(x) 仍然是 x 的函数我们把 y f (x)的导数叫做函数 y f(x)的二阶导数记作y 、 f (x) 或d 2 y dx2即y (y ) f(x) [f(x)] d 2 y d( dy )dx2dx dx相应地把 y f(x)的导数 f (x)叫做函数 y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy (4)nd 3 y d 4 y d n y y ( )或dx 3dx 4dx n函数 f(x)具有 n 阶导数也常说成函数 f(x)为 n 阶可导如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数 y y y (4)y (n)都称为高阶导数例 1． y ax b 求 y 解 y a y 0例 2． s sin t 求 s解 scost s 2sin t例 3．证明函数 y2x x 2 满足关系式 y 3y 1 0证明因为 y2 2x 1 x2 2x x22x x 22x x 2(1 x) 2 2 xx2x)22x x 22x (1 11y22 x x 2(2x x 2 ) (2 x x 2)3y 3(2x x 2) 2所以 y 3y1 0例 4．求函数 y e x的 n 阶导数解 y e x y e x y e x y ( 4) e x一般地可得y ( n) e x即(e x )(n) e x例 5．求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数解 y sin x y cos x sin( x 2)ycos(x) sin( x2) sin( x 2 )222 ycos(x2 ) sin( x 22) sin(x 3 )22 2y (4) cos(x 3) sin(x 4 )22一般地可得y (n) sin( x n) 即 (sin x)(n) sin(x n)22用类似方法可得 (cos x)(n) cos(x n)例 6．求对函数ln(1 x)的 n阶导数解y ln(1x)y(1x) 1y(1x)2y(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x) 4一般地可得(n 1)!y(n)(1)(2)(n1)(1x) n( 1)n 1(1x)n即[ln(1x)] (n)(1) n 1 (n 1)!(1x)n例 6．求幂函数 y x ( 是任意常数 )的 n 阶导数公式解 y x1y(1)x2y(1)(2)x3y ( 4)(1)(2)(3)x4一般地可得y (n)(1)(2)(n1)x n即(x )(n)(1)(2)(n 1)x n当n 时得到n(n)(x )( 1)( 2) 3 2 1 n!而(x n)( n 1) 0如果函数u u(x)及v v(x)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x) v(x)也在点 x 处具有 n阶导数且(u v) (n) u(n) v(n)(uv)u v uv(uv)u v2u v uv(uv)u v 3u v3u v uv用数学归纳法可以证明n(uv)(n)C n k u(n k)v(k)k0这一公式称为莱布尼茨公式2 2x(20)例 8． y x e求 y解设 u e2 x v x2则(u)(k)2k e2x (k1, 2,, 20)v 2x v 2 (v)(k)0 (k 3, 4,, 20)代入莱布尼茨公式得y (20)(u v)(20)u(20)v C 201u(19) v C 202u(18)v220e2x x2 20 219e2x 2x20 19218e2 x 22!220e2x(x220x95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如 y f(x) 的函数称为显函数例如 y sin x y ln x +e x隐函数由方程 F(x y) 0所确定的函数称为隐函数例如方程 x y3 1 0 确定的隐函数为y y 3 1 x如果在方程F(x y) 0 中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在那么就说方程F(x y) 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1．求由方程 e y xye 0 所确定的隐函数 y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y ) (xy) (e) (0) 即 e y y y xy从而yy yx e y(x e0)例 2．求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数 y f (x)在x 0 处的导数 y |x 0解把方程两边分别对 x 求导数得5y y 2y 1 21x 6 0由此得y1 21x 65 y 42因为当 x 0 时从原方程得 y 0 所以y |x 0 1 21x 6 |x 015y 4 2 2例 3求椭圆 x2y 21 在 (2, 33) 处的切线方程16 9 2 解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得x2y y 08 9从而y9 x16y当 x 2 时y3 3 代入上式得所求切线的斜率2k y |x 234所求的切线方程为y 3 33 ( x 2) 即 3x4 y 8 3 02 4解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得 x 2 y y 0 89将 x 2y3 3代入上式得211 y 043于是k y |x3 24所求的切线方程为y333( x 2) 即 3x 4 y 8 3 024例 4．求由方程x y 12sin y 0所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得1dy1cos y dy0dx2dx于是dy2dx 2 cos y上式两边再对x 求导得d 2 y 2sin ydy4sin ydxdx2(2cos y)2(2 cos y)3对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出 y 的导数设 y f(x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对 x 求导得1 y[ln f (x)]yy f( x) [ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数 y [u(x)] v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求 y x sin x (x>0) 的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得1y cos x ln x sin x1y x于是y y(cos x ln x sin x 1 ) xx sin x(cos x ln x sin x)x解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求。
高等数学-隐函数求导
y 1y 1 sin 2 J r x r x y2 r y x 2 同样有 2 2 y y x y2 x y
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
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②
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结束
注意 J 0, 从方程组②解得 x 1 v u 1 1 y v 1 , x J 0 y J v x J v
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
x 1 1y u y J u 0 u
u 1x , y J v
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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Fu Fv Gu Gv 0 , 故得
公式 目录 上页 下页 返回 结束
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) v 1 ( F , G ) y J ( u , y )
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 则方程 在点 某一邻域足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ,
《高等数学》导数与微分-- 隐函数的求导法
导数与微分6 -- 隐函数的求导法
本讲学习目标： 1、能够用“两边同时微分”的方式求隐函数的导数。 2、能够用“两边同时对自变量求导”的方式求隐函数的导数。 3、会求以隐函数的形式给出的曲线在给定点的导数。
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
e xy (xy) 1 y
从中解出 y ，得
e xy ( y xy) 1 y
dy 1 dx cos y
y
1 yexy xexy 1
1
1
1 sin 2 y 1 x2
即 dy dx
1 ye xy xe xy 1
隐函数的求导法 Ⅱ：方程两边同 时对自变量求导
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
设方程F(x,y)=0确定函数y=f(x)，将y=f(x)代回方程F(x,y)=0中，得
F(x, f (x)) 0
上式两边对自变量x求导，得到一个含有 f (x) 的等式，然后解出 f (x) 。即为所求
解：方程 exy x y 的两边同时对自变量x求导，得
【例2.6.2】 求由方程
x
y
1 2
sin
y
0
确定的隐函数y=y(x)的二阶导数
d2y dx2
。
解：方程两边同时对x求导，得 于是 上式两边对x求导，得
1 y 1 cos y y 0 2
y 2 2 cos y
d2y dx2
2(2 cos y) (2 cos y)2
2sin y y (2 cos y)2
《高等数学》 导数与微分6 -- 隐函数的求导法
隐
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(t)0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
(t) (t)
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
d(y52yx3x7)0 dx
得
5 y 4 d y 2 d y 121x60
dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
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例3. 求 yxsixn(x0)的导数 .
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由 yf(x)表示的函数 , 称为显函数 . 例如, xy310可确定显函数 y3 x1
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt
,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
O
v1
达到最高点的时刻 tv 2 , 高度 y Nhomakorabeag
t
v2
g
1 2
v22 g
落地时刻 t 2 v 2 , 抛射最远距离 x
g
t
2v2 g
2v1v2 g
dy0 dt
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
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例1. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
x
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例6. 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
确定函数 yy(x),求 d y . dx
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t2
dt
2t d y coydsy 0
dt
dt
d x 2(t 1) dt dy 2t
dt 1cosy
故
dy dx
dy dt
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 14m 0 mi,n当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
t2
,
y 1t
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 yx vv2 1tt1 2gt2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
dx dt
(t1)(1tcoys)
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三、相关变化率
x x (t),y y (t)为两可导函数
x, y之间有联系
dx , dy dt dt
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) ddtx dt dx ddyt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)记
yx xy x3
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lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
注意: yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x4
y1 (x1)(x2) 1111
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]2 0,则
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
两边对 x 求导
y ln a a b
y
bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
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又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
两边取对数
(lnu )u u
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
y
tan d y
dx
dy dt
d x v2 gt
dt
v1
O
x
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抛射体轨迹的参数方程
x v1t y v2t 12gt2
速度的水平分量
dx dt
注意 : 已知 d y dx
(t) , (t)
d2 y d x2
((tt))
?
对谁求导?
例4. 设
xf(t) y tf(t)f(t), 且
f(t)0,求
d d
2
x
y
2
.
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1 f (t)
练习: 书P112 题8(1)
解:
x
1 2
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln ysixn ln x
两边对 x 求导
1 y
y
cx o ls x n sin x
x
yxsix(n co xlsn x six)n x
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说明:
1) 对幂指函数 y u v ,其 u u 中 (x )v , v (x )可,用对数
求导法求导 :