3.1.2用二分法求方程的解
1.3.1.2用二分法求方程的近似解--高一上学期教案
课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
初步应用二分法解
教学过程与操作设计：。
必修1课件：3.1.2《用二分法求方程的近似解(四)》课件ppt
142 273
y
f(x)= 2 x+3x-7
可知f(1)·f(2)<0,说明在区间 说明在区间(1,2)内有零点。 可知 说明在区间 内有零点 通过计算得下表
区间[a,b] 区间[a,b] a 1 1 1.25 1.375 1.375 b 2 1.5 1.5 1.5 1.4375 中点c 中点c 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 f （c ） 0.328427125 -0.87158577 -0.281320891 0.021011094 -0.13078 -1 0
（1）若f（c）=0， c就是函数的零点。 ） （ ） ， 就是函数的零点 则 就是函数的零点。 （2）若f（a）·f（c）﹤0， ） （ ） （ ） ， （3）若f（c）·f（b）﹤0， ） （ ） （ ） ，
则令b=c（此时零点 x 0 ∈（a，c））； （ 则令 ， ））； 则令a=c（此时零点 x 0 ∈（c，b）； （ 则令 ， ）； 4.判断是否达到精确度；若︱ a-b︱﹤m则得到零点 判断是否达到精确度； 判断是否达到精确度 则得到零点 近似值a（或b）；否则重复2～4。 近似值 （ ）；否则重复 。 ）；否则重复
2 2.5
2.75
3
因为︱ 因为︱2.5-2.5625︱=0.0625 <0.1时，2.5（或2.5625）就是方程 ︱ 时 （ ） lnx+2x-6=0的近似解 的近似解 2.5 根 2.5625
二分法定义: 二分法定义
对于在区间[a,b]上连续不断且＿＿＿＿＿ 的函数 上连续不断且 对于在区间 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ f(a)·f(b)<0 y=f(x),通过不断地把函数 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二， 的零点所在的区间一分为二， 通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方 法叫做二分法 .
3.1.2 用二分法求方程的近似解--讲义练习及答案
3.1.2 用二分法求方程的近似解1.A 方程322360x x x -+-=在区间[2,4]-上的根必定在( ) A ．[2,1]-内B ．5[,4]2内C ．7[1,]4内 D ．75[,]42内 2.A 已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为(精确度为0.1)( ) A ．1.50 B ．1.66C ．1.70D ．1.752()2(0)f x x x =->，我们知道f (1)·f (2)<0(1,2)的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)二等分的次数至少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6新知新讲1.B 已知函数3()log 26f x x x =+-证明：（1）在定义域内只有唯一的一个零点； （2）试求出一个零点所在的长度不大于14的区间.2.A 如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是______.3.B某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2010年平均每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20%标定出厂价.2011年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产逐年降低，2014年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2010年的80%，但却实现了纯利润50%.(1)求2014年每台电脑的生产成本；(2)以2010年的生产成本为基数，用二分法求2010年-2014年间平均每年生产成本降低的百分率（精确度0.01）.1.B已知函数f(x)=13x3-x2-3x+9.(1)求函数f(x)的一个负实数零点(精确到0.1);(2)解不等式13x3-x2-3x+9≤0.3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案1. D2. B3. B新知新讲1.（1）证明：因为(1)40f =-<，(3)10f =>，且3log y x =在(0,)+∞上是单调增函数，2y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在定义域内只有唯一的一个零点.（2）因为3(2)log 220f =-<，由（1）知，零点在(2,3)之间，因为355()log 1022f =-<，所以零点在(52,3)之间，因为311111()log 0442f =->，所以零点在(52,114)之间.即零点所在的长度不大于14的区间是(52,114). 2.①③3.(1)3200元 （2）10.3125%1.(1)-3 (2){|33}x x x ≤-=或。
用二分法求方程的近似解教学设计及反思20
高中数学教学设计用二分法求方程的近似解哈尔滨市第二十六中学张明云一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的内容，第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相方程的近似解，了解这种求方程近似解的常用方法，理解函数与方程之间的联系；它是高中数学的重点内容，又是对函数知识拓展，既体现了函数在方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程、数形结合及二分法的算法思想打下了基础，因此它具有非常重要的地位．二、学情分析学生已经学习了函数的基础，理解函数零点和方程根之间的关系, 初步掌握函数与方程之间的转化思想．但对于求函数零点所在区间，仅仅比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程函数零点的求法会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对学生是一个全新的问题．三、设计思想提倡积极主动勇于探索的学习精神和合作探究式的学习模式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的应用意识；充分地认识“双基”，强调数学的本质；在教与学的和谐统一中体现数学的人文价值；注重信息技术与数学的合理整合.四、教学目标理解二分法概念，掌握运用二分法求方程近似解的基本方法，利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程。
体会二分法的思想和方法。
体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想。
五、教学重点和难点1．教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想。
2．教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小。
六、教学过程设计（一）创设情境，提出问题1：大家都看过李咏主持的《幸运52》吧，今天咱也试一回（出示游戏）。
[学情预设] 1教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会，分析，归纳迅速猜价的方法。
[设计意图]利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与，商品价格兑猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛。
【高中数学必修一】3.1.2二分法求方程的近似解
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
(2)要找出稍重的球， 尽量将稍重的球所在的范围 尽量的缩小， 我们通过不断地 “平分球” 、 “锁定” 、 “淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围， 直到满意为止.
(3)这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.
新知展现
1.二分法的定义
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
知识探究(一)：二分法的概念
思考3：通过阅读教材，你知道是用什么办 法将零点所在范围(区间)缩小的?
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
ab 一般地，我们把 x 称 2
为区间(a,b)的中点.
知识探究(一)：二分法的概念
另 种 情 况 为
一样重
知识探究(一)：二分法的概念
一分为二(3)
另 种 情 况 为
一样重
被选出的球为最重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
3.1.2用二分法求方程的近似解
函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点.
方程 ln x 2 x 6 0的根.
1.你能找出零点落在下列哪个区间吗？ A.1,2 B.2,3 C .3,4 D.4,5 2.你能继续缩小零点所在的区间吗？
定义如下： 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步 逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法（bisection）
关键点
1.零点的初始区间的确定 2.缩小区间的方法
3.零点的精确化
二 数学应用
课题: 3.1.2 用二分法求方程的近似解
(1) 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）
一 方法探究
方程的解
(1) x
2
2x 1 0
方 程 f ( x ) 0 的 根 函 数 y f ( x )的 零 点
函 数 y f ( x )图 像 与 X 轴 的 交 点 的 横 坐 标
1.确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ；
编写程序
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零 点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．
用二分法求方程的近似解一般步骤：
口 诀
定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 中值计算两边看. 零点落在异号间. 精确度上来判断.
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点 近似值a(或b);否则重复步骤2~4．
2019-2020高中数学必修一课件：3.1.2用二分法求方程的近似解
【错因】本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度 ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
【正解】由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计 算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 [2,3] [2,2.5] [2,2.25] [2.125,2.25] [2.187 5,2.25]
第十页，编辑于星期日：点 三十六分。
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分
法求解的零点个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
【答案】D
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右
函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3.
故选D．
第十一页，编辑于星期日：点 三十六分。
第九页，编辑于星期日：点 三十六分。
【方法规律】1.准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分 成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近 零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确 度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.“二分法”与判定函数零点存在的方法密切相关，只有满 足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用 “二分法”求函数零点.
第十九页，编辑于星期日：点 三十六分。
【方法规律】1.二分法的思想在实际生活中的应用十分广 泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的 故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料 的查询方面也有着广泛的应用.
2.本题实际上是二分法思想在实际问题中的应用，通过巧妙 取区间，巧妙分析和缩小区间，从而以最短的时间和最小的精力 达到目的.
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
广东省揭阳一中高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解教案 新人教版必修1
§3.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标1．知识与技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。
2．过程与方法（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；（2）让学生归纳整理本节所学的知识。
3．情感、态度与价值观①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
二、教学重点、难点重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。
难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?三、学法与教学用具1．想－想。
2．教学用具：计算器。
四、教学设想（一）、创设情景，揭示课题提出问题：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？（二）、研讨新知一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。
取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。
高考高中数学A必修1同步训练：312用二分法求方程的近似解附答案 试题
3.1.2 用二分法求方程的近似解制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日1．用“二分法〞可求近似解，对于准确度ε说法正确的选项是( )A．ε越大，零点的准确度越高B．ε越大，零点的准确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，那么方程的根落在区间…( )A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定3．f(x)＝ax2＋bx，ab≠0，且f(x1)＝f(x2)＝2 009，那么f(x1＋x2)＝__________.4．假设函数f(x)的图象是连续不连续的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__________．(只填序号)①(－∞，1] ②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)课堂稳固1．以下函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]3．(2021滨海五校高三联考，理2)以下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公一共点．给出以下四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )A．[－2.1，－1] B．[4.1,5]C．[1.9,2.3] D．[5,6.1]4．以下是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的几个命题：①假设x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，那么(x0,0)是f(x)的一个零点；②假设x0是f(x)在[a，b]上的零点，那么可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上表达中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．3D ．45．(2021一中高三期末，文11)x 0是函数f(x)＝2x－log 13x 的零点，假设0<x 1<x 0，那么f(x 1)的值满足( )A ．f(x 1)>0B ．f(x 1)<0C ．f(x 1)＝0D ．f(x 1)>0与f(x 1)<0均有可能6．假设方程(12)x＝x 的解为x 0，那么x 0所在的区间为( )A ．(0.1,0.2)B ．(0.3,0.4)C ．(0.5,0.7)D ．(0.9,1)7．奇函数f(x)的定义域为R ，在(0，＋∞)上，f(x)为增函数．假设－3是f(x)的一个零点，那么f(x)另外的零点是__________．8．证明方程6－3x ＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(准确度0.1)1．假设一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，那么有( )A ．a<0B ．a>0C ．a<－1D ．a>1x－x ＝0的实数根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y ＝f(x)的两个零点，那么实数a ，b ，α，β的大小关系是( )A ．a<α<β<bB ．α<a<b<βC ．α<a<β<bD ．a<α<b<β4．函数y ＝lnx ＋2x －6的零点一定位于如下哪个区间上．( ) A ．(0,1) B ．(1，74)C ．(74，52)D ．(52，4)5.利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于以下哪个区间内 ( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)6．偶函数y ＝f(x)有四个零点，那么方程f(x)＝0的所有实数根之和为__________． 7．假设奇函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx 的三个零点x 1、x 2、x 3满足x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝－2，那么b ＋c ＝__________.8．假设关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．9．在一个风雨交加的夜晚，从水库闸房A 到防洪指挥部B 的 线路发生了故障．这是一条长10 km 的线路，假如沿着线路一小段一小段的查找，困难很多，因为每查一个点就要爬一次线杆，而10 km 长的线路约有200根线杆！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最为合理？10．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y ＝x －13x ＋2至少有一个零点．11．函数f(x)＝a x＋x －2x ＋1(a>1)．(1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)假设a ＝3，求方程f(x)＝0的正根(准确度为0.1)．答案与解析3．1.2 用二分法求方程的近似解课前预习1．B 依“二分法〞的详细步骤可知，ε越大，零点的准确度越低． 2．B 根据根的存在性原理进展判断．3．0 由题意x 1、x 2是方程ax 2＋bx －2 009＝0的两个根， 所以x 1＋x 2＝－ba ，从而f(x 1＋x 2)＝f(－b a )＝a(－b a )2＋b(－ba )＝0.4．③④⑤课堂稳固1．B 因B 不是变号零点，故应选B.2．A 由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．3．B 用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，其值那么不能使用二分法． 4．A ∵①中x 0∈[a，b]且f(x 0)＝0，∴x 0是f(x)的一个零点，而不是(x 0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是准确值，∴④也错误．5．B 在同一坐标系中作出函数y 1＝2x，y 2＝log 13x 的图象，易知0<x 0<1，f(x 1)<0.6．C 令f(x)＝(12)x －x ，f(1)＝12－1＝－12<0，f(0.5)＝(12)－0.5＝12－14>0，f(0.7)＝(12)－0.7<0，∴f(x)的零点在区间(0.5,0.7)内． 7．0,3 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，f(3)＝－f(－3)＝0. 又∵f(x)在x∈(0，＋∞)上是增函数， ∴x＝3是x∈(0，＋∞)上的唯一零点． 8.解：证明：设函数f(x)＝2x＋3x －6， 因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0， 所以f(1)·f(2)<0.又因为f(x)在R 上连续且是增函数， 所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一的零点．所以方程6－3x ＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解． 设此解为x 0，那么x 0∈[1,2]．取x 1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0. 所以x 0∈(1,1.5)．取x 2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0， 所以x 0∈(1,1.25)．取x 3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0， 所以x 0∈(1.125,1.25)．取x 4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0， 所以x 0∈(1.187 5,1.25)．因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，所以可取x 0＝1.187 5，即方程6－3x ＝2x的实数解的近似值可取为1.187 5. 点评：用二分法求函数零点的近似值x 0，要准确度为ε，即零点的近似值x 0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x 0的选取有以下方法：(1)假设区间(a ，b)使|a －b|<ε，那么因零点值α∈(a，b)， 所以a(或者b)与真值α满足|a －α|<ε或者|b －α|<ε. 所以只需取零点近似值x 0＝a(或者b)．(2)在区间[a n ，b n ]使|a n －b n |<2ε，取零点近似值x 0＝a n ＋b n 2，那么|x 0－α|<12|a n －b n |<ε.课后检测1．A 由题意得两根x 1x 2<0，即1a<0，即a<0.x0－0＝1>0，f(1)＝0.9－1＝－0.1<0，∴它在(0,1)上存在零点，同时，也是唯一的零点． 3．A 函数g(x)＝(x －a)(x －b)的两个零点是a 、b.由于y ＝f(x)的图象可看作是由y ＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的， 所以a<α<β<b.4．D 令f(x)＝lnx ＋2x －6，那么f(2.5)＝ln2.5＋2×2.5－6＝ln2.5－1＝ln 2.5e <ln1＝0.又f(4)＝ln4＋2×4－6＝ln4＋2>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以方程lnx ＋2x －6＝0的根必定在区间(2.5,4)内．5．C 设f(x)＝2x －x 2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8，2.2)内．6．0 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.7．－2 ∵f(x)是奇函数，∴b＝0. ∴f(x)＝x 3＋cx.令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－－c ，x 3＝－c(c<0)． 由x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2得c ＝－2， ∴b＋c ＝－2.8．解：设f(x)＝3x 2－5x ＋a ，那么f(x)为开口向上的抛物线(如下图)．∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f(－2)>0，f(0)<0，f(1)<0，f(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×(－2)2－5×(－2)＋a>0，a<0，3－5＋a<0，3×9－5×3＋a>0.解得－12<a<0.故所求a 的取值范围是{a|－12<a<0}．9．解：可以利用二分法的原理进展查找．首先从AB 的中点C 处开场，用随身带的话机通过向两端喊话进展测试，假设AC 段正常，那么断定故障在BC 段．再到BC 段中点D ，这次假设发现BD 段正常，那么断定故障在CD 段．再到CD 的中点E 去查，….这样每查一次，就可以把待查的线路的长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100米之间，即一两根电线杆附近．10．解：函数f(x)＝x －13x ＋2的定义域为(－∞，－23)∪(－23，＋∞)．取区间[12，32]．∵f(12)＝－17<0，f(32)＝113>0，∴在区间[12，32]内函数f(x)至少有一个零点．∴[12，32]就是符合条件的一个区间．11．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，那么x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0.∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0. 于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知，当a ＝3时，f(x)＝3x＋x －2x ＋1也在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增．因此f(x)＝0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根．由于f(0)＝－1<0，f(1)＝52>0，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日由于|0.312 5－0.25|＝0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取为0.312 5.点评：求函数零点的近似值时，由于所选的初始区间不同，最后得到的结果可以不同，只要它们符合所给定的准确度，就是正确的．用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进展记忆：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然．要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，先后两端近零点．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
3.1.2 用二分法求方程的近似解
12
练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分 法求其零点的是（ C ）
y
0
y x
0
y x
0
y x
0
x
思考:根据练习2，请思考利用二分法求函数零点的条件 是什么？ 1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断. 2.y=f(x)满足f(a)f(b)<0，则在(a,b)内必有零点.
：
（2）若 f ( a ) f (c ) 0 ,则令 b c（此时零点 x0 (a, c) ；
（3）若 f (c) f (b) 0 ,则令 4.判断是否达到精度
即若 a b ，则得到零点近似值 a (或 b ）； 否则重复步骤2～4．
利用计算器，求方程 lgx=3-x的近似解.（精确到0.1） 解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程 lgx=3-x有唯一解，记为x， 且这个解在区间（2，3）内。
（2，3）
（2.5，3）
f(2)<0,f(3)>0
f(2.5)<0，f(3)>0
2.5
2.75
f(2.5)<0
f(2.75)>0
（2.5，2.75） （2.5，2.625）
f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 2.5625
2.53125 2.546875 2.5390625
f(2.625)>0 f(2.5625)>0
再取区间(0.5,1)的中点 x 2 0.75, 得f (0.75) 0.32
因为f (0.5) f (0.75) 0, 所以x 0 (0.5,0.75).
3.1.2用二分法求方程的近似解
3.1.2用二分法求方程的近似解【学习目标】1.学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法；2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法的思想.【重点难点】重点难点：用二分法求方程的近似解.【学法指导】用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行计算.【知识链接】函数的零点、方程的根【问题探究】探究一：二分法1.引导：一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程ln 260x x +-=的根，联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求它的根呢？阅读教材89P2.将二分法的定义填写完整：点拨：用二分法求函数零点近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在的区间.探究二：用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤是：点拨：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算. 【典例分析】例1.下列函数中能用二分法求零点的是( )点拨：判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．变式：下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )例2.借助计算器或计算机用二分法求方程2370x x ++=的近似解（精确度0.1）. 引导：原方程即为2370x x ++=，令()237xf x x =+-，用二分法求解的关键是选定合适的区间.由()()()()12,23,120f f f f =-=⋅<，故应选定()1,2作为初始区间.解：例3.求方程532330x x x --+=的无理根（精确度0.01）.引导：由于()()532233313x x x x x --+=--，所以原方程有两个有理根1，-1，而其无理根是方程330x -=的根.令()33g x x =-，只需用二分法求()g x 的近似零点即可.解:【总结提升】利用二分法求函数的零点近似值时，一是要选好初始区间，一般是在两个整数间，既要符合条件，又要使区间长度尽量小；二是要注意题目要求的精确度，以便确定是停止还是继续计算..【总结反思】知识 . 重点 . 能力与思想方法 .【自我评价】你完成本节课的学案情况为（ ）A.很好B.较好C.一般D.较差例1图 例1变式图3.1.2用二分法求方程的近似解一、选择题1．下列函数中不能用二分法求零点的是 ( )A ．f (x )＝2x ＋3B ．f (x )＝ln x ＋2x －6C ．f (x )＝x 2－2x ＋1D ．f (x )＝2x －12．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间 ( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定3．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为 ( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0,1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125)4.求函数在区间内的一个正数零点（精确度0.1），用二分法逐次计算的次数为 （ ）A.4次B.5次C.6次D.7次5.用二分法求方程4310x x -+=在区间[]0.3,0.4内的根（误差不超过20.510-⨯）是（ ）A.0.33B.0.34C.0.345D.0.356.三次方程32210x x x +--=在下列哪些连续整数之间有根 （ ） ①-2与-1之间；②-1与0之间；③0与1之间；④1与2之间；⑤2与3之间.A .①②③B .①②④ C.②③⑤ D.②④⑤二、填空题7．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．8.用计算器求方程2220x x --=的一个正数近似解，若精确度为0.1，则根的近似值为 ； 9.用二分法求出方程32x x =的一个近似解为 （精确度0.1）.10．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[a n ，b n ] (n ∈N )上，当|a n －b n |<m 时，函数的零点近似值x 0＝a n ＋b n 2与真实零点a 的误差最大不超过______． 三、解答题11.求函数()32236f x x x x =+--的一个正数的零点（精确度0.1）.提示：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可以考虑先确定一个包含正数的闭区间，而()()()060,160,240f f f =-<=-<=>，所以可以取区间[]1,2作为计算的初始区间.解：12.求函数()25f x x =-的负零点（精确度0.1）.提示：因为要求的是函数的负零点，所以应先确定一个包含负数的恰当的区间作为计算的初始区间.解：13．利用计算器，求方程lg x ＝2－x 的近似解(精确度为0.1)．。
§3.1.2 用二分法求方程的近似解
第三章 函数的应用3.1 函数与方程§3.1.2 用二分法求方程的近似解【学习目标】根据具体函数图象，能够借助计时器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.【预习提纲】1. 二分法的定义：对于在区间[a ，b]上 且 的函数y=f （x ），通过不断地把函数y=f （x ）的零点所在的区间一分为二， ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
2.用二分法球函数零点的一般步骤：（1） 确定区间[a ，b]，验证 ，给定 ；（2） 求区间（a ，b ）的中点c ；（3） 计算f （c ）；① 若 ，则 就是函数的零点；② 若 ，则令 ；③ 若 ，则令 ；（4）判断是否达到 ：即若 ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）到（4）。
【例题精讲】例1. 借助计算器或计算机，用二分法求方程2x －x 2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．例2.求函数62ln )(-+=x x x f 在区间)3,2(内的零点.【归纳点拨】二分法的第一步可以结合函数的图象来初步判断根的分布区间；在解题过程中，只有区间端点的函数值异号才能使用二分法算下去．最终视函数值的绝对值的大小尽快逼近满足精确度要求的零点．【课堂反馈】1 下列函数图像与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是（ ）2.根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)3.函数f (x )＝2x －log 12x 的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，14 B.⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2)4.判断方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．【总结思考】本节课你都学会了什么？有哪些收获？【巩固延伸】1．若函数)(x f 是奇函数，且有三个零点1x 、2x 、3x ，则321x x x ++的值为( )A ．－1B ．0C ．3D ．不确定 2．已知],[,)(3b a x x x x f ∈--=，且0)()(<⋅b f a f ，则0)(=x f 在[a ，b ]内( )A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有惟一实数根 3．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f )则)(x f y = ( ) A ．在区间)1,1(e ，(1，e )内均有零点B ．在区间)1,1(e ， (1，e )内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e )内有零点4．若方程x 2－3x ＋mx ＋m ＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m 的取值范围是( )A ．m ≤1B ．0<m ≤1C ．m >1D ．0<m <1 5．函数)(x f ＝(x －1)ln(x －2)x －3的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．函数y ＝3x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0)7．函数)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ，若0)2(,0)1(<>f f ，则)(x f 在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有【挑战自我】1.方程32x x =精确到0.1的一个近似解是________．2.借助计算器或计算机用二分法求方程(x ＋1)(x －2)(x －3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)【参考答案】预习提纲 略（教材）例题精讲例1.令f (x )＝2x －x 2，∵f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝1>0， 说明方程f (x )＝0在区间(－1,0)内有一个零点．取区间(－1,0)的中点x 1＝－0.5，用计算器可算得f (－0.5)≈0.46>0.因为f (－1)·f (－0.5)<0，所以x 0∈(－1，－0.5)．再取(－1，－0.5)的中点x 2＝－0.75，用计算器可算得f (－0.75)≈－0.03>0.因为f (－1)·f (－0.75)<0，所以x 0∈(－1，－0.75)．同理，可得x 0∈(－0.875，－0.75)，x 0∈(－0.812 5，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.75)，x 0∈(－0.781 25，－0.765 625)，x 0∈(－0.773 437 5，－0.765 625)．由于|(－0.765 625)－(0.773 437 5)|<0.01，此时区间(－0.773 437 5，－0.765 625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x －x 2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.例2.略（教材）课堂反馈1.B2. C.3. B4.设函数f (x )＝x 3－x －1，因为f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数f (x )＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x 1＝1.25，用计算器可算得f (1.25)＝－0.30<0.因为f (1.25)·f (1.5)<0，所以x 0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x 2＝1.375，用计算器可算得f (1.375)≈0.22>0.因为f (1.25)·f (1.375)<0，所以x 0∈(1.25，1.375)．同理，可得x 0∈(1.312 5,1.375)，x 0∈(1.312 5，1.343 75)．由于|1.343 75－1.312 5|<0.1，此时区间(1.312 5，1.343 75)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x 3－x －1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.巩固延伸1.B.2. D.3.D.4. B.5.A.6.B.7.C.挑战自我1.1.42.方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.。
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
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1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
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【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
二分法求方程的近似解教案
3.1 函数与方程
【课题】：3.1.2 用二分法求方程的近似解
【教学目标】：
（1）知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用。
（2）过程与方法：学生通过观察和实践，能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。
（3）情感态度与价值观：在学习中体会数形结合的思想、近似的思想、逼近的思想和算法的思想等数学思想，感受精确与近似的相对统一。
【教学重点】：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解。
【教学难点】：对二分法求方程近似解的算法理解。
【课前准备】：Powerpoint或投影片。
人教A版必修一3.1.2用二分法求方程的近似解
由于|0.6875－0.75|=0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解. 规律方法：（1）二分法解题流程：
（2）二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？ 精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间［a，b］的长度|b－a|<0.1，此时a（或 b）即为零点近似值.而精确到0.1，是指a，b四舍五入精确到0.1的近似值相同，这个相同 的近似值即为零点近似值. 变式训练2－1：利用计算器，求方程lg x=2－x的近似解（精确度0.1） 解：作出y=lg x，y=2－x的图象可以发现，方程lg x=2－x有唯一解，设为x0，并且在区间 （1，2）内，
（2）“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续 且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 变式训练1－1：下面关于二分法的叙述，正确的是（ ） （A）用二分法可求所有函数零点的近似值 （B）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 （C）二分法无规律可循，无法在计算机上完成 （D）只有在求函数零点时才用二分法 解析：二分法是一种有规律的计算方法，它不仅用在数学中，在实际生活中也有非常广 泛的应用，所以C、D的表述不对，又有些函数的零点不能用二分法求解，则A也错误.实 际上，用二分法可以无限地缩短区间长度，可以精确到小数点后的任一位.故选B.
探究要点一：二分法概念的理解 1.二分法就是通过不断逼近的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确 度，用此区间的某个数值近似地表示零点.如图.
解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中，不满足f（a）·f （b）<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法 求零点.故选B. 规律方法：（1）准确理解“二分法”的含义.二分就是平均分成两部分.二分法就是通 过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根 据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
②若
③若
(4)判断是否达到精确度ε：即若
|a－b|<ε ，则得到零点近似
值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
1．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0 在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，
则方程的根在区间
A．(1.25,1.5) C．(1.5,2)
热点提示 1.判断函数零点 所在的区间． 2．求方程根的 个数.
1．已知函数g(x)的图象是连续不断的，x，g(x)的对应
值表如下： x „ 0 1 2 3 4 5 „ g(x) „ －6 －2 3 10 21 40 „ 函数g(x)在哪个区间内有零点？为什么？ 解析：∵g(1)＝－2<0，g(2)＝3>0，∴g(1)·g(2)<0，
上述称量寻找假币的方法用了什么思想？为什么不称
量30次呢？若考虑偶然性的话，两次称量出哪一枚是假币 的可能性也有，但不是必然称量出来的方法．上面的四次
称量是一定找出假币的最少称量方法．
3.1.2 用二分法求方程的近似解
目标要求 1.能够借助计算器用 二分法求方程的近似 解，了解二分法是求 方程近似解的常用方 法． 2．理解二分法的步 骤与思想.
然后逐步逼近零点，由于使用二分法的依据是勘根定理， 因此并不是所有的零点都能用二分法求解．那么怎样的零 点才能用二分法求出其近似解呢？ 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图
象在零点附近是连续不断的，且该零点两侧的函数值异
号． 2．根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的 零点和求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的
类型二 用二分法求方程的近似解
必修一3-1-2用二分法求方程的近似解
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课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．二分法的定义
f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 对于在区间[a，b]上 连续不断且f(a)·
通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间 的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法，叫 做二分法．
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x0.取(1,1.5)的中点 x1＝1.25， 经计算 f(1.25)＜0， 因为 f(1.5)· f(1.25) ＜0，所以 x0∈(1.25,1.5)． 如此继续下去，如下表：
题型二 用二分法求函数的零点 【例 2】 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内的一个 零点(精确度 0.01)． [思路探索] 根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间， 直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值． 解 经计算 f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点
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3．正确理解用二分法求函数零点的步骤 (1)用二分法求函数零点的步骤可用口诀记忆为：函数连续值两 端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然，要 求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，分后两端 近零点． (2)求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果 也不相同．精确度为 ε 是指在计算过程中得到某个区间(a，b) 后，若其长度小于 ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止 计算，否则应继续计算，直到|a－b|＜ε 为止．
[思路探索] 解答本题可根据二分法的定义，判断是否具备二分法
的条件．
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解析
利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异
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所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似 值，也即方程lnx=－2x＋6的近似解x1≈2.53。
二分法概念
a,b
y
a
0
b
x
对于在区间a, b上连续不断且f a f b 0 的函
数y f x,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到
利用二分法 求方程近似解
高一数学组
独立自学
请同学们观察下面的两个方程，说一说你 会用程.什么方法来求解方
(1)x2 2x 6 0
(2)ln x 2x 6 0
对于方程（1），可以利用一元二次方程的求 根公式求解, 但对于(2)的方程，我们却没有公式 可用来求解.
引导探究
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
设函数f(x)＝lnx+2x－6,用计算器计算得：
f(2)<0, f(3)>0 x1∈(2,3) f(2.5)<0, f(3)>0 x1∈(2.
f(52,.35))<0, f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)
23
f(2.5)<0, f(2.625)>0 x1∈(2.5,2.625)
f(2.5)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.5,2.5625)
零点近似值的方法叫做二分法(bisection).
给定精确度，用二分法求函数零点x0的步骤：
• 1：确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0
• 2：求区间[a,b]的中点x1＝ a b 2
• 3：计算：f(x1)判断： • (1)如果f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止;
• (2)如果f(a)f(x1)<0，则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
模拟实验室
16枚金币中有 一枚略轻,是假 币
模拟实验室
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
我在这里
模拟实验室
模拟实验室
哦，找到 了啊！
通过这个小实验，你能想到什么 样的方法缩小零点所在的范围呢？
• 例1：求方程lnx＝－2x＋6的近似解(精确度为0.0 1)。
• 解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐 标就是方程lnx＝－2x＋6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解， 记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。
3.根据精确度得出近似解 算法思想
二分法
数形结合
逼近思想
转化思想
当堂诊学（清学稿）
强化补清 ：课时作业
f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 x1∈(2.53125,2.5625)
f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 x1∈(2.53125,2.546875) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0 x1∈(2.53125,2.5390625)
Q 2.5390625 2.53125 0.078125 0.01
• (3)如果f(a)f(x1)>0，则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
• 4：判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值是 (a,b)区间内的一点；否则重复2～4步骤。
例２
的近似解
数学 源于生活
1.寻找解所在的区间
数学
用于生活
2.不断二分解所在的区间