几何公理系统与中学几何PPT

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巴比伦
▪ 泥板书 ▪ ——最先使用度量制
▪ 几何侧重计算，几何的性质和公式都是靠观察和总 结得出的。
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中国
▪ 《周髀算经》和秦九韶《九章算术》 ▪ 赵爽
▪ 勾股定理表述为：“勾股各自乘， 并之，为弦实。开方除之，即 弦。”
▪ 证明方法叙述为：“按弦图， 又可以勾股相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾股之差自相 乘为中黄实，加差实，亦成弦 实。”
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▪ 第三卷讨论圆周角、圆心角、圆的切线、割线、圆 幂定理等，共37个命题。
▪ 第四卷讨论圆的内接、外切多边形和正五边形、正 六边形、正十五边形的作图，共16个命题。
▪ 第六卷讨论相似多边形的理论，共33个命题。
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▪ 第十一卷立体几何、直线与平面、平行六面体的 体积
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▪ 1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数 学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何 的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘 要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的 诞生。
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▪ 历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点 和见解作出正确的评价。1868年，意大利数学家贝 特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝 试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。 这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧 氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也 就自然没有矛盾。
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1.1古代几何学简史
古埃及
▪ 相传古代的埃及尼罗河经常泛滥,两岸田亩地界尽被 淹没,事后必须设法进行测量,以重新确定田亩的地 界.在这个实际需要中,测量土地的方法自然应运而 生,据说西方的几何学就是起源于这种测地术, “几 何”最早是“多少”之意，用（Geometry）表示， Geo代表土地，metry是测量的意思。
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▪ 几何学变成研究各种不同空间（欧氏空间、罗氏 空间、黎氏空间、仿射空间、射影空间、…）以 及这个别空间图形的数学理论的总体。在认识到 空间概念多样化的同时，感到欧几里得建立他的 几何学的基础远远不够完善，新兴了一门几何分 支即初等几何基础。射影几何、微分几何、几何 基础成了十九世纪几何方面大放光芒的三大分支。 1899年希尔伯特发表了集大成的名著《几何基 础》，成为欧几里得的完善的公理法结构。
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小故事
❖ 卡尔.弗里德里希.高斯——德国数学家、物理学家和天文学 家。“欧洲数学之王”
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2.1《几何原本》的内容
▪ 《原本》共分十五卷，内容如下：
▪ 第一卷讨论三角形相等的条件、三角形边角关系、 垂线、平行线理论、平行四边形、三角形与多边形 等积的条件、勾股定理等，共48个命题。
▪ 第二卷讨论线段计算（包括黄金分割）、面积的 变换、用几何法解代数问题，共14个命题。
▪ 特点：公元前3世纪，古希腊的柏拉图学派欧几里 得的《几何原本》的问世，标志着理论几何的形 成。从公元6世纪开始，古希腊学者在丰富的经验 材料的基础上，比较重视在形式、逻辑体系下去 揭示几何事实之间存在的联系，但还没有真正做 到公理化，仍需要凭直观和默认。
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▪ 第三个时期是因资本主义的萌芽促成欧洲文艺复 兴而引起了几何学的重新繁荣。从十七世纪到十 九世纪初。（解析几何的产生和发展）
▪
——爱因斯坦
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▪ 对于职业数学家，这本书常常有着一种不可 逃避的诱惑力，而它的逻辑结构，大概比世 界上任何其他著作更大地影响了科学思想。
▪ 《原本》仅次于《圣经》，大约成为西方世 界历史中翻版和研究最广的书。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
▪
——T.斯威克
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1.2.几何学发展的几个阶段
▪ 第一时期是几何作为数学的萌芽时期，从人类积累 生产、生活经验到大约公元前五世纪止。（实验几 何的形成和发展）
第一章几何公理系统 与中学几何的相关问题
▪ §1 几何学发展简史 ▪ §2 欧几里得的《几何原本》 ▪ §3 希尔伯特公理体系 ▪ §4 我国中学几何教材的逻辑结构以
及教材改革的基本精神 ▪ §5中学几何教学的基本要求
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▪ 假如我们要预见数学的未来，适当的途径是 研究这门科学的历史和现状。
▪
——彭加莱
▪ 特点：几何主要是经验事实的积累和初步整理，如 丈量土地、测量容器，形成了一批粗略的概念，反 映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。 我国古代、古埃及、古印度等研究的几何大体就是 实验几何学的内容。
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▪ 第二个时期，几何成为数学的独立学科，希腊的 几何传遍世界各地，从公元前3世纪到十七世纪以 前。（理论几何的形成）
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▪ 祖冲之 ▪ ——圆周率精确到七位小数的第一人
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墨子
▪ 平行线（面）、中心、正方形、圆（球） ▪ “平，同高也” ▪ “中，同长也” ▪ “圆，一中，同长也” ▪ “方，柱隅四灌也”
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古希腊
▪ 泰勒斯 ▪ ——爱奥尼亚学派 ▪ ——最先开始几何证明
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毕达哥拉斯
▪ ——毕达哥拉斯定理 ▪ ——给出了两直角边和斜边的整数表达式
▪ 标志：1637年法国数学家笛卡尔引进坐标解决几 何问题，产生了解析几何以及后来的微分几何。
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▪ 第四个时期是从罗巴切夫斯基建立了第一种非欧 几何开始的。（现代几何的发展）
▪1893年，在喀山大学树立起了世界上第 一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就 是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始 人——罗巴切夫期基。罗巴切夫斯基 （Никола́ й Ива́ нович Лобаче́ вский， 英文串法Lobachevsky/Lobachevskii） （1792年12月1日—1856年2月24日）， 俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之 一。
2 n 1 , 2 n 2 2 n ,2 n 2 2 n 1( n N )
▪ ——算术和几何紧密联系起来
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柏拉图
▪ ——几何建立在逻辑的基础上，坚持准确的 定义，清楚的假设，和逻辑证明
▪ ——不懂几何学不得入内
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欧几里得
▪ 《几何原本》
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▪ 世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这 个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致 它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我 这里说的就是欧几里得几何，推理的这种可 赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后 的成就所必需的信心。