二重积分的对称性教程文件
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域关于坐标轴对称定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则1)当(即就是关于得奇函数）时，有、2)当（即就是关于得偶函数）时，有、其中就是由轴分割所得到得一半区域.例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且即就是关于得奇函数，由定理１有、类似地，有:定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则(１）当或时,有、（２)当时，有其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是偶函数,即有,由定理2，得其中就是得第一象限部分，由对称性知,，故、情形二、积分区域关于原点对称定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足１）时,有2）时，有、例8 计算二重积分，为与所围区域、解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有,有定理7，得、情形三、积分区域关于直线对称定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，则1）；、2)当时，有、3）当时,有、例9 求，为所围、解：积分区域关于直线对称，由定理8,得，故、类似地，可得:定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；（2)当，则有、例10 计算,其中为区域：, 、解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，由以上性质,得:、注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称二重积分是一类重要的积分问题，在数学分析和应用数学中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的概念、性质以及计算方法，并提供一些应用举例。
我们来回顾一下二重积分的定义。
二重积分是对平面上的一块区域内的函数进行积分的操作。
对于一个定义在平面上的函数f(x,y)，如果存在一个有限的积分区域D，可以用矩形D[i][j]来逼近这个积分区域，并且该区域上的函数f(x,y)在D[i][j]上是近似连续的，那么二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = lim ∑(f(ξi,ηj)ΔAij)其中，ξi和ηj是D[i][j]上的某个点，ΔAij是D[i][j]的面积。
在二重积分中积分区域关于原点对称意味着满足对任意(x,y)∈D，都有(-x,-y)∈D。
这样的积分区域可以具有各种形状，如圆形、椭圆形、矩形等。
接下来，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的性质。
首先，根据对称性，如果积分区域D关于原点对称，那么积分区域D内的函数f(x,y)满足f(x,y)=f(-x,-y)。
其次，如果积分区域D关于原点对称，那么计算二重积分时可以通过变量替换来简化计算。
可以选择新的坐标系(u,v)，使得(u,v)在原点处对称，然后利用变量替换公式将积分区域D变换为新的坐标系下的积分区域D'。
这样，可以简化计算，并且往往能够将积分区域D'变为关于u或v的对称区域。
然后，我们将介绍积分区域关于原点对称二重积分的计算方法。
对于关于原点对称的积分区域D，可以根据具体的形状和函数的性质进行分析和计算。
以圆形积分区域为例，可以选择极坐标系进行计算。
在极坐标系下，积分区域可以表示为r∈[0,R]，θ∈[0,2π]。
利用极坐标系的变换公式，可以将二重积分变为极坐标下的一重积分。
然后，根据函数的对称性和积分区域的性质，可以进一步简化计算。
其他形状的积分区域可以使用类似的方法进行计算，选择合适的坐标系进行变换，并利用对称性和性质进行简化。
二重积分的对称性
二重积分的对称性
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。
被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。
性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。
2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。
如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称的二重积分是一种在平面上计算函数在某个区域上的积分值的方法。
在这种情况下，将积分区域分为两个对称部分，并利用对称性简化计算过程。
对于平面上的二重积分而言，我们可以将积分区域分成有限个子区域，然后对每个子区域进行积分后再求和得到最终的积分值。
在一些问题中，积分区域往往具有某种对称性，例如关于原点对称，这种对称性可以大大简化计算过程。
假设我们要计算一个关于原点对称的二重积分，即要计算的函数f(x, y)在关于原点对称的区域D上的积分。
为了利用对称性简化计算，我们可以将区域D分成两个关于x轴对称的子区域D1和D2，其中D1位于x轴的上方，D2位于x轴的下方。
我们可以利用对称性将D1和D2的积分值相加得到整个区域D上的积分值。
即∬Df(x, y)dA = ∬D1f(x, y)dA + ∬D2f(x, y)dA。
然后，我们可以进一步利用区域D1和D2的对称性来简化计算。
由于D1和D2是关于x轴对称的，所以在计算D1的积分时，我们可以先对x轴上方的一半区域D1'进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2的积分时，我们可以先对x轴下方的一半区域D2'进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 2∬D1'f(x, y)dA + 2∬D2'f(x, y)dA =4∬D1'f(x, y)dA。
接下来，我们可以继续利用对称性简化D1'和D2'的计算过程。
由于D1'和D2'是关于y轴对称的，所以在计算D1'的积分时，我们可以先对y轴右侧的一半区域D1''进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2'的积分时，我们可以先对y轴左侧的一半区域D2''进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 4∬D1'f(x, y)dA = 8∬D1''f(x, y)dA。
二重积分积分区域的对称性
情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ .其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=-即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0Df xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则22(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).D Df x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪=⎨⎪-=⎩⎰⎰⎰⎰当当其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例 6 计算2,DI x y d x d y =⎰⎰其中D 为由22;-22y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y-==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：1122222022215x DD I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则 （1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰.（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有1(,)4(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
二重积分的对称性
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
二重积分的对称性计算
二重积分的对称性计算1.关于x轴对称：如果函数f(x,y)在以x轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
2.关于y轴对称：如果函数f(x,y)在以y轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy同样地，通过对称轴的改变，积分结果不会改变。
3.极坐标对称：如果函数f(r,θ)在以极轴（θ=0或θ=π）为对称轴的极坐标区域D上连续，则有：∬D f(r, θ) rdrdθ = ∬D f(r, -θ) rdrdθ通过极坐标的对称性，可以简化求解一些区域的积分。
4.直角坐标轴对称：如果函数f(x,y)在以直角坐标轴为对称轴的区域D上连续，则有：∬D f(x, y) dxdy = ∬D f(-x, y) dxdy = ∬D f(x, -y) dxdy = ∬D f(-x, -y) dxdy通过直角坐标轴的对称性，可以简化计算积分。
5.奇偶函数对称：如果函数f(x,y)在区域D上连续，且满足：f(-x,y)=-f(x,y)，称之为关于x轴的奇函数；f(x,-y)=-f(x,y)，称之为关于y轴的奇函数；f(-x,-y)=f(x,y)，称之为关于原点的偶函数。
对于奇函数∬D f(x, y) dxdy = 0对于偶函数，有：∬D f(x, y) dxdy = 2∬R f(x, y) dxdy其中，R是D在第一象限的对称区域。
通过奇偶函数对称性，可以将积分范围缩小到对称区域，从而简化计算。
除了以上的对称性，还有一些特殊的积分对称性，例如平移对称、旋转对称等。
这些对称性的应用能够大大简化二重积分的计算过程，提高计算效率。
总结起来，二重积分的对称性计算是通过改变积分区域或者改变函数本身的形式，使得积分结果保持不变。
在具体计算的过程中，可以利用对称性将积分范围缩小，从而简化计算。
二重积分的对称性
jj f (x,y)d“ = I 2JJ/(x,y)db,如果/(x,y)在D上关于x为偶函数.
D
[ Di
弋HEFEI insiVhJtSITY OF TEC HNOLCMiY
/高等数学
例 1 设区域D : x + y < 1,求JJ(x3y2 + y3 sin2 x) do.
解如图，
D
H
且 由于区域D关于yJ轴J对x3称y2，do = x3y2关于x为奇函数，故 1 D
| F3j
言笙劫当
二、二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性可视为从f bf (x)dx = fb f (t)dt引伸过来.
a
a
ff f ( x, y ) dxdy = ff f (u, v) dudv.
Dxy
Duv
ff f ( y,x) =dxdy
D
D dydx)
与 。 仍 其中
为区域
D
关于直线/ = x的对称区域.
冬比.
久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
二重积分的对称性
/高等数学
冬比.
/高等数学
久二重积分的对称性包括奇偶对称性和抡换对称性. 一*、二重积分的奇偶对称性
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的.
/高等数学
冬比.
设 。 定理(二重积分的轮换对称性) f(X,7)在有界闭区域 上连
久*
为 关 』 续, D HEFEIinMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
D
于直线
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、引言在数学中，积分是一个重要的概念，用于描述曲线、曲面以及空间中的面积、体积等量。
而对称性也是数学中一个重要的概念，可以帮助我们简化问题的求解过程。
本文将介绍关于原点对称的二重积分，并讨论如何利用对称性简化计算过程。
二、二重积分及其性质1. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将D分成无穷多个小区域，每个小区域用Δσi表示。
在每个小区域上取任意一点(ξi,ηi)，构成面积Δσi。
当maxΔσi→0时，如果极限limmaxΔσi→0∑f(ξi,ηi)Δσi存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作∬fD(x,y)dσ2. 二重积分的性质•线性性质：设函数f(x,y)和g(x,y)在闭区域D上可积，c为常数，则有∬(f(x,y)+g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ+∬gD(x,y)dσ∬c D ⋅f(x,y)dσ=c⋅∬fD(x,y)dσ•区域可加性：若将闭区域D分成两个不相交的闭区域D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ•积分保号性：若在闭区域D上有界函数f(x,y)恒有f(x,y)≥0，则有∬fD(x,y)dσ≥0三、关于原点对称的二重积分1. 关于原点对称的定义一个闭区域或曲线称为关于原点对称的，是指当(x,y)在该区域或曲线上时，有(−x,y),(x,−y),(−x,±y)（其中±表示取正或负）也在该区域或曲线上。
2. 关于原点对称的性质•若函数f(x,y)关于原点对称，即f(x,y)=f(−x,−y)，则有∬f D (x,y)dσ=4∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于原点的一个象限。
•若函数f(x,y)关于y轴对称，即f(x,y)=f(−x,y)，则有∬f D (x,y)dσ=2∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于y轴的一侧。
二重积分积分区域关于y轴对称
二重积分积分区域关于y轴对称
二重积分是高等数学中的一个重要概念，它是对二元函数在一个有限区域内的积分运算。
在二重积分中，积分区域的对称性是一个非常重要的性质，其中以关于y轴对称的积分区域为例，下面我们来详细介绍一下。
我们需要了解什么是对称性。
对称性是指在某种变换下，物体或者图形的形状、大小、位置等性质不变。
在数学中，对称性是指在某种变换下，函数的值不变。
在二重积分中，积分区域的对称性是指在某种变换下，积分区域的形状、大小、位置等性质不变。
以关于y轴对称的积分区域为例，我们可以通过以下两种方法来计算二重积分：
方法一：利用对称性
由于积分区域关于y轴对称，因此我们可以将积分区域分成两个对称的部分，然后只计算其中一个部分的积分值，最后将结果乘以2即可得到整个积分区域的积分值。
方法二：利用变量代换
我们可以通过变量代换的方法将积分区域变换成一个关于x轴对称的区域，然后再进行积分计算。
具体来说，我们可以令x=-u，然后将积分区域变换成一个关于u轴对称的区域，最后再进行积分计算。
无论是哪种方法，都可以有效地利用积分区域的对称性来简化计算过程，提高计算效率。
因此，在进行二重积分计算时，我们应该充分利用积分区域的对称性，以便更加高效地完成计算任务。
二重积分是高等数学中的一个重要概念，积分区域的对称性是其中一个非常重要的性质。
以关于y轴对称的积分区域为例，我们可以通过对称性和变量代换两种方法来计算二重积分，从而提高计算效率。
在实际应用中，我们应该充分利用积分区域的对称性，以便更加高效地完成计算任务。
二重积分积分区域的对称性
.f (x, y)dxdyD2 f (x, y)dxdy ,当 f (-x, y)二D20,当 f ( — x, y) f (x, y).二 f (x, y).情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4设二元函数f(x,y)在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当f (x, _y)二一 f(x, y)(即f (x, y)是关于y 的奇函数)时，有i i f (x, y)dxdy = 0 -D2)当f (x,—y) =f (x, y)(即f (x, y)是关于y 的偶函数)时，有f (x, y )dxdy =2 f (x, y) dxdyDD i其中D i 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算|二 (xy - y 3)dxdy ，其中D 为由y 2=2x 与x = 2围成的区域。
D其中D 2是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且y 」x= 23f (x, —y) = -(xy + y ) = _f (x, y)2 7即f(x,y)是关于y 的奇函数，由定理1有 02F仃 f ( xy + y 3) dxdy = 0 .D类似地，有: 定理5设二元函数f (x, y)在平面区域D 连续，且 D 关于y 轴对称，则解：如图所示，2所®。
于y轴对称，并且y = -2x+2f ( _x, y) = x2y 二 f (x, y)，即被积分函数是关于x轴的偶函数，由对称性定理结论有:2 2I =打x ydxdy =2x ydxdy = 2 ° dxD D i i _2 x 亠2 x2ydxdyi5D i9例7 计算二重积分| = . . ( x y|)dxdy ，其中D :解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有f (x, - y )二f ( -x, y ) =f (x, y)，由定理2,得其中D!是x dxdyy )dxdyD的第H y dxdyD iy )dxdy分，由对称性知，緒・DiDiD i+ |y )dxdyD ix )dxdy 8 | x dxdyD i定理6设二元函数f(x, y)在平面区域D连续，且D关于x轴和y轴都对称，则(1 )当f (―x, y)二-f (x, y)或f (x, - y)二-f (x, y)时，有f ( x , y ) dxdy = 0D(2)当f (_x, y)二f (x, -y)二f (x, y)时,有! ! f ( x, y ) dxdy = 4 1 1 f ( x, y ) dxdyD其中D!为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。
利用对称计算二重积分1
3.设D关于原点对称则：
(1)若对任意点(x,y) D均有f(-x,-y)=-f(x,y),则I=0
(2)若对任意点(x,y) D均有f(-x,-y)=f(x,y)
则I=2 f(x,y)d 2 f(x,y)d , 其中D1D2如上定义
D1 D2
4.设D关于直线y=x对称（轮换对称），则：
(1) f ( x, y)d f ( y, x)d
D D
(2) f ( x, y )d f ( x, y )d 其中D1，D2为y x两侧
D1 D2
(3)如果f ( x, y) f ( y, x) 则 I 0
(4)如果f ( x, y ) f ( y, x) 则I 2 f ( x, y) d
I 4 e x y d 4
D0
其中D0是第一象限部分
-1 1
例2.计算二重积分
2 2 xy d 其中 D= (x,y) 2 x y 2x
若D= (x,y) 2 x y 2 y
2 2
D
, 结果等于多少？
解：由于D关于x轴对称，且被积函数关于y是奇函数， 故结果等于0.
解：由于D关于y轴对称，且被积函数中第一项关于x是奇函数， 故结果等于0.
例6.计算二重积分
2 x yd 其中D由-1 x 1,1 y 0 D
所围成的闭区域。
解：由于D关于y轴对称，且被积函数中第一项关于x是偶函数， 1 故原式=2 dy x ydx . 0 0 3
解：由于D关于直线y=x对称， x2 y 2 1 x2 y 2 y 2 x2 （ 2 + 2 ）d = [ （ 2 + 2 ）d （ 2 + 2）d ] a b 2 D a b a b D D 1 1 1 2 4 1 1 2 2 ( 2 + 2 ) （x +y ）d R ( 2 + 2) 2 a b D 4 a b
二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对称性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D f xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,DI x ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0D f x y dxdy =⎰⎰ .（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
二重积分的对称性计算
利用对区域
对称，而且被积函数也要对称（即对x(或y）是 奇或偶函数），两者缺一都不能使用。
（1）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
1
其中D1是D位于x轴上方的部分。
（2）若D对称于x轴，且f ( x , y ) f ( x , y )则
f ( x , y )d 0. D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y ) f ( x, y )则
f ( x , y )d 2 f ( x , y )d . D D
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重 ，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人 。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
二重积分的对称性及其应用_黄萱平
1 2
(
1 a2
+
1 b2
)
( x 2 + y 2) dxdy )
D
Q Q =
1 2
(
1 a2
+
1 b2
)
2P R
dH r 3dr
0
0
=
1 4
PR4 (
1 a2
+
1 b2
)
若直接采用极坐标系去求解, 则需要用到三
角公式, 计算较繁. 而抓住被积函数与积分区域的
特点, 利用变量轮换对称性将被积函数化为简单 的函数 x2+ y2 后, 再利用极坐标系化为二次积分,
D1
D1
kcosxsinydxdy
D2
k = 2 cosx sinydxdy D3 Q Q 1 y
= 2 dy cosxsinydx
00
kxydxdy +0
= 1-
1 2
sin2
细心观察积分区域图形, 善于将积分区域进
行划分, 变不对称为对称, 并利用可加性将被积函
数进行合理的组合、搭配, 有意识地应用二重积分
摘要 : 证明了二重积分的变量轮换对称性和奇偶对称 性; 在 二重积分计 算中, 增强对称性 的使用意 识, 利用 对 称性简化解题过程。 关键词: 二重积分; 对称性; 计算 中图分类号: 0172. 2 文献标识码: A 文章编号: 1672- 7142( 2006) 04- 516- 03
与定积分相比, 重积分的计算显得困难得多, 仅就二重积分来说, 按常规解法既要根据积分区 域选择积分次序, 还要正确地定好积分上下限, 将 二重积分转化为二次积分。然而, 当积分区域或 被积函数具有某种对称性时, 若利用对称性进行 合理地搭配, 就能变难为易, 简化解题过程, 提高 解题效率。
二重积分的对称性计算
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/12/
2020 11:55:31 AM11:55:312020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
谢 谢 大 家 2020 11:55 AM12/12/2020 11:55 AM20.12.1220.12.12
f ( x, y)d 0.
D
（3）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 2 f ( x, y)d .
D
D1
其中D1是D位于y轴右侧的部分。
（4）若D对称于y轴，且f ( x, y) f ( x, y)则
f ( x, y)d 0.
D
（5）若D对称于原点，且 f ( x, y) f ( x, y)则
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。11:5 5:3111: 55:3111 :5512/ 12/2020 11:55:31 AM
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 211:55: 3111:5 5Dec-20 12-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 11:55:3 111:55: 3111:5 5Saturday, December 12, 2020
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9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。上午 11时55 分31秒 上午11 时55分 11:55:3 120.12. 12
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、什么是积分区域关于原点对称二重积分？在数学中，积分是一种重要的运算工具，它可以用来计算函数在某个区域上的总量。
积分区域关于原点对称二重积分是一种特殊的积分形式，它要求被积函数关于原点对称。
在这种情况下，我们可以通过一些特殊的技巧来简化积分计算过程。
二、如何计算积分区域关于原点对称二重积分？要计算积分区域关于原点对称二重积分，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定积分区域首先，我们需要确定被积函数的积分区域。
积分区域通常由一些特定的几何形状所构成，如圆、矩形、三角形等。
在确定积分区域时，我们需要考虑被积函数的定义域和对称性。
2. 利用对称性简化积分由于积分区域关于原点对称，我们可以利用对称性简化积分计算。
具体来说，如果被积函数关于原点对称，则可以将积分区域分为对称的两个部分，并只计算其中一个部分的积分，然后将结果乘以2。
3. 坐标变换在计算积分时，我们通常需要进行坐标变换，以便更方便地表示积分区域和被积函数。
常见的坐标变换方法包括极坐标变换和直角坐标变换。
4. 积分计算最后，我们可以根据坐标变换后的积分区域和被积函数，利用积分的定义进行计算。
根据具体情况，我们可以选择使用定积分、累次积分或其他积分方法。
三、积分区域关于原点对称二重积分的应用积分区域关于原点对称二重积分在数学和物理领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的体积计算积分区域关于原点对称二重积分可以用来计算几何体的体积。
例如，我们可以通过将几何体划分为对称的两个部分，并计算其中一个部分的体积，然后将结果乘以2来得到整个几何体的体积。
2. 质心的计算质心是一个几何体的重心或平均位置。
通过对积分区域关于原点对称二重积分进行计算，我们可以求得几何体的质心坐标。
3. 物理问题的建模积分区域关于原点对称二重积分在物理问题的建模中也有重要的应用。
例如，在电磁场中计算电荷分布的势能、计算质点在力场中的位能等问题中，我们可以利用积分区域关于原点对称二重积分来进行计算。
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b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
2ab
y2( x)
0
f
( x,
y)dy
dx
2 f ( x, y) d
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
证 （2）积分区域如图：
y2 ( x)
f 关于 y 是奇函数
0.
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
ab
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy
y2 ( x)
f 关于 y 是奇函数
0.
于是，
f (x, y) d
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
y
解 设 f ( x, y) xy2.
2
x2 y2 4
D 区域关于 x 轴对称，且
D1
o
2x
f ( x, y) f ( x, y),
xy2d 2 xy2d
D
D1
而
D1
:
0 0
x y
4 2.
y2
,
xy2d 2 xy2d
D
D1
而
D1
:
0 0
x y
4 2.
y2
,
因此，
xy2d 2 xy2d 202dy0 4 y2 xy2dx
例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
y)dy
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f
( x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy
y2 ( x)
f 关于 y 是偶函数
2 y2( x) 0
f
( x,
y)dy
于是，
f (x, y) d
D
a x b,
D
:
y1
(
x)
y
y2( x).
y
y y2( x)
D1
ao
bx
y y1( x)
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
证 （2）积分区域如图：
a x b,
D
:
y1
(
x)
D
解 e x yd
D
e x yd e x yd
D1
D2
1
y 1 x
y 1 x
1 D2oo D1 1 x
y x 1
y x1
1
0 dx x1 e
1 x1
xe
ydy
1dx x1
0 x1
e
xe
ydy
01(e2x1 e1)dx 01(e e2x1)dx
e e1.
D
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
2ab 0 dx
0.
二重积分的轮换对称性：
积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 yy是是偶偶函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy f 关于 y 是偶函数
y2 ( x)
2 y2( x) 0
f
( x,
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是奇奇函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
103 页 2（2）
(2) xy2d , D : x2 y2 4 及 y 轴围成的右半闭区域.
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇奇函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是偶函数，即
D
D1
2
0
y
2
(4
y2 )dy
64 15
.
103 页 2（3）
(3) e x yd , D : x y 1.
D
× 解 e x yd 2 e x yd
D
D1
y
1
y 1 x
y 1 x
1 o D1 1 x
y x 1
y x1
1
103 页 2（3）
y
(3) e x yd , D : x y 1.
D
D1
证 （1）积分区域如图：
y
a x b,
D
:
y1
(
x)
y
y2( x).
y y2( x)
D1
ao
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
证 （1）积分区域如图：
y
D
:
a
y1
(
x x)
b, y
y2( x).
y y2( x)
D1
ao
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y
y2( x).
a
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y
y y2( x)
D1
o
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy