二重积分的对称性教程文件

D
D1
2
0
y
2
(4
y2 )dy
64 15
.
103 页 2（3）
(3) e x yd , D : x y 1.
D
× 解 e x yd 2 e x yd
D
D1
y
1
y 1 x
y 1 x
1 o D1 1 x
y x 1
y x1
1
103 页 2（3）
y
(3) e x yd , D : x y 1.
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy f 关于 y 是偶函数
y2 ( x)
2 y2( x) 0
f
( x,
D
D1
证 （1）积分区域如图：
y
a x b,
D
:
y1
(
x)
y
y2( x).
y y2( x)
D1
ao
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
证 （1）积分区域如图：
y
D
:
a
y1
(
x x)
b, y
y2( x).
y y2( x)
D1
ao
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
D
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
2ab 0 dx
0.
二重积分的轮换对称性：
积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 yy是是偶偶函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
y
y2( x).
a
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y
y y2( x)
D1
o
bx
y y1( x)
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，证明：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是偶函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
y
解 设 f ( x, y) xy2.
2
x2 y2 4
D 区域关于 x 轴对称，且
D1
o
2x
f ( x, y) f ( x, y),
xy2d 2 xy2d
D
D1
而
D1
:
0 0
x y
4 2.
y2
,
xy2d 2 xy2d
D
D1
而
D1
:
0 0
x y
4 2.
y2
,
因此，
xy2d 2 xy2d 202dy0 4 y2 xy2dx
D
解 e x yd
D
e x yd e x yd
D1
D2
1
y 1 x
y 1 x
1 D2oo D1 1 x
y x 1
y x1
1
0 dx x1 e
1 x1
xe
ydy
1dx x1
0 x1
e
xe
ydy
01(e2x1 e1)dx 01(e e2x1)dx
e e1.
a x b,
D
:
y1
(
x)
y
y2( x).
y
y y2( x)
D1
ao
bx
y y1( x)
由积分区域 D 关于 x 轴对称性
y1( x) y2( x).
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
证 （2）积分区域如图：
a x b,
D
:
y1
(
x)
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
2ab
y2( x)
0
f
( x,
y)dy
dx
2 f ( x, y) d
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇函数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) dFra Baidu bibliotek 0.
D
证 （2）积分区域如图：
y)dy
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f
( x,
y)dy
b
a
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy
y2 ( x)
f 关于 y 是偶函数
2 y2( x) 0
f
( x,
y)dy
于是，
f (x, y) d
D
y2 ( x)
f 关于 y 是奇函数
0.
D
f (x,
y) d
bdx y2( x)
a y1( x)
f (x,
y)dy
ab
y2( x) f ( x, y)dy
y2( x)
dx
y2( x) f ( x, y)dy
y2 ( x)
f 关于 y 是奇函数
0.
于是，
f (x, y) d
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是奇奇函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
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(2) xy2d , D : x2 y2 4 及 y 轴围成的右半闭区域.
则 f ( x, y) d 2 f ( x, y) d .
D
D1
(2) 若被积函数 f ( x, y) 关于 y 是奇奇函函数数，即
f ( x, y) f ( x, y).
则 f ( x, y) d 0.
D
积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x, y) 关于 x 是偶函数，即