2 数学-南京市金陵中学2014届高三上学期期中考试数学试题

AD BD D ，
ED 面ABCD ， ED 面AFED 面AFED 面ABCD .
-----------------12 分
----------------14 分
4
17． （本题满分 14 分） 已知等差数列{an}中，首项 a1＝1，公差 d 为整数，且满足 a1+3<a3, a2+5> a4，数列{bn}满 1 足 bn = a a ，其前 n 项和为 Sn． n n+1 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 S2 为 S1，Sm (m∈N )的等比中项,求正整数 m 的值． (3)对任意正整数 k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为 ck,求数列{cn}的前 n 项 和 Tn
2
▲ ．
4.函数 f（x）＝ 1－log3x的定义域是 ▲ ． 【答】 （0，3］ 5.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知 a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则 a4+ a5+ a6 = ▲ .
【答】16 6．已知向量 a，b 满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a 与 b 的夹角为 60°，向量 c＝2a＋b．则向量 c 的模为 ▲ ． 【答】2 3 【解析】｜c｜2＝（2a＋b）2＝4a2＋4a· b＋b2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c｜＝2 3 x2 y2 7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 y= 3x 是双曲线a2－b2=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程， 则此双曲线的离心率为 【答】2 【解析】由题意
【答】
5
3 , 6
11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2＋2x，若 f(2－a2)>f(a)，则实数 a 的 取值范围是 ▲ 【答】(－2,1) 12.已知函数 f(x)= |lg(x-1)| 若 a≠b,f(a)= f(b) ,则 a+2b 的取值范围是 ▲ 【答】 2 2 3 13..定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(x＋5)＝16，当 x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数 f(x)在[0， 2013]上的零点个数是_____ 【答】604 【解析】由 f (x) f (x 5) 16 ，可知 f ( x 5) f ( x) 16 ，则 f (x 5) f ( x 5) 0 ，
1 2
4 x k 2 x 1 2 x 2 x k x x x ，令 2 2 t ， x x x 4 2 1 2 2 1
2
则 f (t )
tk (k 1) 1 (t≥2) ． t 1 t 1
原题等价为：对于 t≥2 ， [2 f (t )]min≥ [ f (t )]max 恒成立，求实数 k 的取值范围． （1）当 k 1 时，显然成立； （2）当 k 1 时，
2 x 所以 f ( x ) 是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期 ( 1, 9] 上，函数 f ( x) x 2 在
．
．
▲ ．
x (1, 4] 区间内有 3 个零点，在 x (4,9] 区间内无零点，故 f ( x) 在一个周期上仅有 3 个
零点， 由于区间 (3, 2013] 中包含 201 个周期， 又 x [0,3] 时也存在一个零点 x 2 ， 故 f ( x) 在 [0, 2013] 上的零点个数为 3 201 1 604 . 4x+k•2x+1 14.已知函数 f(x)= 4x+2x+1 ，若对任意的实数 x1,x2,x3,不等式 f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立，则实数 k 的取值范围是 【答】 [ , 4] ． 【解析】 f ( x) ▲ ．
b c b 3 ，∴ e ( )2 1 2 ． a a a
▲
．
8.已知直线 l⊥平面 α，直线 m平面 β，则下列四个命题： ①若 α∥β,则 l⊥m； ③若 l∥m,则 α⊥β； ②若 α⊥β,则 l∥m； ④若 l⊥m,则 α∥β. ．
其中正确命题的序号是 ▲ 【答】 ①③
公路
D
公路 l2
解： （1）如图，过 E 作 EM BC ， 垂足为 M，由题意得∠MEF=α，
B
F
C
60 ， AE FC 80 60 tan ，……………….3 分 cos 60 2 所以 W (80 60 tan ) 1 cos 120 π 4 , tan 0 ) ……..……………8 分 =80+cosα-60tanα（其中 0 ≤ ≤ 0 2 3 sin 1 120 （2）W 80 60 cos cos sin 2 ． 80 60 cos
1 1 1 1 1 ( ) ………………………………..6 分 an an 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 n 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn [(1 ) ( ) ( …………………7 分 ) )] (1 2 2n 1 2n 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1

4
)
或

4


3
2 7 11 ，∴ 或 ---------------14 分 3 12 12
3
16．(本题满分 14 分)
如图,四边形 ABCD 为平行四边形，四边形 ADEF 是正方形，且 BD⊥平面 CDE， H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点. （1）求证:GH∥平面 CDE； （2）求证:面 ADEF⊥面 ABCD.

2 22 n 1 1 2n 22 n 1 2 22 n 1 3 2n 1 n ( 2 1 ) ， 1 22 1 2 3 3 2 2 n 1 3 2 n 1 . 3
………………14 分
即 Tn
5
18.（本小题满分 16 分） 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设 线路 l1，在路南侧沿直线铺设线路 l2，现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l2 接通．已知 AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米 1 万元，穿过公路的 EF 部分铺设水 π 管的费用为每米 2 万元，设∠EFB=2-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为 W． A E l1 （1）求 W 关于 α 的函数关系式； （2）求 W 的最小值及相应的角 α．
金陵中学 2013－2014 学年度第一学期高三期中试卷 数学（必做题）
一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把正确答案填写在答题卡相应的位 置上． 1 1． 设集合 A＝｛x｜－2＜x＜2｝ ，B＝｛x｜x2≤1｝ ，则 A∪B＝ ▲ ． 【答】 ｛x｜－1≤x＜2｝ 2.复数 i2（1－2i）的实部是 ▲ ． 【答】 （－1） 3.命题“ x∈R，x2+ax+1<0” 的否定是 【答】 x R, x ax 1 0
∵ S1
1 2 m ， S 2 ， Sm ， S 2 为 S 1 ， S m ( m N )的等比中项， 3 5 2m 1
2
1 m 2 2 Sm S1 ，即 ∴ S2 ， 3 2m 1 5
解得 m =12． (3)对任意正整数 k， 2 2n 1 2 ，则 2
k 2k

k 1
……………………………………….9 分

,
1 1 n 2 2 k 1 , 2 2
…………………………………12 分
而kN ， 由题意可知 ck 22k 1 2k 1
于是 Tn c1 c2 cn (21 23 22n1 ) (20 21 2n1 )
证明：⑴ G 是 AE, DF 的交点，∴ G 是 AE 中点，又 H 是 BE 的中点， ∴ EAB中， GH // AB ， ∵ABCD 为平行四边形 ∴AB∥CD ∴ GH // CD ， ----------------------------------------------4 分 ---------------2 分
) f ( ) 6 , 且 α∈(2,π). 求 α. 2 6 2 12 解 f ( x) a b 3 = 2 3 cos2 x 2sin x cos x 3 = sin 2 x 3 cos 2 x = 2sin(2 x ) -3 分 3 2 (1)函数 f ( x) 的最小正周期为 T ---------------5 分 2 5 x k （ k Z ） 由 2k 2 x 2k ，得 k 12 12 2 3 2 5 , k ](k Z ) ---------------8 分 ∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ k 12 12
(2)若 f ( (2)∵ f (



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π

) f( ) 6 ， 2 6 2 12



∴ 2sin 2cos ∴ 2 2 sin( ∴ sin( ∴
6，

4
) 6 …………………………………………………………11 分
3 3 ，∵ ( , ) ，∴ ( , )， 2 2 4 4 4
1
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x＋y = 5 下方的概率为 1 【答】 6． 【解析】点 P 在直线 x＋y = 5 下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能， 6 1 故其概率为6×6 = 6． π 10.已知 f(x)=3sin(2x－6)，若存在 α∈(0,π )，使 f(α+x)= f(α-x)对一切实数 x 恒成立，则 α= ▲ ． ▲ ．
a1 3 a1 2d , 3 5 解： （1）由题意，得 解得 < d < ． 2 2 a1 d 5 a1 3d ,
＊
……………………2 分
又 d∈Z，∴d = 2． ∴ a n =1+(n－1) 2=2n－1． （2）∵ bn ………………………4 分
故有 MF 60 tan ， EF
sin 2 ， cos cos cos ( sin )(sin 2) 1 2sin 则 f ( ) ． cos 2 cos 2
又∵ CD 平面CDE, GH 平面CDE ∴ GH // 平面 CDE ⑵ BD 平面CDE ， 所以 BD ED ， 又因为四边形 AFED 为正方形，
ED AD ，
-------------------7 分
-------------------9 分
------------------10 分
k 2 k 2 1 ≤f (t ) 1 ，由 2( )≥1 ，得 ≤k 1 ； 3 3 2 k 2 k 2 ，由 2 1 ，得 1 k≤4 ． ≥ 3 3
1 2
（3）当 k 1 时， 1 f (t )≤
综上，实数 k 的取值范围为 [ , 4] ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题纸指定区域内 作答，解答时应写出文字 ．．．．．．．． 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a=(2cosx , 2sinx) ，b=( 3cosx , cosx),设函数 f(x)=a•b- 3, 求： (1) f(x)的最小正周期和单调递增区间；