2 数学-南京市金陵中学2014届高三上学期期中考试数学试题
江苏省金陵中学高三数学上学期期中
江苏省金陵中学高三数学上学期期中【会员独享】 2010—2011学年度高三数学第一学期期中考试试题注意事项：考生答题前请认真阅读注意事项及各题答案要求。
1．本试卷包含填空题（第1题—第4题）、解答题（第15题—第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3．作答时必须用斗5写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()1f x x =-的定义域为N ，则M∩N= 。
2．已知复数z 满足（1+2i ）z=4+3i ，则z= ．3．函数y=x 2—2x (x∈[0，3]的值域是4．已知5cos 3a =。
且a∈（一2π，0）， 则sin(a π-)= 。
5．在△ABC 中，3A=45°，B=75°，则BC 等于 。
6．已知直线12y x b =+是曲线y=lnx(x>0)的 一条切线，则实数b 的值是 。
7．一个算法的流程图如图所示？若输入的n 是100，则输出值S 是 。
8．已知集合A=(x ，y ）|x 一2y 一l=0},B={(x ，y)|ax-by+1=0}，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，则A ∩B=φ的概率为 .9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,0ω>,||2πϕ<)的图象如图所示，则，f(0)= 。
10．已知3()f x x ax =-在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数a 的最大值是 。
11．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。
数学-南京市金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学试题
南京市金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数)2cos(3π-=x y 的最小正周期为 .2==T ππ.2.已知复数的模为 .【答案解数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），∴()()211223i i iz i i i-++=+=+=--=【思路点拨】先解出复数z 的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数． 3.抛物线241x y =的准线方程是 ． 【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】1y =-解析 ：解：由题得24x y =，所以：2 4.p p ==1=，故准线方程为：1y =-．故答案为1y =-.【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出p 即可得到其准线方程． 4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b A B A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集.【答案解析】{}1,2,3解析 ：解：因为{}2A B =,所以22a =，1a =，则2b =.所以{}1,2,3AB =,故答案为{}1,2,3.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由22a=可确定a ，然后就可以确定b 的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环． 此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21． 故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差()()()()()()222222141817181818181820182118⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦2人， 16=，∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率2224151166C P C =-=-=．第5题8．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域将3z x y =+变形为画出直线13y x =-最大，联立方程20y x x y k ì=ïí++=ïî得x y ì=-ïïíï=-ïî9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AC BE =, 则AB 的长为 .数量积运算法;一元二次方程的解法. 1,,AC AB AD BE BC CE AD AB =+=+=- ∴()221111222AC BEAB AD AD AB AD ADAB AB 骣琪?+-=+?=琪桫， 20AB AD AB -?，AB ＞0，AB ＝【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出． 10.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ．【知识点】球内接多面体．【答案解析】3p 解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，所以外接球的表面积为243p p =桫，故答案为3p .【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】(),1-∞-解析 ：解：当x ＞0时，112102xx--=->与题意不符， 当0x <时，()012xx fx ->\-=-，，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴()()()()1221xxf x f x f x f x -=-\-=-\=-，，，∴()1121<222xxf x =--\，＜， ∴1x <-，∴不等式()12f x <-的解集是(),1-?．故答案为(),1-?．【思路点拨】()f x 是指定义在R 上的函数，而题目中只给出了0x >的表达式，故先求出当0x <时，()f x 的解析式，后再可解此不等式．12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ．（第12题）∴B 、C 两点是关于Y 轴对称的．由题知：OA=a 四边形OABC 为平行四边形，所以BC=OA=a 可设B ,2a y 骣琪-琪桫,C ,2ay 骣琪琪桫,设D 为椭圆的右顶点，因【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC 为平行四边形，可以得出B 、C 两点是关于Y 轴对称，进而得到BC=OA=a ；设B ,2ay 骣琪-琪桫,C ,2ay 骣琪琪桫，从而求出|y|，然=13．已知实数,x y满足x y =，则x y +的最大值为 ．【知识点】基本不等式的应用.【答案解析】4解析 ：解：∵x y -，∴x y +,则()()224x y x y +?+解得：24x y -? ∴x y +的最大值为4,故答案为：4£y +的范围，即可求出所求．14．数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若实数p 使得数列{}n a 为等差数列或等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n s ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ．【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和.【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ==+=+=++，，①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p -+=由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p +=++（）（），解得p =1 则n n 1n a a 2+=+,由累加法得：2n 1n n 1a a 22222--=++?=-解得n n a 2n 2=（）,显然，当n=1时也适合，故nn a 2n N *= （）． 故存在实数p =1，使得数列{}n a 为等比数列，其通项公式为n n a 2=,故()121222201412n n n S +-==->-，解得9n >，则满足的值为的最小正整数n s n 2014>10，故答案为10.【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ==+=+=++，，进行分类考虑：①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p -+=由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p +=++（）（），解得p =1 则其通项公式为n n a 2=,再由故2014n S >，解得9n >，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与⑴求 ⑵若2π弦函数．【答案解析】⑴16173⑵34p解析 ：解：⑴由三角函数的定义知43tan α=-ABCFED∴42()24341(73tan 2α⨯--==.又由三角函数线知10sin β=,b 为第一象限角，1tan 7b \=，()24116177tan 224173177a b -\+==+. (2) cos a ＝0a p b ＜＜，＜＜2p， a b+＜＜∵()sin sin cos cos sin a b a b a b ++＝＝435105102??． a b +＜＜b +＝【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出sinb ，然后再求tan b ； （Ⅱ）由cos a ，求出a b +0a p b ＜＜，＜＜2p，求出a b +．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）83a 3解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分 同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S △C EF ＝12DC •CF ＝12×4a ×2a ＝4a 2． 在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2a V PC EF ＝V P −C EF ＝13PQ •S △CEF ＝13•4a 2•2a ＝83a 3． （注：本题亦可利用V P −C EF ＝V B −C EF ＝V E −BC F ＝V D −BC F ＝16DC •BC •CF ＝83a 3求得）恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)Pm n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【答案解析】（1）2212516x y +=（2）L ∈ 解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈, 得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） (2)分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C的方程为2212516x y +=.…………… 6分 （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,…………… 8分 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=.所以直线l 与圆O 恒相交, …………… 10分MB 又直线l 被圆O 截得的弦长为L ===分由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是L ∈…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落 在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用． 【答案解析】(1) 212sin MA q =, 4590<θ< (2) 23解析 ：解：解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．…………2分 在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ=，…………4分 ∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ<…7分(2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=23pq -,∴根据正弦定理得：sin ANq122sin sin 3AN p q q =骣-琪琪桫令212sin sin 2sin sin 32t p q q q q q 骣骣琪琪=-=琪琪桫桫()01sin 2302q =+-，19．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； (2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断． 【答案解析】（1）14a =（2）4332a £＜（3）y 2e =-解析 ：解：（1）因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==得：212x a =，此时214y a =，…………2分 则点2211(,)24a a到直线30x y --=的距离为即=，解之得a =．…………4分(2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，（3）设21()()()l n 2Fxf x gx x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x 的图象在x =)2e ． …………12分设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(e y k x -=，由e f x kx 2?-（）则2x 2kx e 0--+在x ∈R 恒成立．所以24(k )=-下面证明2g x e x 0?（）（＞）恒成立．设G x elnx =-（）x ?（）所以当 时，G ′（x ）＜0．因此 x= 时，G （x ）取得最大值0，则2g x e x 0?（）（＞）成立．故所求“分界线”方程为：y x =-【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；2g x e x 0?（）（＞）成立，从而得到所求“分界线”方程． 20．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（*,t R n N ∈∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列； （3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用．【答案解析】（1）n n a 2=（2）3=t (3) 满足题意的正整数仅有2=m .解析 ：解：（1）nn a 2=………………………………………………………4分 （2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tn n b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-= 则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………7分 当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………9分（3）因为2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意…………11分 当3≥m 时，若后添入的数12+=m c ，则一定不符合题意，从而1+m c 必是数列{}n a 中的一项1+k a ，则（2+22+…………+2k ）+(++21b b …………n b )=122+⨯k 即02221=+--+k k k ………………………………………………………………13分记22)(21+--=+k k k f k 则k k f k 212)2(ln 2)('--=，1+2+22+…………+21-k =)3(1212≥--k k ， 所以当3≥k 时，k 2=1+2+22+…………+21-k +1>1+2k ,又,14ln 2ln 2>=.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有2=m .…………………………………………16分【思路点拨】（1）由33a 是18a 与5a 的等差中项得到6a 3=8a 1+a 5，根据首项2和公比（3）显然2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意，然后说明即可.。
江苏省金陵中学2014届高三数学第二次仿真测试苏教版
江苏省金陵中学2014届高三第二次仿真测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．集合A ＝{ x |1＜x ≤3，x ∈R }，B ＝{ x |－1≤x ≤2，x ∈R }，则A B ＝ ． 2．已知||a ＝3，||b ＝2．若⋅a b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为 ． 3．设x ，y 为实数，且1i x -＋12i y -＝513i-，则x ＋y ＝ ． 4．椭圆2x ＋2my ＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为 ． 5．若θ∈42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是 ． 6．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ＜6，x ＞0，y ＞0}，A ＝{(x ，y )|x ＜4，y ＞0，x －2y ＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ．7．已知a ，b 为异面直线，直线c ∥a ，则直线c 与b 的位置关系是 ． 8．一个算法的流程图如右图所示 则输出S 的值为 ．9．将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ．10．某同学在借助题设给出的数据求方程lg x ＝2－x 的近似数(精确到0.1)时，设()f x ＝lg x ＋x －2，得出(1)f ＜0，且(2)f ＞0，他用“二分法”取到了4个x 的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 ．11．设OM ＝112⎛⎫⎪⎝⎭，，ON ＝(0，1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP OM ⋅≤1，0≤OP ON ⋅≤1，则z ＝y －x 的最小值是 ．12．设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m －3m，则m 的取值范围是 ． 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后请将答题卡交回．2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚．4．如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．14．方程2x ＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标．若4x ＋ax －9＝0的各个实根1x ，2x ，…，k x (k ≤4)所对应的点9()i ix x ，(i ＝1，2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数()f x ＝sin()A x ωϕ+，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(2)3M π-，． （1）求()f x 的解析式； （2）当x ∈[]122ππ，时，求()f x 的值域． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90︒，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ＝4，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．17．（本小题满分14分）有一气球以v (m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30︒方向T 处，其仰角为60︒(如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影)．求风向和风速(风速用v 表示)．18．（本小题满分16分）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋2(2)y +＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T ．20．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数k ，对定义域中的任意x ，等式()f kx ＝2k＋()f x 恒成立． （1）判断一次函数()f x ＝ax ＋b (a ≠0)是否属于集合M ；（2）证明函数()f x ＝2log x 属于集合M ，并找出一个常数k ；（3）已知函数()f x ＝log a x ( a ＞1)与y ＝x 的图象有公共点，证明()f x ＝log a x ∈M ．（附加题）21．【选做题】在下面A 、B 、C 、D 四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分． A ．选修4－1：几何证明选讲如图，已知AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线， 已知6,25AB CD ==，求线段AC 的长度．B ．选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．C ．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．D ．选修4－5：不等式选讲已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围． 22．［必做题］（本小题满分10分）在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）。
2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编 专题14 复数
一．基础题组
1. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学题文】已知复数),(R y x yi x z ∈+=，
且5)21(=+z i ，则=+y x
2. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】复数i 2（1－2i ）的实部是
3.【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】在复平面内，
复数2013i
i 1i
z =
+-表示的点所在的象限是_ _ .
4. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】复数1i
z i
=
+(i 是虚数单位)的模为 ．
5. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】复数
i
i
215+的实部是 ．
6. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】复数i
i z 21-=的虚部是
．
7. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】复数
5i
2i
=+ ． 【答案】12i +。
2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编 专题06 数列
一．基础题组1. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+ a 2+ a 3 =2, a 3+ a 4+ a 5 =8,则a 4+ a 5+ a 6 = .2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ．3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且2371220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =则68b b ＝ ．考点：1.等差数列的性质;2.等比中项4. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三学】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =是“627S S =” 的条件．5.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且862a a a =+，则=55a S ．6. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】等差数列{}n a 中，若124a a +=,91036a a +=，则10S = .考点：等差数列.7. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则=7S ．8. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则10a = .二．能力题组1. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】 各项均为正数的等比数列{}n a 中，811=a 12...8(2,)m m a a a m m N +⋅⋅⋅=>∈，若从中抽掉一项后，余下的m-1项之积为1m -，则被抽掉的是第 _ 项.2. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设等比数列{}n a 满足公比*N q ∈，*N a n ∈，且{n a }中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112=a ，则q 的所有可能取值的集合为 ．3. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在数列{}n a 中，11a =，2(1)2n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = .4.【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在数列{}n a 中，10a =，111111n n a a +-=--，设n b =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S = .5.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。
2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编 专题11 概率和统计
一．基础题组1.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．2.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知样本7,8,9,,x y的平均数是8，xy ，则此样本的标准差是．且603.【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y = 5下方的概率为．66×6= 1 6．考点：古典概型概率的计算.4.【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在「40，50)，［50，60)内的数据个数之和是_ __ .5.【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是 _ .6.【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】若以连续掷两次骰子分别得到的点数nm,作为点P的横、纵坐标，则点P在直线5=+yx上的概率为.7. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是 .二．能力题组1.【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】若样本321,,a a a 的方差是2，则样本32,32,32321+++a a a 的方差是。
江苏省南京市2014届高三数学综合题(终稿)Word版含答案
南京市2014届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ． 【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23或k ＝1． 【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等．2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－12，则AD →·BC →＝ ． 【答案】0．【提示】以AB →，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →，则AC →·BD →＝AD →2－23AB →·AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →·BC →＝AD →·(AC →－AB →)＝AD →·(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →·AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α 、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l 与两平面α 、β均平行； ②必存在直线l 与两平面α 、β均垂直； ③必存在平面γ与两平面α 、β均平行； ④必存在平面γ与两平面α 、β均垂直． 其中正确的是___________．（填写正确命题序号） 【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）． 【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______． 【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知2πr l ＝3π，且12·2πr ·l ＝23π，解得l ＝2，r ＝3，所以圆锥高h ＝1，则体积V ＝13πr 2h ＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小值时，切线l 的方程为____________． 【答案】x ＋y －2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y 2=4x 的焦点，则双曲线的方程为 ． 【答案】x 24－y 212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝k log 2x (k 为常数， 0＜k ＜1)．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C ．若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是___________． 【答案】12．【提示】设A (t ，2 log 2t )(t ＞1)，则B (t 2，2 log 2t )，D (t ，log 2t )，C (t 2，2k log 2t )，则有log 2t ＝2k log 2t ，由于log 2t ＞0，故2k ＝1，即k ＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据． *8．已知实数a 、b 、c 满足条件0≤a ＋c －2b ≤1，且2a ＋2b ≤21＋c，则2a －2b2c 的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a ＋2b ≤21＋c 得2a －c ＋2b －c ≤2，由0≤a ＋c －2b ≤1得0≤(a －c )－2(b －c )≤1，于是有1≤2(a －c )－2(b －c )≤2，即1≤2a －c 22(b －c )≤2．设x ＝2b －c ，y ＝2a －c ，则有x ＋y ≤2，x 2≤y ≤2x 2，x ＞0，y ＞0，2a －2b2c ＝y －x ．在平面直角坐标系xOy 中作出点(x ，y )所表示的平面区域，并设y －x ＝t ． 如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)，所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列， 则正数q 的取值集合是 ． 【答案】{－1＋52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则①若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3， 整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；②若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q ≠1，则可得q (q ＋1)＝1，又q ＞0解得 q ＝－1＋52．综上所述，q ＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2 (n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值等于___________． 【答案】16．【提示】设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0得 a 1＝－765d ，d ＞0，所以a n ＝(n －815)d ，从而可知1≤n ≤16时，a n ＞0， n ≥17时，a n ＜0．从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0， 故S 14＞S 13＞……＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16．因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝45d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故S n 中S 16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想． 二、解答题11．三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且2sin B ＝3cos B ． (1)若cos A ＝13，求sin C 的值；(2)若b ＝7，sin A ＝3sin C ，求三角形ABC 的面积． 解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一 因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3． 面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二 由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ，即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35． 又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．AEDCB由正弦定理知b sin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334．【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性． 12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，c ＝(1，－1)． (1)若a ·c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ·c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ·3sin B ＝sin A ·cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝2 1tan B＋ 3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值． 13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ． 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO ⊂面DBC ， 所以DO ⊥面ABC ．又AE ⊥面ABC ，则AE //DO ．又AE ⊂/ 面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE // 面DBC ． (2)由（1）知DO ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ．又AB ⊥BC ，且DO ∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥面DBC ． 因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥DC ．又BD ⊥CD ，AB ∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥面ABD ． 又AD ⊂ 面ABD ，故可得AD ⊥DC ．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o ．在面ABC 中，AB ＝23，BC ＝4，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N ． (1)求证：N 为AC 中点； (2)平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．BA 1B 1C 1MN A解 (1)由题意，平面ABC //平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面A 1B 1C 1交于直线A 1B 1，所以MN // A 1B 1． 因为AB // A 1B 1，所以MN //AB ，所以CN AN ＝CMBM．因为M 为AB 的中点，所以CNAN ＝1，所以N 为AC 中点．(2)因为四边形A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o ． 在三角形A 1AN 中，AN ＝1，AA 1＝2，由余弦定理得A 1N ＝3， 故A 1A 2＝AN 2＋A 1N 2，从而可得∠A 1NA ＝90o ，即A 1N ⊥AC ． 在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，BC ＝4， 则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ， 所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式； (2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2 ，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3； ②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3，综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3．当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3．【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3． 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ． 在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22·23·1＝－(23)2＋1－a 22·23·1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)， 则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3．方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所 示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0． 则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6．（2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6． 答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在RtΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与RtΔABC 的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为RtΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为RtΔABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而RtΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4． 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ·CE OA 2为定值．解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）．(2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )， 所以CD ＝41＋k 2 1＋4k2，CE ＝21＋k 2． 因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２ 1＋4k 2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值． 【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明． 20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；*(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标. 解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1．消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2＝－12(舍去)，则a 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝y 1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2， 则k 1k 2＝4y 212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y 212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)，若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233，若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ·k 2＝4y 13(x 1＋2)·y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上， 所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明．21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程；②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值． 解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x (x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42， 又f (2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－42(x －2)，即42x ＋y －10＝0． ②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b， 则f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b；(Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧4b －1，－13＜b ＜0，9b －92－6b，b ≤－13．(2) f (x )≥1即1x －a ＋1x －b≥1．……………………(*)①当x ＜b 时，x －a ＜0，x －b ＜0，此时解集为空集．②当a ＞x ＞b 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≤(x －a )(x －b )， 展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0， 设g (x )＝x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )，因为△＝(a －b )2＋4＞0，所以g (x )有两不同的零点，设为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 又g (a )＝b －a ＜0，g (b )＝a －b ＞0，且b ＜a ， 因此b ＜x 1＜a ＜x 2，所以当a ＞x ＞b 时，不等式x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≥0的解为b ＜x ≤x 1． ③当x ＞a 时，不等式(*)可化为 (x －a )＋(x －b )≥(x －a )(x －b )， 展开并整理得，x 2－(a ＋b ＋2)x ＋(ab ＋a ＋b )≤0， 由②知，此时不等式的解为a ＜x ≤x 2综上所述，f (x )≥1的解构成的区间为(b ，x 1]∪(a ，x 2]， 其长度为(x 1－b )＋(x 2－a )＝x 1＋x 2－a －b ＝a ＋b ＋2－a －b ＝2． 故不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a 、b 与两根的大小． 22．已知函数f (x )＝ln x (x ＞0)．(1)求函数g (x )＝f (x )－x ＋1的极值；*(2)求函数h (x )＝f (x )＋|x －a |(a 为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g′(x )＝1x －1＝1－x x ，当0＜x ＜1时，g′(x )＞0；当x ＞1时，g′(x )＜0， 可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增； ②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－x x． 当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减．综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )．(3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x ≥1时，x 2－1≥0；ln x ≥0，则(x 2－1)ln x ≥0．因此当x ＞0时，(x 2－1)ln x ≥0恒成立．又当k ≤0时，k (x －1)2≤0，故当k ≤0时，(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2恒成立．下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，(x 2－1)ln x －k (x －1)2＝(x 2－1)[ln x －k (x －1)x ＋1]． 设h (x )＝ln x －k (x －1)x ＋1( x ＞0且x ≠1)，h ′(x )＝1x －2k (x ＋1)2＝x 2＋2(1－k )x ＋1x (x ＋1)2． 记△＝4(1－k )2－4＝4(k 2－2k )．①当△≤0，即0＜k ≤2时，h ′(x )≥0恒成立，故h (x )在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h (x )＜h (1)＝0，又x 2－1＜0，故(x 2－1) h (x )＞0，即(x 2－1)ln x ＞k (x －1)2．当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0，又x 2－1＞0，故(x 2－1) h (x )＞0，即(x 2－1)ln x ＞k (x －1)2．又当x ＝1时，(x 2－1)ln x ＝k (x －1)2．因此当0＜k ≤2时，(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立．②当△＞0，即k ＞2时，设x 2＋2(1－k )x ＋1＝0的两个不等实根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)．函数φ(x )＝x 2＋2(1－k )x ＋1图像的对称轴为x ＝k －1＞1，又φ(1)＝4－2k ＜0，于是x 1＜1＜k －1＜x 2．故当x ∈(1，k －1)时，φ(x )＜0，即h ′(x )＜0，从而h (x )在(1，k －1)在单调递减；而当x ∈(1，k －1)时，h (x )＜h (1)＝0，此时x 2－1＞0，于是(x 2－1) h (x )＜0，即(x 2－1)ln x ＜k (x －1)2，因此当k ＞2时，(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 不恒成立．综上，当(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立时，k ≤2，即k 的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h (x )；②当k ＞2时，区间(1，k －1)是如何找到的．23．已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )．(1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围； *(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f ′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f ′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f ′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ． 当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． 设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12． 当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0． 于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减， 所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． (3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小． 首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)． 由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0．则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证． 同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1． 因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率． 【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F ′(x 2)，难度稍大．24．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2，n ∈N *)具有性质P ：∀i ，j (1≤i ≤j ≤n )， a i ＋a j 与a j －a i 两数中至少有一个属于A ．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P ，并说明理由；(2)证明：a 1＝0；*(3)证明：当n ＝5时，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P ．(2)因为A ＝{a 1，a 2，…，a n }具有性质P ，所以a n ＋a n 与a n －a n 中至少有一个属于A ，又a n ＋a n ＞a n ，所以a n ＋a n ∈∕A ，所以a n －a n ∈A ，即0∈A ，又a 1≥0，a 2＞0，所以a 1＝0；(3)当 n ＝5时，取j ＝5，当i ≥2时，a i ＋a 5＞a 5，由A 具有性质P ，a 5－a i ∈A ，又i ＝1时，a 5－a 1∈A ，所以a 5－a i ∈A ，i ＝1，2，3，4，5．因为0＝a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，所以a 5－a 1＞a 5－a 2＞a 5－a 3＞a 5－a 4＞a 5－a 5＝0，则a 5－a 1＝a 5，a 5－a 2＝a 4,a 5－a 3＝a 3，从而可得a 2＋a 4＝a 5，a 5＝2a 3，故a 2＋a 4＝2a 3，即0＜a 4－a 3＝a 3－a 2＜a 3，又因为a 3＋a 4＞a 2＋a 4＝a 5，所以a 3＋a 4∈∕A ，则a 4－a 3∈A ，则有a 4－a 3＝a 2＝a 2－a 1．又因为a 5－a 4＝a 2＝a 2－a 1，所以a 5－a 4＝a 4－a 3＝a 3－a 2＝a 2－a 1＝a 2，即a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是首项为0，公差为a 2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M ⊂≠N *，正项数列{a n }的前项积为T n ，且∀k ∈M ，当n ＞k 时，T n ＋k T n －k ＝T n T k 都成立． (1)若M ＝{1}，a 1＝3，a 2＝33，求数列{a n }的前n 项和；(2)若M ＝{3，4}，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ≥2时，因为M ＝{1}，所以T n ＋1T n －1＝T n T 1，可得a n ＋1＝a n a 12，故a n ＋1a n＝a 12＝3(n ≥2)． 又a 1＝3，a 2＝33，则{a n }是公比为3的等比数列，故{a n }的前n 项和为3(1－3n )1－3＝32·3n －32． (2)当n ＞k 时，因为T n ＋k T n －k ＝T n T k ，所以T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n ＋1T k ， 所以T n ＋k T n －k T n ＋1＋k T n ＋1－k ＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1， 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12；取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12．由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34； 由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 3； 所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝q q 2＝q 14， 由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12， 所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42，所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝22． 又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列． 故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1·2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法． *26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n 2， ①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3，此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12， 此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2， 则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2， 所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方．（3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n ＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12， 因为q 为正有理数，所以设q ＝r s(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)． 因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数． 若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12s n －1为正整数相矛盾． 于是s ＝1，即q 为正整数． 注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12 (1＋q ＋q 2)，于是t 32 t 12＝1＋q ＋q 2． 因为1＋q ＋q 2∈N *，所以t 32t 12∈N *． 又t 3t 1为有理数，从而t 3t 1必为整数，即1＋q ＋q 2为一整数的平方． 但q 2＜1＋q ＋q 2＜(q ＋1) 2，即1＋q ＋q 2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n }．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n 的值；(2)求1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n的值． 解 (1)令x ＝0得，a 0＝1；令x ＝1得，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n ＝22n ．于是a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n ＝22n －1．(2)a k ＝C k 2n ，k ＝1，2，3，…，2n ，首先考虑1 C k 2n ＋1＋1 C k ＋12n ＋1＝k !(2n +1－k )!(2n ＋1)!＋(k ＋1)!(2n －k )!(2n ＋1)!＝k !(2n －k )!(2n ＋1－k ＋k ＋1)(2n ＋1)! ＝k !(2n －k )!(2n ＋2)(2n ＋1)!＝2n ＋2(2n ＋1) C k 2n， 则1 C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1 C k ＋12n ＋1)，因此1C k2n－1C k＋12n＝2n＋12n＋2(1C k2n＋1－1C k＋22n＋1)．故1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n＝2n＋12n＋2(1C12n＋1－1C32n＋1＋1C32n＋1－1C52n＋1＋…＋1C2n－12n＋1－1C2n＋12n＋1)＝2n＋12n＋2(1C12n＋1－1C2n＋12n＋1)＝2n＋12n＋2(12n＋1－1)＝－nn＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。
2014金陵中学四模卷(附加答案)
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的．．．．．．．．．．．．答题区域内作．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E．求证：AB⋅AC=AD⋅AE．证明：连结EC，易得∠B=∠E，……2分由题意，∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△AEC，……6分从而AB ADAE AC=，所以AB⋅AC=AD⋅AE．……10分B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．AB CDE(第21—A题)解：依题意，NM 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦， …… 4分 由逆矩阵公式得， (NM )1-114⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， …… 8分所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5a =，b =． …… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分） 在极坐标系中，设直线l 过点)Aπ6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=> 有且只有一个公共点，求实数a 的值． 解：依题意，)Aπ，，()3 B 0，的直角坐标为(32A ，，()3 B 0，， 从而直线l的普通方程为30x -=， …… 4分 曲线C ：cos (0)a a ρθ=>的普通方程为()22224aa x y -+=(0)a >， …… 8分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以3222a a -=(0)a >，解得2a =(负值已舍)． …… 10分D ．选修4—4：不等式证明选讲 （本小题满分10分）已知a ，b ＞0，且a +b =1证明：因为2≤(2a +1+2b +1)(12+12)=8， …… 8分…… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，ξ为这两条 棱所成的角．（1）求概率()P ξπ=2；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有28C 种不同方法，其中“ξπ=2”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法; ②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以()2842314C P ξπ+===2； …… 4分（2）依题意，ξ的所有可能取值为0，π3，π2，“ξ=0”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法； 所以()282114C P ξ=0==； …… 6分从而()()()51P P P ξξξππ==-=0-==， …… 8分所以ξ的分布列为：数学期望E (ξ)153290π1471484ππ=⨯+⨯+⨯=32． …… 10分23．（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满 足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=； …… 3分 （2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， …… 5分 B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， …… 7分 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． …… 10分。
数学卷·2014届江苏省南京市建邺高级中学高三上学期期中考试(2013.11)
18．如图：在三棱锥 D − ABC 中，已知 ∆BCD 是正三角形，AB ⊥ 平面 BCD ，AB = BC ，
E 为 BC 的中点， F 在棱 AC 上，且 AF = 3FC
D
（Ⅰ）求证： AC ⊥ 平面 DEF ；
（Ⅱ）若 M 为 BD 的中点，问 AC 上是否存在一点 N ， 使 MN // 平面 DEF ？若存在，说明点 N 的位置,并证明结论；
_________米 4
14 ． 若 实 数 a, b, c 满 足 2a + 2b = 2a+b , 2a + 2b + 2c = 2a+b+c , 则 c 的 最 大 值 是 ________
2 − log2 3
第Ⅱ卷（解答题 共 90 分）
( ) r
r
rr
15．已知 a = (1, 2 cos x) , b = sin (π − 2x), 3 cos x , x ∈ R ,且 f ( x) = agb .
5．已知
f
(x)
=
3e x−1 , x < 3 log3 (x 2 − 6),
ห้องสมุดไป่ตู้
x
≥
则
3,
f
(
f
(3))
的值为
6．等差数列 x, 6, y,12 ，则 xy 的值为
开始 k = 1, s = 1
k = k +1
k < 5? 是 否
输出 s
s = 2s − k
3
结束
7 ． 已 知 直 线 l 和 平 面 α 内 两 条 直 线 m, n ， 则 “ l ⊥ m, l ⊥ n ” 是 “ l ⊥ 平 面 α ” 的
江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试2014.5含答案
（第3题）江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试数学Ⅰ 2014.5参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.（2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ .3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ .（用列举法表示）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .8. 设P是函数)1y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲.DD 1C1 B 1A 1（第9题）(第13题) 10．观察下列等式： 311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=， ……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若127cos F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD .（第18题）17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=． （1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 6，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x（第23题）（第3题） （第9题）轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0） 求证：直线AB 过定点．数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ .答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）.答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为▲ . 答案：298. 设P 是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ .(第13题)答案：()1124，10．观察下列等式： 311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=， ……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C的值.A （第16题）B C D D 1 C 1B 1A 1M 解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b=．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =．……………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．整理得a c =，即1a c =. …………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………10分 故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， …………………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠，所以tan 1tan 2A C =-．…………………………………………………………14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ，因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．…………………3分又1AM A M M =，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．………………………9分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．……………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗， B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（第18题）（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；…………………2分 B 组活动所需时间12001002()g x ⨯==．…………………4分 令()()f x g x =，即60100=，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x F x x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，≥， ……………………………………6分 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．……8分 （2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………10分 B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， ……………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． …………………………14分18．知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)x y -+-（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=45=．…………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．……………………6分 （2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=………………………14分 由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1，(1++…………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π0⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ……………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………8分 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0sin 00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． …………10分 ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+．因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π0⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()18212aq a ==，所以()412212n n n a a q--==． ……………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . ……………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且4t α=．……………12分 于是(32)113211k k k a a a α----==，2(31)122315111k k k k k a a a t a a ααα------====，13132339111k k k k k a a a t a a ααα----====，所以11n n a a -=，故{n a }为等比数列．………………………16分数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠=．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠．而60ABD ∠=，故30C BDC ∠==∠． 所以DB BC ==在△OBD中，32DE ==．…………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，……………5分 代入直线y kx =，得x ky ''=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．…………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()cos 1ρθπ+=4化成普通方程为0x y -=． ……………………6分2a =．解得4a =+…………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333≥27= 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． …………………………10分 22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（第23题） （2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（1）解：由题意，得2324 35a a ==，． …………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．………………4分 ②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………6分 则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴； （3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得1p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =． （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24yx =（0y >），得y =y'=．所以切线AC 的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x =+． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M N x x =，即MN ⊥x 轴． …………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．………………………………………10分。
江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试(含答案)
-4南京清江花苑严老师
数学Ⅱ（附加题）
21． 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4—1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分） 如图， AB 是半圆 O 的直径， 延长 AB 到 C， 使 BC 3 ， CD 切半圆 O 于点 D， DE⊥AB， 垂足为 E．若 AE∶EB 3∶1，求 DE 的长． D
（第 23 题）
-7南京清江花苑严老师
参考答案及评分
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题 5 分，共 70 分． 1． 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y 2 x2 1 的离心率为 答案： 2 2． 若复数 z 满足 1 2i z 3 4i （ i 是虚数单位） ，则 z = ▲ . a1 b2 c3 ca ab bc Print a，b
y log
2 2
x，yx ，y
1 2
的图象上，且矩形
2 2
x
1 O D 1
（第 9 题）
的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2，则 点 D 的坐标为 ▲ . 答案： 1 ，1 2 4 10．观察下列等式：
C
x
13 1 ，
13 23 9 ， 13 23 33 3， 6 3 3 3 3 1 2 3 4 1， 00 …… 猜想： 13 23 33 n3
12．若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x 0，π 都成立，则 a2 a1 的最小值为 2 答案： 1 2 π 13．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别为椭圆
江苏省南京市金陵中学河西分校高三上学期期中考试数学(理)试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．命题“R，”的否定是▲ ．2．若集合A=，B=满足A∪B=R，A∩B=，则实数m= ▲ ．3．若是纯虚数，则实数a的值是▲ ．4．已知，，则= ▲ ．5．若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则k= ▲ ．6．若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为▲ ．7．曲线C：在x=0处的切线方程为▲ ．8. 计算：▲9. 函数的值域为▲10．将函数的图像向左平移个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则的最小值为▲ .11．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O、F、A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为▲ .12．已知函数的定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是▲.13．数列{a n}中,a1=1,a2=2,且，则S100= ▲ .14．设集合A={x|x2—[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x的最大整数,则= ▲二、解答题：(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤)15.（本小题满分14分）已知：在中，.(1)求的值；（2）如果的面积为4，，求的长。
16. （本小题满分14分）如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；17.（本小题满分14分）工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入（元）与当天生产的件数之间有以下关系：()23183,010********,10x x P x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ ，设当天利润为元. ⑴写出关于的函数关系式；⑵要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）18．（本小题满分16分）已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。
数学丨江苏省南京一中、金陵中学、南通海安中学2025届高三上学期11月期中考联考数学试卷及答案
2025届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数则实数m=()A．B．C．D.2．已知集合A={0,1,2,3,6},B={x x-1∈A}，则ðA(A∩B)=()A．{0,6}B．{3,6}C．{-1,5}D．{0,1,2}3．在V ABC中，tan A=2，tan B=3，则C=()A．30°B．45°C．60°D．135°4．函数f(x)=x(x-3)2的极大值为()A．-4B．0C．1D．45．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60。
，则PC=()A．1B.·2C.·3D．26．曲线y=2sin x与y=sin的交点中，与y轴最近的点的横坐标为()A．-B．-C．D.7．在口ABCD中，，x∈R.若AP∥MN，则x=1234 A．B．C．D.77778．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，P是线段CC1上靠近C的三等分点，过点C与直线PA垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为()35A．B．2C．D．3 22二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．在空间中，设a,b,c是三条直线，α,β,Y是三个平面，则下列能推出a//b的是() A．a丄c，b丄cB．a//α,a∈β,α∩β=bC.α丄Y，β丄Y，α∩Y=a，β∩Y=bD.α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，a//c10．已知函数f(x)=cos x cos2x，则()A．f(x)的最大值为1B．是曲线y=f(x)的对称中心C．f(x)在(|(0,),I上单调递减D．f(x)的最小正周期为2π11．设f(x)为R上的增函数，满足：f(1+x)+f(1-x)=2，f(2+x)+f(2-x)=4，则() A．f(3)=3B．f(x)为奇函数C．3x0∈R，f(x0)=x0+1D．丫x∈R，f(e x+1)-f(x)≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数f(x)=sin(w x+φ)(w>0,0<φ<π)的一个单调减区间为「|L-,，则w=，φ=.13．在平面直角坐标系xOy中，曲线y=ln x上的两点A，B满足OA丄OB，线段AB的中点M在x轴上，则点M的横坐标为.14．已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且AB=OC=1，则-A-B-→.-A-的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步15．已知a，b，c分别为V ABC的内角A，B，C的对边，且a cos C+a sin C=b+c.(1)求A；(2)若V ABC的面积为·,周长为6，试判断V ABC的形状.16．设抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.(1)△PFH能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：上PFQ=90。
江苏省南京金陵中学届高三第一学期期中考试数学试卷+Word版含解析
2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题1．设集合A ＝{x |log 2x <2 }，B ＝{﹣1，0，1，2，4}，则A ∩B ＝_____________． 2．已知复数z =(1+i )(1+3i )，其中i 是虚数单位，则|z |的值是_____________． 3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．5．如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是_____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 24+y 23=1的右焦点重合，则实数p 的值为_____________．7．已知sin(x +π4)=35，则sin2x ＝_____________．8．设a ＞0，若a n ＝63377n a n n a n ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P 处的切线与直线2x −7y +3=0垂直，则2a ＋3b 的值是_______．10．若函数f(x)=−12x 2+4x −3lnx 在[t,t +1]上不单调，则t 的取值范围是____． 11．如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====u u u v u u u v u u u vu u u v ．若12BD AC ⋅=-u u u v u u u v ，则CE AB ⋅=u u u v u u u v__________．12．已知函数f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0，则关于x 的方程f[f(x)]=3的解的个数为_____________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________． 14．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)s +x =0，其中e 为自然对数的底数，则实数s 的取值范围是_____________．二、解答题15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．16．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−√26．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求tan2β的值； （2）求α的值．17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE ，H 是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝10√3米，记∠BHE ＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L ．18．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与坐标轴分别交于A 1，A 2，B 1，B 2(如图)． （1）点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，直线A 1Q ，A 2Q 与直线y +3=0交于不同的两点M ，N ，求线段MN 长的最小值；（2）点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ．设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m ﹣k 为定值．（图1）（图2）19．设函数f(x)=e xx 3−3k x−klnx ，其中x ＞0，k 为常数，e 为自然对数的底数．（1）当k ≤0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k 的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k ，存在x 0(x 0>0)，使得f(x)在区间(x 0，+∞)上单调递增． 20．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列{a n }是“R(k )数列”．（1）已知a n ={2n −1，n 为奇数2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．21．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)． （1）求矩阵M 的逆矩阵M −1；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x −y =4，求l 的方程．22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=2的距离为d ，求d 的最大值． 23．如图，已知三棱锥O —ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）求二面角A —BE —C 的余弦值．24．已知f n (x)=(1+√x)n ，n ∈N ∗．（1）若g(x)=f 4(x)+2f 5(x)+3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数；（2）若p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2⋯a n +1)≥(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )．2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝{x|log2x<2}={x|0＜x<4}，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A∩B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2．2√5【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|=√(−2)2+42=2√5．故答案为：2√5．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数x=15(2+4+5+6+8)=5，这组数据的方差S2=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4．310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，∴2名都是女同学的概率为310．故答案为：310．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5．10【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足a＞b，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值．【详解】∵x 24+y23=1中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），∴p2=1，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7．﹣725【解析】【分析】利用sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1即可得到结果.【详解】∵sin(x+π4)=35，∴sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得87301aaa a⎧⎪⎨⎪⎩－＞，＞，＞，解得1?392aa a⎧⎨⎩＜＜，＜－或＞，∴2＜a＜3 9．﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，解方程可得答案．【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=27，∴切线的斜率为﹣72，曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣bx2，∴{4a+b2=−54a−b4=−72，解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a＋3b =﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，是解答的关键．10．0<t<1或2<t<3【解析】此题考查导数的应用；f′(x)=−x+4−3x=−x2−4x+3x=−(x−1)(x−3)x，所以当x∈(0,1),(3,+∞)时，原函数递增，当x∈(1,3)原函数递减；因为在[t,t+1]上不单调，所以在[t,t+1]上即有减又有增，所以{0<t<11<t+1<3或{1<t<33<t+1∴0<t<1或2<t<311点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。
江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试
（第3题）江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试数学Ⅰ 2014.5参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.（2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ .（用列举法表示） 6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .(第13题)8. 设P是函数)1y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式： 311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭 圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .（第9题）A（第16题）BCDD 1C 1B 1A 1二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证： （1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（第18题）（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．（第23题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0） 求证：直线AB 过定点．数学Ⅰ参考答案及评分建议（第3题）一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ .2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）. 答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =，1y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式：（第9题）(第13题)311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ . 答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ . 答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知D 1C 1B 1A 1识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b =．从而2s ACB =可化为2cos a C b =． …………………………………………3分由余弦定理，得2222a b c a b +-⨯=．整理得a c =，即1a c=. …………………………………………………………………7分 （2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………………………10分故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， ………………………………………………12分因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠， 所以t a taA C =-．………………………………………………………………………14分 16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．………………………………………………………3分又1AMA M M =，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ．而1AA ⊂平面1A AM ， 所以1AA ⊥.…………………………………………………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．……………………………………………………………9分又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =，……………………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ， 所以11//BB DD ．………………………………………………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时1小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A组活动所需时间2150605()f x ⨯==；……………………………………………2分 B组活动所需时间12001002()5252g x x x ⨯==--．……………………………………………4分 令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x F x x x x⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ………………………………………………………6分而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………………………………10分B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， …………………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． ……………………………………………14分（第18题）18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=的距离为45=．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =， 化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-．整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以定点的坐标为(1，(1．………………………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y ->，即0PQ k >． ………………………………6分（2）当a ≤时，()s i n f x x x a x x=+≥≥恒成立．………………………………………8分当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ……………………………10分②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…………14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()18212aq a ==， 所以()412212n n n a a q--==． ………………………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . …………………………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且43t α=． ……………………………12分于是(32)113211k k k aa a α----==，2(31)1223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====， 所以11n n a a -=，故{na }为等比数列．……………………………………………16分数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1． 又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠=．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠．而60ABD ∠=，故30C BDC ∠==∠．所以DB BC ==在△OBD 中，32DE ==．……………………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ， 求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，…………………………5分代入直线y kx =，得x ky ''=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．……………………………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()co s 1ρθπ+=4化成普通方程为0x y -． ……………………………………6分2a =．解得4a =+ 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥． 证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333≥27= 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ……………………………………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．……………………………（第23题）4分②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．…………………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．……………………………………………………3分 （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得y =y'=．所以切线AC 的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，． 同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．……………………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x =+，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M Nx x =，即MN⊥x轴． …………………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+． 故直线AB 过定点(-，．………………………………………………………………10分。
江苏省金陵中学2014届高三数学第一次仿真测试新人教A版
（第3题）江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试 数学Ⅰ参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.（2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则UA = ▲ .（用列举法表示）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .8. 设P是函数)1y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲ . 10．观察下列等式：CDD 1C 1B 1A 1（第9题）(第13题) 311=， 33129+=，33312336++=，33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥；（第18题）（2）11//BB DD .17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 高 考 资 源 网18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（第23题）（第3题）（第9题）23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0） 求证：直线AB 过定点．数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分．1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ .2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则UA = ▲ （用列举法表示）.答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P 是函数1)y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣， 9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形(第13题)的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式： 311=， 33129+=，33312336++=，33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21π-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .答案： {}58 37， 二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c的值；A（第16题）BCDD 1 C 1B 1A 1M（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b=．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =．……………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=． 整理得a c =，即1a c =. …………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………10分 故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， …………………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠，所以tan 1tan 2A C =-．…………………………………………………………14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．…………………3分 又1AMA M M =，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ．而1AA ⊂平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．………………………9分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．……………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，（第18题）B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；…………………2分 B 组活动所需时间12001002()5252g x x x ⨯==--．…………………4分 令()()f x g x =，即6010052x x =-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ……………………………………6分 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．……8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………10分 B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， ……………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． …………………………14分18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)x y -+-（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=45=．…………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．……………………6分 （2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，．化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=………………………14分由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1--，(1+…………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ……………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………8分 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0sin00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． …………10分 ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+．因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………12分 （i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a ==，所以()412212n n n a a q--==． ……………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . ……………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且43t α=． ……………12分 于是(32)113211k k k a a aα----==，2(31)1223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，所以11n n a a -=，故{n a }为等比数列．………………………16分数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠=．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠．而60ABD ∠=，故30C BDC ∠==∠． 所以DB BC = 在△OBD 中，32DE ==．…………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ， 求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，……………5分 代入直线y kx =，得x ky ''=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．…………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()cos 1ρθπ+=4化成普通方程为0x y -． ……………………6分2a =．解得4a =+分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333≥27= 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． …………………………10分 22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（第23题） （1）解：由题意，得2324 35a a ==，． …………………………………2分 （2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．………………4分 ②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………6分 则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴； （3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x = （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得y=y '=所以切线AC 的方程为11)y y x x --，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，． 同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，②且D 点坐标为2( 0)x -，．由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M N x x =，即MN ⊥x 轴． …………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+．所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．………………………………………10分。
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学试题
Strategic conce ption of China wa s 18 the spirit of the e nrichment a nd development of the party, conscie ntiously st udy the Chi nese dream, leadi ng pe ople t o hard t o realize the Chi nese dream, mass e ducation a ctivities i n depth t he fundamental starti ng point and ending poi nt. Strengthe n the e ducation of the party's mas s line , hel ps to train t he collective consci ousne ss of the unity of the party and the people, playi ng the Chine se dream i deol ogical base s. Comrade Ma o Zedong stress ed that parties s hould have "com mon lang uage" socialist countries must have "unity of will". History ha s
0.75 0.50 0.25
0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 视力 （第 4 题）
为▲． 6． 右图是一个算法的伪代码，则输出的 i 的值为 ▲ ． 7． 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 a (1，0)， b (2，1)．
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1 2
4 x k 2 x 1 2 x 2 x k x x x ，令 2 2 t ， x x x 4 2 1 2 2 1
2
则 f (t )
tk (k 1) 1 (t≥2) ． t 1 t 1
原题等价为：对于 t≥2 ， [2 f (t )]min≥ [ f (t )]max 恒成立，求实数 k 的取值范围． （1）当 k 1 时，显然成立； （2）当 k 1 时，
(2)若 f ( (2)∵ f (ຫໍສະໝຸດ π
) f( ) 6 ， 2 6 2 12
∴ 2sin 2cos ∴ 2 2 sin( ∴ sin( ∴
6，
4
) 6 …………………………………………………………11 分
3 3 ，∵ ( , ) ，∴ ( , )， 2 2 4 4 4
a1 3 a1 2d , 3 5 解： （1）由题意，得 解得 < d < ． 2 2 a1 d 5 a1 3d ,
＊
……………………2 分
又 d∈Z，∴d = 2． ∴ a n =1+(n－1) 2=2n－1． （2）∵ bn ………………………4 分
k 2k
k 1
……………………………………….9 分
,
1 1 n 2 2 k 1 , 2 2
…………………………………12 分
而kN ， 由题意可知 ck 22k 1 2k 1
于是 Tn c1 c2 cn (21 23 22n1 ) (20 21 2n1 )
1 1 1 1 1 ( ) ………………………………..6 分 an an 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 n 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn [(1 ) ( ) ( …………………7 分 ) )] (1 2 2n 1 2n 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1
2
▲ ．
4.函数 f（x）＝ 1－log3x的定义域是 ▲ ． 【答】 （0，3］ 5.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知 a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,则 a4+ a5+ a6 = ▲ .
【答】16 6．已知向量 a，b 满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a 与 b 的夹角为 60°，向量 c＝2a＋b．则向量 c 的模为 ▲ ． 【答】2 3 【解析】｜c｜2＝（2a＋b）2＝4a2＋4a· b＋b2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c｜＝2 3 x2 y2 7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 y= 3x 是双曲线a2－b2=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程， 则此双曲线的离心率为 【答】2 【解析】由题意
【答】
5
3 , 6
11.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2＋2x，若 f(2－a2)>f(a)，则实数 a 的 取值范围是 ▲ 【答】(－2,1) 12.已知函数 f(x)= |lg(x-1)| 若 a≠b,f(a)= f(b) ,则 a+2b 的取值范围是 ▲ 【答】 2 2 3 13..定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(x＋5)＝16，当 x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数 f(x)在[0， 2013]上的零点个数是_____ 【答】604 【解析】由 f (x) f (x 5) 16 ，可知 f ( x 5) f ( x) 16 ，则 f (x 5) f ( x 5) 0 ，
公路
D
公路 l2
解： （1）如图，过 E 作 EM BC ， 垂足为 M，由题意得∠MEF=α，
B
F
C
60 ， AE FC 80 60 tan ，……………….3 分 cos 60 2 所以 W (80 60 tan ) 1 cos 120 π 4 , tan 0 ) ……..……………8 分 =80+cosα-60tanα（其中 0 ≤ ≤ 0 2 3 sin 1 120 （2）W 80 60 cos cos sin 2 ． 80 60 cos
故有 MF 60 tan ， EF
sin 2 ， cos cos cos ( sin )(sin 2) 1 2sin 则 f ( ) ． cos 2 cos 2
金陵中学 2013－2014 学年度第一学期高三期中试卷 数学（必做题）
一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把正确答案填写在答题卡相应的位 置上． 1 1． 设集合 A＝｛x｜－2＜x＜2｝ ，B＝｛x｜x2≤1｝ ，则 A∪B＝ ▲ ． 【答】 ｛x｜－1≤x＜2｝ 2.复数 i2（1－2i）的实部是 ▲ ． 【答】 （－1） 3.命题“ x∈R，x2+ax+1<0” 的否定是 【答】 x R, x ax 1 0
b c b 3 ，∴ e ( )2 1 2 ． a a a
▲
．
8.已知直线 l⊥平面 α，直线 m平面 β，则下列四个命题： ①若 α∥β,则 l⊥m； ③若 l∥m,则 α⊥β； ②若 α⊥β,则 l∥m； ④若 l⊥m,则 α∥β. ．
其中正确命题的序号是 ▲ 【答】 ①③
∵ S1
1 2 m ， S 2 ， Sm ， S 2 为 S 1 ， S m ( m N )的等比中项， 3 5 2m 1
2
1 m 2 2 Sm S1 ，即 ∴ S2 ， 3 2m 1 5
解得 m =12． (3)对任意正整数 k， 2 2n 1 2 ，则 2
AD BD D ，
ED 面ABCD ， ED 面AFED 面AFED 面ABCD .
-----------------12 分
----------------14 分
4
17． （本题满分 14 分） 已知等差数列{an}中，首项 a1＝1，公差 d 为整数，且满足 a1+3<a3, a2+5> a4，数列{bn}满 1 足 bn = a a ，其前 n 项和为 Sn． n n+1 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 S2 为 S1，Sm (m∈N )的等比中项,求正整数 m 的值． (3)对任意正整数 k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为 ck,求数列{cn}的前 n 项 和 Tn
2 22 n 1 1 2n 22 n 1 2 22 n 1 3 2n 1 n ( 2 1 ) ， 1 22 1 2 3 3 2 2 n 1 3 2 n 1 . 3
………………14 分
即 Tn
5
18.（本小题满分 16 分） 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设 线路 l1，在路南侧沿直线铺设线路 l2，现要在矩形区域 ABCD 内沿直线将 l1 与 l2 接通．已知 AB = 60m，BC = 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米 1 万元，穿过公路的 EF 部分铺设水 π 管的费用为每米 2 万元，设∠EFB=2-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为 W． A E l1 （1）求 W 关于 α 的函数关系式； （2）求 W 的最小值及相应的角 α．
k 2 k 2 1 ≤f (t ) 1 ，由 2( )≥1 ，得 ≤k 1 ； 3 3 2 k 2 k 2 ，由 2 1 ，得 1 k≤4 ． ≥ 3 3
1 2
（3）当 k 1 时， 1 f (t )≤
综上，实数 k 的取值范围为 [ , 4] ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题纸指定区域内 作答，解答时应写出文字 ．．．．．．．． 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知向量 a=(2cosx , 2sinx) ，b=( 3cosx , cosx),设函数 f(x)=a•b- 3, 求： (1) f(x)的最小正周期和单调递增区间；
4
)
或
4
3
2 7 11 ，∴ 或 ---------------14 分 3 12 12
3
16．(本题满分 14 分)
如图,四边形 ABCD 为平行四边形，四边形 ADEF 是正方形，且 BD⊥平面 CDE， H 是 BE 的中点,G 是 AE,DF 的交点. （1）求证:GH∥平面 CDE； （2）求证:面 ADEF⊥面 ABCD.
1
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 在直线 x＋y = 5 下方的概率为 1 【答】 6． 【解析】点 P 在直线 x＋y = 5 下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能， 6 1 故其概率为6×6 = 6． π 10.已知 f(x)=3sin(2x－6)，若存在 α∈(0,π )，使 f(α+x)= f(α-x)对一切实数 x 恒成立，则 α= ▲ ． ▲ ．
2 x 所以 f ( x ) 是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期 ( 1, 9] 上，函数 f ( x) x 2 在
．
．
▲ ．
x (1, 4] 区间内有 3 个零点，在 x (4,9] 区间内无零点，故 f ( x) 在一个周期上仅有 3 个
零点， 由于区间 (3, 2013] 中包含 201 个周期， 又 x [0,3] 时也存在一个零点 x 2 ， 故 f ( x) 在 [0, 2013] 上的零点个数为 3 201 1 604 . 4x+k•2x+1 14.已知函数 f(x)= 4x+2x+1 ，若对任意的实数 x1,x2,x3,不等式 f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立，则实数 k 的取值范围是 【答】 [ , 4] ． 【解析】 f ( x) ▲ ．