第三章 立体的投影
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第三章立体的投影
一、平面截切的基本形式
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
机械制图教案——第3章 立体的投影
第3章立体的投影一、本章重点：1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影。
2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线。
3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
4.立体的尺寸标注。
二、本章难点：1.圆球和圆环的投影及表面上点的投影。
2.圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法。
3.求作相贯线。
三、本章要求：通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线，掌握立体的尺寸标注的方法。
四、本章内容：§3-1 平面立体的投影一、棱柱棱柱体由若干个棱面及顶面和底面组成，它的棱线相互平行。
顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。
1．棱柱的三视图2．棱柱表面上的点二、棱锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。
从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。
当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、六棱锥。
1. 棱锥的三视图2．棱锥表面上的点§3-2曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
一、圆柱1．圆柱面的形成圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。
OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时称为素线。
这种由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转面，由回转面构成的立体称为回转体。
2．圆柱的三视图3．圆柱表面上的点二、圆锥1．圆锥面的形成圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成。
2．圆锥的三视图3．圆锥表面上的点三、圆球1．圆球面的形成圆球面可看作一圆（母线），围绕它的直径回转而成。
2．圆球的三视图3．圆球表面上的点四、圆环1．圆环的形成圆环面可看作由一圆母线，绕一与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。
图中的回转轴是铅垂线。
第三章 立体的投影(2-2)----曲面立体--圆锥和球--最好用的工程制图课件
2012-8-18
O1
b
工业制图课件
(2) 一般位置点
辅助素线法
已知圆锥表面上点的投影1，求其它两面投影。 s s
● ●
如何在圆锥面上作直线？
过锥顶作一条素线。
1
S
m
1
●
s
m
M
1
2012-8-18 工业制图课件
(2) 圆锥表面上取点
辅助圆法
2012-8-18
工业制图课件
2012-8-18
M
S
s
k m
K
2012-8-18
工业制图课件
3、圆球的投影及其表面上的点
2012-8-18
工业制图课件
例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。
1' 3‘(4’) 2'
• • •
•
1" • 3"
•
2"
• •1 •3 •
2
2012-8-18
分析：圆锥台的切口 由三个平面切割而成， 分析各截交线的空间 形状和投影特性。
工业制图课件
三、 圆球的投影特点
2012-8-18
工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法
k
圆的半径？
1
1
k
1
1
2012-8-18
工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法 圆的半径？
m
(2 )
(2)
(2)
2
(m)
2012-8-18
工业制图课件
取点的方法
1）轮廓线上取点 这一方法实质是线上取点定理的直接应用。
O1
b
工业制图课件
(2) 一般位置点
辅助素线法
已知圆锥表面上点的投影1，求其它两面投影。 s s
● ●
如何在圆锥面上作直线？
过锥顶作一条素线。
1
S
m
1
●
s
m
M
1
2012-8-18 工业制图课件
(2) 圆锥表面上取点
辅助圆法
2012-8-18
工业制图课件
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M
S
s
k m
K
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工业制图课件
3、圆球的投影及其表面上的点
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工业制图课件
例2：求作切口圆锥台的左、俯视图。
1' 3‘(4’) 2'
• • •
•
1" • 3"
•
2"
• •1 •3 •
2
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分析：圆锥台的切口 由三个平面切割而成， 分析各截交线的空间 形状和投影特性。
工业制图课件
三、 圆球的投影特点
2012-8-18
工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法
k
圆的半径？
1
1
k
1
1
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工业制图课件
圆球表面取点
★辅助圆法 圆的半径？
m
(2 )
(2)
(2)
2
(m)
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工业制图课件
取点的方法
1）轮廓线上取点 这一方法实质是线上取点定理的直接应用。
第3章立体的投影
第3章立体的投影电子教案：3.1 基本立体的投影基本立体可分为平面立体和曲面立体。
表面均为平面的基本立体称为平面立体。
常见的有棱柱、棱锥，如图3-1所示。
表面由曲面和平面或完全由曲面组成的基本立体称为曲面立体。
最常见的曲面立体是回转体，包括圆柱、圆锥、球、圆环等，如图3-2所示。
将基本体放在三投影面体系中进行投射时，为了画图、读图的方便，通常将其“放平，摆正”。
放平——就是让基本体的底面处于平行面位置。
摆正——是在放平的基础上，让其余各面尽可能处于平行面或垂直面位置。
在以后画组合体视图或零件图时也要遵循这个原则。
图3-1 平面立体图3-2曲面立体3.1.1 平面立体的投影及其表面取点在投影图上表示平面立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判别其可见性，把看得见的棱线投影画成实线，看不见的棱线投影画成虚线。
1．棱柱(1) 棱柱的投影常见的棱柱有正四棱柱和正六棱柱，图3-3（a）所示一正六棱柱，由六个相同的矩形棱面和上下底面（正六边形）所围成。
将其放平摆正后，上、下底面为水平面，其水平投影反映实形，另外两面投影积聚为直线。
正六棱柱的六个棱面中，前后两个面是正平面，正面投影反映实形；其余四个棱面均为铅垂面。
如图3-3（b）所示，作图过程如图3-4所示。
（a）（b）图3-3正六棱柱的投影及表面取点图3-4 正六棱柱的画图方法和步骤棱柱的投影特性是：在与棱线垂直的投影面上的投影为一多边形，它反映棱柱上、下底面的实形；另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它反映棱面的实形或类似形。
(2) 在棱柱表面上取点在棱柱表面上取点，其原理和方法与在平面内取点相同。
该例中正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在其表面上取点均可利用平面投影积聚性的原理作图，并判别其可见性，如图3-3（b）所示。
2．棱锥(1) 投影分析和画法常见的棱锥有正三棱锥和正四棱锥，图3-5（a）所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为等边△ABC，是水平面。
工程制图课件——第3章 立体的投影
1′ 3′ a
⑵ 圆柱体的三视图
2′ 4′
⑶ 轮圆廓柱线面素的线俯的视投图影积分聚析成与一曲
⑷个 两 示圆个。圆面，方柱的在 向面可另 的上见两 轮取性个 廓点的视素判图线断上的分投别影以表
1(2)
a3(4)
O A
O1 A1 1″ 3″ a
2″ 4″
利用投影 的积聚性
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
• 平面与立体表面的交线，称为截交线； 当平面切割立体时，由截交线围成的平 面图形，称为断面。 • 用平面与立体相交，截去体的一部分—截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。
五棱柱被切割后的三面投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4● ●1 ● 2 ● 3
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
●
3
三视图
（2）正面与侧面投影 是以轴线为对称线的、 大 小完全相同的矩形。
投影特性
圆
圆 锥
底 成下 看面 是底 成圆围 由圆面 是锥成 一柱围 由是。 直由成 一由圆 母圆。 直圆锥 线柱圆 母锥面面柱 线A面可和A面BB绕和看上可绕、
⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
⑶ 棱在柱图示面位上置取时点，六棱柱
的点两的底可面见为性水规平定面：，在俯视 图中反若映由点实于所形棱在。柱的前的平后表面两面的侧都投棱 面影是是可正平见平面，面，点，所的其以投余在影四棱也个柱可侧的见棱； 面若是表平铅面面垂上的面取投，点影它与积们在聚的平成水面直平上线投， 影点都取的积点投聚的影成方也直法可线相见，同。与。六边形 的边重合。
3立体的投影
相交 形式
轴 测 图
两外表面相交
外表面与内表面相交
两内表面表交
投 影 图
Wang chenggang
47/86
两圆柱相对大小的变化对相贯线的影响
两圆柱直 径的关系
相贯线 特点
水平圆柱直径较大 上、下两条空间曲线
轴 测 图
两圆柱直径相等 两个相互垂直的椭圆
水平圆柱直径较小 左、右两条空间曲线
投 影 图
c''
b''
b
sa
c
纬圆法定点 Wang chenggang
33/86
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求圆锥截交线s'
一般点1
c'
d'
特殊点 a'
b'
斜截圆锥
s''
a'' 描深图线
c'' d''
b''
b
sa
dc
纬圆法定点
Wang chenggang
完
34/86
返回
[例] 补全立体的三面投影
辅助平面
Ⅰ Ⅴ
Ⅲ
Ⅳ
辅助平面
Ⅱ
平面与圆锥体相交举例
(（1234)完作) 圆 特 一锥 殊 般左 点视AB(（图用用辅素助线平法面）法）
13/86
Wang chenggang
圆锥是由圆锥面和 围成。圆锥面可看 由一直母线 A B 绕
相交的轴线 Oo旋 成。
(三):球
球是由球面围成的。 可看成是由半圆母
绕其直径(轴线OO） 而的。
Wang chenggang
无线
第三章-立体投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充一般点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
特殊点
一、平面与圆柱相交
1.平面与圆柱相交所得截交线形状 2.例题
1. 平面与圆柱相交所得截交线形状
两平行直线
圆
椭圆
2. 例题
[例题1] 求圆柱截交线
1'
2'(3')
1" 3"
S
s"
d" a"
C (b") c"
b
c
Y
3. 圆锥面的（转向）轮廓线和可见性
4. 圆锥表面上取点
2'
2"
(3')
(3")
3 2
5.圆锥表面上取线
2' 5' 3' 4' 1'
435 2 1
(2")
(5")
3"
4"
1"
三、圆球
1.圆球的形成：圆(母线)围绕直径回转而成。
主视轮廓圆
Z
回转轴
平行V面
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影 水平投影
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
六棱柱的投影
3. 棱柱表面上取点
4'(5')
5"
6'(7')
8'
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
特殊点
一、平面与圆柱相交
1.平面与圆柱相交所得截交线形状 2.例题
1. 平面与圆柱相交所得截交线形状
两平行直线
圆
椭圆
2. 例题
[例题1] 求圆柱截交线
1'
2'(3')
1" 3"
S
s"
d" a"
C (b") c"
b
c
Y
3. 圆锥面的（转向）轮廓线和可见性
4. 圆锥表面上取点
2'
2"
(3')
(3")
3 2
5.圆锥表面上取线
2' 5' 3' 4' 1'
435 2 1
(2")
(5")
3"
4"
1"
三、圆球
1.圆球的形成：圆(母线)围绕直径回转而成。
主视轮廓圆
Z
回转轴
平行V面
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影 水平投影
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
六棱柱的投影
3. 棱柱表面上取点
4'(5')
5"
6'(7')
8'
建筑制图与识图3立体的投影
3
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
第三章 工程制图A 立体的投影
二、棱锥
1.棱锥的组成
由一个底面和几个侧 棱面组成。侧棱线交于有 限远的一点——锥顶。
棱锥---底面是多边形，各侧面为 若干具有公共顶点的三角形。 正棱锥----底面为正多边形,各侧面 是全等的等腰三角形的棱锥。
S
棱锥的顶点
棱锥的侧棱
D
棱锥的侧面
E A
C
棱锥的底面
B
• 一个特殊的棱锥：正棱锥 把底面为正多边形，侧面是全等的三角形的棱 锥叫作正棱锥
第二节 曲面立体的投影
回转体——由回转面或回转面和平面围成的立体 母线
轴线
(a)形成
(b)回转体
•一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。
•形成回转面的动线称为母线，定线称为轴线, 母线在 回转面上的任意位置都称为素线。
O
轴线
母线
顶圆 素线 轴线
赤道圆
O
喉圆
纬圆 底圆
回转面的术语
在投影图上表示回转 体，就是把组成立体的 回转面或平面表示出来， 然后判断可见性。如图 所示。
棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥… 截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五 棱台…
棱台的表示法：棱台用表示上、下底面各顶
点的字母来表示，如图棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
正棱锥台----由正棱锥截得的棱台。 四棱锥台的投影图
(a) 直观图
(b) 投影图
平面立体投影可见性的判别规律
小结
1.平面立体投影的作图可归结为绘制平面 （立体表面）和（棱）线投影的作图。
2.在立体表面上取点、取线的方法与在 平面上取点、取线的方法相同。
——如果点或直线在特殊位置平面内，则 作图时，可充分利用平面投影有积聚性的 特点，由一个投影求出其另外两个投影；
第三章 立体投影 立体表面上的点和线(1)
棱锥的底面为平面多边形。
棱柱的所有棱线汇交于一点（锥顶）。
§3-2 几何体及其表面上的点与线
一、平面立体
2、棱锥
三棱锥分析：它由底面ΔABC和三个相等的棱面ΔSAB，
ΔSBC，ΔSAC所组成。底面为水平面，其水平投影反映实形，
正面和侧面投影积聚为一条直线。
Z
ΔSAC为侧垂面，其侧面
V s'
投影积聚为一条直线，其 它投影为类似图形。
YW
a
c
s
b
YH
一、平面立体
§3-2 几何体及其表面上的点与线
3、平面立体表面点和线的投影
作平面立体表面上的点和线的投影，就是作它的多边 形表面上的点和线的投影，即平面上的点和线的投影。
正棱柱的表面一般为投影面垂直面或投影面平行面， 有积聚性，可利用积聚性求平面上点和直线的投影。
一、平面立体
§3-2 几何体及其表面上的点与线
§3-2 几何体及其表面上的点与线
二、曲面立体
§3-2 几何体及其表面上的点与线
在画曲面立体的投影时，除了画出轮廓线和尖点外，还要画出曲 面投影的转向轮廓线。
曲面立体的转向轮廓线 是切于曲面的诸射线与投影 面交点的集合，也就是这些 投射线所组成的平面或柱面 与曲面的切线的投影，常常 是曲面可见投影与不可见投 影的分界线。
平面立体
曲面立体
§3-2 几何体及其表面上的点与线
一、平面立体
平面立体的表面由平面围成，因此画平面立体的投影， 就是画平面与平面交线的投影。
国家标准规定:
当轮廓线的投影可见时，画粗实线。 当轮廓线的投影不可见时，画虚线。 当粗实线与虚线重合时，画粗实线。
一、平面立体
§3-2 几何体及其表面上的点与线
机械制图 第3章 平面立体
截平面截断所有 侧棱,截交线为与底 面类似的多边形
例3 求四棱柱开槽的截交线
例4：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。
1(2) 2"●
●
1"
3(4)
5´
4"
3"
5"
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制 截交线。当平面体只有局 部被截切时，先假想为整 体被截切，求出截交线后 再取局部。
1(3)
一 圆柱
1 圆柱的投影
V
一面投影为反映 底面实形的圆， 另两面投影为相 同的矩形。
分析圆柱转向素线的投影规律
圆柱投影不为 圆的两个视图 上，转向素线 在一个图的两 边，一定在另 一个图的中间！
2 在圆柱表面上取点 c´ c"直接利用积
b´
a´
(d´)
(d") a"
b"
聚性在圆周 上取点
d a b c
例3：补全三棱锥被截后的左视图和俯视图
1´ 3´
1"
3" 5´（6´）
2" 6" 5"
2´
4´
4
3 4
O A
3.2 回转体
O1
A1
由曲面或曲面与平面所围成的立体。 曲面可看作由直线或曲线绕轴线旋转所形成。 这条运动的线称为母线，而母线在曲面上任—位置称 为素线。母线上的点绕轴线旋转时，形成回转面上垂 直于轴线的纬圆。 在画回转体的投影时，除了画出轮廓线外，还要画出 曲面投影的转向轮廓线，简称为转向素线。
a
2 在棱锥表面上取点
当棱锥表面的投影没有积 聚性时，可利用平面上的 辅助线进行作图。
第三章立体的投影
第三章立体的投影基本要求：熟练掌握基本形体的三面投影的特性、平面和立体的截交线的性质和画法、立体相贯线的性质和画法；能判断出立体表面的点、线，会求线与立体的交点。
主要内容：1、立体的投影；2、平面和立体相交；3、两立体相贯。
3.1立体的投影一、内容：1、平面立体的投影特性、作图方法；2、曲面立体的投影特性、作图方法。
二、要求及重点：要求掌握平面立体、曲面立体的投影特性、作图方法，并能综合运用。
三、教学方式：通过模型、教具、例题及实际绘制，使学生掌握并能综合运用。
四、作业：布置相应的立体投影作业。
3.1立体的投影基本形体：平面体曲面体一、平面立体的投影1、平面立体：表面由平面所围成的几何体。
2、平面立体的投影：就是围成它的表面的所有平面图形的投影。
置下，五棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形——正五边形。
五个棱面的水平投影分别积聚为五边形的五条边。
正面和侧面投影上大小不同的矩形分别是各棱面的投影，不可见的棱线画虚线。
2、作图步骤：如图3-1b、c。
3、棱柱表面上点的投影：如图3-1d。
（二）棱锥棱锥的棱线交于一点。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
图3-2 四棱锥三面投影的作图步骤1、投影分析图示四棱锥的底面平行于水平面，水平投影反映实形。
左、右两棱面垂直于正面，它们的正面投影积聚成直线。
前、后两棱面垂直于侧面，它们的侧面投影积聚成直线。
与锥顶相交的四条棱线既不平行、也不垂直与任何一个投影面，所以它们在三个投影面上的投影都不反映实长。
2、作图步骤：如图3-2b。
3、棱锥表面上点的投影：如图3-2c。
二、曲面立体的投影1、曲面立体：由曲面或曲面与平面所围成的几何体。
2、常见的曲面立体是回转体。
回转体：由回转面或回转面与平面所围成的立体，常见的回转体有圆柱、圆锥、球、环等。
回转体的投影就是围成它的回转面或回转面和平面的投影。
1、投影分析如图3-3所示，当圆柱轴线垂直于水平面时，圆柱上、下端面的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。
第三章 建筑制图-立体投影
A1 B1 C1
6
3
4
A
c
a c b
1
2
a1
3
4
b1 按两个贯穿点既位于一个立体的同一表面上、又位于另一立 体的同一表面上的条件依次连接。 23
5(6)
3.4.2 平面立体与曲面立体相交
1. 相贯线的形状 平面立体与曲面立体相交，一般情况下，相贯线是由 若干段平面曲线或平面曲线和直线围成。
例4
求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点； 3 求出若干个一般点； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
Ⅱ Ⅰ Ⅳ
Ⅲ
例5
求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影 为矩形； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性； 4 整理轮廓线。
1.求相贯线的一般步骤
① 分析已知条件，读懂投影图，分析是全贯、互贯、有几个 贯穿点…… ②求贯穿点； ③连接贯穿点； ④判别可见性：相贯线的可见性、轮廓线重影 部分的可见性。
a1
2
a b
1
5
b1 c1 Ⅰ B C 可见性判断：相贯线的投影 c1 只有同时位于两个立体的可 见表面时才可见。 Ⅱ Ⅴ Ⅵ Ⅲ Ⅳ
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
Ⅵ
Ⅰ
4
6 1
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
画法几何及机械制图第三章 立体的投影
1
3-1 平面立体及其表面取点
以若干个多边形平面所围成的立体叫做平面立体。 工程中常见的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）及棱锥 （常以棱台的形式出现）。 一、棱柱 1.投影 用前一章的知识，研究平面立体上各个多边形的投 影，即研究各多边形的边及顶点的投影，综合起来，就 是平面立体的投影。2Fra bibliotek图3-1
11
2.四棱台上挖方槽 从图3-7（a)的立体图上观察到，所谓开槽，实质上 是三个平面P、Q、R截切立体的结果。 该题给出四棱台的三面投影及正面投影上给出槽形， 试补作槽的另外两个投影。
12
图3-7
13
3-2 回转体及其表面取点
由曲面或曲面与平面所围成的立体叫做曲面立体， 而本节只论述曲面立体中的回转体，即圆柱、圆锥、圆 球等。
19
图3-10
20
3.表面上取点 (1)辅助素线法 从圆锥面的形成可知，圆锥面可理解成若干直素线 所包围的面，这些素线都通过锥顶。在图3-11的立体图 上，圆锥面上有一点M，它在素线SA上，按线上的点的 作图方法，根据已知的正面投影m′，求出另两投影m及 m″。此法在解决处于转向轮廓线上的点最为方便，见图 3-11的投影图。图中另有一点N，已知其水平投影n，求 另外两投影n′及n″，其作法相同。
17
图3-9
18
二、圆锥 1.形成 圆锥是由一圆锥面和一底平面所围成。圆锥面的形 成，是一条与轴线斜交的直母线绕轴线作圆周运动，回 转的轨迹即是圆锥面。母线在回转过程中的任一位置称 为素线，母线与轴线的夹角α始终不变，α＜90°，称为 半锥角，见图3-10（a)。 2.投影分析 图3-10（b)是圆锥的三面投影图。圆锥面和底面的 水平投影重合，中心线的交点是圆锥轴线及锥顶S的投 影。
3-1 平面立体及其表面取点
以若干个多边形平面所围成的立体叫做平面立体。 工程中常见的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）及棱锥 （常以棱台的形式出现）。 一、棱柱 1.投影 用前一章的知识，研究平面立体上各个多边形的投 影，即研究各多边形的边及顶点的投影，综合起来，就 是平面立体的投影。2Fra bibliotek图3-1
11
2.四棱台上挖方槽 从图3-7（a)的立体图上观察到，所谓开槽，实质上 是三个平面P、Q、R截切立体的结果。 该题给出四棱台的三面投影及正面投影上给出槽形， 试补作槽的另外两个投影。
12
图3-7
13
3-2 回转体及其表面取点
由曲面或曲面与平面所围成的立体叫做曲面立体， 而本节只论述曲面立体中的回转体，即圆柱、圆锥、圆 球等。
19
图3-10
20
3.表面上取点 (1)辅助素线法 从圆锥面的形成可知，圆锥面可理解成若干直素线 所包围的面，这些素线都通过锥顶。在图3-11的立体图 上，圆锥面上有一点M，它在素线SA上，按线上的点的 作图方法，根据已知的正面投影m′，求出另两投影m及 m″。此法在解决处于转向轮廓线上的点最为方便，见图 3-11的投影图。图中另有一点N，已知其水平投影n，求 另外两投影n′及n″，其作法相同。
17
图3-9
18
二、圆锥 1.形成 圆锥是由一圆锥面和一底平面所围成。圆锥面的形 成，是一条与轴线斜交的直母线绕轴线作圆周运动，回 转的轨迹即是圆锥面。母线在回转过程中的任一位置称 为素线，母线与轴线的夹角α始终不变，α＜90°，称为 半锥角，见图3-10（a)。 2.投影分析 图3-10（b)是圆锥的三面投影图。圆锥面和底面的 水平投影重合，中心线的交点是圆锥轴线及锥顶S的投 影。
工程图学基础第3章 立体的投影
1.平面与棱锥相交
图3-14 平面与三棱锥相交
2.平面与棱柱相交
例3-10 画出截切五棱柱的三面投影(图3-15)。 解 五棱柱被正垂面P截切，所得截交线为五边形。正面投影积聚在PV上，截平面与 侧表面CC1B1B，BB1A1A，AA1E1E、EE1D1D的交线的水平投影积聚在各自侧表面的 水平投影上。截平面与顶面ABCDE均垂直于V面，则交线为一正垂线，正面投影积聚 为一点。水平投影反映实长。截交线的侧面投影可由正面投影和水平投影求出。作图 步骤如下(图31)画出五棱柱的投影。 2)根据题目给定条件画出截平面的正面迹线PV。 3)求出截交线的水平投影五边形gfjih和侧面投影五边形g″f″j″i″h″。 4)去掉截切部分多余的轮廓线AF、BG、EJ及顶面上五边形BAEIH的投影，并判别投 影图的可见性。
(1)圆柱
图3-4 圆柱的三面投影
(2)圆锥
3-5 圆锥的三面投影
(3)圆球
图3-6 圆球的三面投影
(4)圆环
图3-7 圆环的三面投影
2.曲面立体表面上的点、线
(1)圆柱表面上的点、线 当圆柱轴线垂直于某一投影面时，圆柱面对其投影有积聚 性，利用积聚性确定属于圆柱表面上的点。 (2)圆锥表面上的点、线 为了确定属于圆锥面上的点，根据圆锥面的性质可过圆锥 顶点作辅助直线，或者过给定点作辅助圆，如图3-10a所示。 (3)圆球表面上的点、线 由于圆球面上不存在直线。
(1)棱锥Байду номын сангаас投影
图3-1 三棱锥的投影
(2)棱柱的投影
图3-2 正五棱柱的投影
2.平面立体投影图的可见性判断
平面立体投影图的可见性判断实质上是判别立 体各棱线投影的可见性。通常采用分析立体表 面可见性的方法解决。判断立体表面可见性时， 应遵循的原则是：共一个棱线的两个表面对某 一投影面投影时，只要其中一个表面可见，则 该棱线的投影可见，如果两个投影均不可见， 则该棱线的投影不可见。
工程制图技术基础第3章 立体的投影_OK
29
例3-5 完成轴线垂直相交的圆锥和圆柱相贯线的投影。
作图步骤:（1）分析形状，确定待求投影. （2）求特殊点。 (3)求一般点。 (4)连线并判断可见性。（5）整理轮廓线。
30
31
3.3.4 相贯线的特殊情况
两回转体相交时，在一般情况下，相贯线为空间 曲线，但特殊情况下，是平面曲线或直线。常见的 有：
影和侧面投影是形状相同
的等腰三角形。等腰三角
形的底是圆锥底圆的投影，
三角形的两个腰是对投影
面的转向轮廓线，即圆锥
面上投影可见与不可见部
分的分界线。
13
(1) 圆锥表面上取点
已知圆 锥表面上 点M及N 的正面投 影m′和n ′，求它 们的其余 两投影。
m (n )
a’
n
a
m
m
(n )
(a”)
14
3.圆球
(1) 圆球的投影
圆球的三 个投影都是 与球的直径 相等的圆， 它们分别是 球面对三个 投影面的转 向轮廓线。
15
(1) 圆球表面上的取点
16
返回
➢3.2 平面与回转体表面相交
3.2.1概述
平面与回转体相交 截断面 （也可看作回转体被 平面切割），在回转 截交线 体表面产生的交线， 称为回转体截交线， 这个平面称为截平面， 截交线所围成的平面 图形称截断面 ，如 右图所示。
a (b)
b c a
c (a)
b
在平面 立体表 面上取 点的原 理及方 法，与 在平面 内取点 相同， 只需判 别可见 性即可。
6
2.棱锥
棱锥的底面为多边形，其余的棱面都是 三角形，且交于锥顶。除底边外各棱线也
都汇交于锥顶。棱锥底面多边形若为n边形， 则称为n棱锥，底边若是正n边形，且锥顶 对底面的正投影是正n边形的中心，则称为 正n棱锥。
例3-5 完成轴线垂直相交的圆锥和圆柱相贯线的投影。
作图步骤:（1）分析形状，确定待求投影. （2）求特殊点。 (3)求一般点。 (4)连线并判断可见性。（5）整理轮廓线。
30
31
3.3.4 相贯线的特殊情况
两回转体相交时，在一般情况下，相贯线为空间 曲线，但特殊情况下，是平面曲线或直线。常见的 有：
影和侧面投影是形状相同
的等腰三角形。等腰三角
形的底是圆锥底圆的投影，
三角形的两个腰是对投影
面的转向轮廓线，即圆锥
面上投影可见与不可见部
分的分界线。
13
(1) 圆锥表面上取点
已知圆 锥表面上 点M及N 的正面投 影m′和n ′，求它 们的其余 两投影。
m (n )
a’
n
a
m
m
(n )
(a”)
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3.圆球
(1) 圆球的投影
圆球的三 个投影都是 与球的直径 相等的圆， 它们分别是 球面对三个 投影面的转 向轮廓线。
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(1) 圆球表面上的取点
16
返回
➢3.2 平面与回转体表面相交
3.2.1概述
平面与回转体相交 截断面 （也可看作回转体被 平面切割），在回转 截交线 体表面产生的交线， 称为回转体截交线， 这个平面称为截平面， 截交线所围成的平面 图形称截断面 ，如 右图所示。
a (b)
b c a
c (a)
b
在平面 立体表 面上取 点的原 理及方 法，与 在平面 内取点 相同， 只需判 别可见 性即可。
6
2.棱锥
棱锥的底面为多边形，其余的棱面都是 三角形，且交于锥顶。除底边外各棱线也
都汇交于锥顶。棱锥底面多边形若为n边形， 则称为n棱锥，底边若是正n边形，且锥顶 对底面的正投影是正n边形的中心，则称为 正n棱锥。
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c
(b)
a
9-3. 求作圆锥的W面投影及表面上点的其他投影
b'
a' (c')
(b'') (c'') a''
c
b a
9-4. 求作圆锥的W面投影及表面上点的其他投影
b' c'
a'
b'' c''
a''
c b
a
9-5. 求作半球的W面投影及表面上点的其他投影
b'
(b'')
a'
(c')
a''
(c'')
13-1.补画V面投影
13-2.求作W面投影
13-3.求作W面投影
13-4.半圆柱和圆台相交,补画V、H面投影
13-5.求作圆柱与圆锥相交后的H面投影
13-6.求作圆柱与圆锥相交后的V面投影
14-1.求作H面投影
14-2.完成V、H面投影
14-3.补画H面中的漏线
14-4.补画V、H面投影中的漏线
a'
c (a) b
c'' (b'')
a''
8-4. 求作H面投影
8-5. 求作H面投影
8-6. 求作三棱台的W面投影
9-1. 求作圆柱的W面投影及表面上点的其他投影
c'
c''
(a') b'
a'' (b'')
a
c b
9-2. 求作圆柱筒的H面投影及表面上点的其他投影
a'
a''
c'
c
(b')
b
14-5.补全正面投影和侧面投影(形体分析提示:相贯体 的主体是球和圆台相交，圆台内有个同轴圆柱孔与垂 直的圆柱孔相通。)
14-6.补画V面中的漏线
第三章 立体的投影
第8页 第9页 第10页 第11页 第12页 第13页 第14页
第1题 第1题 第1题 第1题 第1题 第1题 第1题
第2题 第2题 第2题 第2题 第2题 第2题 第2题
第3题 第3题 第3题 第3题 第3题 第3题 第3题
第4题 第4题 第4题 第4题 第4题 第4题 第4题
第5题 第5题 第5题 第5题 第5题 第5题 第5题
第6题 第6题 第6题 第6题
第6题 第6题
8-1. 求作三棱柱的W面投影及表面上点的其他投影
b'
b''
a'
a''
(c')
c''
c b a
8-2. 求作五棱柱的H面投影及表面上点的其他投影
c'
a'
(b')
a''
c'' b''
(b) c
a
8-3. 求作三棱锥的W面投影及表面上点的其他投影
(c') b'
c
b a
9-6. 求作截切球的H面投影
10-1.求五棱柱被正垂面截切的W面投影
10-2. 求作H面投影
10-3.补全四棱锥被截切后的H、W面投影
10-4.求五棱柱被正垂面截切的W面投影
10-5. 求作W面投影
10-6. 求作H面投影
11-1. 求作截切圆柱的W面投影
11-2. 补画截切圆柱的H面投影，求作W面投影
11-3. 求作截切圆柱的H面投影
11-4. 求作H面投影
11-5. 求作截切圆柱的W面投影
11-6. 求作截切圆锥的H面投影
12-1. 补画截切圆锥的H面投影，求作W面投影
12-2.求作截切球的V、H面投影
12-3. 求作截切半球的俯视图和左视图
12-4. 求作W面投影
12-5. 求作截切体的H面投影