对称性的应用

7-7 对称性的利用

1

位移法中对称性的利用关键是半结构的选取

（1）对称荷载1

Z 2

Z 12Z Z =?12

Z Z =−1

Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取

Z 1

4

在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。

EI =∞

偶数跨对称结构

1

Z 2

Z 3

Z 结点转角为零

（2）反对称荷载

在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。

2

Z 1

Z

在对称轴上，柱

CD没有轴力和

轴向位移,但有弯

矩和弯曲变形。

可将中间柱分成

两根柱，分柱的

抗弯刚度为原柱

的一半。

因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。

对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。

在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。

1

Z 2

Z 3Z 4

Z 5Z 6

Z

8

1Z 2

Z 3

Z 最少未知量

1

Z 2

Z M

1

Z 讨论：

M

1

Z 0

1111=+P R Z r M M

/2

M P

M

1

Z 2

Z 3

Z 2

Z 1

Z 3

Z P

M

11

1

Z 2

Z 2

Z 1

Z 3

Z 2

Z 1

Z 3

Z

12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。（各杆的EI =常数）

a a a a a

q q

m

2a 例

取半结构

13

m

q q

Z 1

q

典型方程：

01212111=++P R Z r Z r 0

2222121=++P R Z r Z r Z 1

q

2Z 2

Z

典型方程：

3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440

++=2

Z 1

Z

取半结构示例

16

m

q q

Z

1

Z

1

17

例1

利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。

1111=+P R Z r

18

3

511EI r =

m

kN R P ⋅−=301EI

Z 5901=

最简的基本体系及M 图

P

M Z M M +=11

例2

19图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。

P P

4m

D

2m

2m

2m

2m

20

基本方程

P

P

4m

D 由于结构对称，荷载对称

Z 1 = Z 2 = 0Z 3 = Y D

Z 1

Z 2

Z

3

1111=+P R Z r 基本方程为：

P

D

EI =∞

1

Z

求系数及自由项、作出M1、MP图
Pl 8
P
21
Pl 8
P
Pl 8
4m
6i l 6i l
P
P
6i l 6i l
4m
1
D
MP图
6i l
D
1
M1
12i 48i 48i r11 = 2 × 4 = 2 = = 3i 16 l l
R1P = − P

作出M图
R1P P Z1 = − = = 4 P /(3EI )(↓ ) r11 3i
10 10
22
M = M 1 Z1 + M P
5 5 M 图 ( kN . m )
5

例3
23
利用对称性简化图a所示的对称结构，取出最简的计算 简图、基本体系，并作出M图。

最简的计算简图及M图
24

例4
Z1=0
25
利用对称性简化图示的对称结构，取出最简的计算简图、 基本体系。
Z2=0
Z1
r11Z1 + R1P = 0

系数和自由项的计算
26

例5
27
利用对称性简化图示的对称结构，取出最简的计算简 图、基本体系，并作出M图。

例6
28
利用对称性简化图示的结构，取出最简的计算简图及基 本体系。