Wigner分布

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短时傅立叶变换_Gabor变换和Wigner-Ville分布实验

1 | X N (e j ) |2 N
图 2 语音信号功率谱分析
3、短时 Fourier 变换
这里加的窗为 Hamming 窗，窗宽度为 L 85 。
图 3 短时傅里叶变换
4、Gabor 变换
这里的高斯窗，宽度取为 N 160
图 4 Gabor 变换
5、Wigner-Ville 分布
这里采用整段时序信号中最前面 800 个点的信号进行分析。从结果可以看出， Wigner-Ville 分布得到了信号分析时较高的频率分辨率。
a、Gabor 变换，N=80
b、Gabor 变换，N=320
图 6 分辨率理解示意图
一个高斯函数有两个原因：一是高斯函数的 Fourier 变换仍为高斯函数，这使得 Fourier 逆变换也是用窗函数局部化，同时体现了频域的局部化；二是 Gabor 变换是最优的窗口 Fourier 变换。
2.3 Wigner-Ville 分布
对信号 s(t ) ，其 Wigner Ville 分布定义为：
% 通道1,取2s数据
f = Fs*(0:halfLength)/Nfft; figure; plot(f,Pyy(1:halfLength+1)); xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Power Spectrum'); title('Power Spectrum Analysis'); % <二、短时傅里叶变换;利用时频分析包进行分析> L = 85; hHamming = hamming(L); T = 1:Nfft; N = 256; % time instant(s) and number of frequency bins

Wigner_Ville分布

可以通过wignerville分布计算信号的时宽和带宽满足不确定性原非负性问题wignerville分布丢掉了作为能量密度分布的一个基本性质
Wigner_Ville分布
定义：
对信号s(t),其Wign)s(t 1 )e jd
2
例：
思考题：
·对于只有单一频率成分的实信号，其 Wigner_Ville分布是否存在交叉干扰项？
怎样抑制交叉项干扰？
交叉项抑制方法：
加窗
Wps (t,)
1
2
h( )s*(t 1 )s(t 1 )e jd
2
2
例：
正弦波
s(t) e j0t s(t) e j0t
W (t,) ( 0 )
局部带宽：
频率的二阶条件矩是
2
t
|
1 s(t)
|2
2W (t,)d
1 [( A(t))2 ( A(t))] 2 (t)
2 A(t) A(t) 可以得到
2 |t
2
t
t2
1 [( A(t))2 ( A(t))] 2 A(t) A(t)
例：
正弦波和冲激
s(t) e j0t W (t,) ( 0 ) s(t) (t t0 ) W (t,) (t t0)
I Wf (t,)Wg (t,)dtd
1
4 2
f *(t 1 ) f (t 1 )g*(t 1 )g(t 1 )e j( )d d dtd
2
2
2
2
1
4 2
f *(t 1 ) f (t 1 )g*(t 1 )g(t 1 )e j( )d d dtd
2
2
2
Cohen类时频分布：
Cohen指出：信号的时频分布可以表示为：

25_维格纳变换

5.3 Wigner分布
1932年,Wigner首先提出了Wigner分布的概念，并把它用于量子力学领域。 1948年，Ville首先把它应用于信号分析。因此， Wigner 分布又称 Wigner － Ville 分布，简称为WVD。 1973年，Brujin对WVD分布作了评述，并给出了把WVD用于信号变换的新的数学基础。 1989年，Cohen给出了各种时频分布的统一表示形式。
1980 年 Classen 在 Philips ． J ． Res ．上连续发表了三篇关于 WVD 的文章，对 WVD 的定义、性质等作了全面的讨论。由于这些工作，使得80年代后对WVD的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜的成果。在已提出的各种时－频分布中，WVD 具有最简单的形式，并具有很好的性质。
j2t
y 1 y t 2

j2t
X 2 Y 1 2 e
j
Y 2

W x , y t , x1 y1 e
d X 1 Y1
j 4 2 t X 2 Y 2 2 e d

j
d
rx , y t , x t 2 y t 2

瞬时互相关
则：
j W x , y t , rx , y t , e d

上式为 r x , y t , 的傅立叶变换式
WVD的频域定义
3. WVD的反变换
Wx t,
x t 2 x t 2 e
＊

j
d
令 t 2 这一特定的时刻，有 1 j x t x 0 W 2 , e d x 2 1 j t 1 j t W 2 , e d x x t Wx t 2 , e d 2

威布尔分布专题

20500102030405060708090100age9威布尔分布?威布尔分布是非常有用的因为它包含了所有的分布情况并且能显示出浴缸型曲线的哪出浴缸型曲线的哪一部分最突出部分最突出?威布尔分布在处理数据时最为有用因为它具有很多特有的特性并能使不同的分布与不同的时间相匹配?威布尔分布具有多种用途它可以把意义相差很远的不同分布用一种可操作的分布表示?它可以用来解释很多种不同类型的问题特别在研究部件或零件的寿命现象时非常合适威布尔分布?累积密度函数cdffx1?exp?x?x0?x?x0??概率密度函数pdf?x?x0??1x?x0?fxexp?x?x0???10威布尔参数位置?位置参数x0x仅用于当产品的寿命以某些指定的仅用于当产品的寿命以某些指定的工作小时数作小时数开始时始时例如与例如与0疲劳相关的数据而当寿命起始点为零时则不用并且极大地简化了威布尔分布的使用威布尔参数形状?形状参数?描述了分布的形状并且又显示出总体中固有的问题类型?小于1意味着失效率是递减?等于1意味着失效率是一个常数?大于1意味着失效率是递增的11威布尔参数特征寿命?特征参数?是是632的总体的寿命的总体的寿命可能是小时数或英里数或强度数等能是小时数或英里数或强度数等
6
3
4 5
16
Minitab中的威布尔分析
Probability Plot for Life of CSA (Days)
Weibull - 70% CI Censoring Column in CSA Status(A=Active, C=Cancel) - LSXY Estimates
99 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 3 2 1

100
1000
Life (Hours)
12

第三章Wigner-Ville分布及其应用

第三章 Wigner-Ville 分布及其应用在机械诊断学领域，我们涉及的信号从统计意义上讲不仅仅是平稳的，常常要遇到非平稳瞬变和随时间变化明显的调制信号。

这些信号的频率特征与时间有明显的依赖关系，提取和分析这些时变信息对机械诊断意义重大。

Wigner-Ville 分布可看作信号能量在联合的时间和频率域中的分布，是分析非平稳和时变信号的重要工具。

它是由Wigner [1]在1932年提出的，最初用于量子力学的研究。

1948年Ville [2]开始将它引入信号分析领域。

1970年Mark [3]指出了Wigner-Ville 分布中最主要的缺陷─交叉干扰项的存在。

1980年Claasen 和Mecklenbr äker 在一篇连载发表的论文中[4，5，6]详尽论述了Wigner-Ville 分布的概念、定义、性质以及数值计算等问题。

Wigner-Ville 分布不仅具有许多有用特性，而且与许多其它的时频表示相比，例如短时Fourier 变换谱(spectrogram)和时间尺度谱（scalogram,小波变换的平方），能更好地描述信号的时变特征[7]。

因此，尽管受到交叉干扰项的制约，Wigner-Ville 分布仍然得到了十分广泛的应用，如声频系统的描述和解释、地震勘探信号处理、生物信号表示以及时变信号滤波等等。

本章阐述Wigner-Ville 分布的定义、性质、计算、交叉干扰项抑制以及Wigner-Ville 分布在机械状态监测和故障诊断中的应用。

3.1 Wigner-Ville 分布的定义设为一连续时间信号，则)(t x ∫+∞∞−−−+=τωτττωd j t x t x t WVD x )exp()2()2(),(* (3.1.1) 称为信号的自Wigner-Ville 分布(auto-WVD)。

相应地，若为另一个连续时间信号，则互Wigner-Ville 分布(cross-WVD)定义为)(t x )(t y ∫+∞∞−−−+=τωτττωd j t y t x t WVD y x )exp()2()2(),(*, (3.1.2) 式中，和分别是和的复共轭。

chapter03_Wigner分布

x
t
1 t T 0 t T
Wx
t,
e d 2T 2t j
2T 2t
2
sin
2 T
t
t
T
0 t T
注意： ➢ 截面是sinc函数 ➢ 时域支撑范围
24
例2 xt Ae j0t
Wx t, 2 A 2 0
与时间无关的函数
25
例3
x t Acos0t
xt
2 y＊t
2 e j d
定义3.1.2：
xt 的自Wigner分布：
Wx t,
xt
2 x＊t
2 e j d
2
WVD
Wx,y t,
xt
2 y＊t
2 e j d
的解释
let 2
Wx, y
t,
2
xt
y＊ t e j2d
3
Wx,y t,
xt
2 y＊t
18
5 WVD的时限与带限性质
if x(t) 0,
tb t ta ,
then Wx (t, ) 0, tb t ta , ~
若信号在时域是有限支撑的，则其WVD在时间方向上也是有限支撑的。
if X () 0, b a , then Wx (t, ) 0, b a ,t ~
第3章 Wigner分布
3.1 Wigner分布的定义 3.2 WVD的性质 3.3 常用信号的WVD 3.4 Wigner 分布的实现 3.5 Wigner分布中交叉项的的行为 3.6 平滑Wigner分布
1
3.1 Wigner分布的定义
定义3.1.1：
x t ,yt 的联合Wigner分布：

窄带细化Wigner-Ville分布分析的快速实现方法

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｏｐｐｌｅｒｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｌｉｎｅｓｐｅｃｔｒｕｍｃａｎｂｅｕｓｅｄｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｒａｄｉａｔｅｄｎｏｉｓｅｓｏｕｒｃｅｓｏｎ
ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒｔａｒｇｅｔ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｔｈｅｌｏｗ￣ｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｌｏｗｓｐｅｅｄｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｔｈｅＤｏｐｐｌｅｒｒｅｆｑｕｅｎｃｙｓｈｉｔｆｃｈａｎｇｅｓ
ｗｅａｋｌｙ．Ｉｔｓｔｉｍｅ — ｒｅｆｑｕｅｎｃｙａｎａｌｙｓｉｓｓｈｏｕｌｄｂｅｌｉｍｉｔｅｄｉｎａｓｅｌｅｃｔｅｄｎａｒｒｏｗ— ｒｅｆｑｕｅｎｃｙｂａｎｄｗｉｄｔｈｗｉｔｈｈｉｇｈ
能，但是当频率分辨率要求较高时，其计算量和存储空间长度也大幅增加。该文提出一种选带细化ｗＶＤ的快速数
值计算方法。该方法对线性调频ｚ变换（ＣＺＴ）进行改进并与ｗＶＤ相结合，可以大幅提高选定窄带内高分辨率ｗＶＤ
时频分析的计算效率。数值仿真和海试数据验证了方法的有效性。
关键词：水下信号处理；时频分析；水下多普勒信号；Ｗｉｇｎｅｒ．Ｖｉｌｌｅ分布；细化频谱分析中图分类号：ＴＢ５６６文献标识码：Ａ文章编号：１００９ — ５８９６ｆ２０１３）０７．１７１３．０７

多项式Wigner-Ville分布的频域卷积实现

维普资讯
第３第２期０卷Fra bibliotek电子
与
信
息
学
报
Ｖ＿．０．０３Ｎｏ２１Ｅｂ２０ｅ．０８
２０年２０８月
Ｊｕｎｌｆｅｔｏｉｓ＆ＩｆｒａｉｎＴｃｎｌｇｏｒａｃｒｎｃｏＥｌｎｏｍｔｏｅｈｏｏｙ
多项式ＷｉｎｒＶｉｅ分布的频域卷积实现ｇｅ．ｌｌ
王勇姜义成
１００１５０１（尔滨工业大学电子工程技术研究所哈尔滨哈摘
要：多项式Ｗｉｅ．ｉｇｒｌｎＶｌｅ分布（ＷＶＤ是分析多项式相位信号（Ｐ）Ｐ）ＰＳ时频特性的一种有力工具。该文根据
Ｐ、ＶＶＤａｅａｈｇｉｅｕｎｙｃｎｅｇｎｅｈｖｉｈｔｍｅｆｑｅｃｏｖｒｅｃ．Ｔｈｅｄｓｒｔｍｐｅｅｔｔｏｅｈｄａｄｔｅｃｒｅｐｏｄｎｒｉｃｅｅｉｌｍｎａｉｎｍｔｏｎｈｏｒｓｎｉｇｃｍｐｔｔｏｏｏｕａｉｎｃｍｐｅｉｙａｅａａｙｅｄｔｅｅｆｔｖｎｓｆｔｅｍｅｈｄｉｉｕｔａｅｔｕｒｃｘｍｐｅ．ｌｘｔｎｌｚｄａｈｆｒｎｃｅｉｅｅｓｏｈｔｏｓｌｓｒｔｄｗｉｈｎｍｅｉａｅａｌｌｌｓ
ｂｃｕｅｔｅＷＶＤｒＬＶＤａｅｃｃｌｔｄｂｈｅＳｅａｓｈｏＷＣｎｂａｕａｅｙｔＴＦＴ，ｌｗｈｃｓａｌｅｒｔａｓｏｍ，ｈａｅｔｍｅｔｅｉｈｉｉａｒｎｆｒｎＡｔｔｅｓ￣ｌｉ，ｈ

随机矩阵论中Wigner矩阵的谱分布定律

随机矩阵论中Wigner矩阵的谱分布定律随机矩阵论是数学中研究随机矩阵性质的一个分支领域，其中Wigner矩阵是研究的重要对象之一。

Wigner矩阵的谱分布定律在随机矩阵论中具有重要的理论和应用价值。

本文将介绍随机矩阵论的基本概念，然后详细讨论Wigner矩阵的谱分布定律。

一、随机矩阵论基本概念1.1 随机矩阵的定义随机矩阵是一个元素服从概率分布的矩阵。

在随机矩阵论中，通常假设矩阵的元素是独立同分布的随机变量。

1.2 谱分布定律谱分布定律是随机矩阵论中研究矩阵特征值分布的定律。

根据谱分布定律，当矩阵的尺寸趋向于无穷大时，矩阵的特征值分布会趋向于一个确定的概率分布。

Wigner矩阵的谱分布定律是随机矩阵论中的一个经典结果。

二、Wigner矩阵的定义与性质2.1 Wigner矩阵的定义Wigner矩阵是由Wigner提出的一种特殊类型的随机矩阵。

Wigner 矩阵是对称矩阵，其上三角元素和下三角元素都是独立同分布的随机变量。

2.2 Wigner矩阵的性质Wigner矩阵具有许多重要的性质，例如对称性、谱分布定律等。

其中，Wigner矩阵的谱分布定律是研究的重点和难点。

三、Wigner矩阵的谱分布定律3.1 Wigner半圆定律Wigner半圆定律是Wigner矩阵的经典谱分布定律。

根据Wigner半圆定律，当矩阵尺寸趋向于无穷大时，Wigner矩阵的特征值分布会趋向于一个半圆形的概率分布。

这个半圆形的概率密度函数可以由Wigner半圆定律给出。

3.2 Wigner矩阵的其他谱分布定律除了Wigner半圆定律之外，Wigner矩阵还可以满足其他类型的谱分布定律。

例如，研究非对称的Wigner矩阵时，其特征值的分布可以由Wigner半圆定律的变种给出。

四、应用举例Wigner矩阵的谱分布定律在物理学、统计力学、金融等领域有着广泛的应用。

在物理学中，研究原子核的能级结构时可以使用Wigner矩阵的谱分布定律；在金融中，研究投资组合的收益率时也可以利用Wigner矩阵的谱分布定律。

基于Wigner分布函数的光学元件评价方法

（Ｌ）Ｉ０１１０应用于规范ＮＩＬＮＬ将ｓ０１Ｆ光学元件的加工制造和检测＿。ＲＭＳ和ＰＤ适合表征全局小尺度波６］Ｓ
前畸变（整个波前范围内的中高频误差）通常所谓的功率谱密度也指全局功率谱密度。但是局部小尺度波前，
变（其是其空问频率在０５．范围内）尤．～２０ｍｍ也会引起非线性自聚焦破坏，因此在用ＲＭＳ和ＰＤ值表征Ｓ
和评价光学元件全局小尺度波前畸变的同时，需其它参数表征和评价局部小尺度波前畸变。为此，国的还法
惯性约束聚变（Ｃ）ＩＦ系统需要大量大口径高精密光学元件，而且要求严格控制所使用光学元件的高中低
频段制造误差ｌ］目前国际上主要采用波前峰谷（Ｖ）波前梯度均方根（ＭＳ和均方根（ＭＳ等参数＿】。Ｐ、ＧＲ）Ｒ）３］
解决这个问题，本文提出了采用Ｗｉｎｒ布函数来表征和评价光学元件局部小尺度波前畸变的方法，ｇｅ分通过分析Ｗｉｎｒ布函数与ＰＤ之间的关系，立局部小尺度波前畸变的评价方法和指标。ｇｅ分Ｓ建
１ＰＤ评价方法Ｓ
超过ＰＤ特征曲线ＡｆＳ，中厂是空间频率，是经验常数，于已抛光的光学玻璃元件，其Ａ对Ａ一１０ｍ・．５ｎｍｍ；于加工好的晶体元件，对Ａ一１．ｍ。・５０ｎｍｍ；２在一定空问频率范围内波前ＰＤ的积分值不能超过给（）Ｓ

量子力学 Wigner算符与Husimi算符

第六章 Wigner 算符与Husimi 算符的纯态密度矩阵形式在量子力学的相空间描述中，Wigner 分布函数是最常用的一类，因为一个量子态的Wigner 函数的两个边缘分布正好对应着在坐标和动量空间中测量粒子的概率密度，但是Wigner 函数本身并不总是正定的,故不能作为一个概率分布函数 (通常称之为准概率分布函数)。

在Wigner 函数定义的基础上Husimi 引入了一个新的分布函数——Husimi 函数，克服了Wigner 函数不总是正定的缺点，因而可作为一个新的概率分布函数； Husimi 分布函数的边缘分布有其自身的特点，特别适合于研究复杂体系的量子态。

但是对于Husimi 函数以前还没有人定义过与之对应的Husimi 算符, 本章中我们将引入它, 并发现它是一个纯压缩相干态密度矩阵, 利用IWOP 技术我们很容易导出其正规乘积形式，这就为求各种量子态的Husimi 函数提供了简洁明确的方法，这是量子统计一个新进展。

§ 6.1 从Wigner 算符到Husimi 算符：纯压缩相干态的密度矩阵[1]由于在量子力学中不能同时精确地测量粒子的坐标和动量，Wigner [2]曾提出描写粒子或系综的相空间函数理论。

在第一章中，我们曾看到位置与动量纯态密度矩阵分别为()2::q Q q q e--=， ()2::p P p p e--=，（6.1.1）把二者以如下方式合并写为()()()221::,q Q p P e q p π----≡∆，（6.1.2）而以往的文献中把(),q p ∆写在坐标表象中为(),2ipu duq p q u q u e π∞-∞∆=+-⎰。

（6.1.3）从（6.1.2）式可见()()22,::q Q dp q p e q q q ψψψψψψ∞---∞∆===⎰, （6.1.4）()()22,::p P dq q p e p ψψψψ∞---∞∆==⎰. （6.1.5）它们分别代表在坐标和动量空间测到的概率密度，这正符合Wigner 当初引入相空间分布函数的动机，所以(),q p ψψ∆就是ψ态的Wigner 函数。

第七章Wigner—Ville分布

第七章 Wigner — Ville 分布问题①STFT 和WT 在时频分析方面的缺陷 — 时频分辨率低 ②提高时频分辨率方法 — 引入时频能量密度 WVD ③WVD 发展史1932 Wigner 为计算量子相关性 1947 Ville 为引入特征函数 1980 Claassen 等全面研究④WVD 优势（分辨率高，许多优良性质）与缺陷（交叉相干扰） ⑤WVD 与STFT ，WT 关系 ⑥Hilbert 变换对WVD 的影响 ⑦WVD 的数学离散实现7.1 WVD一．WVD 引入1.定义：ττττd e t S t S w t WVD jw s -+∞∞-⎰-+=)2(*)2(),(2.说明：①WVD 为双线性时频表示（信号在计算式中出现两次） ②WVD 具有相移不变性 ③WVD 结果是实数 3.举例①Eg.7.1 高斯信号的WVD a.WVD 聚集在原点附近b ．α越大，时域聚集度好，频域聚集度差c.按e 1峰值可截止到一时频面椭圆，其面积恒为πd.时频分辨率固定，无窗效应e ．满足时间边缘条件（Eg . 7.7）和频率边缘条件（Eg . 7.8） f.WVD 具有能量保持性，故WVD 可认为是时频密度函数②Example 7.2 高斯Chirp 信号的WVD 22224)(t j te e t S βαπα⋅⋅=-a.式（7.10）功率谱不能反应时频特性 b ．其平均瞬时频率即为瞬时相位微分)()(),(),(t t dww t WVD dw w t WVD w S S ϕβ'==⋅⎰⎰∞+∞-+∞∞-③高斯型函数的WVD 表示特点 — WVD 非负 4.WVD 的频域表示推导：令 )()(w S S ↔τwtj wt j wt j jwt e w S t S w S e t S w S e t S w S e t S 222)2(*2)2(*)2(2)2()2(2)2()()(--↔-⇒-↔-↔+⇒↔+⇒ττττ[][]ΩΩ-Ω+Ω+=-∙=*=-+=⇒Ω∞+∞-∞+∞----+∞∞-⎰⎰⎰d e w S w S w d e w S S e w S w S e d e t S t S WVD tj tw j wtj wt j jw )2(*)2(2122)22(*)2(24)2(*2)2(2)2(*)2()24(22πααααπτττατ 二．WVD 的时频分析性能1.对单一时间成分或频率成分信号，WVD 具有很优良的时频定位特性2.对含多时间成分或频率成分信号，存在交叉项干扰，时频定位性能变差7.2 WVD 性质全部可根据定义得证一．边缘属性1.时间边缘条件（沿频率轴积分）2)(),(21⎰+∞∞-=t S dw w t WVD S π2.频率边缘条件（沿时间轴积分）2)(),(⎰+∞∞-=w S dt w t WVD S3.意义：WVD 具有能量保持性，故可作为时频密度函数4.说明：满足边缘属性的二维t,w 函数，不一定是WVD （式7.33,34）二．平均瞬时频率即为相位导数 )()(2),(),(),(2t t S dw w t WVD w dww t WVD dw w t WVD w wS S S tϕπ'=⋅=⋅=⎰⎰⎰+∞∞-∞+∞-+∞∞-原式2)()2(*)2(21t S dwd w S w S w etj ⎰⎰+∞∞-+∞∞-ΩΩΩ-Ω+⋅⋅=π证明思路：①利用微分信号的时频关系 ②利用时间域内积与频域内积的对应关系③利用)(21)(a t d e a t j -=Ω⎰+∞∞--Ωδπ④利用分步积分三．群时延特性)(2)(),(),(),()()()()(2)()(w w S dt w t WVD t dtw t WVD dt w t WVD t e w B w S e t A t S S S S w j t j ψ'-=⋅=⋅⋅=↔=⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ψ'πϕ条件平均时间=群时延四．时移不变性与调制不变性令 ),()(w t W V D t S S ↔则 ),()(00w t t WVD t t S S -↔- 时移不变性 ),()(00w t W V D e t S S t jw ↔ 调制不变性举例 — 高斯信号五．启示1.WVD 大多数有用性质都通过积分可得2.WVD 的平缓部分对优良性质贡献大，振荡部分则贡献小3.对WVD 作低通处理可消除交叉项干扰7.3 多成分信号的WVD一．WVD 的交叉项干扰 )()()(21t S t S t S +=)],(Re[2),(),(),(2,121w t WVD w t WVD w t WVD w t WVD S S S S S ++=⇒ 1.WVD 包括自项和交叉项两部分 2.自项相对平缓变化，交叉项高频振荡 3.交叉项幅值为相应自项的两倍 4.举例)(2)(00w w e t S t jw -→=πδt C o s w w w w w w w e e t S d t jw t jw )(4)(2)(2)(2121μπδπδπδ-+-+-→+= 221w w w +=μ 21w w w d -= 说明 a.交叉项振荡位置处于两自项中间 b.交叉项振荡频率由两自项频率差值决定例7.4 由两个具有不同时间中心和调制频率成分的高斯信号的WVD a.交叉项位于两自项中间b.交叉项在时间域和频率域两个方向上均有振荡c.频域振荡程度由两自项时间差决定 d t w w )(μ- 时域振荡程度由两自项频率差决定 )(μt t w d - 二．交叉项识别与消除1.若信号有N 种成分，则存在2)1(2-=N N C N 个交叉项，难以识别（Fig 7—8）2.交叉项干扰是WVD 平滑方法分解为级数7.4 平滑WVD一．用二维低通滤波消除交叉项1.定义：二维卷积关系 ⎰⎰+∞∞-+∞∞---⋅=dxdy y w x t WVD y x w t SWVD S S ),(),(),(φ2.抑制交叉相干扰与分辨率是矛盾的3.),(w t φ的选择二维可分离高斯函数22),(w te w t βαφ--=①优点：βα,可控制平滑扩散程度 ②1≥αβ，可保证WVD 非负 ③1=αβ，SWVD 退化为STFT 二．WVD 与STFT 关系1.STFT ：信号的WVD 与分析函数的WVD 的二维卷积的结果 ⎰⎰+∞∞-+∞∞---=dxdy y w x t WVD y x WVD w t STFT S S ),(),(),(2γ证明思路 ①代入WVD 定义②利用Jacobian 行列式进行变量替代2.说明①解释了STFT 分辨率为什么不如WVD②平滑后的STFT 不再具备WVD 的许多优良属性 ③平滑后的STFT 完全消除了交叉相干扰 3.推广依据),(w t φ不同，可得不同双线性时频分布—Cohen 类 ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=--=),(),(),(),(w t SWVD dxdy y w x t y x WVD w t C S c S S φ),(w t SWVD S二维LPF反过来， ⎰⎰+∞∞-+∞∞---=dxdy y w x t h y x C w t WVD S S ),(),(),(三．WVD 与小波变换关系SCAL(a,b):信号WVD 与母小波)(t φ的WVD 进行仿射相关的结果 ⎰⎰+∞∞-+∞∞--==dxdy ay abx WVD y x WVD b a CWT b a SCAL S ),(),(),(),(2ϕ 证明：①代入WVD 定义②利用Jacobian 行列式进行变量替代22),(),(),(b a C W J w t W V D w t S T F T S S S −−−→−−−−−←仿射相关二维卷积7．5 解析信号的二维格纳分布一．解析信号原实信号S(t)与解析信号Sa(t)的关系1.频域关系⎪⎩⎪⎨⎧<=>=0,00),(0),(2)(w w w S w w S w Sa其解析信号是单边的，删除了负频率分量，且使幅值加倍 2.时域关系3.hilbert 变换→提供一个相比于原实信号幅值频率均不变，而相位平移90度的信号）wt WVD ,(γ ),(w t WVD ϕ)s g n (0,0,)(1w j w j w j w H t -=⎩⎨⎧<+>-=↔π如[])()(2)(000w w w w t Cosw t S ++-↔=δδπ[]jw w w w t w Sin w w j w w j t S 2)()()()(2)(2)(ˆ00000+--↔++--↔⇒δδπδπδπ二．解析信号与WVD1.Sa(t)可减小交叉相干扰—去除了一个边带干扰成分（Fig 7—11）2.代价①有限时间支撑信号（如脉冲信号）展宽②瞬时频率与原信号不同（特别在低频区）—对比Fig 7—3, Fig 7—12 ③不再具备),(w t WVD S 的所有的时域属性 3.理论解释（从式7.19频域定义式出发）ΩΩ-Ω+=Ω+∞∞-⎰d e w S w Sa w t WVD t j a )2(*)2(21),(π[]w w w w 2,20202-∈Ω⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>Ω->Ω+ 扩散越严重越小，W V D w d w t W V D w S i n w t W V D t h d e w S w S H d e w S w S S S t j tj w w ττττππ),()2(2),()()2(*)2()(21)2(*)2(2122-⋅=*=ΩΩ-Ω+Ω=ΩΩ-Ω+=⎰⎰⎰∞+∞-Ω∞+∞-Ω-7.6离散WVD一．引入连续WVD 必须离散化才可为计算机处理，时域和频域全需离散化二．离散化步骤⎰⎰∞+∞---+∞∞--+=-+=due u t S u t S u d e t S t S w t WVD wu j jw S 2)(*)(22)2()2(),(τττττ1.积分变量离散化采样周期∆∆→∆→,,t du t n u 积分变量求和，有∑∆-∆-∆+∆=nt wn j S e t n t S t n t S w t WVD 2)(*)(2),(2.对时间t 离散化 ∆→m t()[]()[]∑∑∞+-∞=-∆⋅--+=∆⇒∆-∆+∆=∆⇒n wnj S twn j nS e n m S n m S t w m WVD e n m S n m S t w t m WVD 22)(*)(21),(*2),(注：①时间离散化意味着频域周期化，周期为采样频率一半t∆π，即),(),(w m W V D tw t m W V D S S =∆+∆π②为防止混叠发生，要求信号带宽小于t∆2π3.加移动窗处理∑+∞-∞=--+=n wn j S e n m S n m S n w w m PWVD 2)(*)()(2),(①加窗才可使得算法数值实现②加窗可减轻交叉相干扰（窄窗—减轻频率振荡，宽窗—减轻时间轴振荡） ③加窗要牺牲分辨率代价 ④要求长度为2L -1的对称窗进一步化简，有)(*)()0(2)(*)()(Re 4),(102m S m S w e n m S n m S n w w m PWVD L n wn j S -⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=∑-=-4．频率w 离散化Lkw π2→⇒,可借助DFT 实现 )(*)()0(2)(*)()(Re 4),(104m S m S w e n m S n m S n w k m DWVD L n n L k j -⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=∑-=-π三．注意问题1.对实样本数据，若其带宽高于t∆π，则需提高采样率，可借助内插滤波器实现。

L类多项式Wigner-Ville分布的性质与应用

２１年１０１月
第６第１卷期
Ｌ类多项式Ｗｉｎｒｉｅｇｅ－ｌ分布的性质与应用Ｖｌ
３３
，＝『（ｚ）ｄ［，］－＋（ｅ）Ｈ砸
多项式相位信号（Ｐ）时频表示一直是时频ＰＳ的
分析领域的热点问题。笔者在文献［］提出了１中
其中，Ａ为信号幅度，日卢０…，，ｐ为相位系数，『，，＜ …，）
ｔ０７。瞬时频率为Ｐ一１的多项式相位信号，Ｅ［，］阶
定义为
ＬＷＶＤ的概念，与传统多项式Ｗｉｅ－ｉｅ分布ＰｇｒｌｎＶｌ（ｗＶ）ＰＤ相比，ＬＷＶＰＤ具有更高的时频聚集性，同时对于多分量信号来说，不含交叉项干扰。
（ｄ（ｒｔｐ）
＝
Ｐ
。
（）２
具有常数幅值、最高相位次数为Ｐ的多项式相
Ａｓａｔｓａｎｗｋｄｏｍ ‘ｅｕｎｙｄｌｂｔｎ（Ｆ）ｔｅＬｃｓｆｐｌｏｉｇｅＶｌｉｒｕｏｂｔｃ：ＡｅｉｆｔｅｆｑｅｃｉｉｉＴＤ，ｈ－ａｏｏｎｍａＷｉｒｉｅｄｔｂｔｎｒｎｉｒｓｕｏｒｌｓｙｌｎ－ｌｓｉｉ￣ＰＯｓｏｌｓｔｆｍｅｒｐｒｅｏｔＦＩｉｐｐｒｔｅｒｐｒｅｏｒｌａｅ，ｍｄｆｑｅｃｉＷＶ）ｈｕｄａｓｓｏｅｉｆｅＤ．ｔｓａ，ｏｔｓｆｅｌｄｔｅｎｅｕｎｙｓｆｉｙｏｐｔｓｈＴｎｈｅｈｐｅｉａｖｕｉａｒｈｔ

Wigner分布

•
Wx
t,
Ae j0t A e 2 j0t 2e j d
•即 •
A 2 e d j0 Wx t, 2 A 2 0
（3.3.3）x(t)
•
本例的为一确定性复正弦t 信号，当
然也可t 以Wx把t, 它看 0
• 作一个平稳的随机信号，因此，其WVD与时间无关。对任
第3章 Wigner 分布
• 3.1 Wigner分布的定义 • 3.2 WVD的性质 • 3.3 常用信号的WVD • 3.4 Wigner分布的实现 • 3.5 Wigner分布中交叉项的行为 • 3.6 平滑Wigner分布
3.1 Wigner分布的定义
时－频分布分类
• 线性形式的时－频分布：
➢ 由于WWx Vt,D是信号能量随时间－频率的分布，
因此，Wx理t, 论上rx讲t,， xt 2 x应t 始终2 为正值，
但实际上并非如此。
Wx t,
因为
是
的傅立叶变
换，因此，可以保证始终为实值，但不一定能保证
非负。
３.３常用信号的WVD
• 几种典型信号的WVD
• 例3.3.1、令
•
STFT、Gabor变换及小波变换。
• 双线性形式时－频分布:
• 是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘
• 的形式出现两次。又称非线性时－频分布。 Wigner分布
•
及Cohen类分布。
联合Wigner分布定义
令信号xt y，t 的傅立叶变换X分 j别是Y j ，
x，t 那yt
• （求W3.x3t.,1）。
xt
1 t T 0 t T
• 解： t 确定2 对T

Winger-Ville分布和短时三维功率谱阵

不定原理：
给定信号 x(t) ，若
，则
当且仅当x(t)为高斯信号，即
时等号成立，式中，
分别为信号的时宽和带宽。
由定理可知，对于给定信号，其时宽与带宽的乘积为一常数。
当信号时宽减小时，其带宽将相应增大，当时宽减到无穷小时，带
宽将无穷大，反之亦然。
信号的时宽和带宽
对给定的信号 x(t)，假定它是能量信号，即其能量则信号的时间中心和频率中心分别为：
信号的时宽和带宽为：
例如矩形窗函数下图是时域矩形窗和其频谱
显然，矩形窗的宽度T 和其频谱主瓣的宽度
成反
比。由于矩形窗在信号处理中起到了对信号截短的作用，因此，若
信号在时域取得越短，即保持在时域有高的分辨率，那么由于的主
瓣变宽因此在频域的分辨率必然会下降。所有这些都体现了傅立叶
变换中在时域和频域分辨率方面所固有的矛盾。
若令
，则
一般，若x (t) 会有 N 个分量，那么这些分量之间共产生 N (N −1 ) /2个交叉项。
五、WVD的时限与带限性质１、若在t< 和t> 时，x(t)=y(t)=0，即x(t)，y(t)是时限的，则对一
切Ω，有
２、由上述结论，若 x(t)，y(t)均是因果信号，及当t<0时 x(t)=y(t)=0 ，那么
Wigner分布与短时三位功率谱阵
马正伟 2012-5-4
主要内容
1 信号的时频分析—FT的不足 2 克服FT不足的主要方法 3 Winger-Ville分布 4 WVD的应用实例 5 短时三维功率谱阵 6 短时三维功率谱阵在旋转机械的状态监测
中的应用
1 信号的时频分析
时间和频率是描述信号的两个最基本的物理量。而傅立叶变换在其中发挥着重要作用。对给定的信号x(t)，既可以时域描述，也可以通过傅立叶变换得到频谱X(jΩ)进行频域描述。傅立叶变换可以实现信号的时域和频域转换。

维格纳分布函数

维格纳分布函数维格纳分布函数是一种在数学统计学中常用的连续概率分布函数，它由维格纳-塔德科夫过程（Wiener–Takagi process）引入。

维格纳分布函数具有许多重要的特性和应用，包括金融学、物理学和生物学等领域。

维格纳分布在数学上常用随机变量X来表示，即X服从维格纳分布。

维格纳分布依赖于两个参数，其中一个参数是位置参数μ，描述了分布的中心位置；另一个参数是尺度参数λ，描述了分布的扩张程度。

维格纳分布函数的表达式如下：f(x;μ,λ) = (1/(λsqrt(2π))) * exp(-((x-μ)²/(2λ²)))其中，f(x;μ,λ)表示在给定位置参数μ和尺度参数λ下，随机变量X为x的概率密度函数。

维格纳分布函数具有以下几个重要的特点：1. 对称性：维格纳分布函数是关于参数μ对称的，即分布的左右两侧是对称的。

这是由于维格纳过程的对称性所导致的。

2. 零均值：当位置参数μ为0时，维格纳分布函数的期望值为0。

这意味着在中心位置上，随机变量的平均值为0。

3. 可变尺度：尺度参数λ描述了分布的扩张程度。

当λ越大时，维格纳分布函数的曲线越平缓，随机变量的取值范围将更广；反之，当λ越小时，曲线越陡峭，随机变量的取值范围将更窄。

维格纳分布函数在各个领域都有广泛的应用。

以下是其中几个重要的应用示例：1. 金融学：维格纳分布函数常被用来模拟股票价格的波动性。

它可以用来估计股票价格在特定时间段内的波动幅度，从而帮助投资者评估风险并做出投资决策。

2. 物理学：维格纳分布函数在物理学中常被用来描述粒子在液体或气体中的随机运动。

这种随机运动可以用维格纳过程来建模，维格纳分布函数则可以描述每个时刻粒子的位置分布。

3. 生物学：维格纳分布函数也可以用来描述生物体内一些随机运动过程。

比如，细胞内一些分子的扩散运动、蛋白质的折叠过程等都可以用维格纳过程和维格纳分布函数来模拟和分析。

维格纳分布函数是一个非常重要且灵活的概率分布函数，具有许多有趣的性质和应用。

Winger-Ville分布和短时三维功率谱阵

注意：若x(t)含有常数的相位因子，如
，则由于
将相位因子抵消，由WVD恢复的x(t)将不含相位因子。
四、WVD的运算性质１、移位
取
２、调制取
３、移位加调制取
，则，则，则
上边三式分别称为 WVD的移位不变性、频率调制不变性、移位加调制不变性。
４、时间尺度
取
，则
５、信号的相乘令y(t)=x(t)h(t)，则
体会
1 FT只能实现信号的时域或频域单独描述，无法表示时域和频域之间的关系，故只适用于平稳信号或非时变信号，对非平稳信号，只能表示一个总的平均结果。
2 FT在信号的时域和频域分辨率之间存在固有矛盾，所有试图克服这一不足既得到较好的时间分辨率又得到较好的频率分辨率的信号分析方法仍然受不定原理的制约，无法同时实现两者的最优。
该式指出，两个信号积的自 WVD等于这两个信号各自 WVD在频率轴上的卷积。利用这个性质，对无限长的信号加窗截短时，只影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。
６、信号的滤波令y(t)=x(t)*h(t)，则
７、信号的相加令
，则
该式指出，两个信号和的WVD并不等于它们各自WVD的和，存
在“交叉干扰项”。这是WVD的一个严重缺陷。
但是，现实世界中绝大部分信号的频率都是随时间变化的，即都是时变信号，傅立叶变换不能反映频率随时间的变化。信号的瞬时频率（IF）：
假设信号
则瞬时频率IF定义为ϕ (t)对 t 的导数，即：
平稳信号的IF为一常数，非平稳信号的IF为时间t的函数。
如一线性频率调制信号
信号的瞬时频率：信号的时频表示如下图：
3 Winger-Ville分布
的傅立叶变换分别为

Wigner分布

么xt， yt的联合Wigner分布定义为：
Wx,y t,
xt
2 y＊t
2 e j d
信号xt的自Wigner分布定义为：
（3.1.1）
Wx t,
xt
2 （x＊3.t1.2）2 e j d
Wigner分布又称Wigner－Ville分布，简称为WVD。
若令 2 ，则 d，代2d入（3.1.1）有
第3章 Wigner分布
第3章 Wigner 分布
3.1 Wigner分布的定义 3.2 WVD的性质 3.3 常用信号的WVD 3.4 Wigner分布的实现 3.5 Wigner分布中交叉项的行为 3.6 平滑Wigner分布
第3章 Wigner分布
3.1 Wigner分布的定义时－频分布分类
2
d
1
2
Wx t, dtd
(x3.t2.28d)即t ，x(t
),
x(t在) 某一时间
带内W对x t时, 间的积分等于信号在该带内的能量，在某一频带内
的积分也有着同样的性质。而
在整个平面
W上x的t,积
分等于信号的t－能量。由后面的讨论可知，
在平面上某
一点的W值x 并t, 不能反映信号的能量，这是因为
e
jt d
若xt 含有常数的相位因子，如xt Ate j，由于
rx t, xt 2 x t 2 At 2 At 2
因此由WVD恢复出的 xt 将不会有此相位因子。
xt
第3章 Wigner分布
WVD的运算性
质
➢ 移位——WVD的移不变性
令
xt xt , yt yt
则
Wx,y t, Wx,y t ,

evans公式

evans公式【原创版】目录1.Evans 公式的定义和背景2.Evans 公式的应用领域3.Evans 公式的优点和局限性4.我国在 Evans 公式研究方面的发展正文1.Evans 公式的定义和背景Evans 公式，又称 Evans-Wigner 分布，是一种描述量子纠缠的数学公式。

该公式由物理学家 G.Evans 在 1934 年提出，它描述了两个量子系统之间的纠缠程度。

纠缠是量子物理学中的一种独特现象，指的是两个或多个量子系统之间存在的一种特殊的关联关系。

Evans 公式为研究这种关联关系提供了一种定量的方法。

2.Evans 公式的应用领域Evans 公式在量子信息科学领域具有广泛的应用。

在量子通信、量子计算、量子密码学等领域，Evans 公式被用于评估量子系统之间的纠缠程度，为研究和设计量子信息处理方案提供了理论依据。

此外，Evans 公式还在量子多体系统、量子热力学等领域有重要应用。

3.Evans 公式的优点和局限性Evans 公式的优点在于它提供了一种简单直观的方式来描述量子纠缠，并且可以应用于各种不同的量子系统。

然而，Evans 公式也存在局限性。

例如，它只能描述两个量子系统之间的纠缠，对于多个量子系统的纠缠描述能力有限。

此外，Evans 公式在面对一些特殊的量子系统时，可能无法准确描述其纠缠性质。

4.我国在 Evans 公式研究方面的发展我国在 Evans 公式研究方面取得了显著的成果。

在理论研究方面，我国科学家们对 Evans 公式的推广和改进进行了深入研究，提出了一些新的纠缠度量方法。

在实验研究方面，我国在量子通信、量子计算等领域的实验研究中，积极应用 Evans 公式评估量子系统的纠缠程度，为实现量子信息技术的突破提供了理论支持。

总之，Evans 公式作为一种描述量子纠缠的数学公式，在量子信息科学领域具有重要应用价值。

维格纳函数

维格纳函数一、维格纳函数的定义维格纳函数是一种特殊的数学函数，由奥地利数学家Ernst Wigner在20世纪30年代提出。

它是量子力学中描述物理系统的一种数学工具，可以用来描述物理量在不同状态下的概率分布。

二、维格纳函数的性质1. 维格纳函数是实数函数，但不是正定函数。

2. 维格纳函数具有对称性，即W(x,y)=W(y,x)。

3. 维格纳函数在x=0处为最大值，随着x的增大而逐渐减小。

4. 维格纳函数在x趋于无穷大时趋近于零。

三、维格纳函数的应用1. 在核物理中，维格纳函数被广泛应用于描述核子间相互作用。

2. 在凝聚态物理中，维格纳函数被用来描述电子在晶体中的行为。

3. 在统计力学中，维格纳函数被用来描述粒子之间的相互作用。

四、计算维格纳函数计算维格纳函数可以采取多种方法。

以下介绍两种常见方法：1. 傅里叶变换法首先将要求解的系统离散化，并将其表示为一个矩阵。

然后将矩阵进行傅里叶变换，得到一个新的矩阵。

最后将新的矩阵进行逆傅里叶变换，得到维格纳函数。

2. 蒙特卡罗模拟法蒙特卡罗模拟法是一种随机数方法，通过随机生成大量样本来近似计算某个问题的解。

在计算维格纳函数时，可以采用蒙特卡罗模拟法来生成大量的样本，并根据样本来计算维格纳函数。

五、代码实现以下是Python语言实现维格纳函数的代码：```pythonimport numpy as npdef wigner(x, y):return (2/np.pi)*np.exp(-(x**2+y**2)/2)*np.sin(2*x*y)# 生成x和y的坐标轴x = np.linspace(-5, 5, 100)y = np.linspace(-5, 5, 100)# 将坐标轴转化为网格形式X, Y = np.meshgrid(x, y)# 计算维格纳函数Z = wigner(X, Y)# 绘制等高线图import matplotlib.pyplot as pltplt.contourf(X, Y, Z)plt.show()```六、总结维格纳函数是一种重要的数学工具，在量子力学、核物理、凝聚态物理和统计力学等领域都有广泛的应用。