三角函数化一公式例题解析

三角函数化一公式解析

一、化一公式

三角函数化一公式是指如下的三角函数公式：

)cos()sin(cos sin 2222θϕ-+=++=+x b a x b a x b x a ，

其中

2

2sin cos b a a +=

=θϕ，2

2cos sin b a b +=

=θϕ，

θϕ、

完美地融入直角梯形中。

如果0=ab ，则公式显然成立。不妨假设0≠ab ，则

[]),

sin( cos sin sin cos cos sin cos sin 2222222

222ϕϕϕ++=++=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡++++=+x b a x x b a x b a b

x b a a b a x b x a

同理可得

)cos(cos sin 22θ-+=+x b a x b x a 。

二、公式的应用

化一公式把含有两个三角函数x sin 、x cos 的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题，从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。这些问题均是三角函数的基本问题，但学生往往难以掌握。下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。

1、三角函数最值问题 例1、求函数

R x x x x x f ∈+=),cos (sin sin 2)(

的最大值。

解析：142sin 212cos 2sin cos sin 2sin 2)cos (sin sin 22+⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=+-=+=+πx x x x x x x x x 。

于是，函数的最大值是12+。

例2、求函数

R x x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,94sin 59sin 3)(ππ

的最大值和最小值。 解析：

)

sin(7 )sin(94sin 59sin 394cos 59cos 3 cos 94sin 59sin 3sin 94cos 59cos 394sin 59sin 32

2

ϕϕππππππππππ+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛

++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x

x x x

因此，该函数的最大值和最小值分别是7、-7。

例3、已知函数

R x x a x x f ∈++=,4cos sin 2)(

的小值为1，求参数a 的值。

解析：

R x x a x f ∈+++=,4)sin(4)(ϕ，2

tan a

=

ϕ。 因函数的最小值是1，即144=+-a 。因此5=a 。

2、三角函数的单调区间 例4、求函数

()ππ2,2,2

cos 2sin )(-∈+=x x

x x f

的单调递增区间。

解析：用化一公式将函数简化为

⎪⎭

⎫

⎝⎛+=+42sin 22cos 2sin

πx x x 。 注意到函数的定义域，从而⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-

∈+45,4

34

2

πππx 。利用正弦函数的单调性立即可知函数f 的单调递增区间为⎥⎦

⎤ ⎝

⎛-2,2ππ。

例5、求函数

],0[,cos cos sin 32sin )(44π∈-+=x x x x x x f

的单调区间。 解析：因为

⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=-=-+=-+62sin 22cos 2sin 3cos sin 2sin 3cos cos sin 32sin 2244πx x x x x x x x x x 。

利用正弦函数的单调性，立即得到函数f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,653,0 ，单调递减区间为⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡

65,3ππ。

3、三角函数的最小正周期

周期现象是一种普遍而重要的自然现象，对于描述周期现象的有力工具之一——三角函数，其最小正周期实际问题中扮演着一个重要角色，例如Fourier 级数。因此，如何寻求三角函数的最小正周期无疑是一个十分重要的课题。而化一公式无疑又是解决这个问题的一把钥匙。

对于例1中的函数，利用化一公式，我们立即可知该函数的最小正周期为

π。类似地，对于另一高考题：求函数x x s y cos sin 32cos -=的最小正周期，也可

获知其最小正周期为π

4、三角函数图象的对称轴、对称中心及相关问题 例6、若函数

R x x a x x f ∈+=,2cos 2sin )(

的图像关于直线8

π-=x 对称，则参数a 的值为多少

解析：利用化一公式，有

a x a x a x =++=+ϕϕtan ),2sin(12cos 2sin 2。

根据题意

43,182ππϕπ+

=+=⎪⎭

⎫

⎝⎛-k a f 。 进而，1-=a 。对于这个函数，如果图像关于点⎪⎭

⎫

⎝⎛-0,6

π对称，用同样的方法可知

3=a 。

例7、已知函数

R x x x x x f ∈++=,1cos sin 2

3cos 21)(2。

该函数图象可由R x x y ∈=,sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变化得到 解析：首先利用化一公式可得

R x x x f ∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,4

5

62sin 21)(π。

进而，该问题就可迎刃而解。

5、解三角方程和三角不等式 例8.求三角方程01cos 3sin =--x x

利用化一公式和正弦函数的性质，立即可知其解集为

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+=Z k k x k x x ,62 22ππππ或。

例9.解三角不等式1cos 3cos sin 2sin 22≤+-x x x x

同样地，利用化一公式和正弦函数的单调性立即可知解集为

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈-≤≤-Z k k x k x ,42π

πππ。