求根公式法解一元二次方程的五个注意点5

求根公式法解一元二次方程的五个注意点

大家知道，一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，方程有两个实数根：x 1,2＝242b b ac a -±-；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根.尽管如此，我们在具体求解时还应注意以下几个问题：

一、注意化方程为一般形式

例1 解方程：6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).

分析 将原方程整理成一元二次方程的一般形式后确定a 、b 、c 的值，代入求根公式求解.

解 原方程可化为：4x 2－x －2＝0. 因为a ＝4，b ＝－1，c ＝－2，所以b 2－4ac ＝(－1)2－4×4×(－2)＝33＞0. 所以x ＝242b b ac a -±-＝(1)3324--±

⨯＝1338±， 即x 1＝133

8+，x 2＝133

8-.

说明 对于结构较为复杂的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为一般形式，然后才能想到运用求根公式.

二、注意方程有实数根的前提条件是b 2－4ac ≥0 例2 解方程：3x 2＝5x －4.

分析 先移项，化原方程为一般形式，确定a 、b 、c 的值，再估算一下b 2－4ac 的值.

解 移项，得3x 2－5x +4＝0.

因为a ＝3，b ＝－5，c ＝4，所以b 2－4ac ＝－23＜0，因此一元二次方程无实数解.

说明 由本题的求解过程，我们可以看出在解一元二次方程时，化一元二次方程为一般形式，确定a 、b 、c 的值后，估算一下b 2－4ac 的值非常重要，不然就有可能出现下列的

错误：x 1,2＝242b b ac a -±-＝523

6±-.

三、注意a 、b 、c 的确定应包括各自的符号 例3 解方程：2x 2－5x +1＝0.

分析 已知方程已经是一般形式，只要对号入座地写出a 、b 、c ，再求b 2－4ac 的值，最后即求解.

解 因为a ＝2、b ＝－5、c ＝1，所以b 2－4a ＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.

所以x ＝242b b ac a -±-＝(5)1722--±

⨯＝5174±， 即x 1＝517

4+，x 2＝517

4-.

说明 确定出a 、b 、c 的值，应注意两个问题：一是要化原方程为一般形式，二是要注意连同a 、b 、c 本身的符号，特别是“－”号更不能漏掉.

四、注意一元二次方程如果有根，应有两个 例4 解方程：x (x －23)+3＝0.

分析 将原方程化为一般形式后代入求根公式.

解 原方程可化为x 2－2

3x +3＝0.因为a ＝1、b ＝－23、c ＝3，所以b 2－4a ＝(－2

3)2－4×1×3＝0. 所以x ＝242b b ac a

-±-＝(

)23021--±⨯＝3. 所以x 1＝x 2＝

3. 说明 当b 2－4a ＝0时表明原方程有两个相等的实数根，所以在具体作答时不能出现x ＝

3的错误. 五、求解出的根应注意适当化简

例5 解方程：2x 2－2x －1＝0.

分析 因为a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，所以b 2－4ac ＝(－

2)2－4×2×(－1)＝12.

所以x ＝242b b ac a -±-＝212

22

±⨯＝2234±. 所以x 1＝23

1+，x 2＝23

1-.

说明 本题利用求根公式求得的结果时应约去分子与分母中的公约数，以便使结果简便，值得注意的是，在化简时一定要注意不能出现差错.

下面几道题目供同学们自己练习：

用求根公式解下列方程：

1，x 2－3x ＋2＝0.

2，x 2+2x ＝3.

3，9x 2+10x －4＝0.

4，10y 2－12y +1＝0.

5，3x (x －1)＋2x ＝2.

6， x 2+

2x －4＝0. 7，(x －3)2＝43x .

8，3x (x －2)＝2(x －2).

用求根公式解下列关于x 的方程：

9，x 2+2ax +a 2－b 2＝0.

10，x 2+2(p －q )x －4pq ＝0.

11，(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2(a 2－b 2≠0). 12， (x +a )(x －b )+(x －a )(x +b )＝2a (ax －b ).

参考答案：1，x 1＝1，x 2＝2；2，x 1＝－3，x 2＝1；3，x ＝561

9-±；4，x ＝626

10±；5，x 1＝1，x 2＝23；6，x ＝2252

-

±；7，x 1＝x 2＝－3；8，x 1＝2，x 2＝23

，9，x 1＝－a －b ，x 2＝－a +b ；10，x 1＝－2p ，x 2＝2q ；11，x 1＝－a b a b -+，x 2＝a b a b +-；12，x 1＝0，x 2＝a 2.