「离散数学」讲义李克凡
离散数学第六版讲解
离散数学第六版讲解
离散数学第六版主要研究一些不连续的数学问题，是研究离散量的结构及相互关系的学科，具有很强的抽象性。
离散数学的特征包括离散性、可构造性和抽象性。
离散性是指以离散量为研究对象，可构造性则是指在求解中注重过程与步骤，且步骤是有限的、有规则的，易于进行算法描述。
抽象性则体现在数值vs. 元素、运算vs. 关系以及研究推理的抽象性与形式化。
离散数学是计算机、软件专业本科生必修的专业基础课，一方面给后继课，如“数据结构”、“编译系统”、“操作系统”、“数据库原理”等提供必要的科学基础；另一方面，通过学习离散数学，培养和提高了同学们的抽象思维和逻辑推理能力，为大家今后继续学习和工作打下坚实的数学基础。
此外，网络上也有很多关于离散数学的讲解视频，如东北大学的《离散数学》课程、屈婉玲主讲的《离散数学》课程等。
这些视频可以帮助你更深入地理解离散数学的概念和应用。
以上内容仅供参考，建议查阅离散数学相关书籍获取更全面和准确的信息。
离散数学讲义(第1章)
1-2 联结词（续）
例：P：上海是一个大城市。 P：上海并不是一个大城市。 或 P：上海是一个不大的城市。
这两个命题具有相同的含义，因此用 同一个符号表示。
17
1-2 联结词（续）
P与 P的真值关系：
P
T F
PHale Waihona Puke F T否定是一个一元运算。
18
1-2 联结词（续）
（2）合取 设P，Q是两个命题，新命题“P并且Q”是 一个复合命题，称为命题P，Q的合取。记作： P∧Q 如：P：北京是中国的首都。 Q：北京是一个故都。 P∧Q：北京是中国的首都并且是一个 故都。
5
趣味逻辑数学题－巧猜围棋子
用数理逻辑学方法解题
P表示：“棋子为白色” Q表示：“甲说的是真话” 数理逻辑运算符： （非），（与），（或）
问题答案：S=(PQ)(PQ)
6
第一篇
数理逻辑
7
数理逻辑
数理逻辑是用数学方法来研究推理 过程的科学。主要是指引进一套符 号体系的方法，因此数理逻辑一般 又叫符号逻辑。 基本内容是：命题逻辑（演算）和 谓词逻辑（演算）。
22
1-2 联结词（续）
P∨Q的真值关系：
P T T F F Q T F T F P∨Q T T T F
析取是一个二元运算。
23
1-2 联结词（续）
注意：析取联结词∨与汉语中的“或”的意义不 完全相同。汉语中的“或”既可以表示“排斥 或”，也可以表示“可兼或”。
例如： P：今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。 Q：他可能是100米或400米赛跑的冠军。
28
1-2 联结词（续）
在命题演算中，五个联结词的含义由真值表唯一确定。
离散数学(第四版)讲义1
引言Discrete Math.离散数学研究离散对象及其相互间关系的一门数学学科。
研究离散结构的数学分支。
（辞海）计算机科学、信息科学、数字化科学的数学基础离散数学的内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)组合论(Combination)线性代数(Linear Algebra)概率论(Probability Theory)……与高等数学的区别教学内容：数理逻辑(Mathematics Logic)集合论(Sets)代数结构(Algebra Structure)图论(Graph Theory)离散数学的由来与发展：一、古老历史：计数：自然数发展：图论：Konigsberg七桥问题二、年青新生：计算机：二进制运算离散数学课程设置：计算机系核心课程信息类专业必修课程其它类专业的重要选修课程离散数学的后继课程：数据结构、编译技术、算法分析与设计、人工智能、数据库、……离散数学课程的学习方法：强调：逻辑性、抽象性；注重：概念、方法与应用参考教材：1、离散数学（耿素云，屈婉玲，北大版）2、离散数学（方世昌，西安电子科大版）3、离散数学结构（第三版、影印版）（Bernard Kolman、Robert C.Busby、Sharon Ross，清华版）4、离散数学提要与范例（阮传概、卢友清，北京广播学院版）第一章命题逻辑（Proposition Logic）1、命题符号化及联结词2、命题公式及分类3、等值演算4、联结词全功能集5、对偶与范式6、推理理论逻辑学：研究推理的一门学科数理逻辑：用数学方法研究推理的一门数学学科——一套符号体系+ 一组规则数理逻辑的内容：古典数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑现代数理逻辑：逻辑演算、公理化集合论、递归论、模型论、证明论1、命题符号化及联结词命题(Proposition)：一个有确定真或假意义的语句。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学讲义(第4章)
4-4 基数的概念（续）
Peano公理：
（1）0N，（其中0=） （2）如果0N，则n+N（其中n+=n∪{n}）
（3）如果一个子集S N具有性质：
（a） 0S （b）如果nS，有n+S 则S=N
注：
1）性质（3）称极小性质，指明了自然数系统的最小性。 即自然数系统是满足公理（1）（2）的最小集合。 2）自然数也可不从0开始，只需定义=1即可。
证明：令f：PS，f(x)=tg-1x/p+1/2 (- ∞ <x< ∞)
显然f的值域是S，且f是双射函数。
18
4-4 基数的概念（续）
定理：在集合族上等势关系是一个等价关系。 证明：设集合族为S a）对任意的A S，必有A A b）若A,B S，如果A B，必有B A c）若A,B,C S，如果A B，B C，则有A C 定义：如果有一个从集合{0,1,…,n-1}到A的双射函数，那 么称集合 A 是有限的；如果集合 A 不是 有限的 ，则它是 无 限的。 定理：自然数集合N是无限的。 证明：设 n 是 N 的任意元素，f 是任意的从 {0,1,…,n-1} 到 N 的函数。设k=1+max{f(0),f(1),…,f(n-1)} ，那么k N， 但对每一个x {0,1,…,n-1}，有f(x) k。因此f不能是满 射函数，即f也不是双射函数。因为n和f都是任意的，故N 是无限的。
注：一般有h (g f) = (h g) f，即函数的复合是可结 合的。因此可以将括号去掉。
12
4-2 逆函数和复合函数（续）
定义：函数f：X Y称作常函数，如果存在某个y0 Y， 对于每个x X，都有f(x)=y0，即f(X)={y0}。 定义：如果Ix={〈x,x〉|xX}，则称函数Ix：X X为恒 等函数。
离散数学讲义第2章
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学基础(洪帆)第二章_关系
则称有向图G为关系 的关系图。
令有向图G=(V,E), 其中顶点集V=A,边集E按如下规定: 有向边 (ai ,a j ) E (ai , a j )
例3 设集合A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)} S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)} 都是 A上的二元关系。 画出关系R与S的关系图。 R和S的关系图分别如下图(1)和图(2)所示：
例3 设A={a,b,c,d}，A上的关系: ={(a,a),(a,b),(b,d),(c,a),(d,c)} 4 试求复合关系 。
2.4 复合关系的关系矩阵和关系图
一、布尔运算 布尔运算只涉及数字0和1, 数字的加法和乘法按照以下方式进行： 0+0=0 0+1=1+0=1+1=1 1· 1=1 1· 0=0· 1=0· 0=0 如：(1· 1)+(0· 1· 1)+(1· 0· 0)+1+0=1
例2 设A={0,1}, B={2,3}, C={3,4}则： A×B×C={(0,2,3), (0,2,4),(0,3,3),(0,3,4) (1,2,3),(1,2,4),(1,3,3),(1,3,4)} (A×B)×C={((0,2),3),((0,2),4),((0,3),3),((0,3),4), ((1,2),3),((1,2),4),((1,3),3),((1,3),4)} A×(B×C)={(0,(2,3)),(0,(2,4)),(0,(3,3)),(0,(3,4)), (1,(2,3)),(1,(2,4)),(1,(3,3)),(1,(3,4))}.
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
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集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
离散数学导论
离散数学导论离散数学是数学的一个分支，侧重于非连续或离散的数值和结构。
它与连续数学形成对比，连续数学主要关注于连续的数值和结构。
离散数学在计算机科学、信息技术、通信工程和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和主要应用领域。
一、排列与组合排列和组合是离散数学中的基本概念，它们用于确定事物的排列方式和组合方式。
排列是指从一组事物中选取一部分进行排列，而组合是指从一组事物中选取一部分进行组合。
排列和组合在算法设计、密码学和概率论等领域中有着重要的应用。
二、图论图论是研究图和网络结构的数学分支。
图由节点（顶点）和连接节点的边组成。
图论可以用于描述和解决各种实际问题，如交通网络、社交网络和通信网络等。
图论的一些重要概念包括图的遍历、最短路径和最小生成树等。
三、布尔代数布尔代数是一种逻辑系统，用于描述逻辑关系和逻辑运算。
它主要关注真值逻辑，即真和假的组合和运算。
布尔代数在计算机科学、电路设计和逻辑推理等方面有广泛的应用。
布尔代数的基本运算包括与、或、非和异或等。
四、数论数论是研究整数性质的数学分支。
它涉及素数、最大公约数、同余关系和数论函数等内容。
数论在密码学、编码理论和算法设计等领域中有着重要的应用。
例如，RSA加密算法就是基于数论的。
五、概率论概率论是研究随机事件及其概率分布的数学分支。
它主要关注事件发生的可能性，以及如何计算和描述这种可能性。
概率论在统计学、决策分析和风险评估等领域中有广泛的应用。
一些重要的概念包括条件概率、期望值和方差等。
六、离散数学在计算机科学中的应用离散数学在计算机科学中有着广泛且重要的应用。
例如，图论可以用于设计和分析网络算法；概率论可以用于设计和分析随机算法；布尔代数可以用于逻辑电路设计和布尔函数优化等。
离散数学的基本概念和方法为计算机科学的发展提供了理论基础。
总结离散数学是一门基础而重要的学科，它在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。
本文介绍了离散数学的一些基本概念和主要应用领域，包括排列与组合、图论、布尔代数、数论和概率论等。
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若V1 V，E1 E，则称G1是G的子图，记为G1 G；
deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3；
无自回路的线图称为简单图。
于是|V1|为偶数(因为V1中的结点v之deg(v)都为奇数)，即奇度数的结点个数为偶数。
(o)
(p)
二、度数
定义 在无向图G＝<V，E>中，与结点v(vV)关联的边的条 数，称为该结点的度数，记为deg(v)；
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无 向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点， 否则称为不邻接的；
4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
离散数学图论课件
（优选）离散数学图论课件
离散数学
2
图的术语
1) 若边e与结点无序偶(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为 e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
2) 若边e与结点有序偶<u，v>相对应，则称边e为有向边(或 弧)，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点(或弧尾)，v是 边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义 在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为 奇数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数， 则称此结点为偶度数结点。
例：
例：
deg(v )＝3，deg (v )＝2，deg (v )＝1； 例:如下图所示，图(a)、图(b)、图(c)和图+ (d)所表示的图形实际上都是-一样的。
离散数学课件ppt
随机性与概率
随机性表示试验结果的不 确定性，概率则表示随机 事件发生的可能性大小。
统计数据的收集和整理
数据来源
数据质量
数据可以来源于调查、实验、观测、 查阅文献等多种途径。
数据质量包括数据的准确性、可靠性 、完整性等方面，是数据分析的前提 和基础。
数据整理
数据整理包括数据的分类、排序、分 组、编码等步骤，以便更好地进行数 据分析。
必然事件
概率值为1的事件。
03
04
不可能事件
概率值为0的事件。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
概率的加法原理和乘法原理
加法原理
对于任意两个互斥事件A和B，有 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
乘法原理
对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件概率和独立性
要点一
条件概率
离散数学课件
目录 CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 离散统计学基础 • 离散数学中的问题求解方法
01
离散数学简介
离散数学的起源
19世纪初
集合论的提出为离散数学的起源 奠定了基础。
20世纪中叶
随着计算机科学的兴起，离散数 学逐渐受到重视和应用。
子集、超集和补集
总结词
子集、超集和补集是集合论中的重要概念，它们描述了集合之间的关系。
详细描述
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，超集是指一个集合包含另一 个集合的所有元素，补集是指属于某个集合但不属于其子集的元素组成的集合。
集合的运算性质
总结词
集合的运算性质包括并集、交集、差集等，这些运算描述了 集合之间的组合关系。
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1.1 命题及联结词
运算符“析取” 与汉语的“或”几乎一致但有 区别：哪些老师讲离散数学？有人回答如下：
(16)“讲离散数学的老师是杨老师或吴老师”， 分解为
“讲离散数学的老师是杨老师”或 “讲离散数学的老师是吴老师”， 这两个原子命题有可能都是对的， 这种“或”称为“可同时为真的或”， 或简称为“可兼或”。 这种“或”表示可表 示为“析取”
1.1 命题及联结词
定义1.4条件:当p是1 ,q是0时,pq为0,即10 为0,其他情况为1。
逻辑运算符“如果…那么”， 如老妈说：“如果期终考了年级前10 名，那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为pq。 先考虑值为0即假的情况： 当p为1即“期终考了年级前10”， 且q为0即“没有奖励1000元” 这时老妈的话是假话空话，
这个例题有点不正点！ “郎才当且仅当女貌”，
可以表示为“郎才女貌”
1.2命题公式
对错明确的陈述语句称为命题，其真值t/f 0/1 C运算：加+、减-、乘x、除/、余数%， 命题逻辑：合、析、否定、条件、双条件(版) C语言中用变量x表示某些数，如x*x+x+10是表达式，
命题逻辑中用变量p,q,r表示任意命题，由命题常元与 此类变量所构成表达式，称为“命题公式”。
无论p/q取何值，这两个公式的值，与前面各例 不同，此表是将运算结果写在联结词的下方！
1.3 等值式
定义1.3.1等值： 对于合法的命题公式A、B， 若无论其中的命题变元取何值，A 、B值总相等， 称为两个公式等值，记为AB (边播边板)
目的:
1．掌握离散数学五大核心内容（集合论、数 理逻辑、代数结构、图论、组合数学）的基本概 念、基本理论、基本方法，训练提高学生的概括 抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力，培养 学生严谨、完整、规范的科学态度和学习思维习 惯。
离散数学大一第1章知识点总结
离散数学大一第1章知识点总结离散数学是一门学科，它主要研究离散的数学结构和离散的数学对象。
它与连续数学形成鲜明的对比，连续数学主要研究连续的数学结构和连续的数学对象。
离散数学在计算机科学、信息科学、数学、电子工程等领域有着广泛的应用。
离散数学的第1章主要介绍了一些基本概念和基础知识。
这些知识对学习离散数学后续的内容起到了铺垫作用。
首先，我们来讨论集合的概念。
在离散数学中，集合是一个基本的概念。
它是指具有确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
集合可以用列表、描述、特征等方式表示。
在集合中，元素的顺序是不重要的，而且每个元素只能在集合中出现一次。
集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。
接下来，我们介绍了逻辑的基本概念。
在离散数学中，逻辑主要研究命题和命题之间的关系。
命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的。
逻辑运算符包括否定、合取、析取、条件、双条件等。
通过使用逻辑运算符，我们可以构建复合命题。
离散数学中还介绍了数学归纳法。
数学归纳法是一种证明方法，它用于证明与自然数有关的命题。
数学归纳法的基本思想是：首先证明基础情况成立，然后假设一个数k的情况成立，再证明k+1的情况也成立。
通过这种方式，我们可以证明自然数的某个性质对所有数值都成立。
离散数学的第1章还介绍了关系和函数。
关系是一个集合，其中包含了有序对。
关系可以是自反的、对称的、传递的等。
函数是一种特殊的关系，它的每一个输入都有且只有一个输出。
函数可以表示为图表、公式或算法的形式。
函数的定义域和值域是函数的重要概念。
另外，离散数学的第1章还介绍了图论的基础知识。
图是由节点和边组成的结构。
节点表示对象，边表示节点之间的关系。
图可以是有向的、无向的、加权的、连通的等。
图的表示方法包括邻接矩阵和邻接表等。
总的来说，离散数学的第1章主要介绍了集合、逻辑、数学归纳法、关系、函数和图论的基本概念和基础知识。
这些知识对后续章节的学习至关重要，构建了离散数学的基础框架。
离散数学讲义
则u A B 则u A B 则u A B 则u A B
B
0
0 0 1
0 0
0 1 1 0
表中反映元素是否属于A.B交. 并的情形 . 1 1
A.,B产生的集合成员表.可以推广到A1,A2,… Ar 所产生的集
合S上去,一般由A1,A2,… Ar 所产生的集合S的成员表具体 表示如下: 该成员表的前r列标记 A1,A2,… Ar ,最后一列标记
全集因所讨论的问题不同可相异.例如:
讨论正整数范围内U可取作N;实数讨论问题U可取
作R. 定义2: 设A.B为二集合.属于A或B的所有元素构 成的集合称为A与B的并.记为A∪B.即 A∪B={u | u∈Aoru∈B}
既属于A又属于B的所有元素构成的集合称为A与
B的交. 记为A∩B.即 A∩B={u | u∈A且u∈B} 例 ( 略)
Q:
全体有理数(形如i/j的数, i∈I, j∈I )
b.集合的表示法:
1. 列举法: 把集合的元素按任意顺序写在一个花 括号里,并用逗号分开的方法称为列举法.有限集及 可数集可以用这种方法表示. 2. 描述法: 将集合中的元素以定义的形式给出的.
即给定一个条件p(x),当且仅当a使条件p(x)成立时,
若A∩B=φ,称A.B不相交.如A1 ={{1,2},{3}}
A2={{1,2,3}} A3={{1},{1,2}} 则Aj ∩ Ai= φ
基本运算规律: 1.A A∪B
2. 若 A B,
B
A A∩B B
A∪B A∩B
B=A∪B
则 A=A∩B
定义3: 设A.B为二集合.属于B而不属于A 的元素构成 的集合,称为A关于B的相对补集.记为B－A.
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1 ⎡0 1 0 0⎤ 2 ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥ 3 ⎢0 0 0 0⎥ 4 ⎢⎣1 0 1 0⎥⎦
Multiplicity: The number of the edges from vertex v to vertex u.
abc
Eg.
The adjacent matrix of the left graph is
Eg. For the left graph, the adjacent matrix A is
⎡1 1 0 1⎤
⎡3 1 3 1⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢0
0 1
1 0
0⎥⎥ 2⎥
and
A2 = ⎢⎢1 ⎢3
2 0
0 5
3⎥⎥ 0⎥
.
A213=3
⎢
⎥
means that there are 3 paths of length 2 from vertex 1
Eg. For the left graph, the path from a to d through b, c is 3, the path from g to b via a is 2.
Weight, w(v,x): The weighting value of edge from vertex v to vertex x. Weighted graph: A graph’s each edge has a weight. Eg. A weighted graph (left) and an un-weighted graph (right).
Chapter 1 Graph Theory
1-1 Representations of Graphs Graph, G=(V,E): It consists of the set V of vertices and the set E of edges. If each edge has its direction, the graph is called the directed graph (digraph). If each edge is undirected, the graph is called the undirected graph (multigraph). Eg. An undirected graph (left) and a directed graph (right).
Adjacent matrix: A=[Aij], where Aij is the number of paths from vertex i to vertex j. Eg. For the left graph, the corresponding adjacent matrix is
. Eg. For the left digraph, the corresponding adjacent matrix is
and the
⎡0 1 0 0⎤
corresponding
adjacent
matrix
of
G*
is
M*=
⎢⎢1 ⎢1
0 0
0 1
1⎥⎥ 1⎥
.
⎢
⎥
⎣0 0 1 0⎦
Theorem If A is the adjacent matrix of a simple graph, the ijth entry of An is equal to the number of paths of length n from vi to vj. And the diagonal entries of A2 give the number of the edges on the vertices.
a ⎡0 b ⎢⎢1
2 0
1⎤ 3⎥⎥
.
The
c ⎢⎣2 0 0⎥⎦
multiplicity of (a,b) is 2 and the multiplicity of (b,c) is 3.
Simple graph: The graph whose entry of the adjacent matrix is 0 or 1 is called a
Weighted length of a path: The sum of weights of the edges in one path. Eg. For the left graph, the weighted length from a to c via b is 2+3=5. The weighted length from a to b via d is 2+11=13.
simple graph.
Eg. The graph G* is a simple graph,
but G is not a simple graph. The
corresponding adjacent matrix of G
⎡0 2 0 0⎤
is
M=
⎢⎢1 ⎢2
0 0
0 1
4⎥⎥ 1⎥
⎢
⎥
⎣0 0 1 0⎦
to vertex 3: 1→2→3, 1→4→3 (straight line), and
1→4→3 (curve).
Eg. For the left simple graph, the adjacent matrix A is
,
A13=2 means that there are 2 paths of length 2 from a to c: a→b→c and a→d→c. The diagonal entries of A2 give the number of the edges on the vertices. For example, [A2]33=3 means that there are 3 edges incident on c.
Path: A set of edges of which each edge connects to the initial vertex of the next edge is called a path. Length of a path: The number of the edges in one path.