江苏省锡山高级中学高二2020-2021学年第一学期数学期中考试试卷

江苏省锡山高级中学2020—2021学年度第一学期期中考试
高二数学试卷 （1-4,6-16班） 命题人 李金凯 何鹏 审核人 何鹏
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的选项中,只有1项符合题意） 1. 命题:“,1x Z x N ∃∈-∈”的否定为 （ ） A.,1.x Z x N ∀∉-∈ B.,1.x Z x N ∀∉-∉
C.,1.x Z x N ∀∈-∉
D.,1.x Z x N ∃∈-∉
2. 已知双曲线2
221(0)x y a a
-=>的离心率为3,则实数a 的值为 （ ）
B. 12
C.1
D.2
3. 在3和81之间插入2个数,使这4个数成等比数列,则公比q 为 （ ） A. 2± B. 2 C. 3± D.3
4. 已知双曲线221412
y x -
=右支上一点P 到右焦点的距离为4,则该点到左准线的距离为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 若直线l 过抛物线2
8y x =的焦点,与抛物线相交于,A B 两点,且16||=AB ,则线段AB 的中点P 到y
轴的距离为 （ ） A.6 B. 8 C. 10 D.12
6. 为了参加学校的长跑比赛,省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米,最后三天共跑了10800米,则这15天小李同学总共跑的路程为 （ ）
A.34000米 B .36000米 C.38000米 D.40000米 7. 数列{}n a 是等比数列,公比为q ,且01
>a .则“1-<q ”是“122122,+-*<+∈∀n n n a a a N n ”的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8. 已知椭圆22143
y x C +=：的右焦点为F .点,A B 为椭圆上不同的两点,且满足AF BF ⊥.过线段AB 的中点P 作椭圆C 右准线的垂线,垂足为Q .则
||
||
AB PQ 的最小值为 （ ）
A.12 D. 1
二、多选题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的选项中,有多项符合要求,全部选
对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分）
9. 已知数列 ,2,0,2,0,2,0,则前六项适合的通项公式为 （ ）
A. n n a )1(1-+=
B. 2
cos 2π
n a n = C. |2
)1(sin
|2π
+=n a n D. )2)(1()1cos(1--+--=n n n a n π 10. 已知命题:p 不存在过点(1,1)的直线与椭圆12
2
22=+
y m x 相切.则命题p 是真命题的一个充分不必要条件是 （ ） A.2≥
m B.2>m C.20<<m D.3-=m
11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:,13,8,5,3,2,1,1....即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是 （ ） A.5510=a B.2020a 是偶数 C.2020201820223a a a =+ D.+++321a a a (2022)
2020a a =+
12. 已知抛物线x y C 8:2
=的焦点为F ,准线l 与x 轴交于点M . 点Q P ,是抛物线上不同的两点.下
面说法中正确的是 （ ） A.若直线PQ 过焦点F ,则以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切; B.过点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多两条; C.对于抛物线内的一点(1,1)T ,则||||3PT PF +≥;
D.若直线PQ 垂直于x 轴,则直线PM 与直线QF 的交点在抛物线C 上.
三、填空题（本题共4小题,每小题5分,共计20分.只要求直接写出结果,不必写出计算和推理过程） 13. 已知递增等差数列{}n a 满足:20,125142==+a a a a ,则4a = ▲ .
14. 已知抛物线2
1:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线22
2:1916y x C -=的渐近线的距离为,则实数p
的值为 ▲ .
15. 设椭圆2222:1(0)y x C a b a b
+=>>的右焦点为F ,O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆
的交点为Q (点Q 在x 轴上方),且||||OF OQ =,则椭圆C 的离心率为 ▲ .
16. 数列{}n a 满足:1*1151,2(),22
n n n a S a n N ++==--∈其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,则
=n a ▲ ,若不等式2(2)2512n t a n n -≥--对*n N ∀∈恒成立,则实数t 的最小值为 ▲ .
四、解答题（本题共6小题,共计70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分
）
已知命题p :方程
1352
2=-++k
y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆； 命题2:,250q x R x kx k ∀∈+++≥恒成立； 命题:11(0).r m k m m -<<+> （1）若命题p 与命题r 互为充要条件,求实数m 的值； （2）若命题q 是命题r 的必要不充分条件,求正数m 的取值范围.
18. （本题满分12分）
已知双曲线C 的标准方程为22136
y x -=,12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点. （1）若点P 在双曲线的右支上,且12F PF ∆的面积为3,求点P 的坐标；
（2）若斜率为1且经过右焦点2F 的直线l 与双曲线交于,M N 两点,求线段MN 的长度.
19. （本题满分12分）
在①321,1,a a a +成等差数列；②304=S ；③64321=a a a 三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并作答.（注：如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分）
已知n S 是数列}{n a 的前n 项和. 若)(21*
∈-=N n a a S n n ,01≠a ,且满足
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设11=b ,)(*
1N n a b b n n n ∈=-+,求数列}{n b 的通项公式.
20. （本题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为B A ,,4||=AB .过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于E D ,两点, 且1||=DE . （1）求椭圆C 的方程；
（2）斜率大于0的直线l 经过点(4,0)P -,且交椭圆C 于不同的两点,M N （M 在点,P N 之间）.记
PNA ∆与PMB ∆的面积之比为λ,求实数λ的取值范围.
21. （本题满分12分）
已知数列}{n a 中, 11=a ,1)2()1(1=+-++n n a n a n )(*
N n ∈,n S 为数列{}n a 的前n 项和.数列
}{n b 满足*1()n n
b n N S =∈.
（1）证明：数列}{n a 是等差数列,并求出数列}{n a 的通项公式；
（2）设数列}{n b 的前n 项和为n T .问是否存在正整数)3(,q p q p <<,使得q p T T T ,,3成等差数列？若
存在,求出q p ,的值;若不存在,请说明理由.
22. （本题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>经过点(2,-
（1）求抛物线C 的方程及其相应准线方程；
（2）过点(2,0)E 作斜率为12,k k 的两条直线分别交抛物线于,M N 和,P Q 四点，其中121k k +=.设线 段MN 和PQ 的中点分别为,,A B 过点E 作,ED AB ⊥垂足为.D 证明:存在定点,T 使得线段TD 长度为定值.。