高中数学 2.5第11课时椭圆标准方程与几何性质复习小结学案理新人教A版选修2-1

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高中数学新人教版A版精品教案《椭圆的简单几何性质》

《椭圆的几何性质》教学设计全日制普通高中数学人教版第二册（上）第八章第二节《椭圆的简单几何性质》是人教版内容。

本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上。

通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，通过本节课的学习让学生了解、掌握椭圆的几何性质，初步体会利用曲线方程来研究其性质的方法，同时也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫。

2、教学目标：（1）通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形。

（2）通过知识的形成培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力，和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识。

3、教学重点和难点：重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭圆的扁圆程度的给出过程。

4、教法分析：本节课以启发、探究式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、及练习法等教学方法。

在椭圆简单几何性质的教学过程中，让学生发现性质，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。

5、学法分析：在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到深化6过程2y25400表示什么样的曲线？怎么画它的图2,0),(a A )b线段12,A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于,2b ，a,=21y b 中,a x a b y b二、从图形看椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

2,0),(a A a 12(0,),(0,)b B b225400y和1259x y的长袖长，短轴长，顶点坐标，并画出它的草图。

c a 。

并用几何画板验证猜想22B F O2211b cea ababae22e1>e223611612x y y 与 2229361610x y y 与思路设计。

高中数学_椭圆复习教学设计学情分析教材分析课后反思

椭圆的学情分析在本节之前，学生已经学习过直线与圆的方程、曲线与方程的概念，对解析几何有初步认识，能用坐标法研究几何图形。

学生对椭圆概念的形成及精准的数学语言描述存在一定困难。

而在推导椭圆标准方程时会遇到两个困难：一是建立合适的坐标系使椭圆方程最简单；二是化简方程。

而学生已有的知识与能力不能完全胜任，需要教师作适当的引导。

效果分析由学生自己画图建立椭圆形象，又由学生根据画图过程归纳出椭圆的定义，接着推导出椭圆的标准方程，引导学生分析椭圆方程的特点，归纳参数与椭圆形状之间的关系. 再通过例题和练习掌握椭圆的标准方程的特点.第一，在讲解"顶点"定义时，单纯定义为椭圆与坐标轴的交点，没把握住顶点的重要特征，即"顶点是椭圆与其对称轴的交点"，如果把握住这一点，在讲解时就应先讲"对称性"，再讲"顶点"；二是本节课对几何性质的导入，是由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与角的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节课在这个知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课"顶点"之后再讲解，会显得更自然一些；三是"对称性"的讲解过于单薄，学生既然很快就观察出了这个性质，何不趁热打铁，再从代数的角度证明一下呢？过于避重就轻的做法不利于对学生数学思维能力的培养。

教材分析【知识与技能】1、掌握椭圆的定义，能用数学语言准确描述椭圆的概念；2、能选择恰当的坐标系，推导出椭圆的标准方程；3、理解椭圆的标准方程中的几何意义。

【过程与方法】1、通过研究旦德林双球模型发现椭圆的几何性质，培养数学抽象的核心素养；2、利用椭圆的几何性质提炼出椭圆的定义，培养直观想象的核心素养，体会数形结合的数学思想；3、通过推导椭圆的标准方程，培养数学运算的核心素养，掌握解析几何的研究方法。

【情感、态度和价值观】1、通过发现生活中的椭圆，体会数学与生活的紧密相连，感受到数学的有用；2、通过利用旦德林双球模型探究椭圆的定义，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣与创新意识；3、通过推导椭圆的标准方程，感受算法优化的重要性，从椭圆图形的对称性、方程的简洁性体会数学的美与简洁。

高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修

【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案新人教A版选修1-1►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e 刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关． 3．直线与椭圆．设直线方程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．,►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为(A )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22．解析：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8， ∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是(B )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(A )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故选A.3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．解析：由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.答案：224．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为(D )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．(2013·广东四校联考)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为(B )A.13B.33C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为(B )A.1289 B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是(D )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有(A )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于(D )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．答案：328．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2c b 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 答案：3310．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．解析：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2，得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程．解析：(1)由椭圆经过点N (2，－3)，得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．(2014·惠州调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0，即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考1．(2014·全国大纲卷)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为(A) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(2014·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)，又e ＝c a，且e ∈(0，1)， ∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．答案：333．(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ，由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ，在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a 由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27.∴a ＝7，b ＝27.。

高中数学_椭圆的标准方程及几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思

第5讲椭圆的标准方程及几何性质一、教学内容分析圆锥曲线是解析几何的主题内容，也是高中数学的重要内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不仅让学生对椭圆知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会了灵活运用定义，正确选择标准方程，恰当利用几何性质，合理分析，准确计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定基础。

二、学生学习情况分析本班是普通班，前面学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书》选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。

此时，学生已经有一定的学习基础和学习兴趣。

总的来说，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生面对椭圆的定义及标准方程性质的灵活应用有一定的难度。

因此在整个教学过程中遵循“知识梳理--基础自测--课内探究--链接高考”的四个环节，侧重学生的“练”、“思”、“究”，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究有所获”。

三、教学目标( 一) 知识与技能目标能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。

( 二) 过程与方法目标1. 通过复习椭圆的定义和椭圆标准方程的选择培养学生推理能力 , 渗透数形结合的思想 , 体验探究数学问题的方法。

2. 通过例题讲解，作业展示，经历动脑动手 , 实践等数学活动过程 , 让学生产生对数学的亲近感 , 逐步体验学习数学的乐趣。

( 三) 情感与态度目标通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

四、教学重点与难点重点：椭圆的定义及椭圆标准方程. 难点：椭圆的几何性质.五、教学过程1、知识梳理建构网络问题1：椭圆的概念在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做 .这两定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做 .集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：问题： ①若22(0a c a >>），则动点P 的轨迹是什么？②若)0(22>=a c a ，则动点P 的轨迹是什么？ ③若)0(22><a c a ，则动点P 的轨迹是什么？问题3：椭圆的标准方程和几何性质（请同学们认真填写下表）标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y 图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长离心率a ，b ，c 的关系知识拓展：1．椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc .(3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． (4)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.[分析] 通过对知识的回顾，使学生能够更加系统地掌握椭圆的定义、标准方程及一些几何性质，这里增加了焦点三角形的相关结论，使学生对焦点三角形面积，周长有初步的了解。

高中数学椭圆及其标准方程原创教学案新人教A版选修11

椭圆及其标准方程[使用说明]1。

首先用15分钟时间预习课本，总结出知识要点，思考难点并提出疑问。

2．小组内互相解答疑问，讨论指导。

3．完成预习自测题目。

[学习目标]1．理解椭圆定义，能够用定义判断曲线是否为椭圆，能根据椭圆求出其上一点到两焦点的距离之和。

2。

掌握求曲线方程的建系要领，能合作完成椭圆方程的推倒化简。

3．掌握椭圆标准方程的特征，明确a,b,c 的关系及几何意义，会判断椭圆焦点的位置，会求椭圆的标准方程。

4．训练培养严谨细致的习惯，注重合作精神，体会数学的美。

【课前预习】一、问题导学1.圆的定义是什么？怎样画圆？圆的方程最简单的形式是什么？2.通过课本第32 页探究，体会椭圆的定义是什么？定义要注意哪些要点？3.椭圆方程是怎样推导出的？在建立坐标系中怎样选择？怎样化简？4.a .b.c 的意义是什么？5.如何区分两种标准方程？6.如何求椭圆的标准方程？二、预习测试1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-yx ；④369422=+x y 椭圆191622=+y x 的焦距是，焦点坐标为；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为3. 1,6==c a ,焦点在y 一轴上的椭圆的标准方程是4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,－5),椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26.（2）焦点在x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1).三、预习疑问记录【课内探究】探究一：小组合作，按照课本图示在画板上画出椭圆，总结出椭圆定义。

问题1：笔尖（动点）满足什么规律？问题2：改变细线长度会怎样？总结：探究二：在焦点、定长2a 确定的条件下，求出椭圆的方程。

问题1：求曲线方程的步骤有哪些？问题2：如何建立坐标系，才能让方程美观简洁？求椭圆方程的过程：总结：探究三：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：题组一：两个焦点的坐标分别是()40-，、()40，，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10.变式1：将上题焦点改为(0,4)-、(0,4)，结果如何？变式2：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？变式3：定点()40-，、()40，，求到这两点距离和为8的点的轨迹方程。

高中数学解析几何——椭圆及其标准方程教学设计与反思

2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a = 4 ,b = 1 ,焦点在x轴上；
明确：
（2）a = 4 ,c = ,焦点在y轴上；
明确：
(3) a + b = 10 , c = 2 。
明确：或
1、听教师讲解例题，掌握解题方法，规范解题步骤2、动手完成练习题，回答教师的提问。
1、讲解例题，规范解题步骤2、提问学生回答练习题的答案
（二）动手实验，亲身体验
请三名同学上台画在黑板上.
先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1、F2两点处。
【演示一】当绳长等于| F1F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。
（1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？
明确: 一条线段
（2）、这条线段上的每一个点到F1、F2两点的距离和都相等吗？
对标准方程的理解：
所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。
问题：如果焦点 , 在y轴上，且 , 的坐标分别为：（0，-c）,(0,c),a,b意义同上，那么椭圆的方程是什么呢？
可让学生先猜想结论：（a＞b＞0），并说明理由。
让学生通过对进行观察，与前面对比。
实际上只要将前面的轴与y轴互换，就可得到焦点在y轴的椭圆的标准方程：
在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。那么什么是椭圆呢？
注意听教师的引入，通过实例引入，激发兴趣
引入课题
（一）认识椭圆，问题引出:
课题：高中数学解析几何——椭圆及其标准方程教学设计与反思

中学高中数学椭圆及其简单几何性质课件2新人教版选修11

中学高中数学椭圆及其简单几何性质课件2新人教版选
修11
• 1．知识与技能
• 掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的 a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系．
• 2．过程与方法
• 能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
• 会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中心，对称轴，范围等．
• (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2＋c2.
• [例3] F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1| ＝|PQ|，求椭圆的离心率．
• [分析] 由题目可获取以下主要信息：① 已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系． ②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．
• [点评] 本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．
• 2．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．
• 1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点( 顶点、焦点、中心)、准线、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．

高中数学新人教版A版精品教案《2.2.2 椭圆的简单几何性质》

《椭圆的几何性质》学案
主讲：李广
知识与技能目标：
了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、
离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题
重点与难点：椭圆的几何性质的应用
教学过程：
复习：
1椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。

2椭圆的标准方程是：
当焦点在X 轴上时当焦点在Y 轴上时
,b,c 的关系是:
新课：椭圆
122
22=+b y a x a>b>0简单的几何性质
1、范围
2、2、椭圆的对称性
3、3、椭圆的顶点
探究：根据前面所学有关知识画出下列图形
11625122=+y x ）（
142522
2=+y x ）（
4、椭圆的离心率
归纳如下表：
2252=400,它的长轴长是：。

短轴长是：。

焦距是：。

离心率等于：。

焦点坐标是：顶点坐标是：。

外切矩形的面积等于：
例2求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点
(2)长轴的长等于2021心率等于
练习1：求适合下列条件的椭圆的标准方程:
1焦点在轴上，焦距等于4，并且过点62-54,与定点F4，0的距离和它到定直线：的距离425
x 的比是常数 54
,
求动点M 的轨迹。

高中数学_椭圆及其标准方程复习课教学设计学情分析教材分析课后反思

《椭圆及其标准方程》教学设计《数学》选修系列1－1一、课标要求1.了解椭圆标准方程的推导；2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程；3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程。

二、教学设计思想《椭圆及其标准方程》是学生学习了圆的有关知识后学习的又一种二次曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识的情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。

椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用。

教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：由课件演示出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦。

三、教学目标根据课程标准的要求、本节教材特点及学生的认知情况，把教学目标拟定如下：1．知识与技能目标：理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆；2．过程与方法目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流、合作探究的学习过程中，使学生养成合理表述、科学抽象、规范总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行推理的能力和数学知识的运用能力；3．情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。

本教案的设计着眼点是让学生集体参与、主动参与，让学生动手、动脑，通过观察、猜想、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索。

最新《选修11：椭圆的标准方程》教案

思考(1)椭圆定义中，将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
【教学建议】教学时，应从回顾椭圆定义入手，回顾曲线方程的求解方法，通过建立坐标系，推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程，从而得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，且通过推导，得出基本量a，b，c之间的基本关系，化解难点．注意要让学生动手化简．
【答案】9
3．【解析】因为，所以k∈(3，4)∪(4，5)．
【答案】(3，4)∪(4，5)
4．【解析】由标准方程得a2＝25，所以2a＝10，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．
【答案】10
【巩固】
1．已知椭圆经过点( ， )和点( ，1)，求椭圆的标准方程．
2．求经过点M(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点的椭圆方程．
【自主解答】(1)原方程可化为＋＝1，因为表示焦点在y轴上的椭圆，所以解得0<k<1．所以k的取值范围是0<k<1．
(2)由题意知a＝2，b＝，c＝＝＝1，所以F1F2＝2c＝2，
在△PF1F2中，PF1＋PF2＝4，①
PF ＋PF －2PF1·PF2·cos 60°＝F1F ，即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4，②
④到F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．
【思路探究】判定是否为椭圆回顾椭圆定义分析距离满足条件．
【解析】①中F1F2＝8，故到F1、F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2．
②中到F1、F2两点的距离之和6小于F1F2，故这样的轨迹不存在．
③中点(5，3)到F1、F2的距离之和为＋＝4 >F1F2＝8，故③中是椭圆的轨迹．

高中数学_椭圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

《椭圆及其标准方程》教学设计教学流程按：认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识讲解→本课小结→课后作业等环节进行。

具体环节如下：（一）认识椭圆教师图片展示：身边的椭圆。

并提出本节课就是研究椭圆的标准方程。

设计目的：通过观察图片，从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际，激发学生探求实际问题的兴趣。

（二）、画椭圆（1）拿出课前准备的硬纸板、细绳、铅笔，类比圆的画法，小组一起合作画椭圆，再一起讨论归纳出椭圆的定义。

（2）教师用课件动态演示椭圆的形成过程，同时指点归纳椭圆定义时可类比圆的定义且注意定义中常量与变量的关系，即哪些量发生了变化，哪些量没有变？设计目的：以活动为载体给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性。

并且通过画椭圆，让学生经历知识的形成过程，同时也让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会。

（3）椭圆的定义及有关概念第一、引导学生归纳定义时要注意：a.强调椭圆是个平面图形b.引导学生观察变量（动点）与常量（绳长和两定点之间的距离大小关系）c.条件：常数大于|21F F | （也可通过三角形两边之和大于第三边来理解，但要忽略动点在长轴两端点的情况）板书定义：在平面内，到两定点21,F F 的距离之和等于常数a 2(a 2>∣21F F |)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距,记∣21F F |=2c.第二、椭圆定义的进一步认识。

问题：为什么要满足a 2>2c 呢？（1）当a 2=2c 时，轨迹是什么？（2）当a 2<2c 时，轨迹又是什么？结论：（1）、当a 2>|21F F |时，轨迹是椭圆；（2）、当a 2=|21F F |时，轨迹是线段；（3）、当a 2<|21F F |时，轨迹不存在。

设计目的：（1）学生自己通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。