二次函数之二次函数中的面积问题优秀课件

2
即S＝- 1
1
t2 ＋
2 t ＋3
3
9
其中 0＜t＜
33
4
N M
例3 已知二次函数的图象如图， （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P 使△ PAC为Rt△ ？若存在，求出所有符合条 件的点P的坐标；若不存在，说明理由。
解 ：设P（m，n）则ｎ＝ｍ２－ｍ－２
y
5
１）当Ｒｔ△ ＰＡＣ是以ＰＣ为斜边时
m3
2
或
n5
4
ｍ＝０
（舍）
y
ｎ＝－２
5
4
∴点Ｐ２（ 3 2
， 5 ） 4
3 2
∴存在符合条件的点Ｐ，坐标为
1 A
QB
∴点Ｐ１（ 5 ， 7 ） 24
3 Ｐ２（ 2
， 5 ） 4
-3 -2 -1 O 1 2 3
-1
N
-2Ｃ -3
M
x
例3:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
4
有ＰＣ２＝ＰＡ２＋ＡＣ２
即ｍ２＋（ｎ＋２）２＝（ｍ＋１）２＋ｎ２＋５ 3
把ｎ＝ｍ２－ｍ－２ 代入得
2
m5
ｍ＝－１
1 A
QB
2或
（舍） -3 -2 -1 O 1 2 3
x
n7 4
∴点Ｐ１（
ｎ＝０ 5， 7 ）
-1
N
-2Ｃ -3
M
24
２）当Ｒｔ△ ＰＡＣ以ＰＡ为斜边时 则 ＰＡ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２ 即（ｍ＋１）２＋ｎ２＝ｍ２＋（ｎ＋２）２＋５ 把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
A
D
∴ S＝x（2lt;6）
B
C
于点M。抛物线的顶点为P，且PB=2 5 。
（1）求这条抛物线的解析式与顶点P的坐标； y
（2）求△POM（O为坐标原点）的面积。
M
OA
Q PB
x
例3 已知二次函数的图象如图，
（1）求二次函数的解析式 ；
y
5
4
3
2
1 A
QB
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
-1
N
-2Ｃ -3
M
【解】（１） 由图象看出A（-1，0），B（2，0） C （O，-2）
设抛物线解析式为：y=a（x- 2）（ｘ＋１）Ｃ在 抛物线上，∴ａ＝１
∴抛物线解析式为：ｙ＝ｘ２－ｘ－２
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N 作x轴的垂线， 垂足为Q，当点N在线段BM上运动时（不与点B、点M 重合）设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S 与ｔ间的函数关系式及自变量的取值范围；
A
B
（3）在抛物线上（除点C外），
O
x
是否存在点N，使得 S△NAB = S△ABC， 若存在，求出点N的坐标，
C
.N1
若不 存在，请说明理由。
抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点
（A在B的左边），与y轴交于点C.
y
（4）若点P是抛物线的顶点,
求四边形ACPB的面积.
A
NB
O
x
（5）设M（a，b）（其中0<a<3）是 抛物线上的一个动点，试求四边 形OCMB面积的最大值， 及此时点M的坐标。
Q
C
.M
P
y
y
y
O
O
O
A
B
xA
B
xA
B
x
C
C
C
P
P
HP
练习:运动中的面积问题
在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边 从点A出发向B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开 始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒 表示移动的时间（0＜t＜6）那么：
解（2）设过B（2，0） M（ 1 ，－ 9 ）
2
4
的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ
则 ｋ＝ 3 2
ｂ＝－３
∴直线ＢＭ的解析式为：
y 5 4
3
2
ｙ＝ 3 ｘ－３
1 A
QB
2
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
∵QＮ=t ∴把ｙ＝ｔ代入直线
-1
ＭＢ的解析式，
2
1
得ｘ＝２－ 1
3
ｔ
-2Ｃ 2 -3
∴S＝ ×２×１＋ （２＋ｔ）（2－ t）
二次函数之二次函数中的面积 问题优秀课件
y=ax2
y=ax2+c 直线x=0
y=a（x+m）2 ∆=0
y=ax2+bx C=0
A
B
C
D
（1）你能说出上列的函数的图象对应是下面哪个的函数的
解析式？
① y=ax2+c ② y=ax2 ③y=a（x+m）2+k
④ y=a（x+m）2 ⑤y=ax2+bx
（2）①抛物线顶点在 x 轴上 y=a（x+m）2
② 顶点在 y 轴上（对称轴是 y 轴） y=ax2+c y=ax2+bx
③图象经过原点 ④ 图象的顶点在原点 y=ax2
抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点
（A在B的左边），与y轴交于点C.
(1)求出点A、B、C的坐标
y
及A、B的距离
.N2
.N3
（2）求S△ABC
(2)当x＝
b 2a
3
时，S最大值＝4
ac 4
a
b
2
＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
例3、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从 点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时， 点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如 果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答 下列问题：
(1)写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围
(2)当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时,三角形 移动了多长时间?
A
C
AC
B
D
l
BD E
l
思考:如果继续向前移动,则重叠部分面积又会如何变化?
作业： 《第二章全效自测题》
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 （2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为
Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出D自变量t的取C值 范围； （3）t为何值时S最小？求出S的最小值。
Q
A PB
例4:如图、等腰直角三角形的腰长和正方形的边长为 4，等腰三角形以2米/秒的速度沿直线向正方形移动， 直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分 的面积为y平方米.
(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形QPBCD的面积为Scm2, 写出S与t的函数关系式; t为何值时,S最小?最小值是多少?
(2)求四边形QAPC的面积；
提出一个与计算结果有关的结论； D
C
Q
AP
B
例5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x 轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，与y轴交