第五章 分析力学要点
分析力学教案5章
k st
A
2
( M m) g
st
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
O
st
x x
O
A
(M+m)g
习题5-3 图示物体A的质量为M=20kg，可视为均 质圆盘的滑轮的质量为m=2kg，半径为r =600mm， 弹簧的刚度系数k=0.5N/mm。求物体A振动时的 固有频率。 k ( M m ) g 2k st 1 3 1 2 2 st mx ( 2 M 3m ) x 2 T Mx 2 4 4 O k x 2 2 V ( M m ) gx [( 2 x st ) st ] 2 k 2 2 x ( M m ) gx (4 x 4 st x ) 2kx A 2 1 2 2kx 2 E T V E ( 2 M 3m ) x 4
1 3 2 2 T m1 x m2 x 2 4 2
2 1 m2 R x ( ) 2 2 R 1 2 ( m1 2m2 ) x 2
k’
A
B
C
1 2 T ( m1 2m2 ) x 2
x k’ A B
k st m1 g
k 2 2 V m1 gx [( x st ) st ] 2 k 2 k 2 x m1 gx ( x 2 x st ) 2 2 广义惯性系数 a m1 2m2 kq 0 广义弹性系数 k k aq
V (q ) V0 (
1 2 系统的势能： T a0 q 2 dV 1 d 2V
)0 q (
2
d r i ) v i (q, q vi r q i dq
)0 q
5分析力学
( 1.2s)
例1： 均匀杆OA，重P1，长为l1，能在竖直 平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连 另一重P2，长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加 以水平力F，求平衡时此二杆与水平线所成的角 度 及 ，如图所示。 解：自由度s = 2， 选 和 为两个广义坐 标。 由虚功原理得：
a a
i 1 i j 1
n
n
j
b) 指标不同的求和号，前后秩序可交换。
a a
i i j
j
ai a j
j i
c) 与求和指标无关的因子，可放到求和号里
面，也可放到求和号外面。
c) 与求和指标无关的因子，可放到求和号里
面，也可放到求和号外面。
a bi abi
i i
xi xi (q1 .q 2 q s .t ) y i y i (q1 .q 2 q s .t ) (i 1.2n, s 3n) z i z i (q1 .q 2 q s .t )
或写成矢量式：
ri ri (q1.q2 qs .t ) (i 1.2n, s 3n)
W P1y1 P2y2 Fx3 0
（1）
l1 y1 2 sin l2 y2 l1 sin sin 2 x3 l1 cos l2 cos l1 y1 2 cos l2 y 2 l1 cos cos 2 x3 l1 sin l 2 sin
s 2 ri 2 ri ri d ri s ri ) ( ) q ( q dt q q t q 1 q t 1 q q
本章重点：
虚功原理和拉格朗日方程及其应用。
分析力学
M
v0
drt dr′
dr
M′
为 dr ，则
drt
dr = drt + dr′
δ r1
M
δ r2
• 物块 M的虚位移可以是沿斜
面向上的 δ r1 ，也可以是沿斜 面向下的 δ r2，因为 δ r1 和 δ r2 都是约束所允许的 .
可见，不稳定约束下，质点系无限小的实位移并不是 其虚位移之一 .
青岛科技大学数理学院
∂x ∂y ∂z
∵ δ r = δ xi + δ yj + δ zk
∂f i + ∂f j + ∂f k = n ∂x ∂y ∂z
∴ n⋅δr = 0
非自由质点的虚位移垂直于曲面上该点处的法线，即虚 位移必在通过该点的曲面的切平面上 .
青岛科技大学数理学院
19
¾ 质点在直角坐标中的虚位移与广义坐标中的虚位移之 间的关系：
面向上的 δ r1 ，也可以是沿斜 面向下的 δ r2，因为 δ r1 和 δ r2 都是约束所允许的 .
可见，稳定约束下，质点系无限小的实位移是其虚位 移之一 .
青岛科技大学数理学院
17
物块 M置于以速度 v0 移动的斜面上，则斜面对物块M 的
约束为不稳定约束 .
• dt 时间内，斜面位移为 drt dt 时间内，物块的实位移
为 s = 3n − k .
¾ 选广义坐标 q1, q2,……, qs ，则各质点的坐标
⎧ ⎪ ⎨
xi yi
= =
xi (q1, q2,……, qs ) yi (q1, q2,……, qs )
⎪⎩zi = zi (q1, q2,……, qs )
i = (1, 2,……, n)
理论力学 5分析力学
这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下， 广义坐标的数目和自由度的数目相等。
5.2虚功原理
5.2.1实位移与虚位移
质点由于运动实际上发生的位移叫做实位移。以dr 表示。
在给定瞬时，质系中各质点所作的为约束所允许的、可能发 生的无限小位移，称为虚位移，用r表示。 虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束 条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件。虚位移
f ( x, y, z, t ) 0
（2）可解约束与不可解约束
质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。
f ( x, y, z ) 0
那种约束就叫可解约束。
或
f ( x, y, z, t ) 0
如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，
f ( x, y, z ) c
（3）几何约束与运动约束
ri ri qi qi
再将①式 ri ri (t , q1 , q2 ,qs ),
i 1,2,n 对任一广义坐标
q 求偏导数，得：
另一方面，将位矢 r 直接对 q 求偏导数后，再对时间求导数， i 得：
ri d dt q s 2 ri 2 ri q q t q q ③ 1
状态，则其平衡条件是
W Fi ri 0
n i 1
或
W ( Fixxi Fiyyi F iz z i ) 0
i 1
n
由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力
学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这 个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。
5.2.4广义力
周衍柏理论力学第五章教案分析力学
第五章剖析力学本章要求（1）掌握剖析力学中的一些基本观点；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。
第一节拘束和广义坐标一、拘束的观点和分类加于力学系统的限制条件叫拘束。
按不一样的标准有不一样的分类：按拘束能否与时间相关分类：稳固拘束、不稳固拘束；按质点可否离开拘束分类：可解拘束、不行解拘束；按拘束限制范围分类：几何拘束（完好拘束）、运动拘束（不完好拘束）。
本章只议论几何拘束（完好拘束），这类拘束下的系统叫完好系统。
二、广义坐标1、自由度描绘一个力学系统所需要的独立坐标的个数叫系统的自由度。
设系统有 n 个粒子，一个粒子需要 3 个坐标（如x、y、z）描绘，而系统受有 K 个拘束条件，则系统的自由度为（3n-K ）2、广义坐标描绘力学系统的独立坐标叫广义坐标。
比如：作圆周运动的质点只须角度用θ描绘，广义坐标为θ，自由度为 1，球面上运动的质点，由极角θ和描绘，自由度为 2。
第二节虚功原理本节要点要求：① 掌握虚位移、虚功、理想拘束等观点；② 掌握虚功原理。
一、实位移与虚位移质点因为运动实质上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在拘束同意的状况下，质点可能发生的位移叫虚位移。
假如拘束为固定拘束，则实位移是虚位移中一的个；若拘束不固定，实位移与虚位移无共同之处。
比如图中的质点在曲面上运动，而曲面也在挪动，明显实位移与虚位移不一致。
二、理想拘束设质点系受主动力和拘束力的作用，它们在随意虚位移中作的功叫虚功。
若拘束反力在随意虚位移中对证点系所作虚功之和为零，则这类拘束叫理想拘束。
圆滑面、圆滑线、刚性杆、不行伸长的绳等都是理想拘束。
三、虚功原理1、文字表达和数学表示：受理想拘束的力学系统，均衡的充要条件是：作用于力学系统的诸主动力在随意虚位移中作的元功之和为零。
即（1）合用条件：惯性系、理想不行解拘束。
2、推论设系统的广义坐标为 q1，，q a，，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想拘束的力学系统均衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解均衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确立自由度，选用坐标系，剖析力（包含主动力、拘束力）；（2）选用广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标 q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出均衡条件。
分析力学知识点
分析力学知识点可以基于逐步思考进行学习和理解。
本文将分为以下几个部分来介绍分析力学的一些核心概念和方法。
1. 引言分析力学是力学的一个重要分支，它研究物体在受到外力作用下的运动规律。
与牛顿力学不同的是，分析力学采用了更为抽象和数学化的方法，通过建立系统的数学模型来解决运动问题。
2. 基本概念在学习分析力学之前，我们首先需要了解几个基本概念。
2.1 质点质点是分析力学研究的基本对象，它被假设为没有大小和形状的点，只有质量。
质点的位置可以用坐标来描述，通常使用笛卡尔坐标系或极坐标系。
2.2 力力是导致物体发生运动或形状改变的原因。
在分析力学中，力的大小和方向都是非常重要的。
力可以通过矢量表示，其中矢量的方向表示力的方向，矢量的大小表示力的大小。
2.3 动力学方程动力学方程是分析力学的核心内容之一。
它描述了质点在受到力作用下的运动规律。
根据牛顿第二定律，动力学方程可以表示为质点的质量乘以加速度等于受到的合力。
这个方程可以用矢量形式表示。
3. 求解方法分析力学中有多种方法可以用来求解动力学方程，下面介绍其中两种常用的方法。
3.1 拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学中最常用的方法之一。
它基于能量守恒原理，将系统的运动描述为质点在广义坐标下的变换。
通过建立拉格朗日函数，并利用欧拉-拉格朗日方程，可以得到描述质点运动的方程。
3.2 哈密顿方程哈密顿方程是另一种常用的方法。
它基于哈密顿函数，通过将质点的坐标和动量表示为广义坐标和广义动量的函数，可以得到描述质点运动的方程。
哈密顿方程在某些问题的求解中更为方便和有效。
4. 应用领域分析力学作为力学的一个重要分支，在很多领域都有广泛的应用。
4.1 天体力学天体力学研究天体运动的规律，包括行星、卫星等天体的运动。
分析力学提供了描述天体运动的数学方法，通过求解动力学方程，可以预测和解释天体运动的现象。
4.2 机械系统分析力学可以应用于机械系统的研究和设计。
通过建立系统的动力学模型，可以优化机械系统的结构和运动性能，提高效率和稳定性。
第五章 分析力学1
！非完整约束：双侧，单侧，坐标，时间 函数，不可以积分的微分约束
29
例1.平面上两个质点M1和M2 , 质量相等.由一长为 l 不计质量的刚 性杆连接 , 运动中杆中点 C 的速度 只可以沿着杆的方向如图所示.写出 质点M1和M2及中点C的约束方程.
解: 由质点距离不变的条件写出M1 和M2的约束方程 (x1 - x2)2+(y1 - y2)2 = l 2 z1 =0, z2 =0
绪论
基本概念
力，速度 矢量力学(几何法) 以力为出发点 牛顿三定律 力的独立作用原理
功，能 分析力学(解析法) 以能量为基本点
基础理论
基本物理量 基本方程 研究特点
mv F d ( mv ) F dt
哈密顿原理
L
d L L 0 dt q q
整体研究 （自由度） 标量运算+代数 2 不出现约束，抽象
y A(x1,y1) r O l B(x2,0) x
例:曲柄连杆机构的约束 方程为 x12 + y12 = r2 (x1 - x2)2 + y12 = 2 y2 = 0
第五章 分析力学
25
2、约束分类
(1) 双面约束与单面约束
右图中摆锤A的约束方程为 x2+y2 = l 2
在约束方程中用严格的等号表示的约束 为双面约束.这种约束如能限制物体向某 一方向运动,则必能限制向相反方向运动.
6
物质世界的尺度
• • • • 宇观：宇宙尺度 1010ly＝1018 m 宏观：人类尺度 103 －100 m 介观：纳米 尺度 10－9 －10－8 m 微观： 10-10 －???
– 原子分子 – 原子核 – 基本粒子
分析力学基础
p mi ri ri i 1 qk ql
qk ql
第5章 分析力学基础
或：
5.3 动能和势能
1 n n V ＝ mk l qk ql 2 k 1 l 1 p k 和 ql 为广义速度， mk l 为广义质量系数， k l ＝ mi ri ri 。 m 其中，q qk ql i 1
虚位移原理的另一种表述
若系统有n个自由度，任意一点的坐标矢量可以用n个广义坐标和时间 t来表示，即：r ＝r ( q ， ， ， ， ) q q t
i i 1 2 n
由于虚位移与时间无关，则有：
代入虚功方程，得：
p n
ri d ri ＝ d qk k 1 q k
n
ri d W ＝ Fi d qk i 1 k 1 q k
第5章 分析力学基础
对换求和的次序，得：
5.2 虚位移原理
p ri d W ＝ Fi i 1 q k 1 k p ri 其中， Qk ＝ Fi q i 1 k 义力。
n
d qk
(k 1, 2, , n) 为与广义坐标qk 对应的广
势力场和势力
质点从力场中某一位置运动到另一位置时，作用力的功与质点经历的路 径无关，而只与其起点及终点位置有关，这就是所谓的势力场。重力场、 万有引力场和弹性力场都是势力场。在势力场中质点所受的力称为势力。
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势 能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
这样，虚功方程可以写成：
d W ＝ Q d q ＝ 0
n k k k 1
分析力学知识点总结
分析力学知识点总结在分析力学知识中，有一些重要的概念和原理，接下来我们将对其进行详细分析和总结。
一、广义坐标和广义速度在分析力学中，广义坐标和广义速度是非常重要的概念。
广义坐标是用来描述系统中每个自由度的变化的参数，而广义速度则是描述系统各自由度变化率的参数。
广义坐标和广义速度并不是系统中每个粒子的坐标和速度，而是用来描述整个系统运动规律的一组参数。
对于一个具有N个自由度的系统，可以找到N个独立的广义坐标和广义速度来描述系统的状态。
通过广义坐标和广义速度，可以建立系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
二、拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学的重要原理之一，它是用来描述系统运动规律的一种方法。
拉格朗日方程是通过系统的动能和势能函数来建立的，它可以描述系统在广义坐标变化下的运动规律。
对于一个N个自由度的系统，其拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q_i) - ∂L/∂q_i = Q_i其中，L是系统的拉格朗日函数，q_i表示系统的广义坐标，Q_i表示系统的广义力。
通过拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
三、哈密顿方程哈密顿方程也是分析力学的一个重要原理，它是通过系统的哈密顿函数来描述系统的运动规律的一种方法。
哈密顿函数是系统的广义坐标和广义动量的函数，通过哈密顿函数可以得到系统的哈密顿方程。
对于一个N个自由度的系统，其哈密顿方程可以写为：dq_i/dt = ∂H/∂p_idp_i/dt = -∂H/∂q_i其中，H是系统的哈密顿函数，q_i表示系统的广义坐标，p_i表示系统的广义动量。
通过哈密顿方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。
四、刚体运动在分析力学中，刚体运动是一个重要的研究对象。
刚体是一个在运动中保持形状不变的物体，它的运动规律可以通过刚体力学来描述。
刚体力学包括了刚体的运动方程、角动量定理、动能、角速度等内容，通过这些内容可以研究刚体的运动规律。
use-第五章分析力学精讲
2、理想约束：如果作用在力学体系上的诸约束反力 在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则称这种约 束为理想约束，即: n N r Ri ri 0
i 1
3、几种常见的理想约束 ①光滑线,面,光滑铰链的约束 ②刚性杆,不可伸长的绳子的约束 ③纯滚动(粗糙面)
光滑面
N r 0
A、B两个动点 5个约束
20
选为广义坐标
(3) 用虚功原理列方程
P rC f rB 0
建立oxy坐标系 P Pj rC xC i yC j f fi rB xB i y B j
②质点被约束在球面上，约束方程为：
x2 y 2 z 2 R2
（2）不稳定约束：约束方程中显含时间的约束 约束方程为： f（x, y, z, t） 0 例如：①不断吹大气球的约束：
2 x2 y 2 z 2 （R0 t） 为球面半径的增长速率
7
3、按约束可脱离和不可脱离分类
(i 1,2,n)
y
R
例1、质点做圆周运动。 一般坐标：x、y 广义坐标：
x, y
x R cos y R sin
o
x
10
例2、质点做平面运动。
取x、y为一般坐标，r、θ 为广义坐标。
y
x r cos y r sin
x, y
分，即可求得各点的虚位移 5. 列出虚功方程，并求解
解析法：选取适当的坐标系，写出约束方程并进行变
19
例1、一长为L，重为P的均质直杆AB，斜靠在光滑的墙 和光滑的水平地面之间，为防止直杆滑倒，在杆端B和 墙角 O之间用一长为 轻绳拉住，使直杆与墙的夹角 l 为，试用虚功原理求绳子的张力。 y
第五章 分析力学2
质点组 w Fi ri
n
主动力 约束力
a F ri N i ri
i i
i 1
(2) 力矩或力偶矩作虚功 A= Mo (F )
Q 属于整个系统， Q 不一定是力的量纲。
xi 1 qi
Q Fi i 1, 2,,3n
但 Q q 总具有功的量纲。
第五章 分析力学
21
6.虚功原理的应用
(1)求解复杂系统的平衡问题. 1)解除一个约束代之约束反力并选取 适当的广义坐标. 2)利用几何法或解析法求各虚位移之 间的关系. 3)计算各主动力的虚功. 4)利用虚位移原理求解约束反力.
•理想约束条件下，体系平衡方程为：
Q 0 s
第五章 分析力学
20
虚功原理的另一种表达方式（即广义作用于体系 的所有广义力都为零。
若不受约束，且选笛卡尔坐标系， 则 若受约束，即使选笛卡尔坐标系，则 Q Fi
第五章 分析力学
22
例题11.求图示滑轮
系统在平衡时Q/P的 值.摩擦力及绳索质 量不计.
C
O
D
B
A
第五章 分析力学
23
解: xD + 2xC = c1 xB - xC = c2 (xA-xD)+(xB-xD)= c3 xD+2xC = 0 xB - xC = 0 xA+xB- 2xD = 0 xA= -5xB 由虚位移原理得: PxA+QxB=0 Q = 5P To page 41
实位移
实际的 只有一个
虚位移
假想的 不止一个
分析力学第五章
A i =1
∫
B A
Fi dx i
v v dW 功率：表征作功的快慢： 功率：表征作功的快慢： P＝ = F ⋅ v = Fτ v dt
由矢量分析可知，这时存在单值、有限、 由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函数满足
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
A A
保守力定义之二） 积分与实际路径无关 （保守力定义之二） 保守力定义之三） 闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）
v v ∫ F ⋅ dr =
v v ∫ F ⋅ dl = 0
L
势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 如果 v v v i j k v ∂ ∂ ∂ ∂Fz ∂Fy v ∂Fx ∂Fz v ∂Fy ∂Fx v ∇× F = = ( − )i + ( − )j + ( − )k = 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Fx Fy Fz v v 则 ∫ F ⋅ dr = 0 → 无旋场，积分与路径无关 无旋场， v v v v v v （ 电场 E ，流场 v ） ∫ F ⋅ dl = ∫∫ ∇ × F ⋅ ds = 0 必有： 必有：
分析力学7-第五章2011春讲义印发_97402873
第五章 拉格朗日方程§5．1．拉格朗日方程1．对于理想完整保守的力学体系，我们已经从哈密顿原理导出拉格朗日方程。
在同样的条件下，通过把坐标变换为独立的广义坐标也可以由达朗贝尔方程()10ni i i i i F m r r δ=-⋅=∑（1）导出拉格朗日方程。
具体过程如下：在完整约束的条件下，利用坐标变换()1,2,12i i r r q t i n s αα===，，，可以变换为独立的广义坐标，并得到1,3sii r r q s n k qαααδδ=∂=⋅=-∂∑于是（1）式就化为1110sn niii i i i i r r F m r q q q ααααδ===⎡⎤∂∂⋅-⋅=⎢⎥∂∂⎣⎦∑∑∑(2) （2）式[]中第一项1ni i i rF Q q αα=∂⋅=∂∑称为主动力对应于广义坐标αq 的广义力，是主动力在(由广义坐标构成的曲线坐标系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和，其量纲也可能与力不同。
（见后）第二项是质量与加速度的乘积在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和。
因此（2）式[]是F ma -在独立的广义坐标(一般为曲线坐标)下的推广。
第二项还可以变形为111nnni i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r d d dd T Tm r m r r m r r q dtq dt q dtq q dt q q ααααααα===⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑∑其中2112ni ii T m r ==∑ 为动能。
以上运算利用了两个经典拉格朗日关系i i r r qq αα∂∂=∂∂i i d r r dt q q αα∂∂=∂∂于是（2）式就化为10sT d T Q q q dt qαααααδ=⎛⎫∂∂+-⋅= ⎪∂∂⎝⎭∑ s ,,2,1 =α （3） 在约束完整的条件下，由于αδq 是相互独立的，由（3）就得到基本形式的拉格朗日方程()1,2,,4d T T Q sdt qq αααα∂∂-==∂∂方程（4）对理想、完整力学体系普遍成立。
第五章 分析力学4
∂H∗ ∂H∗ & & Qα = , pα = − ∂pα ∂Qα
U = U1 ( p, Q, t ) = U2 (q, p, t ) U = 页 3 (返 回 P, t )束 U p, 结 上页 下
U = U(q, Q, t )
也可以是： 也可以是： U
故称 U 为母函数
第五章 分析力学 1. U1 ,U2 ,U3 可看成是由 U(q, Q, t ) 经勒让德变换而来 经勒让德变换而来.
∂H∗ & Q1 = − = ω1 ∂Q1 Q1 = ω1t + δ1 ⇒ ∗ & = − ∂H = ω Q2 = ω2t + δ 2 Q2 2 ∂Q2
第五章 分析力学
2c1 sin(ω1t + δ1 ) x = mω1 ⇒ y = 2c2 sin(ω t + δ ) 2 2 mω2
∂W ∂S = Pi = ∂qi ∂qi ∂U2 ∂S ⇒ Q1 = = ∂p1 ∂E ∂U2 ∂S Qi = ∂p = ∂α (i = 2,L, s) α i
∂S ∂W ∂W = −t + = β1 (Const ) = −t0 ⇒ = t − t0 → 运动积分 ∂E ∂E ∂E
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第五章 分析力学 则有： 1. 利用主函数 S 为第二类正则变换母函数 U2 (q, P,t ), 则有：
所以： 所以：
∂U2 ∂S H = H+ = H+ = 0, ∂t ∂t ∂U2 ∂S pα = , P = αi . = α ∂qα ∂qα
∗
H – J 方程
∂S ∂S ∂ ,L, ;t ) = 0 S(q1 ,L,qs ;α1 ,L,αs ;t ) + H(q1 ,L,qs ; ∂q1 ∂qs ∂t S = S(q1 ,L,qs ;α1 ,L,αs ; t ) + C → Hamilton 主函数
理论力学-第五章分析力学1-wcx
（1）使用范围：理想约束 （2）范围的扩展：对于有摩檫的约束，可将其视为主动力 （3）优点：去掉约束力，仅得到主动力平衡方程
局限性：无法求约束力
F Fx i Fy j Fz k 【例1】自由质点受外力作用保持平衡，所受外力为：
试由虚功原理求其平衡方程。
2、广义坐标形式的虚功原理
约束力不出现在方程中
方程形式与坐标系的选择无关
方程形式与研究对象无关
完全用数学分析的方法来处理力学问题
第一节 约束与广义坐标
一、约束 1、约束的概念：限制质点自由运动的条件 2、约束与自由度的关系：s 3n k 3、约束的分类 （1）稳定约束和非稳定约束
f ( x, y, z ) 0 稳定约束（定常约束） 约束方程 束） f ( x, y, z; t ) 0 非稳定约束（非定常约 v
a 2 sin cos l 2 a 2 sin 2
1
Q M Fa sin F
a 2 sin cos l a 何约束 f ( x, y, z; t ) 0 微分约束
, y , z ; t ) 0 f ( x, y, z; x
可以积分 不可积分
完整约束 非完整约束
可解约束
（2）完整系：只受完整约束的力学体系；
不完整系：受到不完整约束的力学体系
x
s
y
F
虚位移的大小： s l
x s cos l cos 分量形式： y s sin l sin
（2）变分运算法
先写出质点的笛卡尔坐标，找到其与广义坐标之间的关系，再 利用变分计算出对应的虚位移
理论力学第五章分析力学
P x1 , y1 1 P2 x2 , y2 B x3 , y3
1 1 Pl1 cos P2l1 cos Fl1 sin P2l2 cos Fl2 sin 0 1 2 2
ri ri q 0 Fi q mi ri q 1 i 1
s n
ri ri q 0 Fi q mi ri q 1 i 1
xi xi q1 , q2 ,...qs , t
i i
1
2
s
i 1, 2,..., n, s 3n
i
i
1
2
s
或
ri ri q1 , q2 ,...qs , t
i 1, 2,..., n, s 3n
这s个独立参数就叫广义坐标
§5.2 虚功原理
1.实位移和虚位移
第五章 分析力学
分析力学是拉格朗日等人在十八世纪在牛顿力学 基础上建立的经典力学的一个体系，因为所用的方法 完全是数学分析，称之为分析力学。建立分析力学的 目的是为了 用数学方法解决复杂的力学问题，后来的 研究发现，分析力学的体系和方法不局限于力学，对 物理学的其他领域也非常有用。其原因是将物理规律 抽象为数学原理和定理，揭示了物理规律背后更普遍 的性质，掌握这些对今后的学习很重要。 这一章的重点是拉格朗日方程，哈密顿正则方程 和正则变换在统计物理中有重要应用，泊松括号的概 念在量子力学中非常重要。
若拉氏函数不显含
第五章分析力学
2
x
2
取坐标原点为零势面
v mgy mg x2 4a
（2）
L
T
V
1 2
m
x2
1
x2 4a 2
2
x
2
mg
x2 4a 2
（3）
L x
mx2 4a 2
m 2
x
mg
x 2a
L x&
mx&1
x2 4a2
代入保守系拉格朗日方程
d dt
Lx
L x
0
得
mx1
x2 4a 2
mx2
x 4a 2
④拉氏方程是从能的角度去研究问题。当系 统的主动力为保守力系时，拉氏函数成为 力学体系的特征函数；
⑤拉氏方程的个数与力学体系的约束条件有 关。约束越多，方程数就越少，所以与牛 顿力学比较，对多约束的力学体系，拉氏 方程就愈能显示出它的优越性。但是拉氏 方程的物理图象不如牛顿力学直观，这是 它的不足之处。在应用拉格朗日方程解题 时一般方法是：
达朗贝尔原理是力学体系动力学的一个普通方 程， 它考虑的是运动而不是静力学问题。
由“运动”学
mi ri Fi Ri
（ Fi 主动力； Ri 约束反力）
变为平衡类型
Fi
Ri
mri
0
这样把动力学的问题转变为静力学问题处
理，这就是著名的“动静法”。由于变为平 衡
方程，所以完全可按上述虚功原理方法解决
能表达式中所需要的。在保守系力场中， 确定体系势能时应先确定零势面。
3. 求出的速度一定要采用绝对速度。这是动 能表达式中所需要的。在保守系力场中， 确定体系势能时应先确定零势面。
4. 按广义坐标建立 S 个方程后，马上检查是
第五章分析力学2
3. 有势系统
8
例1 用基本形式的拉格朗日方程求单摆的运动微 分方程。 o 解法一： 1、对象：系统 2、自由度：s =1 广义坐标 θ 3、求广义力
d T T ( ) Q ( 1, 2, , s) dt q q
x
A
l
y
r rA i x l sin Q Fi mg q q i y l cos rA rA l sin i l cosj l cos i l sin j rA Q mg mgj i l cos j l sin mgl sin
xi xi i , x q t 1 q
s
(i 1, 2,...,3n)
2 s s xi xi xi xi 1 xi q 2 2 mi q q t i 1 2 1 q t , 1 q q 3n s 3n xi xi xi xi 1 s q ( mi ( mi )q )q 2 , 1 i 1 q q q t 1 i 1
用拉格朗日方程解决力学体系动力学问题的一般步骤： （1）确定力学体系 ； （2）选取 ； （3）写出 的表达式（4）写出用 和 表 示的 表达式；（5）代入 动力学方程。
解法二： 1、研究对象：单摆
o
x
l
2、自由度 s=1 广义坐标:θ 3、用理想约束下保守系的L方程 y d L L 0 dt 1 1 1 2 2 2 2 T m m(l ) ml 2 2 2 V mgl cos 以x轴为零势能位置 1 2 2 L T V ml mgl cos 2 4、代入L方程
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引言 约束和广义坐标（1） 虚功原理（4） 拉格朗日方程（6） 小振动（1） 哈密顿正则方程（2） 泊松括号与泊松定理（2） 哈密顿原理（2） 正则变换（1）
引言
• 机械系统运动的基本规律
牛顿定律
变分原理
牛顿力学
分析力学
以力、加速度等向 量为基本物理量— 向量力学
当冰刀在冰面上运动时，质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向。
选两质点在冰面上的坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，则约束条件为
（质心的速度沿杆的方向）
后一个约束也可表为： 这意味着它是对无限小变化的限制。
（左边同除以dt）
z
例：圆环在水平面上作纯滚动。
需4个坐标。
直线，则为完整约束 如果：轨迹为
分析力学注重的不是力和加速度, 而是具有更广泛 意义的能量, 同时又扩大了坐标的概念. 分析力学 的方法和结论被方便地应用于物理学其他领域.
1. 把力学系统作为一个整体考虑 (牛顿力学是先质点、再 质点系 )
2. 具有简单统一的微分方程
力学体系不同
分析力学：力学量 L(T,V) 或 H(T,V) 不同 牛顿力学：运动微分方程不同
以功、能量等 标量为基本物 理量。
本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为 两个并列的理论基础。
拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的 运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.
哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立 变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.
哈密顿原理 变分法
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
力学第一原理
牛 拉
顿 格
力 朗
学 日
方
程
矢量力学 拉格朗日
力
学
（相当于“几何公理” ）哈 密 顿 原 理 哈 密 顿 力 学
三者本质上相同，可以相互证明
利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可
表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,,
t
0
例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束。
某些约束不仅对力学系统的空间位置限制，还对各质点的速度 有 限 制 , 这 种 约 束 称 为 运 动 约 束 （ 或 微 分 约 束 ） (geometrical constraint )。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,,
rn
,
t
0
(5.1)
约束条件:约束方程、 坐标和速度必需满足的条件。
3. 约束的分类
①稳定约束与不稳定约束
若限制系统位置的约束不是时间t的函数（在约束方程中不显
含时间t），则为稳定约束。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
0
(5.2)
若限制系统位置的约束是时间t的函数（在约束方程中将显含 时间t），则为不稳定约束。可表示为
束。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
0
或
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
0
或
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
,
t
0
或
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
,
t
0
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
系统的独立坐标的个数s叫作系统在有限运动中的自由 度——单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的数目。
(k个几何约束时：有 s 3n k 个).
对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但是 广义坐标的选择不是唯一的。
6 分析力学特点
1. 力学体系
一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一 质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合 体就称为力学体系（体系）。
给定了某一时刻质点的坐标和速度, 由动力学方程原 则上单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下 一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。
f
r1
,
r2
,
r3
,,
t
0
(5.3)
②不可解约束（双面约束）与可解约束（单面约 束）
质点始终不能脱离的约束，则为不可解约束 （双侧约束）。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
0
或
f
1
,
r2
,
r3
,,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
,
t
0
若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为可解约
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,,
rn
,
t
0
(5.1)
可经过积分变为几何约束的则为完整约束，不能积分则为不 完整约束。
只受完整约束的体系称为完整系。 只要受有不完整约束的体系，则称为不完整系。
例 考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型。假定将冰刀抽象
为以刚性轻杆相连的两个质点，并设两质点质量相等， 杆长为l，
以此类推, 当知道某一时刻的状态，就知道了体系在 任一时刻的状态。
2. 约束
约束是对物体运动位置或速度的限制。
几乎所有的力学系统都存在着约束。
例如，刚体内任意两质点间距离不变； 两个刚体用铰链连接；轮 子无滑动地滚动；两个质点用不可伸长的绳连接等。
对状态的限制也就是对力学体系内各质点的位置和速度 加以限制，其数学表示式：
3. 使用范围更广
能量概念适用于量子力学，甚至非力学体系；
..
量子力学中的 r, , r, 等是没有意义的。
4 引入广义坐标的意义
n 个质点，k 个约束
牛顿力学：3n k 个方程
分析力学：3n k 个方程
广义坐标可以是联系着能量的各种物理量（电压，电流， 温度，压强），是推广到非力学体系的首要条件。
c
R
y
曲线，则为非完整约束 x
直线：
x c y c
vc vc
cos sin
vc R
积分
运动约束
微分
xc yc
R R
cos sin
c1 c2
几何约束
理论力学主要研究受双面、定常、完整约束（几何约 束）的非自由质系(完整系)。
在给定的约束条件下用来确定力学系的位置的一组独 立变量称为系统的广义坐标（Ｇeneralized system） 。