第五章 分析力学要点

c
R
y
曲线，则为非完整约束 x
直线：
x c y c
vc vc
cos sin
vc R
积分
运动约束
微分
xc yc
R R
cos sin
c1 c2
几何约束
理论力学主要研究受双面、定常、完整约束（几何约 束）的非自由质系(完整系)。
在给定的约束条件下用来确定力学系的位置的一组独 立变量称为系统的广义坐标（Ｇeneralized system） 。
以功、能量等 标量为基本物 理量。
本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为 两个并列的理论基础。
拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的 运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.
哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立 变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.
哈密顿原理 变分法
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
,,
rn
,
t
0
(5.1)
约束条件:约束方程、 坐标和速度必需满足的条件。
3. 约束的分类
①稳定约束与不稳定约束
若限制系统位置的约束不是时间t的函数（在约束方程中不显
含时间t），则为稳定约束。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
0
(5.2)
若限制系统位置的约束是时间t的函数（在约束方程中将显含 时间t），则为不稳定约束。可表示为
分析力学注重的不是力和加速度, 而是具有更广泛 意义的能量, 同时又扩大了坐标的概念. 分析力学 的方法和结论被方便地应用于物理学其他领域.
1. 把力学系统作为一个整体考虑 (牛顿力学是先质点、再 质点系 )
2. 具有简单统一的微分方程
力学体系不同
分析力学：力学量 L(T,V) 或 H(T,V) 不同 牛顿力学：运动微分方程不同
3. 使用范围更广
能量概念适用于量子力学，甚至非力学体系；
..
量子力学中的 r, , r, 等是没有意义的。
4 引入广义坐标的意义
n 个质点，k 个约束
牛顿力学：3n k 个方程
分析力学：3n k 个方程
广义坐标可以是联系着能量的各种物理量（电压，电流， 温度，压强），是推广到非力学体系的首要条件。
系统的独立坐标的个数s叫作系统在有限运动中的自由 度——单值地确定一个系统的位形所必需的独立量的数目。
(k个几何约束时：有 s 3n k 个).
对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但是 广义坐标的选择不是唯一的。
束。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
r1
,
r2
,
r3
百度文库
,
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0
或
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或
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或
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,
r2
,
r3
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,
rn
,
t
0
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
当冰刀在冰面上运动时，质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向。
选两质点在冰面上的坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，则约束条件为
（质心的速度沿杆的方向）
后一个约束也可表为： 这意味着它是对无限小变化的限制。
（左边同除以dt）
z
例：圆环在水平面上作纯滚动。
需4个坐标。
直线，则为完整约束 如果：轨迹为
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
力学第一原理
牛 拉
顿 格
力 朗
学 日
方
程
矢量力学 拉格朗日
力
学
（相当于“几何公理” ）哈 密 顿 原 理 哈 密 顿 力 学
三者本质上相同，可以相互证明
利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
f
r1
,
r2
,
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rn
;
r1
,
r2
,
r3
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rn
,
t
0
(5.1)
可经过积分变为几何约束的则为完整约束，不能积分则为不 完整约束。
只受完整约束的体系称为完整系。 只要受有不完整约束的体系，则称为不完整系。
例 考虑一个冰面上滑行的冰刀的简化模型。假定将冰刀抽象
为以刚性轻杆相连的两个质点，并设两质点质量相等， 杆长为l，
f
r1
,
r2
,
r3
,,
t
0
(5.3)
②不可解约束（双面约束）与可解约束（单面约 束）
质点始终不能脱离的约束，则为不可解约束 （双侧约束）。可表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,
,
rn
;
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r2
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r3
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,
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0
或
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,
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0
若质点虽受到约束，但在某一方向可以脱离的约束，则为可解约
以此类推, 当知道某一时刻的状态，就知道了体系在 任一时刻的状态。
2. 约束
约束是对物体运动位置或速度的限制。
几乎所有的力学系统都存在着约束。
例如，刚体内任意两质点间距离不变； 两个刚体用铰链连接；轮 子无滑动地滚动；两个质点用不可伸长的绳连接等。
对状态的限制也就是对力学体系内各质点的位置和速度 加以限制，其数学表示式：
第5章 分析力学
引言 约束和广义坐标（1） 虚功原理（4） 拉格朗日方程（6） 小振动（1） 哈密顿正则方程（2） 泊松括号与泊松定理（2） 哈密顿原理（2） 正则变换（1）
引言
• 机械系统运动的基本规律
牛顿定律
变分原理
牛顿力学
分析力学
以力、加速度等向 量为基本物理量— 向量力学
6 分析力学特点
1. 力学体系
一群质点的集合，若其中有相互作用，以致其中每一 质点的运动，都和其他质点的位置和运动有关，这种集合 体就称为力学体系（体系）。
给定了某一时刻质点的坐标和速度, 由动力学方程原 则上单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下 一个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度。
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可
表示为
f
r1
,
r2
,
r3
,,
t
0
例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束。
某些约束不仅对力学系统的空间位置限制，还对各质点的速度 有 限 制 , 这 种 约 束 称 为 运 动 约 束 （ 或 微 分 约 束 ） (geometrical constraint )。可表示为