二次函数和三角形面积的综合
二次函数中三角形面积问题
二次函数中三角形面积问题【典型例题】:如图，二次函数y=-x²+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E，S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）；令y=0, 则-x²+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0），设AB所在直线的解析式为y=kx+b.求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3.设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3)CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3mS△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE=1/2×3( -m2+3m)=--3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3＝-3m2/2+9m/2S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。
解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x²+2x+3联立方程组得：-x+b=-x²+2x+3，整理得：x²－3x+b-3=0当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。
第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)
第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
(完整)二次函数与三角形综合
二次函数综合提升卷【类型一】二次函数之面积最值求与函数图像相关的三角形的面积：（1)结合方程组用待定系数法求函数的解析式；（2）根据坐标求出三角形面积；①公式法：三角形一边与坐标轴平行或重合时可以直接根据三角形面积公式求解；②割补法：公式法无法使用是,把三角形补成矩形或梯形或直角三角形,然后根据矩形或梯形或直角三角形的面积公式解决；③等积转化法；④铅锤法;利用S=铅垂高⨯水平宽÷2,可以避免求一些比较复杂的点的坐标；⑤特殊情况下可以利用反比例函数的几何意义进行解答。
＊遇到动点最值问题时,需要利用未知数将实际问题中的情形代数化,利用二次函数性质解答1.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁皮备用,当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为（）A.x=10，y=14 B。
x=14，y=10 C.x=12 ，y=15 D.x=15 ，y=12（第1题）（第2题)2.如图，在平面直角坐标系中，己知点O(0，0）,A(5，0）,B(4，4）．(1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M 的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．3.如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m,m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式;（2)若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标;②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．【类型二】二次函数与全等三角形在实际考试中会出现全等三角形点的存在性问题，解题的关键在于全等三角形对应边相等或对应角相等，利用某一个特殊角度角展开分类讨论,将所有的情形都讨论到位.4. ★如图,在第一象限内作射线OC,与x 轴的夹角为︒30,在射线OC 上取一点A,过点A 作AH ⊥x 轴于点H.在抛物线2x y =)0(>x 上取点P,在y 轴上取点Q,使得以P,O ，Q 为顶点的三角形与∆AO H 全等，则符合条件的点A 的坐标是_____．5. 如图,抛物线c bx ax y ++=2的顶点为D ，与y 轴交于点C,直线CD 的解析式为323+=x y .（1)求b 、c 的值;（2）过C作CE x//轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F)0,4(，求抛物线的解析式；(3）在(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得∆CDM∆≅CEA若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.6. 如图，抛物线)0(2≠+=a c ax y 与y 轴交于点A,与x 轴交于B,C 两点(点C 在x 轴正半轴上),∆ABC 为等腰直角三角形，且面积为4,现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一点为E,其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H 。
二次函数中三角形面积问题小结练习
二次函数中三角形面积问题一、学情剖析：这一节课的教课对象是九年级的学生.从学习内容角度看，学生已经接触了一次函数、反比率函数、二次函数，能够娴熟地剖析函数的图像及其性质，同时学习本节课以前学习过求三角形的面积的几何方法，这都为本节课做好了知识贮备作用；从学习能力方面看，在这个阶段的学生已经具备了必定的察看、剖析、归纳归纳的能力，并且擅长合作沟通、敢于研究；从认知能力角度看，九年级的学生已经能进行数形联合解决几何问题，对于本节课的学习有必定的帮助 .二、教材剖析：本课时的教课内容是湘教版九年级下册第一章第五节的内容，属于综合题 . 尽人皆知，函数是初中代数的核心，学习本节课以前，学生学习了一次函数、反比率函数、二次函数，并且接触了三角形等几何问题，这对本节课的学习打下了知识基础 .这节课的内容是初中代数和几何的交融，对于培育学生的综合能力特别重要 .三、教课目的：依据《数学课程标准》，联合教材与学生实质，详细目标设定为下边几个方面：1、知识与能力：会解决一般的二次函数中的三角形面积问题.2、过程与方法目标1．在研究反比率函数图像的性质过程中，培育学生察看、剖析、归纳、归纳能力，同时培育学生表达能力 .? 体验数形联合和分类议论思想2．在绘图过程中，培育学生着手操作能力；3.在自主研究合作沟经过程中，学生学会与别人沟通，锻炼了社交能力和语言表达能力 .3、感情态度与价值观目标1.在沟通研究中学生相互合作沟通，促使同窗友情；2、在找点、绘图的过程表现了数学图形的美，培育学生审美情味，同时让学生体验到着手的乐趣四、教课要点与难点教课要点：会解决一般的二次函数中的三角形面积问题.教课难点：二次函数中的三角形的极点存在动点时的面积问题.五、教课策略：本课以教师为主导、学生为主体为原则，采纳启迪式和议论式教课方法.教课过程：六、教具：多媒体七、教课过程设计本节课设计了七个教课环节三、解题反省，学习新知一、创建情境、引二、着手操作、研究新知入讲堂四、加强练习、稳固五、讲堂小结、六、作业部署新知梳理新知八、教课过程活动一：复习回首1.问：（ 1）：三角形的面积是怎么求的？（ 2）二次函数中三角形面积问题该怎么解决呢？设计企图：复习三角形面积的一般求法，图形比较熟习，温故而知新，为新知识的学习作准备。
二次函数与相似三角形之间的综合题
二次函数与相似三角形之间的综合题型教学设计田敏教材分析：1、二次函数是初中数学新人教版二十二章的内容，是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。
也是中考的必考内容之一，中考分值已超过了10%。
所以在初中数学中占着重要的地位。
学情分析：2、二次函数与几何图形的综合也是这几年中考的热点题型。
应用信息技术解决重点难点的地方：本节课主要体现二次函数的与相似三角形的综合性试题。
重在思考线路。
3、学习二次函数，对学生进入高中后进一步学习函数的一般性质起着承上启下的作用。
同时也是学习物理等其他学科的重要工具。
教学过程一、复习预习1.二次函数的基础知识2.勾股定理3.相似三角形的性质二、知识梳理考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方。
二次函数中三角形面积最大值综合题
）））））））））2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题2x轴交于点2017甘肃白银）如图，已知二次函数的图象与28．（4?ax??bxy????8,0BC?2,0，与，点轴交于点．Ay24??y?axbx（1）求二次函数的表达式；NBCN作，若点上运动（不与点在线段重合），过点（2）连接CBAB,AC,N?ACAMNNM//点的坐标；，当面积最大时，求于点，交MAB COMAOM与）的结论下，求（3）连接的数量关系．，在（22，B，点C的坐标分别代入解：（1）将点4?bxaxy??0??44a?2b?，得：?0?b?464a?8? 1分31．解得：，?a?b?24∴该二次函数的表达式为3123分．4?x?y?x?24），＜8）（2＜n0（2）设点N的坐标为（n，?，．则n?8?BN?n?2CN, 0）C）,（8，，∵B（-20=10. ∴BC ，令，解得：4y?0x? =44），OA，，（∴点A0 ACMN∵∥，））））））））））．）））））））））AMNC8?n．4分∴??10BCAB，BC=10，=4∵OA115 ．∴20??10?S?BC?OA?4ABCV22分11?2）S2）?4=（2n+BN?OA?（n+ABNV22 Sn8?AMCN AMNV,??又Q?10ABCBS ABNV1?n1826∴．5S?3)?nS?(8?)(n??2)??(n ABNAMNVV5105分7 的面积最大．∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN分.边中点0）时，N为BC（3）当N（3，1边中点，∴∴M为AB AB.?OM2分822∵，5?4?OA16?AB?OB2?22，5?4?64?AC?OC16?OA1∴AC,AB?2分9∴1分10 ．AC?OM4????25,01,0BA3bx??y?ax。
海南）24（2017.抛物线和点经过点（1）求该抛物线所对应的函数解析式；3DC、是抛物线上的动点且（2 相交于）该抛物线与直线两点，点3x?y?P5xx NCDM、位于轴下方。
二次函数与三角形面积问题
⼆次函数与三⾓形⾯积问题⼆次函数与三⾓形的⾯积问题【教案⽬标】1.能够根据⼆次函数中不同图形的特点选择合适的⽅法解答图形的⾯积。
2.通过观察、分析、概括、总结等⽅法了解⼆次函数⾯积问题的基本类型，并掌握⼆次函数中⾯积问题的相关计算，从⽽体会数形结合思想和转化思想在⼆次函数中的应⽤。
3.掌握利⽤⼆次函数的解读式求出相关点的坐标，从⽽得出相关线段的长度，利⽤割补⽅法求图形的⾯积。
【教案重点和难点】1.运⽤2铅垂⾼⽔平宽?=s；2.运⽤y；3.将不规则的图形分割成规则图形，从⽽便于求出图形的总⾯积。
【教案过程】类型⼀：三⾓形的某⼀条边在坐标轴上或者与坐标轴平⾏例1.已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求:（1）抛物线解读式；（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；（3）求下列图形的⾯积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
解题思路：求出函数解读式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。
求出下列图形的⾯积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
⼀般地，这类题⽬的做题步骤：1.求出⼆次函数的解读式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适⽅法求出图形的⾯积。
变式训练1.如图所⽰，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ，B ()0,2x ()21x x <，与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的⾯积为6。
（1）求点A 和B 的坐标；（2）求此抛物线的解读式；（3）求四边形ACPB 的⾯积。
类型⼆：三⾓形三边均不与坐标轴轴平⾏，做三⾓形的铅垂⾼。
（歪歪三⾓形拦腰来⼀⼑）关于2铅垂⾼⽔平宽?=S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与⽔平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“⽔平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂⾼(h )”.我们可得出⼀种计算三⾓形⾯积的新⽅法：ah S ABC 21=?，即三⾓形⾯积等于⽔平宽与铅垂⾼乘积的⼀半.想⼀想：在直⾓坐标系中，⽔平宽如何求？铅垂⾼如何求？例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解读式；(2)点P 是抛物线(在第⼀象限内)上的⼀个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂⾼CD 及CAB S ?；(3)是否存在⼀点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：求出直线AB 的解读式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ；铅垂⾼D C y y CD -=，注意线段的长度⾮负性；分析P 点在直线AB 的上⽅还是下⽅?图1图-2 xCOy ABD 1 1变式训练2.如图，在直⾓坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解读式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最⼩？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下⽅，那么△P AB 是否有最⼤⾯积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最⼤⾯积；若没有，请说明理由.变式训练3.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解读式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最⼩？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第⼆象限上是否存在⼀点P ，使△PBC 的⾯积最⼤？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的⾯积最⼤值.若没有，请说明理由.⼀般地，①所谓的铅垂⾼度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为DC y y CD -=。
初中二次函数三角形面积问题透析论文
初中二次函数三角形面积问题透析摘要：二次函数中三角形面积问题是代数与几何有机结合的一个考点，是函数的综合应用能力的提升。
二次函数这部分内容可渗透的数学思想多，解题方法多，老师在讲述这些题目时一定要注意循序渐进把握好梯度。
在探究这些问题时，首先要让学生加深对函数知识的回顾，同时要注重数学思想的渗透，培养学生用数学的思想去思考问题、解决问题的习惯，发展学生的创新思维，使其形成自主学习、自主探索的意识。
关键词：初中数学；二次函数；三角形面积问题中图分类号：g633.6 文献标识码：a 文章编号：1006-3315（2012）10-035-001一、抛砖引玉建模：已知直角坐标中点b（3，0），c（0，3）d（1，4），求出顺次连结这三点的三角形的面积。
引导问题：在平面直角坐标系中画出bcd的图形。
探索根据已知三点的坐标如何来求出bcd的面积。
在求bcd时遇到困难时能否用数学的“割补法”帮助你解决这个问题。
请你提出你的观点并大胆地尝试。
教学感悟：本次建模是为下面引出问题作下伏笔，我们尽可能让学生提出不同的分割思想，让学生提出不同的见解，说出不同的解决问题方法。
二、构建例题例题：如图（7）已知抛物线图象过a（-1，0），c（0，3）且对称轴为直线x=1。
（1）求抛物线的解析式，图象与x轴的另一个交点及顶点d的坐标；（2）求dcb的面积。
引导问题：求二次函数的解析式有哪三种方法？本题采用哪一种方法解题比较简单？求dcb面积时我们需要做些什么准备工作？b、c、d坐标求出后三角形面积如何求？它与上述的模型有类同之处吗？如有类同，哪些分割法比较适宜本题？请你试试并求出答案。
设计意图：通过本题学习使学生进一步掌握二次函数解析式的三种不同的表达式，让学生体会到不同的选择带来不同的简便效果，进一步让学生掌握平面直角坐标中求斜三角形面积的不同分割方法。
变式题1：如图（8），已知抛物线与坐标轴交于c、b两点，d是直线bc上方的二次函数的一点动点，（点d与b、c不重合），点d 运动到什么位置时dbc的面积最大，求出此时点d坐标和三角形面积的最大值。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
人教版中考数学一轮复习--二次函数与三角形的综合应用(精品课件)
若不存在，请说明理由．
(图1)
解：存在．∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，∴CCOP＝CCDB＝OPDB.
∵SS12＝CCDB，SS23＝CCOP，∴SS12＋SS23＝2CCOP.
(答图3)
如答图 3，过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为 H，PH 交 AB 于点
①若－1≤a≤－ 1 ，求线段MN长度的取值范围； 2
解：由(2)知ax2＋(a－2)x－2a＋2＝0， ∵a≠0，∴x2＋1－2ax－2＋2a＝0， ∴(x－1)x－2a－2＝0，解得 x＝1 或 x＝2a－2，
将 x＝2a－2 代入 y＝2x－2，得 y＝4a－6， ∴N 点的坐标为2a－2，4a－6. ∴MN2＝2a－2－12＋(4a－6)2＝2a02 －6a0＋45＝20(1a－32)2. ∵－1≤a≤－12，∴－2≤1a≤－1， ∴易知 MN2 随1a的增大而减小，
ax＋b有一个公共点M(1，0)，且a<b. (3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
②求△QMN面积的最小值．
解：如答图
1，作抛物线的对称轴
x＝－12交直线
(答图1) y＝2x－2 于 E
点，将 x＝－12代入 y＝2x－2，得 y＝－3，∴E－12，－3.
设△QMN 的面积为 S，
∵M(1，0)，N2a－2，4a－6，a<0， ∴S＝S△QEN＋S△QEM＝12|(2a－2)－1|·|－94a－(－3)|＝247－3a－278a， ∴易得 27a2＋(8S－54)a＋24＝0， ∴Δ＝(8S－54)2－4×27×24≥0，即(8S－54)2≥(36 2)2. ∵a<0，∴S＝247－3a－278a>247，
二次函数与几何图形的综合问题(学生版)--初中数学专题训练
二次函数与几何图形的综合问题目录一、热点题型归纳【题型一】 二次函数与图像面积的数量关系及最值问题【题型二】 二次函数与角度数量关系问题【题型三】 二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题【题型四】 二次函数与特殊三角形问题【题型五】 二次函数与相似三角形存在性问题【题型六】 二次函数与特殊四边形存在性问题【题型七】 二次函数与代数或几何综合问题二、最新模考题组练1.热点题型归纳题型一：二次函数与图像面积的数量关系及最值问题1【典例分析】1如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0两点，点C为二次函数的图象与y轴，B1,0的交点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为二次函数图象上的一点，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．2【提分秘籍】对于图形的运动产生的相等关系问题，解答时应认真审题，仔细研究图形，分析动点的运动状态及运动过程，解题过程的一般步骤是：①弄清其取值范围，画出符合条件的图形；②确定其存在的情况有几种，然后分别求解，在求解计算中一般由函数关系式设出图形的动点坐标并结合图形作辅助线，画出所求面积为定值的三角形；③过动点作有关三角形的高或平行于y轴、x轴的辅助线，利用面积公式或三角形相似求出有关线段长度或面积的代数式，列方程求解，再根据实际问题确定方程的解是否符合题意，从而证得面积等量关系的存在性.④对于面积的最值问题选择合适的自变量，建立面积关于自变量的函数，并求出自变量的取值范围，用二次函数或一次函数的性质来解决.3【变式演练】1如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．2如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1，0两点．，B3，0(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，y>0？(3)设(1)题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A(-2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点M．(1)求抛物线的函数关系式．(2)设点P是直线l上的一个动点，求△PAC周长的最小值．题型二：二次函数与角度数量关系问题1【典例分析】1如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)和B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点(与点B、C不重合)，作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标；(3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO=∠PBC时，请求出点Q的坐标．2【提分秘籍】探究两个角相等的方法：①可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；②通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标.3【变式演练】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c过点A-2,0,B4,0，x轴上有一动点P t,0，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接CE．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在线段OB上运动时(不与点O，B重合)当△CDE∽△BDP时，求t的值．(3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使∠DCE=∠DEC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2如图，抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与y轴相交于点C，且经过A(1,0)，B(5,0)两点，连接AC．(1)求抛物线的表达式；(2)设P为x轴下方抛物线上一点，M为对称轴上一点，N为该抛物线对称轴与x轴交点，若∠MNP=∠OCA，求点P的坐标．题型三：二次函数与线段长度数量关系及线段长度最值问题1【典例分析】1如图，已知经过A1,0两点的抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．，B4,0(1)求此抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若线段BC上有一动点M(不与B、C重合)，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N．求当线段MN的长度最大时点M的坐标；2【提分秘籍】探究平面直角坐标系中线段的数量关系的方法：①先设点的坐标，再用点的坐标表示线段的长度，然后分析表示线段长度的代数式，得出线段之间的数量关系；②函数图象上点的坐标的表示方法：直线y=kx+b上点的坐标为(x，kx+b);抛物线y=ax2+bx+c上点的坐标为(x，ax2+bx+c)；双曲线y=k x上的点的坐标为y=x，k x③已知点A(x,y),B(m,n),若AB与x轴平行，则AB=|x-m|;若AB与y轴平行，则AB=|y-n|;若AB既不与x轴平行又不与y轴平行，则AB=(x-m)2+(y-n)2。
九年级数学上册28.3二次函数中的三角形面积问题说课稿
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：以实际问题为背景，引发学生对二次函数与三角形面积问题的思考；
2.分组讨论：组织学生进行合作交流，让学生在讨论中相互启发，共同解决问题；
3.激励评价：对
3.合理安排课堂时间，关注学生的学习进度，对学习困难的学生给予个别辅导。
课后评估教学效果：
1.课后收集学生的作业和数学日记，分析他们的学习效果和困惑；
2.与学生进行交流，了解他们对课堂知识的掌握程度；
3.反思自己的教学过程，针对学生的反馈，调整教学策略。
具体反思和改进措施：
1.针对学生对知识点的掌握情况，调整教学内容和难度，确保学生能扎实掌握基础知识；
2.提高题：布置一些富有挑战性的题目，培养学生的解题能力和创新思维。
3.实践题：布置与实际生活相关的二次函数与三角形面积问题，让学生将所学知识应用于生活实践。
作业的目的在于：巩固所学知识，提高学生的应用能力；培养学生的独立思考和解决问题的能力；增强学生对数学学科的兴趣和信心。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
2.问题驱动的教学：以实际问题为载体，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的知识运用和问题解决能力。
3.合作学习：组织学生进行分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时通过互相启发，提高学生的思维品质。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：三角板、直尺、计算器等，用于直观演示和操作，帮助学生理解二次函数图像与三角形面积的关系。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划采取以下措施：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
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二次函数与三角形面积的综合寻找类1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。
能应对这部分题的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。
尤其是遇到二次函数与三角形面积的综合题的解题思路。
运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐标在不在二次函数的图像上。
这些都是在考试中容易失分的地方。
4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联系，尤其是正切的运用。
这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。
掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。
而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。
5.求面积常用的方法a.直接法b。
简单的组合c。
面积不变同底等高或等底等高的转换d.相似e.三角函数f。
找面积的最大最小值利用二次函数的性质（1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。
此题中的三角形的面积就能直接求出。
（2）通过简单的重新组合就能求出面积。
第6题（2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分）如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
第8题（2009年四川南充市）21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A，．(33)（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S ？若存在，求点E若不存在，请说明理由．例2 （2006，重庆市）已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图像经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC •把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标． （4）相似第10题（2009年台州市）24．如图，已知直线 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点D C ,的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．（第24题）yx121+-=x y25．已知抛物线经过点A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x轴正半轴交于点D.（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；（2）在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC, 与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E'FG. 设P（x, 0）, △E'FG与四边形FGCB 重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.09山东）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．（例题分析）（09朝阳一模）24. （本小题7分）抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.解析：此题考察的是二次函数与三角形面积的综合，在中考题中考察学生的分析能力和综合运用知识的能力。
（1）第一问二次函数的求解方法需要注意透彻理解解析式的三种求解方法：一般式，顶点式，双根式，前两种方法是最常用的方法。
已知条件中点A、C在抛物线上。
所以还需要再寻找一个条件才能求出解析式。
所以点Q到x轴的距离为6这句话就非常关键，通过这句话再根据图形得到抛物线的对称轴，利用顶点式求其解析式。
（2）看到垂直第一时间想到锐角三角函数中的正切，利用正切求坐标是最简便易行的方法，平面直角坐标系涉及的是垂直，因此坐标轴上的点的坐标比较好求。
求点D的坐标要优先想到点D的位置在哪？抛物线上的点通常采用二次函数与一次函数联立方程组求点的坐标。
这样分析起来就不难解决此题了。
（3）S△PAM=3S△ACM，求出P点坐标。
首先就要先观察点P的位置在哪里，然后想法把点的坐标设出来然后再利用面积之间的关系求坐标。
通常情况下面积的表示方法都要通过三角形之间，四边形之间的转换表示面积。
时刻要想到与坐标轴垂直的边或与坐标轴平行的边当底或高，然后再进行求解。
备注：本题的可读指数是★★★，做起来还是非常容易寻找突破口的，同学们要加油！第1题（09朝阳一模）24. （本小题7分）抛物线与x轴交于A（－1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，－3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6.（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S△PAM=3S△ACM，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.第2题（09海淀一模）25．已知抛物线经过点A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，与x轴正半轴交于点D.（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；（2）在x轴上求一点E, 使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC, 与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E'FG. 设P（x, 0）, △E'FG与四边形FGCB 重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围.第3题.（09黄石）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在x 轴正半轴上，D 在y 轴的负半轴上，AB 交y 轴正半轴于E BC ，交x 轴负半轴于F ，1OE =，抛物线24y ax bx =+-过A D F 、、三点．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）Q 是抛物线上D F 、间的一点，过Q 点作平行于x 轴的直线交边AD 于M ，交BC 所在直线于N ，若32FQN AFQM S S =△四边形，则判断四边形AFQM 的形状； （3）在射线DB 上是否存在动点P ，在射线CB 上是否存在动点H ，使得AP PH ⊥且AP PH =，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．第7题（2009年山东临沂市）26．（本小题满分13分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．第9题（2009年四川凉山州）26．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．（第26题）第10题（2009年台州市）24．如图，已知直线 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ． （1）请直接写出点D C ,的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D 停止，求抛物线上E C , 两点间的抛物线弧所扫过的面积．第11题（2009年四川南充市）21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（第24题）yx121+-=x y（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S ？若存在，求点E若不存在，请说明理由．第14题第18题。