人教版高中数学总复习[知识梳理函数的基本性质(基础)
2023年人教版高中数学第三章函数的概念与性质基础知识点归纳总结
(名师选题)2023年人教版高中数学第三章函数的概念与性质基础知识点归纳总结单选题1、函数f(x)=x2−1的单调递增区间是（）A．(−∞,−3)B．[0,+∞)C．(−3,3)D．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f(x)=x2−1知，函数为开口向上，对称轴为x=0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.2、已知函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=√3x−1的定义域为（）A．(13,4)B．(13,2)C．(13,6)D．(13,1)答案：C分析：根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.因为函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，所以f(x)的定义域为(−1,6).又因为3x−1>0，即x>13，所以函数g(x)的定义域为(13,6).故选：C.3、设函数f(x)=x3−1x3,则f(x)（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x ≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x 3−1x 3定义域为{x|x ≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)， 所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y =x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增， 而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增． 故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 4、设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则 A ．f (log 314)>f (2−32)>f (2−23)B ．f (log 314)>f (2−23)>f (2−32)C ．f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)D ．f (2−23)>f (2−32)>f (log 314) 答案：C解析：由已知函数为偶函数，把f (log 314) , f (2−32) , f (2−23)，转化为同一个单调区间上，再比较大小．∵f (x )是R 的偶函数，∴f (log 314)=f (log 34)．∵log 34>log 33=1,1=20>2−23>2−32,∴log 34>2−23>2−32， 又f (x )在(0，+∞)单调递减， ∴f (log 34)<f (2−23)<f (2−32)，∴f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)，故选C ．小提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 5、函数y =2√1−2x+(2x +1)0的定义域为（ ）A ．(−∞,12)B ．(−∞,−12)∪(−12,12) C ．(12,+∞)D ．(−∞,−12)∪(−12,12] 答案：B分析：要使函数y =2√1−2x(2x +1)0有意义，则有{1−2x >02x +1=0，解出即可.要使函数y =2√1−2x +(2x +1)0有意义，则有{1−2x >02x +1=0，解得x <12且x ≠−12所以其定义域为(−∞,−12)∪(−12,12)故选：B6、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑22k=1f(k)=（ ）A ．−3B ．−2C ．0D ．1 答案：A分析：法一：根据题意赋值即可知函数f (x )的一个周期为6，求出函数一个周期中的f (1),f (2),⋯,f (6)的值，即可解出．[方法一]：赋值加性质因为f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，令x =1,y =0可得，2f (1)=f (1)f (0)，所以f (0)=2，令x =0可得，f (y )+f (−y )=2f (y )，即f (y )=f (−y )，所以函数f (x )为偶函数，令y =1得，f (x +1)+f (x −1)=f (x )f (1)=f (x )，即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x −1)，f (x −1)=−f (x −4)，故f (x +2)=f (x −4)，即f (x )=f (x +6)，所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ． [方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cos x cos y ，可设f (x )=a cos ωx ，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,a cos ω=1，解得cosω=12，取ω=π3，所以f (x )=2cos π3x ，则f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3x cos π3y =f (x )f (y )，所以f (x )=2cos π3x 符合条件，因此f(x)的周期T =2ππ3=6，f (0)=2,f (1)=1，且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0， 由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.7、若函数f(2x +1)=x 2−2x ，则f(3)等于（ ） A ．−1B ．0C ．1D ．3 答案：A分析：换元法求出函数的解析式，代入计算即可求出结果.令2x +1=t ，得x =t−12，所以f(t)=(t−12)2−2×t−12=14t 2−32t +54，从而f(3)=14×32−32×3+54=−1. 故选：A.8、函数f(x)=√−x 2+5x+6x+1的定义域（ ）A ．(−∞,−1]∪[6,+∞)B ．(−∞,−1)∪[6,+∞)C ．(−1,6]D ．[2,3] 答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x +6≥0x +1≠0得出定义域.{−x 2+5x +6≥0x +1≠0，解得−1<x ⩽6 即函数f(x)的定义域(−1,6] 故选：C9、已知f (x −2)=x 2+1，则f (5)=（ ） A ．50B ．48C ．26D ．29 答案：A分析：利用赋值法，令x =7即可求解.解：令x =7，则f (5)=f (7−2)=72+1=50． 故选：A.10、定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，且f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集是（ ） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(2,+∞)C ．(−∞,−2)∪(0,2)D ．(−∞,−2)∪(2,+∞) 答案：C分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f (x )在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增， 又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0， 则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0 或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：C11、已知函数f (x )对于任意x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，且当x >0时，f (x )>2，若已知f (2)=3，则不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为（ ） A ．(2,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．(4,+∞) 答案：A分析：设g (x )=f (x )−2，分析出函数g (x )为R 上的增函数，将所求不等式变形为g (3x −2)>g (4)，可得出3x −2>4，即可求得原不等式的解集. 令g (x )=f (x )−2，则f (x )=g (x )+2，对任意的x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，则g (x )+g (y )=g (x +y )， 令y =0，可得g (x )+g (0)=g (x )，可得g (0)=0，令y=−x时，则由g(x)+g(−x)=g(0)=0，即g(−x)=−g(x)，当x>0时，f(x)>2，即g(x)>0，任取x1、x2∈R且x1>x2，则g(x1)+g(−x2)=g(x1−x2)>0，即g(x1)−g(x2)>0，即g(x1)>g(x2)，所以，函数g(x)在R上为增函数，且有g(2)=f(2)−2=1，由f(x)+f(2x−2)>6，可得g(x)+g(2x−2)+4>6，即g(x)+g(2x−2)>2g(2)，所以，g(3x−2)>2g(2)=g(4)，所以，3x−2>4，解得x>2.因此，不等式f(x)+f(2x−2)>6的解集为(2,+∞).故选：A.12、设f(x)为定义在R上的函数，函数f(x+1)是奇函数.对于下列四个结论：①f(1)=0；②f(1−x)=−f(1+x)；③函数f(x)的图象关于原点对称；④函数f(x)的图象关于点(1,0)对称；其中，正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：令g(x)=f(x+1)，①：根据g(0)=0求解出f(1)的值并判断；②：根据g(x)为奇函数可知g(−x)=−g(x)，化简此式并进行判断；根据y=f(x+1)与y=f(x)的图象关系确定出f(x)关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.令g(x)=f(x+1)，①因为g(x)为R上的奇函数，所以g(0)=f(0+1)=0，所以f(1)=0，故正确；②因为g(x)为R上的奇函数，所以g(−x)=−g(x)，所以f(−x+1)=−f(x+1)，即f(1−x)=−f(1+x)，故正确；因为y =f (x +1)的图象由y =f (x )的图象向左平移一个单位得到的，又y =f (x +1)的图象关于原点对称，所以y =f (x )的图象关于点(1,0)对称，故③错误④正确， 所以正确的有：①②④， 故选：C.小提示：名师点评通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若f (x +a )为偶函数，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称； （2）若f (x +a )为奇函数，则函数y =f (x )的图象关于点(a,0)成中心对称. 双空题13、已知函数f （x ）=√2x−1|x−2|，则f （5）＝_____；函数f （x ）的定义域为_____．答案： 1 [12，2）∪（2，+∞）． 解析：第一个空：直接代入求值即可；第二个空：根据被开偶次方根被开方数为非负实数，分式的分母不为零进行求解即可. 由f （x ）=√2x−1|x−2|，得f （5）=√10−13=1，由{2x −1≥0|x −2|≠0，解得x ≥12且x ≠2．∴函数f （x ）的定义域为[12，2）∪（2，+∞）． 所以答案是：1；[12，2）∪（2，+∞）．小提示：本题考查了求函数值、求函数的定义域，考查了数学运算能力. 14、已知f (x )是定义在R 上的偶函数且f (0)=1，g (x )=f (x −1)是奇函数，则f (2021)=________．∑f (i )4n−1i=1=_____________． 答案： 0 -1分析：根据函数f(x)是定义在R 上的偶函数，g(x)是定义在R 上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f(x)=f(−x)，g(x)=−g(−x)，然后结合g(x)=f(x −1)，灵活变形后求出函数f(x)的周期，再根据g(x)是定义在R上的奇函数，得g(0)=0，从而得到f (1)，f (2)，f (3)，根据函数的周期性计算可得；． 解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(x)=f(−x)， g(x)是定义在R 上的奇函数，所以g(x)=−g(−x)， f(x −1)=−f(−x −1)，所以f(x)=f((x +1)−1)=−f(−(x +1)−1)=−f(−x −2)=−f(x +2)， 则f(x +2)=−f(x)，所以f(x +4)=f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数． 因为g(x)是定义在R 上的奇函数，所以g(0)=0，由g(x)=f(x −1)，取x =0，得：f (1)=f (−1)=g (0)=0， 又f(0)=1，所以f(2)=−f(0)=−1，f (3)=−f (1)=0 所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(−1)+0+1=0所以f (4n +1)+f (4n +2)+f (4n +3)+f (4n )=0+(−1)+0+1=0，(n ∈Z ) 所以f (2021)=f (1)=0所以∑f (i )4n−1i=1 =[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+[f (5)+f (6)+f (7)+f (8)]+⋯+[f (4n −3)+f (4n −2)+f (4n −1)]=0+0+⋯+[0+(−1)+0]=−1． 所以答案是：0；−1．小提示：本题考查了函数的奇偶性和周期性，根据对称性判断出周期，然后通过整体替换求函数的周期是解题的关键．15、已知f (x )＝11+x (x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2，则f （2）＝________，f(g(2))＝________. 答案： 13 17分析：将x =2代入f (x )即可计算f （2）；将x =2代入g (x )即可计算g(2)，再将结果代入f (x )即可计算f(g(2)). 因为f (x )=11+x ，故可得f (2)=13；又g (x )=x 2+2，故可得g (2)=22+2=6， 故f(g (2))=f (6)=17.所以答案是：13；17.小提示：本题考查已知函数求函数值的问题，属于简单题.16、已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +1)=f(x −3)，当x ∈[0,2]时，f(x)=3x −1，则f(−2021)=___________；当x ∈[2,4]时，f(x)=___________. 答案： 2 34−x −1分析：（1）由f(x +1)=f(x −3)，得f(x +4)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，利用周期性把所给的两个自变量转化到区间[0,2]上，代入求值即可；（2）先结合奇偶性求出x ∈[−2,0]的解析式，再结合周期性求出x ∈[2,4]的解析式即可 （1）由f(x +1)=f(x −3)，得f(x +4)=f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f(−2021)=f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=3−1=2. （2）设x ∈[−2,0]，则−x ∈[0,2]. 因为f(x)是R 上的偶函数，所以当x ∈[−2,0]时，f(x)=f(−x)=3−x −1. 当x ∈[2,4]时，x −4∈[−2,0]，所以f(x)=f(x −4)=3−(x−4)−1=34−x −1.17、已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，则g (1)=______；当g(f (x ))=2时，x =______．答案： 3 1分析：由函数定义计算．由表可知，g (1)=3．由表可知，g (2)=2，所以f (x )=2，由表可知，f (1)=2，所以x 的值为1．所以答案是：3；1． 解答题18、给定函数f(x)=x 2+x +a 2+a,g(x)=x 2−x +a 2−a,a ∈R ．且∀x ∈R,用M(x)表示f(x)，g(x)的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}．（1）若a =1，试写出M(x)的解析式，并求M(x)的最小值； （2）若函数M(x)的最小值为3，试求实数a 的值．答案：（1）M(x)={x 2+x +2,x ≥−1x 2−x,x <−1，M(x)min =74；（2）a =1−√142或a =√14−12．分析：由M(x)的定义可得M(x)={f(x),x ≥−ag(x),x <−a ，（1）将a =1代入，写出解析式，结合分段区间，求f(x)，g(x)的最小值并比较大小，即可得M(x)的最小值；（2）结合M(x)的解析式及f(x),g(x)对称轴，讨论a ≥12、−12≤a <12、a <−12分别求得对应M(x)最小值关于a 的表达式，结合已知求a 值. 由题意，当f(x)≥g(x)时，f(x)−g(x)=x 2+x +a 2+a −(x 2−x +a 2−a)=2x +2a ≥0， 当f(x)<g(x)时，f(x)−g(x)=x 2+x +a 2+a −(x 2−x +a 2−a)=2x +2a <0， ∴M(x)=max{f(x),g(x)}={f(x),x ≥−ag(x),x <−a（1）当a =1时，M(x)={x 2+x +2,x ≥−1x 2−x,x <−1，∴当x ≥−1时，M(x)=f(x)=x 2+x +2，此时f(x)min =f(−12)=74，当x≤−1时，M(x)=g(x)=x2−x，此时g(x)min=g(−1)=2，∴M(x)min=f(x)min=f(−12)=74.（2）M(x)={f(x),x≥−ag(x),x<−a，且f(x),g(x)对称轴分别为x=−12,x=12，①当−a≤−12时，即a≥12时，M(x)在(−∞,−12)单调递减，(−12,+∞)单调递增；∴M(x)min=f(x)min=f(−12)=3，即a2+a−134=0，a=√14−12（a=−1+√142舍去），②当−12<−a≤12，即−12≤a<12时，M(x)在(−∞,−a)单调递减，(−a,+∞)单调递增；∴M(x)min=f(−a)=2a2=3，有a=±√62∉[−12,12)，故此时a无解.③当−a>12，即a<−12时，M(x)在(−∞,12)单调递减，(12,+∞)单调递增；∴M(x)min =g(x)min =g(12)=3，即a 2−a −134=0，a =1−√142（a =1+√142舍去）综上，得：a =1−√142或a =√14−12. 小提示：关键点点睛：写出M(x)的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.19、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =kx a (x >0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为y =0.25x ，y =√x (x >0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式， （2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y =mx (m >0)，因为当x =1时，y =0.25，所以m =0.25，所以y =0.25x ，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为y =0.25x ，对于生产B 芯片的，因为函数y =kx a (x >0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k ⋅4a =2，解得{k =1a =12 ，所以y =x 12，即生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =√x (x >0)，（2）设投入x 千万元生产B 芯片，则投入(40−x )千万元生产A 芯片，则公司所获利用 f(x)=0.25(40−x)+√x −2=−14(√x −2)2+9，所以当√x =2，即x =4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元 20、已知函数f(x)=x+bax 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=12. (1)求a ，b 的值；(2)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并用定义证明. 答案：(1)a =1，b =0； (2)证明见解析分析：（1）根据已知条件，f(x)为奇函数，利用f(0)=0可以求解出参数b ，然后带入到f(1)=12即可求解出参数a ，得到函数解析式后再去验证函数是否满足在[−1,1]上的奇函数即可；（2）由第（1）问求解出的函数解析式，任取x 1,x 2∈[−1,1]，x 1＜x 2，做差f(x 1)−f(x 2)，通过因式分解判断差值f(x 1)−f(x 2)的符号，即可证得结论. （1）由已知条件，函数f(x)=x+bax 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，所以f(0)=b =0，f(1)=1a+1=12，所以a =1，所以f(x)=xx 2+1，检验f(−x)=−x(−x)2+1=−xx 2+1=−f(x)，为奇函数，满足题意条件； 所以a =1，b =0.（2）f(x)在[−1,1]上单调递增，证明如下：任取x1,x2∈[−1,1]，x1＜x2，f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=x1x22+x1−x2x12−x2(x12+1)(x22+1)=x1x2(x2−x1)−(x2−x1) (x12+1)(x22+1)=(x1x2−1)(x2−x1)(x12+1)(x22+1)；其中x1x2−1＜0，x1−x2＜0，所以f(x1)−f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[−1,1]上单调递增.。
函数的基本概念与性质知识点总结
函数的基本概念与性质知识点总结函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域。
了解函数的基本概念和性质对于理解和应用数学具有重要意义。
本文将对函数的基本概念和性质进行总结。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数中，称第一个集合为定义域，第二个集合为值域。
用符号表示函数为：f：X→Y，其中 f 表示函数名，X 表示定义域，Y 表示值域。
1.1 定义域和值域函数的定义域是指函数输入的变量所能取到的值的集合。
值域是函数输出的变量所能取到的值的集合。
1.2 自变量和因变量在函数中，自变量是函数的输入变量，而因变量则是函数的输出变量。
1.3 函数图像函数的图像是函数在坐标平面上的表示，自变量作为 x 轴的取值，因变量作为y 轴的取值，函数图像表示了自变量和因变量之间的关系。
二、函数的性质函数具有许多重要性质，下面将对其中几个重要的性质进行介绍。
2.1 单调性函数的单调性描述了函数的增减特性。
当自变量增大时，如果函数值也增大，则函数是递增的；当自变量增大时，函数值减小，则函数是递减的。
2.2 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果函数满足 f(-x) =f(x)，则函数是偶函数；如果函数满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
2.3 周期性函数的周期性意味着函数在某个特定的区间内具有重复的模式。
如果存在正数 T，使得对于任意 x，有 f(x + T) = f(x)，则函数具有周期性。
2.4 极限函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于的稳定值。
极限有左极限和右极限之分。
2.5 连续性函数的连续性描述了函数图像的连贯性。
如果函数在某个区间内的每个点都存在极限，且极限与函数值相等，则函数是连续的。
三、小结函数是数学中的重要概念，理解函数的基本概念和性质对于学习和应用数学具有重要意义。
本文对函数的基本概念和性质进行了总结，包括函数的定义域和值域、自变量和因变量、函数图像等。
人教版函数知识点总结
人教版函数知识点总结一、函数的定义1.1 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，它将每一个自变量映射到唯一的因变量上。
在数学中，我们通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
1.2 函数的符号表示在函数的定义中，我们通常通过符号来表示函数。
例如，y=f(x)、y=g(x)等。
1.3 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
在函数的图像中，定义域通常对应横坐标的取值范围，值域对应纵坐标的取值范围。
1.4 函数的判定确定一个关系是否为函数，可以通过水平线测试或者垂直线测试来进行判断。
如果任意一条垂直线只与图像相交一次，则该关系是函数。
1.5 函数的表示方法函数可以通过一张表格、一条曲线、一个公式等方式进行表示。
在实际应用中，我们通常通过表格、曲线等方式来描述函数的性质和特点。
二、函数的性质2.1 奇函数与偶函数奇函数指的是满足f(-x)=-f(x)的函数，偶函数指的是满足f(-x)=f(x)的函数。
奇函数通常以原点对称，偶函数通常以y轴对称。
2.2 单调递增与单调递减单调递增指的是当自变量增大时，因变量也随之增大；单调递减指的是当自变量增大时，因变量却减小。
单调递增函数通常在定义域内是一个递增的曲线，单调递减函数则是一个递减的曲线。
2.3 周期函数周期函数指的是具有周期性的函数，它在一个周期内重复自身。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2.4 反函数函数f(x)的反函数通常表示为f^(-1)(x)，它满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的性质。
反函数是原函数的镜像，它的定义域和值域与原函数互换。
三、函数的图像3.1 直角坐标系中的函数图像在直角坐标系中，函数的图像通常用曲线来表示。
曲线的形状与函数的性质密切相关，通过观察曲线的变化可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
3.2 参数方程中的函数图像在参数方程中，函数的图像通常用参数的取值来表示。
新人教版高一数学必修1第一章要点：函数的基本性质
新人教版高一数学必修1第一章要点：函数的基本性质一、函数的概念在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解。
函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解.考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;③了解简单的分段函数，并能简单应用。
二、函数关系的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能使用函数实行描述和解决问题”，这是《课标》关于函数目标的一段描述。
所以，各地中考试卷都有“函数建模及其应用”类问题，而建模的首要是建立函数表达式。
三、函数的运算函数的运算是各阶段考试和高考命题的必考内容，数学函数的运算知识点是对大家夯实基础的重点内容，请大家务必认真掌握。
四、函数的基本性质在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象。
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
新人教版高中数学必修三知识点总结(详细)
新人教版高中数学必修三知识点总结(详
细)
本文旨在总结新人教版高中数学必修三的主要知识点，帮助学生复和掌握这一课程内容。
一、函数基本性质
1. 定义：函数是一个有输入和输出的对应关系。
2. 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值集合，值域是所有可能的输出值集合。
3. 图像与映射：函数可以通过图像表示，其中横坐标表示输入值，纵坐标表示输出值。
4. 奇偶性：函数可以根据输入值和输出值的奇偶性进行分类。
二、三角函数
1. 正弦函数：表示角的正弦值与其对边与斜边的比值。
2. 余弦函数：表示角的余弦值与其邻边与斜边的比值。
3. 正切函数：表示角的正切值与其对边与邻边的比值。
4. 幅角和周期：三角函数的图像在一定区间内呈周期性重复。
5. 三角函数的性质：包括奇偶性、单调性、增减性等。
6. 三角函数的简化：通过三角恒等式将复杂的三角函数化简为简单形式。
三、三角恒等式
1. 倍角公式：表示角的两倍与原角之间的关系。
2. 和差公式：表示两个角的和与差与它们的三角函数值之间的关系。
3. 积化和差公式：表示两个角的积与和与差与它们的三角函数值之间的关系。
4. 和差化积公式：表示两个角的和与差与它们的三角函数值之间的关系。
以上是新人教版高中数学必修三的主要知识点总结，通过复习和掌握这些知识，学生将能够更好地理解和应用数学。
希望本文对大家有所帮助！。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结一、函数的定义和表示方式1.定义：函数是一种特殊关系，它将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一元素相对应。
2.表示方式：函数可以用图表、解析式、关系式等方式表示。
二、函数的定义域、值域和对应关系1.定义域：函数的定义域是指能使函数有意义的输入值的集合。
2.值域：函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。
3.对应关系：对于函数中的每个输入值，都有一个唯一的输出值与之对应。
三、函数的图象和图像1.图象：函数的图象是函数在平面直角坐标系中的表示，其所有的点坐标满足函数的对应关系。
2.图像：函数的图像是函数的图象在控制显示器或打印机上的可视化表现。
四、函数的性质1.单调性：函数可以是递增的（单调递增）或递减的（单调递减）。
2.奇偶性：函数可以是奇函数（关于原点对称）或偶函数（关于y轴对称）。
3.周期性：函数可以是周期函数，即函数在一定区间内具有重复的规律。
4.奇点和间断点：函数的奇点是指函数在定义域内的特定点，其函数值不存在或趋于无穷；间断点是指函数在特定点不连续。
五、函数的极限与连续性1.极限：函数的极限是指当自变量趋于一些值时，函数值的趋向或趋近的特性。
2.连续性：函数在定义域内的所有点都连续，当且仅当函数在这些点的极限存在且等于这些点的函数值。
六、函数的导数与微分1.导数：函数的导数描述了函数在其中一点处的变化率。
导数表示为函数的斜率或函数的变化速率。
2.微分：函数的微分可以理解为函数在其中一点处的无穷小增量。
七、函数的极值与最值1.极值：函数在极值点处的函数值称为极大值或极小值。
极大值是函数在该点附近所有函数值中最大的值，极小值是函数在该点附近所有函数值中最小的值。
2.最值：函数的最大值和最小值称为函数的最值。
八、函数的反函数1.反函数：如果函数f的定义域与值域互换，且对于f的每一个输出值，存在唯一的输入值与之对应，则这个函数称为f的反函数。
以上是函数的基本性质的总结，函数理论是数学中的基础内容，也是其他学科中的重要概念。
高中数学函数知识点总结(精华版)知识分享
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1. 函数的定义和性质
- 定义：函数是一个将各个元素从一个集合映射到另一个集合的规则。
- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
2. 基本函数
- 幂函数：y = x^n，n为常数，图像为直线或曲线。
- 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，图像具有周期性。
- 指数函数：y = a^x，a为正常数，图像单调递增或递减。
- 对数函数：y = log_a(x)，a为正常数，图像单调递增或递减。
3. 函数的运算与变换
- 四则运算：加法、减法、乘法、除法。
- 复合运算：由两个或多个函数构成一个新的函数。
- 反函数：原函数与定义域互为值域的函数。
- 平移、压缩、翻折等函数的变换。
4. 函数的图像与性质
- 函数图像的绘制和分析方法。
- 函数的最值、零点、极值等特性。
5. 函数的应用
- 函数在物理、经济等领域的应用。
- 函数在数学建模中的应用。
6. 解函数方程
- 求函数方程的解法与步骤。
以上是高中数学函数知识点的精华总结和知识分享。
掌握这些知识能够帮助学生更好地理解和应用函数概念，提升数学能力。
注：本文档内容仅为总结分享，并不保证所有内容的正确性，请酌情参考。
人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)
函数常考知识点汇总1.2.1函数的概念1、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法（1）定义域一致；（2）表达式相同 (两点必须同时具备)注意：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
1.2.2函数的表示法4、函数图象知识（Ⅰ）对称变换①将y= f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y轴对称。
如③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x轴对称。
如6、函数的解析式 A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)1.3.1函数单调性与最大（小）值1、函数的单调性定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
区间D称为y=f(x)的单调增区间；【注意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) （或f(x1)＞f(x2)）。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结1.函数的定义：函数是一种数学对象，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数通常以符号表示，例如f(x)。
2.定义域：函数的定义域是指函数能够接受的自变量的值的集合。
它是函数能够有效进行计算的自变量的范围。
通常用符号表示为D(f)。
3.值域：函数的值域是指函数在定义域上所有可能的函数值的集合。
它是因变量的取值范围。
通常用符号表示为R(f)。
4.图像：函数的图像是指由函数的所有有序对（x，f(x)）组成的点的集合。
可以通过将自变量的取值代入函数的表达式来确定函数的图像。
5.奇偶性：函数的奇偶性指函数在坐标系中的对称性。
一个函数被称为奇函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的相反数。
一个函数被称为偶函数，如果对于定义域上的任何x值，-x处的函数值等于x处的函数值。
6.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的增减趋势。
一个函数被称为严格递增函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)<f(x2)。
一个函数被称为严格递减函数，如果对于定义域上的任意两个x值，f(x1)>f(x2)。
7.周期性：函数的周期性指函数在定义域上以一定的周期重复。
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正整数T，对于定义域上的任意x值，有f(x+T)=f(x)。
8.连续性：函数的连续性指函数在定义域上的无间断性。
一个函数在点x=c处连续，如果当x趋近于c时，f(x)趋近于f(c)。
一个函数在整个定义域上连续，如果它在每个点都连续。
9.可导性：函数的可导性指函数在一些点上的导数是否存在。
函数f(x)在点x=c处可导，如果当x趋近于c时，f(x)的斜率存在，并且等于c处的导数。
10.极值：函数的极值指函数在定义域上的最大值和最小值。
一个局部最大值是指函数在一些区间上的最大值，而不一定是整个定义域上的最大值。
一个局部最小值是指函数在一些区间上的最小值，而不一定是整个定义域上的最小值。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全第一篇：《函数的基本性质》知识总结大全《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A．如果对于区间I 上是单调增函数，I称为内的______两个值x1，x2，当x1x1，x2，当x1∈M,当x1<x2时，有f(x1)-f(x2)<0f(x1)-f(x2)∆y⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔>0； x1-x2∆x②f(x)在区间M上是减函数⇔∀x1,x2∈M,当x1<x2时，有f(x1)-f(x2)>0f(x1)-f(x2)∆y<0⇔<0；⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2∆x①f(x)在区间M上是增函数⇔∀x1,x2⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x1)-f(x2)>0⇔f(x)在区间[a,b]上是增函数；x1-x2f(x1)-f(x2)<0⇔f(x)在区间[a,b]上是减函数。
(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔②导数法（选修）：在反之，f(x)区间(a，b)内处处可导，若总有f'(x)>0（f'(x)<0），则f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数；f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数，且处处可导，则f'(x)≥0（f'(x)≤0）。
请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。
2024年高二数学函数基本性质知识总结（2篇）
2024年高二数学函数基本性质知识总结____年高二数学函数基本性质知识总结（____字）一、函数的定义和基本性质函数是一种特殊的关系，每一个自变量只对应一个因变量。
函数的定义包括定义域、值域、对应关系和表达式。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性和界值性。
1.1 定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
定义域可以通过解不等式或考察定义域的连续性来确定。
值域可以通过求导或考察函数的图像来确定。
1.2 对应关系函数的对应关系决定了自变量和因变量之间的对应关系。
函数可以用图像、显式表达式、隐式表达式或递推关系来表示。
对应关系可以用一一对应、多对一或一对多来描述。
1.3 单调性一个函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
函数可以是上下单调递增、上下单调递减、左右单调递增或左右单调递减。
单调性可以通过求导数或摸底函数的上下凸性来判断。
1.4 奇偶性一个函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性。
一个函数是奇函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=-f(x)。
一个函数是偶函数，当且仅当对于任意x，f(-x)=f(x)。
奇偶性可以通过观察函数的对称性或通过代入-x来判断。
1.5 周期性一个函数的周期性是指函数具有重复出现的规律。
周期函数满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期。
周期性可以通过观察函数的周期性或通过解函数的方程来判断。
1.6 界值性一个函数的界值性是指函数在定义域或值域上的极大值或极小值。
界值性可以通过求导数或考察函数的图像来判断。
二、高中数学中常见的函数高中数学中常见的函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
2.1 常函数常函数是一个常数，其函数图像是一条平行于x轴的直线。
常函数的定义域是整个实数集，值域是只有一个值的数集。
2.2 一次函数一次函数是一个一次多项式，函数表达式为f(x)=ax+b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。
人教版高中数学总复习[知识梳理函数的基本性质(基础)
精品文档用心整理函数的基本性质（基础）【考纲要求】1.会求一些简单函数的定义域和值域；2.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3.会运用函数图象理解和研究函数的性质．【知识网络】函数的基本性质奇偶性单调性周期性【考点梳理】1．单调性（1）一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,x，当x<x时，若都有f(x)<f(x)，那么就说函数在区间D上单调递增，若都有f(x)>f(x)，12121212那么就说函数在区间D上单调递减。
（2）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设x,x∈D，且x<x；②作差f(x)-f(x)；③变121212形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断f(x)-f(x)的正负符号；⑤根据定义下结论。
12复合函数分析法设y=f(u)，u=g(x)x∈[a,b]，u∈[m,n]都是单调函数，则y=f[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：u=g(x)增增y=f(u)增减y=f[g(x)]增减减减精品文档用心整理增减减增导数证明法设f(x)在某个区间(a,b)内有导数f'(x)，若f(x)在区间(a,b)内，总有f'(x)>0(f'(x)<0)，则f(x)在区间(a,b)上为增函数（减函数）；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数（减函数），则f'(x)≥0(f'(x)≤0)。
图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。
函数知识点总结人教版高一
函数知识点总结人教版高一函数是数学中的一个重要概念，是我们解决实际问题的有力工具。
函数包含了定义域、值域、图像等概念，在人教版高一数学教材中，我们学习了函数的基本性质、函数的运算以及函数的应用等知识点。
本文将对人教版高一数学教材中的函数知识点进行总结和归纳，帮助大家系统地掌握这一部分内容。
一、函数的定义与性质函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
在函数的定义中，我们要明确函数的定义域和值域。
定义域是自变量的取值范围，值域是函数的取值范围。
另外，函数还有奇偶性、单调性、周期性等性质。
二、初等函数的图像和性质在高一数学教材中，我们学习了常见的初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
我们要了解它们的图像特点、定义域、值域、单调性等性质，以及它们之间的关系。
例如，幂函数y=x^n（n为正整数）的图像在原点呈现出不同的形状，对数函数y=loga(x)（a>0且a≠1）在定义域内是严格单调递增函数。
三、函数的运算函数之间的运算包括函数的加减、函数的乘除以及函数的复合。
加减运算是指将两个函数相加或相减，得到一个新的函数。
乘除运算是指将两个函数相乘或相除，得到一个新的函数。
复合运算是指将一个函数作为另一个函数的自变量或者将两个函数相互嵌套。
四、反函数与反函数图像在函数的定义中，有一个重要的概念是反函数。
反函数可以简单理解为将函数的自变量和因变量互换得到的新函数。
反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域。
反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称。
五、函数的应用函数在数学中的应用非常广泛。
例如，我们可以应用函数来解决实际问题中的最值问题、约束问题、函数建模等。
在应用函数解决问题时，我们需要根据问题的背景和条件，选择合适的函数进行建模，并运用各种数学方法进行求解。
综上所述，函数是数学中的重要概念，它能够帮助我们解决实际问题。
在人教版高一数学教材中，我们学习了函数的定义与性质、初等函数的图像与性质、函数的运算、反函数与反函数图像以及函数的应用等知识点。
函数基本性质知识点梳理.docx
函数基本性质知识点梳理一、函数的奇偶性1、函数的奇偶性反映的是函数的整体性质，由函数的奇偶性定义可知：若一个函数具有奇偶性，则对于定义域内任意一个自变M X，-X也一定在定义域内。
这说明，一个函数具有奇偶性的必要条件• • ••(或者说是前提)是此函数的定义域关于原点对称。
因此，若要判断一个函数是否具有奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，若不是，则该函数一定不具有奇偶性(或者说该函数既非奇函数又非偶函数)。
2、若函数/(x)是奇函数，且0在定义域内，则必有/(0) = 0 o3、一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴轴对称。
4、设/(x), gCr)的定义域分别为Q和D?,且O,AD2/0,则在其公共定义域上有：奇(偶)土奇(偶)=奇(偶)；奇(偶)X奇(偶)二偶，奇X偶二奇.5、复合函数的奇偶性若函数y = /⑴与t = g(x)满足复合条件，则复合函数y = f[g(x)]的奇他性当内函数/ = g(x)为偶函数时，复合函数y = /[g(x)J即为偶函数；当内函数心g(x)为奇函数时，复合函数y = f[g(x)]与外函数y = /(r)有相同奇偶性。
6、函数图像的奇偶性是一种较为特殊的对称性，更为一般的对称性结论如下：若对定义域D内任意一个自变fix,都有/(a-x) = /(b + Q成立，则函数/(Q的图像关于直线x =—轴对称；2若对定义域D内任意一个自变量兀，都有/⑺一兀)+ /(。
+兀)=2”成立，则函数/(尢)的图像关于点(a,b)中心对称.二、函数的单调性1、函数的单调性是针对某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质。
有些函数在整个定义域上不具有单调性，但在定义域的某些区间上却存在单调性。
如函数/(x) = -,在整个定义域(-oo,0)U(0,2)上不具有单调性，但在定义域的子区间(―,0)和(0,2)上均有单调性。
人教版高中函数知识点总结
人教版高中函数知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
数学上通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量能够取到的所有值的集合，而值域是函数得到的因变量的所有可能值的集合。
3. 函数的符号表示通常用f(x)和y来表示函数，其中y=f(x)。
此外，还有其他表示函数的方式，比如y=f(x), y=f(u), z=f(x,y)等。
4. 函数的图像函数的图像是函数在直角坐标系中的表示，可以通过图像的形状和特点来理解函数的性质和特点。
二、函数的性质1. 奇函数和偶函数奇函数满足f(-x)=-f(x)的函数，偶函数满足f(-x)=f(x)的函数。
2. 单调性当函数在定义域内的任意两点x1和x2满足x1<x2时，如果f(x1)<=f(x2)，则函数在此区间上是递增的；如果f(x1)>=f(x2)，则函数在此区间上是递减的。
3. 有界性函数在定义域内是否有上界和下界的性质。
4. 周期性如果对于任意的x，有f(x)=f(x+T)，其中T是一个正数，则称函数具有周期性，而T称为函数的周期。
三、函数的运算1. 函数的和、差、积、商两个函数的和、差、积、商分别定义如下：(f+g)(x) = f(x) + g(x)(f-g)(x) = f(x) - g(x)(f*g)(x) = f(x) * g(x)(f/g)(x) = f(x) / g(x)2. 复合函数给定两个函数f(x)和g(x)，我们可以定义它们的复合函数为h(x) = f(g(x))。
3. 函数的逆如果一个函数f(x)在定义域D上是单射的，即对于任意的x1和x2，如果f(x1)=f(x2)，则x1=x2，那么f(x)在D上就存在逆函数f^-1(x)。
四、函数的极限1. 函数在无穷远处的极限当自变量x趋于无穷大时，我们研究函数f(x)的极限：lim[f(x)] (x→∞)。
人教版数学函数知识点总结
人教版数学函数知识点总结一、函数的概念函数是自然界和社会生活中广泛存在的种种现象的数学抽象。
人们利用函数来描述种种事物之间的关联，并运用函数来解释、预测和控制各种现象。
函数的概念是数学中的重要概念，它在微积分、数学分析、代数及其应用中都有着重要的地位。
函数是从一个集合到另一个集合的映射，通常由一个或多个输入值得到一个输出值。
在生活中，我们可以把很多事物的变化过程描述成函数关系。
比如运动物体在不同时间的位置、压强随深度的变化、升温速度与时间的关系以及销售量和销售额的关系等。
函数是一种最常用的数学工具，它在数学研究中有很重要的作用。
在应用数学中，许多问题可以用函数的方法去研究和解决。
比如说，用函数来描述物体的运动、温度变化、人口增长等。
而且在一些科学和技术领域，有关数据的收集和分析中，通常也要用到函数。
在实际问题中，常常可以用函数来表示一个变量与另一个变量间的关系。
这也是函数的基本观点。
比如说，代表时间的t与代表位置的x之间的关系，从而可以得到x=f(t)的函数关系。
函数关系的建立不仅可以使我们方便地来描述某种变化规律，而且可以由已有函数关系来预测其他变量的值。
二、初等函数与函数的运算初等函数是指最基本的函数类型，包括多项式函数、幂数函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等几种基本类型。
初等函数可以进行一系列的基本运算，如加减乘除、求导、积分等。
这些运算都是在函数的基础上进行的，可以帮助我们更好地理解和利用函数。
初等函数之间可以进行运算，得到新的函数。
比如两个函数可以进行相加、相减、相乘或相除运算。
另外，初等函数也有求导、积分等运算。
利用这些运算，可以得到函数的一些重要特性，比如函数的最值、拐点等。
三、函数的图像和性质函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表现形式，通过函数的图像可以对函数的性质进行直观的了解。
图像的性质包括函数的单调性、奇偶性、周期性、极值和拐点等。
函数的单调性是指函数在定义域上的增减规律，可以通过函数图像在坐标系上的表现来判断函数的单调性。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。
3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。
人教版数学高一知识点总结
人教版数学高一知识点总结一、函数1.函数的基本概念函数是一种特殊的关系，其中每一个自变量（输入）对应一个因变量（输出）。
函数可以用数学符号表示为 y = f(x)，其中 x 为自变量，y 为因变量，f(x) 为函数关系。
2.函数的性质（1）定义域：函数可以取值的范围。
（2）值域：函数输出的所有可能值的范围。
（3）奇偶性：奇函数满足 f(-x) = -f(x)，偶函数满足 f(-x) = f(x)。
（4）单调性：当 x1 < x2 时，若 f(x1) < f(x2)，则函数单调递增；若 f(x1) > f(x2)，则函数单调递减。
3.函数的图像函数的图像是在平面直角坐标系上表示函数关系的图形，具体表现为曲线、拐点、极值点等，可以帮助我们更直观地理解函数的性质。
4.函数的运算函数之间可以进行加减乘除、复合等运算，常见的包括拼接函数、复合函数和反函数。
5.函数的应用函数在实际问题中有着广泛的应用，如数学建模、物理问题、经济问题等，可以帮助我们研究、预测和解决实际的复杂问题。
二、数列1.数列的概念数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个元素称为项，由于项之间的规律，可以用通项公式表示。
2.等差数列等差数列是指相邻两项之差都是相同的特殊数列。
通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 an 为第 n 项，a1 为首项，d 为公差。
3.等比数列等比数列是指相邻两项之比都是相同的特殊数列。
通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 q 为公比。
4.特殊数列除了等差数列和等比数列，还有斐波那契数列、调和数列、等等。
5.数列的应用数列在工程、物理、经济等领域有着广泛的应用，可以用来描述各种规律性的问题，如物体的运动、资金的增长等。
三、集合1.集合的基本概念集合是具有某种特定性质的事物的总体，用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示。
2.集合的运算（1）并集：集合 A 和集合 B 的并集是包含了集合 A 和集合 B 中所有元素的集合。
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函数的基本性质（基础）【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】【考点梳理】1．单调性（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。
（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。
（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。
复合函数分析法设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。
如下表：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增 增 增 增减减函数的基本性质 奇 偶 性单 调 性周 期 性减 增 减 减减增导数证明法设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。
图像法一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。
2、奇偶性 (1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.理解：(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤:①考察函数定义域;②考察f(-x)与f(x)的关系;③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化①f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ⇔)()(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ⇔f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ⇔)()(x f x f -=1 (f(x)≠0) (2)奇(偶)函数图像的特征(Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. 【典型例题】类型一、求（判断）函数的单调区间例1.证明函数()(0)af x x a x=+>在区间)+∞是增函数。
解：设21x x a <<，2122211122112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=-21211221121221))(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=21x x a << 012>-∴x xa x x >21 0)()(12>-∴x f x f∴函数()(0)a f x x a x=+>在区间)+∞是增函数。
举一反三：【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21y x=. 解：(1)⎩⎨⎧-<---≥+=)1x (1x )1x (1x y 画出函数图象，∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u 1y ,1x 2u ,2121,=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，设，其中u=2x-1为增函数，uy 1=在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞--=,21,21,121在x y 上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2x 1y =单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例2. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a 2-a+1)与3()4f 的大小. 解：22133a -a+1=(a-)+>0244≥又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则23(-1)()4f a a f +≤. 例3. 已知二次函数f(x)=x 2-(a-1)x+5在区间1(,1)2上是增函数，求：(1)实数a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴-12a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知 只需-11222a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7[)f(2)7,+∴∈∞.举一反三：【变式】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：2()(2)f x x x=≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.类型三、判断函数的奇偶性 例4. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+ (2)()f x =(3)f(x)=x 2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)()|2|-2f x x =+(6)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩ (7)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈解析：(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域[)1+∞，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ； (4)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()f x ∴==(-)--()f x f x x∴===，∴f(x)为奇函数；(6)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (7)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例5. f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x 2-x ，求当x ≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解析：∵奇函数图象关于原点对称， ∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x 2-x 又f(0)=0，22-x -x x 0f(x)=x -x x<0⎧≥⎪∴⎨⎪⎩，如图举一反三：【变式】定义在[－1，1]上的函数y ＝f(x)是减函数，且是奇函数，若f(a 2－a －1)＋f(4a －5)＞0，求实数a 的取值范围.解析：2222(1)(45)()(1)(45)1113145112145312f a a f a f x f a a f a a a a a a a a a a -->--∴-->-+⎧-<--<-+⎪∴-<-<≤<⎨⎪--<-+⎩-+∴≤<由题得函数是奇函数 解之得的取值范围为。
例6. （2016天津）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a满足1(2)(a f f ->，则a 的取值范围是______.答案：13(,)22解析：因为f (x )在且在区间（-∞，0）上单调递增，所以f (x )在（0，+∞）上单调递减，且(f f =.又因为120a ->，1(2)(a f f ->，即1(2)a f f ->.而f (x )在（0，+∞）上单调递减，所以102a -<<112a -<，解得1322a << 【总结升华】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．。