图灵机与计算问题
理论计算机科学中的图灵机
理论计算机科学中的图灵机图灵机是理论计算机科学中的一个重要概念。
它被认为是能够计算任何可计算问题的最基本的计算机模型。
理解图灵机对于对计算机科学的学习和研究都至关重要。
一、图灵机的定义和原理图灵机是由英国数学家图灵提出的一种计算模型。
它包括一个有限控制器和一条无限长的纸带。
纸带被划分为一系列的单元格，每个单元格上可以写上一个字符。
控制器通过读取纸带上的字符和控制器内部的状态来进行计算。
它可以进行有限的计算，而且可以处理无限长的输入。
在图灵机模型中，所有的操作都是基于读取和写入单元格上的字符来进行。
图灵机具有非常简单的结构，但它却能够计算出任何可计算问题。
二、图灵机的应用图灵机能够计算出任何可计算问题，因此它在理论计算机科学中有着非常重要的应用。
它被用于证明计算机科学中的许多重要问题，例如停机问题和可计算性问题。
通过证明一个问题是不可计算的，我们可以得出它是无法用计算机解决的。
这对于计算机的设计和实现都有着重要的指导意义。
此外，图灵机还被广泛应用于计算机语言和自动机理论的研究中。
我们可以使用图灵机来描述计算机语言的语法和语义，并且使用它来定义自动机模型。
这在编程语言的编译、解释和分析中都有着广泛的应用。
三、图灵机的限制尽管图灵机是一种非常强大的计算模型，它仍然存在着一些限制。
其中最明显的一点是图灵机的速度。
尽管图灵机能够计算出任何可计算问题，但某些问题可能需要非常长的时间才能得到结果。
例如，计算出一个长文本的哈希值可能需要几分钟，而对于一个复合的问题，甚至需要几个世纪才能计算得出。
此外，图灵机还无法解决某些问题，例如非计算问题和不规则问题。
这些问题之所以无法用图灵机解决，是因为它们没有确定的方法来解决它们。
这些问题是无法用算法来解决的，并且需要人类直接进行解决。
四、结语图灵机是理论计算机科学中最重要的概念之一。
它被认为是能够计算出任何可计算问题的最基本计算机模型。
通过图灵机的研究，我们可以深入理解计算机科学的基本原理，理解计算机能力和限制。
图灵在计算机理论方面的贡献
图灵在计算机理论方面的贡献：1.提出计算机的概念1945年，图灵恢复在理论计算机科学方面的研究，并结合战时的工作，具体研制出新的计算机来。
同年，图灵开始从事“自动计算机”(ACE)的逻辑设计和具体研制工作。
1950年制出了ACE样机，1958年制成大型ACE机。
2.把可计算函数定义为图灵机可计算函数．1937年，图灵在他的“可计算性与λ可定义性”一文中证明了图灵机可计算函数与λ可定义函数是等价的，得出：算法(能行)可计算函数等同于一般递归函数或λ可定义函数或图灵机可计算函数．这就是“丘奇-图灵论点”，相当完善地解决了可计算函数的精确定义问题，对数理逻辑的发展起了巨大的推动作用。
3.开创了“自动机”这一学科分支，促进了电子计算机的研制工作．4.提出了通用图灵机的概念它相当于通用计算机的解释程序，这一点直接促进了后来通用计算机的设计和研制工作，在给出通用图灵机的同时，图灵就指出，通用图灵机在计算时，其“机械性的复杂性”是有临界限度的，超过这一限度，就要靠增加程序的长度和存贮量来解决．这种思想开启了后来计算机科学中计算复杂性理论的先河。
5.解决了著名的希尔伯特判定问题狭谓词演算公式的可满足性的判定问题。
他用一阶逻辑中的公式对图灵机进行编码，再由图灵机停机问题的不可判定性推出一阶逻辑的不可判定性。
他在此处创用的“编码法”成为后来人们证明一阶逻辑的公式类的不可判定性的主要方法之一。
6.图灵测试1946年，图灵发表论文阐述存储程序计算机的设计。
图灵的自动计算机与诺伊曼的离散变量自动电子计算机都采用了二进制，都以“内存储存程序以运行计算机”打破了那个时代的旧有概念。
7.人工智能人工智能致力研发运行Manchester Mark 1型号储存程序式计算机所需的软件。
1950年他发表论文《计算机器与智能》，为后来的人工智能科学提供了开创性的构思。
提出著名的“图灵测试”，指出如果第三者无法辨别人类与人工智能机器反应的差别，则可以论断该机器具备人工智能。
图灵机的工作原理
图灵机的工作原理图灵机是一种理论上的计算模型，由英国数学家艾伦·图灵于1936年提出。
它是一种抽象的计算设备，可以执行各种计算任务，包括判断可计算问题的可行性、解决数学问题以及模拟其他计算设备的功能。
图灵机的工作原理是基于简单的操作规则和有限的状态集合，但却能够模拟出任何可计算的函数。
下面我们将详细介绍图灵机的工作原理。
首先，图灵机由一个无限长的纸带和一个读写头组成。
纸带被划分为一个个小格子，每个格子上可以写入一个符号，包括0和1。
读写头可以在纸带上移动，并能够读取当前格子上的符号，并根据一定的规则进行写入操作。
图灵机还包括一个状态寄存器，用来记录当前的状态。
图灵机的工作原理可以简单描述为，根据当前的状态和读写头所读取的符号，执行一定的操作，并根据预先设定的转移规则，改变状态、移动读写头、修改当前格子上的符号。
这样不断地重复执行，直到图灵机进入停机状态或者无限循环。
图灵机的工作原理实际上是基于一系列的转移函数，这些函数定义了在不同状态和不同输入符号下，图灵机应该执行的动作。
这些动作包括改变状态、移动读写头、修改当前格子上的符号。
通过这些转移函数的组合，图灵机可以模拟出任何可计算的函数。
图灵机的工作原理可以用来解决各种计算问题，比如判断一个问题是否可计算、寻找某个数学函数的解、模拟其他计算设备的功能等。
虽然图灵机是一种理论上的计算模型，但它对于计算机科学的发展产生了深远的影响，成为了计算理论的基础。
总之，图灵机的工作原理是基于简单的操作规则和有限的状态集合，但却能够模拟出任何可计算的函数。
它通过不断地执行转移函数，改变状态、移动读写头、修改纸带上的符号，实现了各种计算任务。
图灵机的工作原理对于计算机科学的发展产生了深远的影响，成为了计算理论的基础。
图灵机不可判定问题
一.图灵机简介一台图灵机（Turing Machine）有有限个状态。
其中一个状态是开始状态。
状态集合的一个子集是接受状态，还有一个子集是拒绝状态。
接受状态子集和拒绝状态子集不相交（也就是不能有一个状态既是接受状态，也是拒绝状态）。
有一个字符集Σ，图灵机以Σ上的字符串ω作为输入（ω∈Σ*，Σ*是一个集合，它的元素是：由0 个或多个Σ上的字符组成的有限长度的字符串）。
图灵机还有一个字符集Γ，是“带”（tape）字符集。
Γ包含Σ中的所有字符，还必须有一个Σ中没有的字符，就是空白字符（blank）。
Γ中也可以还有Σ中没有的更多字符。
图灵机的带（tape）上一开始默认都是空白字符。
图灵机的带，是一个无限长的带子，分成一个个的单元格，每一个单元格上写一个字符（初始都是空白符）。
图灵机有一个读写头，总是位于带的某一个单元格之上。
读写头对当前的单元格进行读写。
读写头可以顺着带子左右移动，但一次只能移动一个单元格。
Γ就是图灵机可以向带子上写的字符的集合。
图灵机的动作是这样的：根据当前所处的状态和当前读到的字符，在当前单元格上写下一个字符，向左或右移动一个单元格，进入另一个状态。
读到一个什么字符就写下哪个字符并怎么移动读写头，对于这个行为的定义，就是这台图灵机的转移函数δ。
状态集合Q 、输入字符集Σ、带字符集Γ、转移函数δ、开始状态∈Q 、接受状态集合以及拒绝状态集合就定义了一台图灵机。
一开始，将输入字符串ω（ω∈Σ*）放在带子上，把图灵机的读写头对准ω的第一个字符，并让图灵机处于开始状态。
然后图灵机就开始一步一步地运行：读字符、写字符、移动读写头、进入新状态，然后再重复......直到图灵机进入某一个接受状态，这时图灵机停机并接受ω。
图灵机也有可能进入一个拒绝状态而停机，这种情况下图灵机拒绝ω。
除了这两种情况，还有第三种情况：那就是图灵机永远不会停机。
图灵机既不进入接受状态，也不进入拒接状态，而是一直运行下去。
计算机专业导论_哈尔滨工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
计算机专业导论_哈尔滨工业大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.阅读下面的程序，其时间复杂度为_________?intindex=5;intcondition=1;if(condition==1)thenindex++;elseindex--；fori=1to100forj=1to200index=index+2;答案:O(1)2.假设基本门电路的符号为【图片】，已知如下电路【图片】问该电路不能实现的功能为______。
答案:当A=1，B=1，则P=13.下图是一个存储器的简单模型。
下列说法不正确的是_____。
【图片】答案:该存储器既可读出，又可写入4.已知A=40；B=30；C=100；D=50，逻辑“与”运算符为and，“或”运算符为or，“非”运算符为not。
计算表达式C > A +B +D的值，结果为_____。
答案:假5.TSP算法流程图如下图I.示意，回答问题：最内层循环(L变量控制的循环)的作用是_________。
【图片】答案:用于判断某个城市是否是已访问过的城市6.遗传算法设计需要引入变异操作。
变异操作是对种群中的某些可能解(个体)的某些编码位进行突变处理，例如二进制编码的解01110011，其第3位(自左而右)当前为1则将其变为0，称为变异操作。
通过变异操作，使遗传算法具有局部的随机搜索能力。
为什么？下列说法不正确的是_____。
答案:其它选项的说法有不正确的7.下图是一个存储器的简单模型。
当【图片】=10时,【图片】的内容是_____。
【图片】答案:1010108.操作系统管理信息的基本单位是_____。
答案:文件9.已知如下多元素变量。
【图片】执行下列程序，执行完成后，Sum1和Sum2的值分别为_____。
(10)intJ；(20)intSum1=0，Sum2=0；(30)ForJ=1to4Step1(40){Sum1=Sum1+M[J][J]；(50)Sum2=Sum2+M[5-J][5-J]；}答案:66,6610.已知函数Fact的程序如下，Fact(4)的值为_____。
图灵机与可计算性
• 可能性二：HS(p)=0，这意味着P(p)不停 机。但是根据P的定义，若HS(p)=0，P(p) 输出1并停机。这也产生矛盾： P(p)不停机P(p)停机
• 矛盾的根本原因是：假定H是可计算的 HS是可计算的P是可构造的矛盾
2000 Andrew Chi-Chih Yao --- PhD, UIUC; Prof, Princeton (now at 清华) 因对计算理论做出了诸多根本性的重大贡献.
2004 Robert E. Kahn和Vinton G Cerf 发明了基本的通信协议TCP/IP技术.
Turing Machine
– 用数字表示信息的方法称为编码。
– 编码学就是一门研究高效编码方法的学科。
–简单检错码一奇偶性检错码
用6位二进制码来表ห้องสมุดไป่ตู้26个英文字母
A：000011 B：000101 C:000110
D：001001 ……
Z:110101
• 图灵奖：计算机界的诺贝尔奖
– 1946年，第一台电子计算机ENIAC诞生 – 1947年美国计算机协会ACM成立 – 1966年，ACM设立“图灵奖”
讨论思考题
1.3 为什么说能行可计算这一计算科学的根 本问题决定了计算科学处理的对象应当 是离散的？你怎样解释为什么数字计算 机的发展和应用远远了超过模拟计算机？
1.4 请编写一个完成为二进制数增加奇偶校 验位的图灵机程序。
1.5 请编写一个完成将一个二进制数加一的 计算的图灵机程序。
1.4 可计算性
– 蒸汽驱动 –程序控制计算的思想 – 采用有限差分技术自动完成一系列的加法运算 – 这些加法运算可以产生一个多项式的数值表
关于图灵机的三个问题分析
写这篇文章，是想尝试回答学习图灵机模型中遇到的三个问题：1) 为什么图灵机有不可判的问题？2) 为什么强大的图灵机会不停机？3) 为什么图灵当初要设计图灵机？图灵机（Turing machine）是英国数学家阿兰·图灵（Alan Turing）于1936年设计的一种抽象机器，用于定义和模拟计算（computing）。
图灵机虽然构造简单，但却及其强大，它能模拟现代计算机的所有计算行为，堪称计算的终极机器。
然而即便是这个终极机器，也有令它无能为力的问题，这便是第一个要回答的问题：为什么图灵机有不可判的问题？首先明确什么是图灵可识别（Turing recognizable）和图灵可判定（Turing decidable）。
图灵机的识别对象是语言，图灵可识别当然不是说图灵本人能识别的语言（照这样说汉语可能是图灵不可识别的~），事实上这只是简称，全称应该是图灵机可识别语言（Turing machine recognizable language）和图灵机可判定语言（Turing machine decidable language）。
一台图灵机在读取一个串后可能进入三种状态：接受、拒绝、循环，如果图灵机进入循环状态，那它将永不停机。
现在假设有语言A，如果能设计出一台图灵机M，对于任意字符串ω，如果ω∈A，那么M读取ω后会进入接受状态，那么A是一个图灵可识别语言。
注意这个定义对于ω不属于A的情况没有做出限制，所以M读取到不属于A的ω，那么它有可能拒绝，也有可能循环。
图灵可判定语言的要求更严格，它要求对于语言A能设计出一台图灵机M：如果ω∈A，M 进入接受状态；否则进入拒绝状态。
如果一个语言是图灵可判定的，总能设计出一台图灵机，能在有限步数内判定一个字符串是不是属于这个语言。
如果一台图灵机对所有输入总是停机，那么称它为判定器（decider）。
然而第一个问题指明一定有所有判定器都不能判定的问题，要证明这一点，得从康托（Georg Cantor）说起。
实验1图灵机模型与计算机硬件系统虚拟拆装实验报告
实验1 图灵机模型与计算机硬件系统虚拟拆装实验报告学号51 姓名叶思凡班级：卫生检验与检疫15 实验时间： 2017年 2月 23 日在本次实验中，你有哪些收获？遇到哪些问题？这些问题是否已经解决？如果已经解决了，请说说你是如何解决的。
也可谈谈你的其它想法。
在本次实验中，我认识到图灵机模型组成和冯诺依曼计算机体系组成及其功能，并且了解到最初的计算机是如何诞生并运行的。
在实验中，对于图灵机模型模拟过程，以及冯诺依曼计算机的运行难以理解。
在搜素相关资料并询问老师后，得知图灵机是为了用机器模拟人的运算过程而实现的，图灵机是通过纸带来读取一个空格的信息，并根据控制器当前的状态和控制规则，改变控制器当前的状态，而冯诺依曼计算机结构则是通过计算机硬件设备将许多命令按一定的顺序组成的程序，然后把程序和数据一起输入计算机，计算机对已存入的程序和数据处理后，输出结果。
第一周作业题：（请认真查阅教材及相关资料，回答以下问题，并把答案附在问题之后）1.什么是图灵机的理论模型？其核心思想与贡献是什么？答：图灵机模型是指图灵机具有一个有穷控制器, 一条两端无穷的输入输出带和一个带头，带划分为单元格, 每个单元格可以放置一个符号, 带头每次根据当前状态和带头处单元格的符号内容, 根据转移规则选择下一个动作, 每个动作都包括下一个状态, 修改带头处单元格的符号以及带头向左或向右移动一个单元。
图灵机的思想是关于数据、指令、程序及程序/指令自动执行的基本思想。
其贡献主要有：1、图灵机模型理论是计算学科最核心的理论之一；2、图灵机模型为计算机设计指明了方向；3、图灵机模型是算法分析和程序语言设计的基础理论。
2.什么是冯.诺依曼计算机体系结构？为什么说它是现代计算机的基础？答：冯诺依曼的计算机体系结构是：数学计算机的数制采用二进制；计算机应该按照程序顺序执行。
人们把冯·诺依曼的这个理论称为冯·诺依曼体系结构从ENIAC到当前最先进的计算机都采用的是冯·诺依曼体系结构。
可计算性与计算复杂性
可计算性与计算复杂性1.可计算性：可计算性研究的是什么样的问题可以通过其中一种计算模型解决。
早期的计算模型是图灵机（Turing machine），后来发展出其他等效的计算模型，例如递归函数、Lambda演算等。
根据这些计算模型，可以定义一类问题为可计算问题，也就是可以通过计算模型求解的问题。
1.1停机问题：停机问题是可计算性的典型例子，它是指根据给定的程序和输入，判断这个程序是否会在有限的时间内停止运行。
根据图灵在20世纪30年代证明的停机问题的不可判定性，他证明了不存在一个通用的算法能够判断任意程序是否停机，这个结论被称为图灵不可判定性定理。
1.2基本计算问题：除了停机问题，可计算性还研究了一些其他的基本计算问题。
例如，可计算性研究了自动机是否可以接受一些字符串，或者函数是否可以被一个特定的计算模型计算等。
1.3计算模型的等效性：在可计算性理论中，研究了不同计算模型之间的等效性。
图灵机、递归函数和Lambda演算等计算模型之间可以相互转化，这意味着它们的计算能力是等价的。
这个等价性的概念对理解可计算性是至关重要的。
2.计算复杂性：计算复杂性研究的是什么样的问题可以在多项式时间内解决，以及在不同条件下求解问题所需要的计算资源（例如时间、空间等）。
计算复杂性理论的核心是研究问题的复杂度类别和难度。
2.1多项式时间可解问题：计算复杂性理论将问题分为多项式时间可解问题和非多项式时间可解问题。
多项式时间可解问题是指那些可以在多项式时间内求解的问题。
这些问题的解决方法被认为是高效的，因为随着输入规模的增加，所需计算资源的增长是可接受的。
2.2难解问题：非多项式时间可解问题是那些不可以在多项式时间内求解的问题。
例如，图的旅行商问题（TSP）和布尔可满足性问题（SAT）等问题被认为是难解问题。
难解问题的求解需要指数级的时间或空间复杂度，因此在实际中很难找到有效的算法。
2.3复杂度类别：计算复杂性理论还研究了不同问题的复杂度类别。
计算机科学中的计算模型
计算机科学中的计算模型计算机科学是一门极具挑战性的学科，在推进人类新技术和新思想上起着重要作用。
计算机科学的一个核心问题就是如何处理信息。
为了解决这个问题，人们发明了各种计算模型。
计算模型是指用来描述计算机系统中可进行的计算的方式和规则。
在本文中，我们将会简要地探讨一些计算模型。
1. 图灵机图灵机，是由英国数学家阿兰·图灵 (Alan Turing) 于20世纪30年代发明的一种机器模型。
图灵机是一种抽象机器，由一个无限长的纸带、一个读写头和一些程序控制器组成。
纸带上可以写有限个符号，读写头可以读取或改变纸带上的符号，程序控制器根据读写头所在的位置及当前的符号来控制下一步的操作。
图灵机被认为是通用的计算模型，这就意味着所有计算机都可以使用图灵机来模拟。
2. 基于状态转移的模型状态转移模型是另一种广泛使用的计算模型。
这个模型把计算看作状态的一系列转移。
它主要有两个组成部分：状态集合和状态转移函数。
状态集合是计算机所能具有的状态的集合，状态转移函数是描述一种状态下，如何从输入到输出的所有可能性的函数。
状态转移模型被广泛应用，在机器学习和人工智能领域有着广泛的应用。
3. 并行计算模型另一种重要的计算模型是并行计算模型。
它允许多个计算单元同时工作，以加速计算。
这种模型增加了并行性，对于处理大规模数据和高效计算非常有用。
在实际计算中，多处理器系统常用并行计算模型解决计算问题。
4. 量子计算模型近年来，随着量子计算的发展，量子计算模型变得越来越重要。
相比传统的计算模型，量子计算模型可处理的计算复杂度更高，解决的问题更加优秀。
量子计算模型的核心是量子比特和量子门。
量子比特可以用来存储量子信息，量子门可以运用量子比特进行计算。
不同于传统的计算机体系结构，量子计算机是基于量子力学理论建立的，处理信息的方式也与传统计算机不同。
总结计算模型是计算机科学中的重要组成部分，它有助于我们理解计算机如何进行处理。
在计算机科学中，图灵机、状态转移模型、并行计算模型和量子计算模型是历史上四个重要的计算模型。
图灵机工作原理
图灵机工作原理图灵机是一种理论上的计算模型，由英国数学家艾伦·图灵于1936年提出。
它是一种抽象的计算设备，能够模拟任何可以通过算法计算的问题。
图灵机的工作原理主要包括输入、状态转换和输出三个基本部分。
首先，图灵机接受输入。
输入是指由输入符号构成的无限长的纸带，纸带上的每个符号都属于有限的字母表。
图灵机的读写头可以在纸带上移动，并能够读取当前位置的符号。
这些输入符号代表了问题的初始状态，图灵机需要根据这些输入符号进行计算和处理。
其次，图灵机通过状态转换来处理输入。
图灵机在内部有一个状态转换表，根据当前状态和读取的输入符号，图灵机可以根据状态转换表中的规则进行状态转换。
这些状态转换规则包括了读取当前符号后的下一步动作，如写入新符号、移动读写头的位置或改变内部状态等。
通过不断的状态转换，图灵机可以模拟出复杂的计算过程。
最后，图灵机输出结果。
当图灵机完成状态转换并停止时，纸带上的符号就代表了问题的计算结果。
图灵机可以通过读取纸带上的符号来输出最终的计算结果。
图灵机的工作原理可以用简洁的数学模型来描述，这种模型包括了输入符号、状态转换表和内部状态等重要元素。
通过这些元素的相互作用，图灵机能够模拟出任何可以通过算法计算的问题。
这种抽象的计算模型为计算机科学的发展提供了重要的理论基础，对于计算机算法和程序设计具有重要的指导意义。
总的来说，图灵机的工作原理是基于输入、状态转换和输出这三个基本部分的。
通过这些部分的相互作用，图灵机能够模拟出任何可以通过算法计算的问题，这为计算机科学的发展提供了重要的理论基础。
图灵机的工作原理不仅对计算机科学具有重要的指导意义，同时也为人工智能和机器学习等领域的发展提供了重要的思想参考。
图灵机与计算
对任何整数n>2，程序能不能找 到满足的正整数三元组？
一、计算机的极限（续）
关于计算理论可以追溯到1900年，当 时著名的大数学家希尔伯特在世纪之交的 数学家大会上给国际数学界提出了著名的 23个数学问题。其中第十问题是这样的： 是否存在着一个通用过程，这个过程能用 来判定任意数学命题是否成立，即，输入 一个数学命题，在有限时间内，能证明该 命题成立或不成立。
for (x=1; x<=total-2; x++) for (y=1; y<=total-x-1; y++) { z = total – x –y; if (exp(x,n) + exp(y,n) == exp(z,n)) printf(“hello, world/n”); }
total++; } }
B
1
前移
C
A
0
往纸带上写1
B
CLeabharlann 0后移A…
…
…
…
四、理解图灵机
建模： （1）小虫、纸带、方格 （2）黑色或者白色的信息就是小虫的输入信息 （3）小虫的输出动作就是往纸带上前爬一个方格或者 后退一个方格 （4）行动的规则
程序1：
程序2：
1 2 3
程序2
4 5 6 7
程序3
我们每一个会决策、会思考的人就可以被 抽象的看成一个图灵机。
二、图灵的伟大成就
上帝创造了人；图灵创造了计算机
计算机之父 人工智能之父
计算机的基本概念属于图灵。
冯·诺依曼的基本作用是使世界认识 了由图灵引入的计算机基本概念……
图灵机的产生一方面奠定了现代 数字计算机的基础（后来冯诺依曼就 是根据图灵的设想才设计出第一台计 算机的）。另一方面，根据图灵机这 一基本简洁的概念，我们还可以看到 可计算的极限是什么。
大学计算机计算思维导论第4讲习题及解析
第4题图 第3题图
模拟练习题
战德臣 教授
5、下图为用状态转换图示意的一个图灵机，其字母集合为{V，C，+，=，“空格”，；}；状态集合 {S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}，其中S1为起始状态，S7为终止状态；箭头表示状态转换，其上标 注的如<in, out, direction>表示输入是in时，输出out，向direction方向移动一格，同时将状态按箭 头方向实现转换，其中in,out均是字母集中的符号，null表示什么也不写，direction可以为R(向右移 动)、L(向左移动)、N(停留在原处)。 该图灵机的功能是_____。(A|B|C|D) (A)能够识别“V=C+C；”形式的符号串； (B)能够识别“V=C；”形式的符号串； (C)能够将符号串中的空格去除掉； (D)上述全部能够识别。
战德臣 教授
10、下图是一个存储器的简单模型。围绕该存储器模型，回答下列问题。
存储位、存储字 存储单元 存储单元的地址编码A1A0 存储单元的内容D3D2D1D0 地址编码线，简称地址线A1A0 地址控制线W3,W2,W1,W0 数据线D3,D2,D1,D0
当前状态 S1 S2 S2 S2 S3 S3 S3 S1 S2 S2 S2 S3 … S2 S3 … S3 S1 S4 S4 S4
输入 0 0 0 1 0 0 X 0 0 Y 1 Y … 1 Y … X Y Y Y B
输出 X 0 0 Y 0 0 X X 0 Y Y Y … Y Y … X Y Y Y B
V=V; V=C; V=C+C; V=C+V; V=V+C; V=V+V;
都能识别
V=V V=C+C+C; V=C+V+C; V=V+C V=V+V
纸带问题计算要点小析
纸带问题计算要点小析纸带问题是一种经典的计算问题，它被广泛应用于理论计算、编码与解码及数据压缩等领域。
在这个问题中，我们需要计算一根上面印有1和0的纸带被读取时会得到的一个字符串。
虽然它看似简单，但实际上需要经过一定的分析和计算才能得到准确的结果。
首先，我们需要明确纸带问题的计算方法。
通常，我们考虑使用图灵机对纸带进行扫描，并借助图灵机的计算模型得到我们需要的答案。
这个过程可以分为以下几步：1. 初始化图灵机和纸带，将纸带上的数据写入输入端。
2. 根据图灵机的状态转移函数，将纸带上的数据以一定的规则转化为1和0的字符串。
3. 输出转化后的字符串。
在上述的计算过程中，我们需要考虑以下几个要点：1. 选择合适的状态转移函数。
这个函数的设计直接决定了纸带转换的结果，因此合理的状态转移函数可以提高计算的精度和速度。
2. 确定纸带上的数据格式。
一个好的纸带格式应当符合图灵机的要求，并且易于扫描和转化。
3. 注意图灵机的可计算性问题。
由于图灵机是一个抽象的数学模型，它并不能计算所有的问题。
因此，在考虑纸带问题时，我们需要明确它是否可计算，并尽量寻找合适的计算方法。
除了上述要点外，我们还需要注意以下一些细节问题：1. 在计算转换结果时，我们需要考虑纸带的长度和扫描方式，尤其是纸带过长时需要考虑计算时间问题。
2. 在确定纸带上的数据格式时，我们需要考虑数据的缓存问题。
通常情况下，我们会将纸带上的数据暂存于缓存区中，以便更方便的数据转换和计算。
综上所述，纸带问题的计算要点包括选择合适的状态转移函数、确定好纸带上的数据格式、考虑图灵机的可计算性问题、注意扫描和计算时间问题，以及考虑缓存问题等。
只有综合考虑这些因素，才能在计算纸带问题时得到较为准确的结果。
1.图灵机与计算问题(1节课)
– 小虫仅能够感受到它所处的方格的颜色---输 入信息。 – 小虫的输出动作就是往纸带上前爬一个方格 或者后退一个方格。
输入 黑色 白色 输出
• 程序: NaiveBug
前移 后移
小虫读到这个片断会怎样行动呢？
图灵机的今生来世
目录
• • • • 1、问题的起源 2、图灵的贡献 3、图灵机 4、图灵机的计算极限与计算复杂性
目录
• • • • 1、问题的起源 2、图灵的贡献 3、图灵机 4、图灵机的计算极限与计算复杂性
1、问题起源：费马大定理
• 17世纪，费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉 丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立 方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四 次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个 同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现 了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不 下。” • 当整数n >2时，关于x, y, z的方程 xn + yn = zn 没有正整 数解 • 1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明
3、图灵机
一个图灵机是形如下面的一个装置 ：
图灵机的组成
• 装置组成：
– 一个无限长的纸带（符号集合） – 一个读写头（读、改写、左移、右移） – 内部状态（有限状态机） – 还有一个程序对这个盒子进行控制。这个装 置就是根据程序的命令以及它的内部状态进 行磁带的读写、移动。
图灵机的工作过程
• 工作过程：
小虫会怎样行动呢？
输入 黑 黑 白 白 当前状态 饥饿 吃饱 饥饿 吃饱 输出 涂白 后移 涂黑 前移 下一个状态 吃饱 饥饿 饥饿 吃饱
关于图灵机的三个问题
写这篇文章，是想尝试回答学习图灵机模型中遇到的三个问题：1) 为什么图灵机有不可判的问题？2) 为什么强大的图灵机会不停机？3) 为什么图灵当初要设计图灵机？图灵机（Turing machine）是英国数学家阿兰·图灵（Alan Turing）于1936年设计的一种抽象机器，用于定义和模拟计算（computing）。
图灵机虽然构造简单，但却及其强大，它能模拟现代计算机的所有计算行为，堪称计算的终极机器。
然而即便是这个终极机器，也有令它无能为力的问题，这便是第一个要回答的问题：为什么图灵机有不可判的问题？首先明确什么是图灵可识别（Turing recognizable）和图灵可判定（Turing decidable）。
图灵机的识别对象是语言，图灵可识别当然不是说图灵本人能识别的语言（照这样说汉语可能是图灵不可识别的~），事实上这只是简称，全称应该是图灵机可识别语言（Turing machine recognizable language）和图灵机可判定语言（Turing machine decidable language）。
一台图灵机在读取一个串后可能进入三种状态：接受、拒绝、循环，如果图灵机进入循环状态，那它将永不停机。
现在假设有语言A，如果能设计出一台图灵机M，对于任意字符串ω，如果ω∈A，那么M读取ω后会进入接受状态，那么A是一个图灵可识别语言。
注意这个定义对于ω不属于A的情况没有做出限制，所以M读取到不属于A的ω，那么它有可能拒绝，也有可能循环。
图灵可判定语言的要求更严格，它要求对于语言A能设计出一台图灵机M：如果ω∈A，M 进入接受状态；否则进入拒绝状态。
如果一个语言是图灵可判定的，总能设计出一台图灵机，能在有限步数内判定一个字符串是不是属于这个语言。
如果一台图灵机对所有输入总是停机，那么称它为判定器（decider）。
然而第一个问题指明一定有所有判定器都不能判定的问题，要证明这一点，得从康托（Georg Cantor）说起。
大师 图灵 《论数字计算在决断难题中的应用》
大师图灵《论数字计算在决断难题中的应用》1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为"论数字计算在决断难题中的应用"。
在这篇开创性的论文中,图灵给"可计算性"下了一个严格的数学定义，并提出著名的图灵机"(TuringMachine)的设想。
"图灵机"不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。
"图灵机"与"冯.诺伊曼机"齐名，被永远载入计算机的发展史中。
1950年10月，图灵又发表了另一篇题为"机器能思考吗"的论文,成为划时代之作。
也正是这篇文章,为图灵赢得了"人工智能之父"的桂冠。
故事从谜开始英国现代计算机的起步是从德国的密码电报机--Enigma(谜)开始的,而解开这个谜的不是别人,正是阿兰·图灵,一个在计算机界响当当的人物,可与美国的冯·诺依曼相媲美的电脑天才。
在他短暂的生涯中,图灵在量子力学、数理逻辑、生物学、化学方面都有深入的研究,在晚年还开创了一门新学科--非线性力学。
图灵英年早逝。
在他42年的人生历程中,他的创造力是丰富多彩的,他是天才的数学家和计算机理论专家。
24岁提出图灵机理论,31岁参与COLOSSUS的研制,33岁设想仿真系统,35岁提出自动程序设计概念,38岁设计"图灵测验"。
这一朵朵灵感浪花无不闪耀着他在计算机发展史上的预见性。
特别是在60年代后当然,图灵最高的成就还是在电脑和人工智能方面,他是这一领域开天辟地的大师。
为表彰他的贡献,专门设有一个一年一度的"图灵奖",颁发给最优秀的电脑科学家。
这枚奖章就像"诺贝尔奖"一样,为计算机界的获奖者带来至高无上的荣誉。
而阿兰·图灵本人,更被人们推崇为人工智能之父,在计算机业十倍速变化的历史画卷中永远占有一席之地。
图灵机
基本思想
图灵机 图灵的基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，他把这样的过程看作下列两种简单的动作： 1、在纸上写上或擦除某个符号； 2、把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置。 而在每个阶段，人要决定下一步的动作，依赖于 (1)此人当前所的纸上某个位置的符号和(2)此人当前思维 的状态。 为了模拟人的这种运算过程，图灵构造出一台假想的机器，该机器由以下几个部分组成： 1、一条无限长的纸带 TAPE。纸带被划分为一个接一个的小格子，每个格子上包含一个来自有限字母表的符 号，字母表中有一个特殊的符号表示空白。纸带上的格子从左到右依此被编号为 0，1，2，...，纸带的右端可 以无限伸展。 2、一个读写头 HEAD。该读写头可以在纸带上左右移动，它能读出当前所指的格子上的符号，并能改变当前 格子上的符号。 3、一套控制规则 TABLE。
通用
对于任意一个图灵机，因为它的描述是有限的，因此我们总可以用某种方式将其编码为字符串。我们用表示 图灵机 M的编码。
我们可以构造出一个特殊的图灵机，它接受任意一个图灵机 M的编码，然后模拟 M的运作，这样的图灵机称 为通用图灵机(Universal Turing Machine)。现代电子计算机其实就是这样一种通用图灵机的模拟，它能接受 一段描述其他图灵机的程序，并运行程序实现该程序所描述的算法。但要注意，它只是模拟，因为现实中的计算 机的存储都是有限的，所以无法跨越有限状态机的界限。经典图灵机及其许多变形识别语言的能力都是相同的， 正因为如此，图灵机可以作为计算的一般模型。另外，通用图灵机 (可编程图灵机)是存在的，通用图灵机可以 模拟任意一个图灵机，这也是将图灵机作为现代计算机的形式模型的根本原因。
工作原理
一台图灵机是一个七元组，{Q，Σ，Γ，δ，q0，qaccept，qreject}，其中 Q，Σ，Γ都是有限集合，且 满足：
图灵机的应用(云计算)
• 云计算的兴起使得超算中心不再那么遥远不可及。 • MapReduce方法的推广也使得采用并行计算方法来解 决大型、大量数据处理的问题变得不再那么专门化了。 • Google在推广MapReduce上起到了很有益的作用。然 而Google的MapReduce可以说是Google工程师们自用 的工具，而不是一项服务。开源社区的Apache Hadoop项目实现了开放源代码的MapReduce工具。 • Amazon推出了Amazon Elastic MapReduce服务（也 是用Hadoop实现的）。 • 也就是说一般用户都可以使用该服务对自己的大型计算、 数据处理问题定制自己的并行处理算法，广泛分布到 EC2的分布服务器上进行并行处理。这就是我在前一篇 中提到当前在云计算的模式上，计算机的通信所带来的 很有意义的新发展。
计算机模型与体系架构的发展
——从图灵机 到云计算机
一个非常简单的图灵机例子：
从左至右扫描一串二进制数字，如果 该数字能够被3整除（是3的倍数）则在 该数字串的末尾写出Y，否则写出N，然 后停机。 —————————
| 有限状态读写头 | ————————— || \/ ——————————————— | 10101 （无限长）存储带 ———————————————
• 内存：中央处理器直接发生操作关系的存储器 • 读写速度快，能够与中央处理器的速度相匹配，但是 价格昂贵，而且是挥发式的，即断电时所存储的内容 立刻丢失。 • 外存：穿孔纸带、卡片、磁带，后来又有软、硬磁盘、 光盘，如今发展到半导体固态外存（如闪存）。 • 低速、大容量、非挥发、廉价，对应于内存是一个非 常有效的补充。 • 两者通过I/O进行交互。 • 图灵本来给出的计算模型就根本没有内、外存储器之 分的概念。
图灵论题 与 丘奇 -图灵定理 - 丘奇 -
丘奇-图灵论题与丘奇-图灵定理Miner2011.03.13/group/swarmagents_ai/ /group/swarmagents_ai/希尔伯特第十问题1900 年，巴黎第二届国际数学家大会，希尔伯特“数学问题”演讲：23个他认为最具重要意义的数学问题第十问题：判定丢番图方程的可解性 对包含任意个未知数的丢番图方程，给出一个有效的算法，通过有限次的计算，能够判定该方程在有理数整数上是否可解。
丢番图方程：整系数代数多项式方程x2+y2=z2 有整数解(勾三股四弦五)2x-2y=1 没有整数解可计算性和计算复杂性理论 研究计算和可计算性概念研究各种计算模型及其等价性 研究不可计算性研究P和NP问题Alonzo Church(1903-1995)Alan Turing (1912-1954)Kurt Godel[1906-1978]可以有效计算的函数数学上，算法是（通过有限多的步骤）对数学函数进行有效计算的方法。
因此算法研究的一个重要的切入点，是寻找可以有效计算的函数。
开始只知道一些最简单的函数，以及用这些函数通过若干简单规则组合出的函数是可以有效计算的。
数学家们把这类函数叫做递归函数（Recursive Function）。
1931 年，Herbrand(1908-1931，登山时遇难) 对递归函数进行了研究，并给哥德尔写信叙述了自己的研究结果。
Church(1903-1995) 命题：所有可以有效计算的函数都可以用λ-calculus来定义。
1934 年，丘奇向哥德尔介绍了这一猜测，但哥德尔不认同。
于是丘奇请哥德尔给出一个他认为合适的描述。
哥德尔在Herbrand结果的基础上提出了一般递归函数的概念，并指出：凡算法可计算函数都是一般递归函数，反之亦然．（但哥德尔当时并没想到他的递归概念包含了所有可能的递归）丘奇与克林证明了这两种看上去完全不同的描述方式实际上是彼此等价的。
丘奇相信已经找到了可以有效计算的函数的普遍定义。
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集合也是异常的丰富，它不仅仅能移动自己，还可以尽情的改造它所 在的自然界。进一步的，小虫的内部状态可能非常的多，而且控制它 行为的程序可能异常复杂，那么小虫会有什么本事呢？这就很难说了 ，因为随着小虫内部的状态数的增加，随着它所处环境的复杂度的增 加，我们正在逐渐失去对小虫行为的预测能力。但是所有这些改变仍
我们说小虫具有两个内部状态，并把它内部状态的集合记为：S={饥饿，
吃饱}。这样小虫行为的时候就会不仅根据它的输入信息，而且也会根据
它当前的内部状态来决定它的输出动作，并且还要更改它的内部状态。
而它的这一行动仍然要用程序控制，只不过跟上面的程序比起来，现在
的程序就更复杂一些了，比如：
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程序3：
如何理解图灵机——小虫的比喻
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如何理解图灵机——小虫的比喻
小虫的动作还会持续下去……。我们看到，小虫将会不停
的重复上面的动作不断往前走，并会把所有的纸带涂黑。
9
如何理解图灵机——小虫的比喻
如果你给它固定的输入信息，它都会给你固定的输出信息！因 为我们知道程序是固死的，因此，每当黑色信息输入的时候， 无论如何它都仅仅前移一个方格，而不会做出其他的反应。它 似乎真的是机械的！
进一步更改小虫模型，那么它就会有所改进，至少
在给定相同输入的情况下，小虫会有不同的输出情
况。这就是加入小虫的内部状态！
假设黑色方格是食物，虫子可以吃掉它，而当吃到一个食物后，小虫子
就会感觉到饱了。当读入的信息是白色方格的时候，虽然没有食物但它
仍然吃饱了，只有当再次读入黑色时候它才会感觉到自己饥饿了。因而，
小虫的行为比以前的程序复杂了一些。尽管从长期来 看，它最后仍然会落入机械的循环或者无休止的重复 。然而这从本质上已经与前面的程序完全不同了，因 为当你输入给小虫白色信息的时候，它的反应是你不 能预测的！它有可能涂黑方格也有可能前移一个。当 然前提是你不能打开小虫看到它的内部结构，也不能 知道它的程序，那么你所看到的就是一个不能预测的 满地乱爬的小虫。如果小虫的内部状态数再增多呢， 那么它的行为会更加的不可预测！
带上的信息。因而，小虫可能的输出动作集合就变成了：
O={前移，后移，涂黑，涂白}。这个时候，我们可以把
程序1改为比如：
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如何理解图灵机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ—小虫的比喻
程序2： 输入 输出 黑 前移 白 涂黑
纸带是黑黑白白黑……，小虫会怎样行动呢？下面的图 表示出了这个例子中每一步小虫的位置（标有圆点的方 格就是小虫的当前位置），以及纸带的状况。 开始：小虫在最左边的方格，根据程序的第一行，读入 黑色应该前移。
计算理论
Theory of Computation
Qilong Han
College of Computer Science and Technology Harbin Engineering University
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图灵机与计算问题
✓ 如何理解图灵机？ ✓ 计算 ✓ 模拟 ✓ 万能图灵机（通用图灵机） ✓ 停机问题
2
图灵机与计算问题
✓ 如何理解图灵机？
–小虫的比喻 –如何理解图灵机模型
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如何理解图灵机——小虫的比喻
假设一个小虫在地上爬，那么我们应该怎样从小虫 信息处理的角度来建立它的模型？
首先，我们需要对小虫所在的环境进行建模。 另外，我们当然还需要为小虫建立输出装置，也就是说它能 够动起来。 仅仅有了输入装置以及输出装置，小虫还不能动起来，原因很 简单，它并不知道该怎样在各种情况下选择它的输出动作。于 是我们就需要给它指定行动的规则，这就是程序！
程序3： 输入 当前内部状态 输出 下时刻的内部状态
黑 饥饿 黑 吃饱 白 饥饿 白 吃饱
涂白 后移 涂黑 前移
吃饱 饥饿 饥饿 吃饱
这个程序复杂多了，有四行，原因是你不仅需要指定每一种输
入情况下小虫应该采取的动作，而且还要指定在每种输入和内 部状态的组合情况下小虫应该怎样行动。
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如何理解图灵机——理解图灵机模型
输入 输出 黑色 前移 白色 后移 这个程序非常简单，它告诉小虫当读到一个黑色方格的 时候就往前走一个方格，当读到一个白色方格的时候就 后退一个格。
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如何理解图灵机——小虫的比喻
我们不妨假设，小虫所处的世界的一个片断是：黑黑黑 白白黑白……，小虫从左端开始。 那么小虫读到这个片断会怎样行动呢？它先读到黑色， 然后根据程序前移一个方格，于是就会得到另外一个黑 色信息，这个时候它会根据程序再次前移一个方格，仍 然是黑色，再前移，这个时候就读到白色方格了，根据 程序它应该后退一个格，这个时候输入就是黑色了，前 移，白色，后移……，可以预见小虫会无限的循环下去。
好了，如果你已经彻底搞懂了我们的小虫是怎么工 作的，那么你已经明白了图灵机的工作原理了！因为 从本质上讲，最后的小虫模型就是一个图灵机！
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如何理解图灵机——理解图灵机模型
这样的模型太简单了！他根本说明不了现实世界中的 任何问题！下面，我就要试图说服你，图灵机这个模 型是伟大的！ 其实我们每一个会决策、会思考的人就可以被抽象的 看成一个图灵机。
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如何理解图灵机——小虫的比喻
然而，现实世界中的小虫肯定不会这样傻的在那里无限
循环下去。我们还需要改进这个最简单的模型。
首先，我们知道小虫除了可以机械地在世界上移动以外，
还会对世界本身造成影响，因而改变这个世界。比如虫
子看到旁边有食物，它就会把那个东西吃掉了。在我们
这个模型中，也就相当于我们必须假设小虫可以改写纸
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如何理解图灵机——理解图灵机模型
为什么可以做这种抽象呢？首先我们可以考虑扩展刚才说的小虫模型 。因为小虫模型是以一切都简化的前提开始的，所以它的确是太太简 单了。然而，我们可以把小虫的输入集合、输出行动集合、内部状态 集合进行扩大，这个模型就一下子实用多了。首先，小虫完全可以处 于一个三维的空间中而不是简简单单的纸带。并且小虫的视力很好， 它一下子能读到方圆500米的信息，当然，小虫也可以拥有其他的感觉
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如何理解图灵机——小虫的比喻
假设我们记小虫的输入信息集合为I={黑色，白色}，它 的输出可能行动的集合就是：O={前移，后移}，那么程 序就是要告诉它在给定了输入比如黑色情况下，它应该 选择什么输出。因而，一个程序就是一个从I集合到O集 合的映射。我们也可以用列表的方式来表示程序，比如： 程序1：