中级宏观经济学配套练习及答案

第二讲 配套习题及答案

1.若效用函数现为：

γγ-=1),(l c l c u （10<<γ）

其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。

计划者目标函数为：

}{max 1,γγ-l c l

c ..t s αα--==10

)(l h zk y c 代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：

{}γγαα---110])([max l l h zk l

一阶条件为：

)(l FOC γγααγγγγααγγγγα-------=--l l h k z l l h k z )1()()()1()1(011)1(0

求解可得：

αγγ--=

*1)1(h l αγ

αγ--=*1)1(h n 代*n 进生产函数可得：

αααγαγ-**⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==101)1(h zk y c

企业利润函数为：

wn k r n zk -+-=-)1(1ααπ

企业利润最大化的一阶条件为：

0)1(11=+-=∂∂--r n k z k

αααπ 0)1(=--=∂∂-w n k z n

αααπ 利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：

αααγαγ-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(0h zk w

11)1(110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--*α

ααγαγαh k z r

2.假设行为人的效用函数如下：)ln()ln(l c U +=，其中c 是行为人的消费，l 是行为人每天用于闲暇的时间。行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。他为自己工作时的产出函数为5.0)(4s n y =，其中s n 为用于自己工作的时间。

如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为w （当然是用消费品衡量的）。试写出该行为人的最优化问题，并求解之。

)ln(){ln(max ,,l c s

n l c + ..t s w n l n c s s )24()(45.0--+=

代约束条件进目标函数，分别对l 和s n 两个变量求一阶导数，并令其

为零，有：

)(l FOC l

w n l n w s s 1)24()(45.0=--+ )(n FOC 0)24()(4)(25.05.0=--+--w

n l n w n s s s 求解上述联立方程，可得：

w n s 4=

*

2212w l +

=* 421285.0--+=

*w w w

c 3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下：

l c l c u +=β),(

其中，c 是消费，l 是闲暇，且0>β。消费者拥有一单位的时间禀赋和0k 单位的资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来

表示：

αα-=1n Ak y

其中，y 是产出，A 是全要素生产率，k 是资本投入，n 是劳动投入，且10<<α。记w 为市场的实际工资，r 为资本的租金率。

a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。

b.试分析全要素生产率A 的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。

解：a.第一步，分析消费者行为：

l c l c u l

c l c +=β,,max ),(max ..t s 0)1()1(k r l w c ++-=

代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。 l k r l w l

+++-])1()1([max 0β 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：

β1=

w

第二步，分析企业的行为：

d d d d d

k k r wn n Ak )1()1(1δπαα-++--=- n FOC 0)1(=---w n Ak d d

ααα d k FOC 011=----δαααr n Ak d d

根据市场出清条件，可得如下方程组：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+==----0111)1(k k r n Ak n Ak d

d d d d δαβααααα

求解得：

[]

[]⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-**δαβααβααααα1110)1()1(A r k A n 第三步，全部均衡解：

[]αααβ10)1(11k A n l --=-=**

[][]01110

0)1()1(k A k A Ak c y αααα

ααααβαβ--**-=-== α1=*w

或者，考虑计划经济情形：

l c l c u l

c l c +=β,,max ),(max ..t s αα--=10

)1(l Ak c 代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：

()[]l l Ak l

+--ααβ10)1(max 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：

1)1()1(0

=---αααβl Ak

解得：

[]αααβ1

0)1(1k A l --=* []αααβ10)1(k A n -=*

b.()0)1()1(101<---=∂∂-k A A l αααβαβα

()0)1()1(101>--=∂∂-k A A n αααβαβα

()0)1(1011>-=∂∂=∂∂--k A A c A y αααααβα

()0)1(11>-=∂∂--αααααβA A r 0=∂∂A

w 说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。

4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用函数代表：

g l c l c u ln ln ln ),(γθ++=

这里，c 是消费；l 是闲暇；g 是政府购买；0,>γθ。消费者拥有一单位的时间禀赋。私人消费品的生产技术如下：

zn y =

这里，y 是产出，n 是劳动投入，0>z 。假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己的购买融资。

（1）对于一个给定的g ，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这