离散数学第四讲-推理规则与证明方法
离散数学逻辑推理
Proof：
(1) D
P
(2) D ∨ A
P
(3) A
T(1),(2)I
(4) A→ (B→C)
P
(5) B→C
T(3),(4)I
(6) B
P
(7) C
T(5),(6)I
(8) D → C
CP
反证法
反证法的主要思想是：假设结论不成立,可以推出矛盾式。 下面先介绍有关概念和定理。
反证法定义：设有前提集合{H1，H2 ，...，Hn} ，H1，H2 ，...，Hn是相容的，H1 ∧ H2 ∧...∧ Hn C ，当且仅当H1
R ∨ (P ∧ ¬P) R R ∧ (P ∨ ¬P) R R ∨ (P ∨ ¬P) T R ∧ (P ∧ ¬P) F P → Q ¬P ∨ Q ¬(P → Q ) P ∧ ¬Q P → Q ¬Q → ¬P P →(Q → R) (P∧Q ) → R P↔Q (P → Q ) ∧ (Q → P ) P↔Q (P∧Q ) ∨(¬P ∧ ¬Q ) ¬(P↔Q ) P↔¬Q
，H2 ，...，Hn， C是不相容的。
或说H1 ∧ H2 ∧...∧ Hn ∧ C F（永假式）。
【example】 P→Q, (Q∨R)∧R, (P∧S) S
Proof：
(1) S
P(假设前提)
(2) S
T (1)E
(3) (P∧S) P
(4) P∨S
T (3)E
我们可把不相容的概念应用于命题公式的证明。
设有一组前提H1, H2，…, Hm 要推出结论C,即证 H1∧H2∧....∧Hm C，记作SC，即 C → S为永真，或 C ∨ S为永真，故 C ∧ S为永假。
命题逻辑的推理规则和证明方法
命题逻辑的推理规则和证明方法命题逻辑是一种对简单命题和命题之间关系的形式化推理系统，广泛应用于数学、计算机科学和哲学等领域。
在命题逻辑中，推理规则和证明方法被用来推导出真实或假设的命题之间的关系。
本文将介绍命题逻辑的一些常见推理规则和证明方法。
1. 推理规则命题逻辑的推理规则是用来推导命题之间关系的规则。
以下是一些常见的推理规则：（1）析取引入规则（Disjunction Introduction Rule）：如果命题P 成立，则P或Q成立。
表示为P -> (P ∨ Q)。
（2）析取消去规则（Disjunction Elimination Rule）：如果P或Q 成立，且根据P和Q均能推导出命题R，则R成立。
表示为((P ∨ Q), (P -> R), (Q -> R)) -> R。
（3）合取引入规则（Conjunction Introduction Rule）：如果P和Q 成立，则P且Q成立。
表示为(P, Q) -> (P ∧ Q)。
（4）合取消去规则（Conjunction Elimination Rule）：如果P且Q 成立，则P和Q均成立。
表示为(P ∧ Q) -> (P, Q)。
（5）蕴含引入规则（Implication Introduction Rule）：如果根据P 能推导出Q，则P蕴含Q成立。
表示为((P -> Q) -> Q) -> (P -> Q)。
（6）蕴含消去规则（Implication Elimination Rule）：如果P和P蕴含Q成立，则Q成立。
表示为((P, (P -> Q)) -> Q)。
2. 证明方法证明是在命题逻辑中用于证明命题之间关系的方法。
以下是一些常见的证明方法：（1）直接证明法：假设前提命题成立，通过适当的推理规则证明出结论命题成立。
这种方法常用于证明蕴含关系。
（2）间接证明法（反证法）：假设结论命题不成立，通过适当的推理规则推导出与已知事实相矛盾的命题，从而得出结论命题成立的结论。
离散数学--第四章 谓词逻辑推理
Dr Chen Guangxi
例4.1.1
注：在对 ∀x ( F ( x ) → G ( x )) 使用UI规则时， 可以得 F(y) → G(y)，也可得F(c) → G(c)， 其中y是任意的个体常项，c可为任意个体 常项，由结论的需要取c为a。
。
Dr Chen Guangxi
例4.1.3
构造下面推理的证明 前提： ¬∃ x ( F ( x ) ∧ H ( x )), ∀ x ( G ( x ) → H ( x ))
Dr Chen Guangxi
四条重要的推理规则
2.全称量词引入规则，简记为 UG
A( y) ∴ ∀xA( x)
成立的条件是： （1）y在A(y)中自由出现，且为任意的个体变 项； （2）取代y的x不能在A(x)中约束出现过。
Dr Chen Guangxi
四条重要的推理规则
3.存在量词消去规则，简记为EI
∀x( H ( x ) → ¬F ( x))
G ( y) → ¬F ( y)
∀ x ( G ( x ) → H ( x )) G( y) → H ( y)
∀x (G ( x ) → ¬F ( x )) 本例要注意UI规则的用法!!
Dr Chen Guangxi
例题
构造推理
学术委员会的每个成员都是博士并且是教授。有些成 员是青年人。因而，有的成员是青年教授。
∃xA( x) ∴ A(c)
成立的条件为： （1）c是使A(c)为真的特定的个体常项； （2）c不在A(x)中出现过； （3）若A(x)中除x外还有其它自由出现的 个体变项时，此规则不能使用。
Dr Chen 为EG
A(c ) ∴ ∃ xA ( x )
Dr Chen Guangxi
离散数学第四讲-推理规则与证明方法
√
Q
P
× x 2
四个例子的推理是否正确？
例3.
例4.
如果x是偶数, 则x2是偶数。所用依据如是果什x是么偶？数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
P Q P Q
× x 2
.
P Q
Q
√
P
3
1、推理和推理规则
刚才的例子表明了研究推理规则的重要性。 推理规则：正确推理的依据。
注意： 1. 不考虑前提的真假，推理正确≠结论为真。 2. 结论的真假 取决于 前提H1∧H2∧ …∧Hn的真假。
前提为真，则结论为真； 前提为假，则结论可真可假。 3. 因此，定义中只说C 是H1, H2, …, Hn 的有效结论而不说是正确结 论。“有效”是指结论的推出合乎推理规则。
.
5
1、推理和推理规则
永真 永真 永真 永真 永真 永真
.
13
3. 证明方法
利用CP规则证明以下例题
例3：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1) D (2) ¬ D A (3) A (4) A →(B → C) (5) B → C (6) B (7) C (8) D → C
P（附加前提）
常用的推理规则
1) 恒等式(E1~E24) 2) 永真蕴含式(I1~I8,表1.5-1) 3) 替换规则，代入规则 4) P规则和T规则
P规则：(前提引入)
在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T规则：(结论引用)
在推导任何步骤上所得结论都可以作为后继证明的前提。
.
6
1.5-1
表 常 用 推 理 规 则
离散数学证明题解题方法
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。
离散数学以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此他充分描述了计算机科学离散性的特点。
1、定义和定理多。
离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。
因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。
在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。
●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。
（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。
●证明满射：函数f：X Y，即要证明对于任意的y Y，都有x X，使得f(x)=y。
●证明入射：函数f：X Y，即要证明对于任意的x1、x2 X，且x1≠x2，则f(x1) ≠f(x2)；或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。
●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。
有三种情况：第一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。
●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。
（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。
●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设<G,*>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-1 S,则<S,*>是<G,*>的子群。
离散数学---推理理论
实例分析
西 华 大 学 制 作
判断推理是否正确：张红不管有无空闲都不看电影。张红看了电影。所以张 红有空闲时间又没有空闲时间。 解：P:张红有空闲时间；Q：张红看电影 。 前提：A1=P∨ P→ Q A2=Q 结论：A=P∧ P 问题：该结论是否有效结论。(该推理是否正确)。
P 0 0 1 1
自然推理系统P
西 华 大 学 制 作
自然推理系统
特点：可以从任意给定的前提出发，
形式系统
应用系统中的推理进行推演，得到 的结论在系统中被认为是有效的。
公理系统
特点：只能从几个给定的公理出发， 应用系统中的推理规则进行推演，
得到的结论是系统中的定理。
自然推理系统P
自然推理系统P定义如下：
1.字母表
§1.6 推理理论
西 华 大 学 制 作
一、有效论证推理规则 二、基本蕴涵式 三、自然推理系统P 四、推理证明的方法
一、有效论证与推理规则
西 华 大 学 制 作
• 定义：A1∧A2∧…∧An→A,其为永真式，则称 前提A1,A2,…,An得到有效结论A；从前提公式得 到有效结论的过程称为正确推理。 • 若AB是永真式，则记为AB； • 若A→B是永真式，则记为AB。 • 前提一致和不一致： • 如果前提A1∧A2∧…∧An为可满足式，则 为前提A1,A2,…,An一致。
西 (1)命题常元，命题变元：P,Q,R,…,Pi,Qi,…,1,0(T,F) 华 大 (2)命题联结词：、∧、∨、→、 学 (3)括号：(,) 制 2.合式公式：(略) 作
3.推理规则：
(1).前提引入规则(P规则)：在证明的任何步上，都可引入前 提； (2).结论引用规则(T规则)：在证明的任何步上，所得的结论 都可作为证明得前提； (3).置换规则：在证明的任何步上，命题公式的任何子命题 公式都可以用与之等价的命题公式置换。 (4).永真蕴涵规则：使用基本蕴涵式，常常将条件用‘，’
离散数学推理的三要素
离散数学推理的三要素1.推理的形式结构（1）定义3.1：设A1，A2，A3...AK和B都是命题公式，若对于A1，A2，A3...AK和B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1，A2，A3...AK为假，或者当A1，A2，A3...AK为真是，B也为真，则称由前提A1，A2，A3...AK推出结论B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。
由上面的推论可知，推理正确的并不能保证结论B一定成立，因为前提可能就不成立。
这与我们通常理解的推理是不同的。
通常只能认为在正确的前提下推出正确的结论才是正确的推理，而在这里，如果前提不正确，不论结论正确与否，都说推理正确。
（2）定理3.1：命题公式A1，A2……AK推导B的推理正确当且仅当A1，A2……AK>B为重言式。
要把推理的形式写成：前提：A1，A2……AK结论：B2自然推理系统P本节由前提A1，A2……，AK推B的正确推理的证明给出严格的形式描述。
“证明”是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的每个公式或者是已知前提，或者是由前面的公式应用推理规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。
（1）定义3.2：一个形式系统I由下面4个部分组成：非空的字母表A（I）；A（I）中符号构造的合式公式集E（I）E（I）中一些特殊的公式组成的公理集Ax（I）推理规则R（I）将I记为四元组<A（I）,E（I）,Ax（I）,R（I）>.其中<A（I）,E （I）>是I的形式语言系统，而<Ax（I），R（I）>为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类：一类是自然推理系统，它的特点是从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论（它是有效的结论，尔肯那个是重言式，也可能不是重言式）。
另一类是公理推理系统，他只能从若干条给定的公里出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，得到的结论是系统中的重言式，成为系统中的定理。
1.5推理规则和证明方法
离散数学Discrete Mathematics数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@ 2011-1-10引言什么时候数学论证是正确的？ 用什么方法来构造数学论证？ 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过 程。
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程 前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用 推理规则推出的命题公式。
要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首 先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
2011-1-10离散数学21.5.1推理规则前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开 关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的 一种应用。
现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从 逻辑推理角度来理解命题演算。
2011-1-10离散数学34个推理的例子设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。
前提 x是偶数。
x2是偶数。
例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2是偶数。
2011-1-10P→Q P结论∴Q在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。
右侧是例子的 逻辑符表示。
P→Q Qx是偶数。
离散数学∴P4例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
2011-1-10 离散数学P→Q P ∴ QP→Q Q ∴ P5例 1 中, 若不管命题的具体涵义, 那么它所应用的推理规则 就是 左侧规则的另一P →Q P ∴ Q种写法所对应的永真蕴 含式。
P ,P → Q 推得 QP∧(P→Q) ⇒ Q从这个永真蕴含式可看出, 它正是代表“如果 P 并且 P→Q 是真, 则 Q是 真”的意义, 这里P和Q表示任意命题。
它恰好代表左侧的推理规则。
这条推理规则叫假言推理, 从形式上看 结论Q是从P→Q中分离出来的, 所以又叫分离规则。
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：A、V、一、f「。
记住“p仅当q”意思是“如果p,则q"，即p-。
记住“q除非p”意思是“」p-q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
构造真1.2语句翻译系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
证逻辑等价是通过p推导出q,证永真式是通过p推导出T。
(p—r)A(q-r) = (pVq)-r(p—q)V(p-r) = p—(qVr)(p—r)V(q-r) = (pAq)-r双条件命题等价式pf = (pfq) A (qfp)pf = -pfqpf Q (pAq) V(-pA-q)「(pf) = pfq1.4量词谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如V x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么V xP(x)就等价于P(x1)AP(x2)...A P(xn)。
同理，3 xP(x)就等价于 P(x1)VP(x2)...VP(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如V x(P(x)AQ(x))和(V xP(x)) A (V xQ(x))。
量词表达式的否定：「V xP(x) Q 3 x-P(x),「3 xP(x) Q V x-P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证不代命题和量化命题的组合使用。
二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合£说的是元素与集合的关系，^说的是集合与集合的关系。
离散数学命题逻辑推理理论
s 4、 由合取引入规则得到结论B1ÙB2Ù…ÙBs
在自然推理系统P中只需下述推理规则: (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 化简规则 (5) 合取引入规则 (6) 归结规则
归结证明法得基本步骤
1、 将每一个前提化成等值得合取范式, 设所有合取范式得 全部简单析取式为A1, A2,…, At 2、 将结论化成等值得合取范式B1ÙB2Ù…ÙBs, 其中每个
欲证明 前提:A1, A2, … , Ak 结论:B 将ØB加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确、
理由: A1ÙA2Ù…ÙAk®B Û Ø(A1ÙA2Ù…ÙAk)ÚB Û Ø(A1ÙA2Ù…ÙAkÙØB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1ÙA2Ù…ÙAk®B)为重言式
实例
例5 构造下面推理得证明
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
推理理论中的推理规则(离散数学)
推理理论中的推理规则（离散数学）推理理论是一个研究推理方法与规则的学问，其中推理规则是重要的一部分。
推理规则是指在一定的条件下，由一个或多个命题出发，推出另一个命题的规则。
在离散数学中，推理规则包括一些基础的规则和一些复杂的规则。
1. 充分必要条件充分必要条件是指一个命题P能成立的充分必要条件是命题Q 成立。
即P⇔Q。
这里的充分必要条件是指两个命题是等价的，即当且仅当P成立时Q成立，Q成立时P也成立。
例如，一个三角形是等腰三角形的充分必要条件是它有两个相等的角。
2. 反证法反证法是一种常用的推理规则，它常用于证明一个命题的反命题成立。
即假设命题P不成立，通过推理得到矛盾，从而证明了P成立。
例如，证明“所有偶数都不是素数”这个命题可以采用反证法，假设有一个偶数是素数，然后推导出矛盾，从而证明“所有偶数都不是素数”。
3. 等价变形等价变形是指在推理过程中将命题变形成等价的命题。
例如，将P∧Q推导为Q∧P是一种等价变形。
等价变形可以通过逻辑符号的转换、语法规则的变换等方式实现。
4. 全称推理全称推理是指从一个全称命题出发，推出另一个全称命题。
例如，从“对于任意一个自然数n，n+1>n”这个全称命题可以推出“对于任意一个自然数m，m+2>m”。
5. 假言推理假言推理是指从一个条件命题和它的前件出发，推出它的后件的命题。
例如，从“如果今天下雨，那么他就不去逛公园。
今天不下雨”这两个命题可以推出“他会去逛公园”。
6. 假命题推理假命题推理是指从一个假命题出发进行推理，最终得到矛盾。
例如，从假设“1=2”出发，我们可以通过推导得到矛盾，并证明1不等于2。
7. 归谬法归谬法是指从前提推导出矛盾的方法，一般用于证明前提错误的情况。
例如，如果要证明“所有汉语拼音都是辅音加韵母”这个命题是错误的，可以通过归谬法证明，即找出一个汉语拼音不符合这个规则。
8. 消解法消解法是推理中常用的一种方法，可用于在两个命题中推导得到新的命题。
离散数学逻辑推理
常见的蕴涵规则表
P∧QP P∧QQ P P ∨ Q
P,Q P ∧ Q ¬P, P ∨ Q Q P, P → Q Q
QP∨Q
¬Q, P → Q ¬P
¬P P → Q QP→Q ¬(P → Q ) P ¬(P → Q ) ¬Q
P → Q, Q → R P → R P ∨ Q, P → R, Q → R R A → B (A∨ C ) →(B ∨ C) A → B (A ∧ C ) →(B ∧ C)
T (1) I1 T (1) I2 P
(5) (Q∧Ｒ (6) Q∨R (7) Q (8) P→Q
T(3)(4) I12 T (5) E8 T (2)(6) I10 P
(9) P
T (7)(8) I12
(10)(R∧S)→P CP
【example】 A→ (B→C), D ∨ A, B D → C。
【example】求证 P→Q，Q→R，P R Proof：
序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式
(1)
P
P
(2)
PQ P
(3)
Q
T
(4)
Q→R P
(1)(2) I11
(5)
R
T
(3)(4)
I11
（注公式I11为： P,P→Q Q ）
【example】证明(P ∨ Q) ∧ (P → R) ∧ (Q → S) S ∨ R.
CP规则
间接证法的另一种情况是：
若要证H1∧H2∧....∧Hm (R →C)。设H1∧H2∧....∧Hm为S ，即证S (R →C)或S (R ∨ C)，故S → (R ∨ C)为永真 式。
因为S → (R ∨ C) S ∨ (R ∨ C) (S ∨ R) ∨ C (S∧R) ∨ C (S∧R) → C ,
北京工业大学《离散数学》课件-四章 推理和证明
“我将学习离散数学。”
因此？
15
化简律
推理规则：
pq
p
相应永真式：（真值表证明）
p q p； p q q
例：设 ：“我将学习离散数学。”
：“我将学习英国文学。”
“我将学习离散数学和英国文学。”
因此？
16
合取律
推理规则：
p
q
pq
相应永真式：（真值表证明）
Mortal Socrates
有效论证： 步骤
1. x Man x Mortal x
理由
前提引入
2. Mam Socrates Mortal Socrates 全称引入，用 1
3. Mam Socrates
前提引入
4. Mortal Socrates
，等式两边同时
平方，得到：
n2 = ( k +
其中
得证！
k2
2
= k2
k2
。
42
例：直接证明“两个有理数之和为有理数”。
证明：假设 和 是有理数，那么存在整数 ， ， ， 使得：
r p / q, s t / u , u 0, q 0
p t pu qt v
rs
q u
qu
w
得证！
43
证明
• 假设
方法(反证法)：
成立，证明 成立。也就是说，需要给出一个
结论: t
21
有效论证(2)
3.构造有效论证：
步骤
1. p q
2. p
3. r p
4.
5.
概率论-第四讲 推理规则和证明方法
18
三、证明方法
8. 反证法（又称归谬法、矛盾法） 定义：设公式H1, H2, … , Hm中的原子命题变元是 P1, P2, … , Pn, 如果给P1, P2, … , Pn以 某一指派, 能使H1∧H2 … ∧Hm具有真值T, 则称命题公式集合{H1, H2, … , Hm}是一致的, 否则称为非一致的。 这个定义也可这样叙述: H1∧H2∧…∧Hm ⇒ R∧¬R, 则{H1,H2, … , Hm} 是非一致的, 否则是一致的。
16
三、证明方法
例8：证A→(B→ C)，¬ D∨ A，B ⇒ D→C 证： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) D ¬ A A B B C D D ∨ A →(B → C) → C P（附加前提） P T,(1),(2),I5 P T,(3),(4),I3 P T,(5),(6),I3 CP
20
三、证明方法
例9: P ∧ Q → R, ¬ R∨ S, ¬ S ⇒ ¬ P ∨ ¬Q ¬ P P R ¬ S ¬ S (¬ P ∨ ¬Q) ∧ Q ∧ Q → R R∨ S S ∧ ¬ S P,假设前提 T,(1),E10,E P T,(2),(3),I3 P T,(4),(5),I5 P T,(6),(7),合取式
P→Q，R→ ¬ Q，R ⇒ ¬ P （1） R P,前提3 （2） R→ ¬ Q P,前提2 （3） ¬ Q T,(1),(2),I3 （4） P→Q P,前提1 （5） ¬ P T,(3),(4),I4
12
三、证明方法
1. 无义证明法 证明 P ⇒ Q，只需证明P为假。 2. 平凡证明法 证明 P ⇒ Q，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但对有限 的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
数理逻辑学推理与证明的规则
数理逻辑学推理与证明的规则数理逻辑学是一门关于推理和证明的学科，它涉及到符号和形式语言的运用，以及逻辑规则的应用。
在数理逻辑学中，推理和证明是重要的概念，它们是理解和应用逻辑规则的基础。
本文将介绍数理逻辑学中推理与证明的规则。
一、命题逻辑的推理规则命题逻辑是数理逻辑学中最基本的逻辑系统之一，它研究的是命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，有一些重要的推理规则，以及与之对应的推理法则。
1. 求析取式的析取律对于任意两个命题p和q，根据析取律，我们可以推出以下推理规则：p ∨ q / q ∨ p这条规则表明，对于任意两个命题p和q，如果p或q为真，那么q或p也为真。
这是由于析取运算的交换律所导致的。
2. 求合取式的合取律对于任意两个命题p和q，根据合取律，我们可以推出以下推理规则：p ∧ q / q ∧ p这条规则表明，对于任意两个命题p和q，如果p和q都为真，那么q和p也为真。
这是由于合取运算的交换律所导致的。
3. 充分条件的推理规则命题p和q之间的充分条件可以表示为：p → q。
根据充分条件的定义，我们可以得到以下推理规则：p → q, p / q这条规则表明，如果p蕴含q，且p为真，那么q也为真。
这是由于充分条件的逻辑定义所导致的。
二、一阶逻辑的推理规则一阶逻辑是一种更为复杂的逻辑系统，它涉及到谓词和量词的运用。
在一阶逻辑中，也存在着一些重要的推理规则。
1. 全称量词的推理规则对于任意一个命题P(x)，P(x)对于任意x都成立，根据全称量词的定义，我们可以得到以下推理规则：∀x P(x) / P(a)这条规则表明，如果对于任意x，P(x)都成立，那么可以通过实例化的方式，将全称量词中的变量替换为具体的个体，从而得到一个命题。
这是由于全称量词的逻辑定义所导致的。
2. 存在量词的推理规则对于任意一个命题P(x)，存在一个x使得P(x)成立，根据存在量词的定义，我们可以得到以下推理规则：∃x P(x) / P(a)这条规则表明，如果存在一个x使得P(x)成立，那么可以通过实例化的方式，将存在量词中的变量替换为具体的个体，从而得到一个命题。
离散数学中的逻辑推理方法
离散数学中的逻辑推理方法逻辑推理是离散数学中的重要概念，它是一种通过推理和论证来得出结论的方法。
逻辑推理在数学、计算机科学、哲学等领域都有广泛的应用。
本文将探讨离散数学中的逻辑推理方法，包括命题逻辑、谓词逻辑和推理规则。
命题逻辑是逻辑推理的基础，它研究的是命题之间的关系。
命题是陈述一个明确的陈述句，可以是真或假。
命题逻辑使用逻辑运算符来连接命题，包括合取、析取、蕴含和等价。
合取表示“且”，析取表示“或”，蕴含表示“如果...则”，等价表示“当且仅当”。
通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行逻辑推理。
谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是命题中的变量和量词。
谓词逻辑引入了谓词符号和量词符号。
谓词符号表示一个命题中的属性或关系，而量词符号表示命题的范围。
谓词逻辑使用量词来限定变量的取值范围，包括全称量词和存在量词。
全称量词表示对于所有的变量都成立，存在量词表示存在一个变量成立。
通过谓词逻辑，我们可以推理出更加复杂的命题。
在逻辑推理中，我们可以使用一些推理规则来推导出新的命题。
其中最常用的推理规则有假言推理、析取三段论和拒取三段论。
假言推理是通过蕴含关系来推导新的命题。
如果我们知道一个条件蕴含另一个条件，那么我们可以推导出新的条件。
析取三段论是通过两个条件的析取来推导出一个新的条件。
拒取三段论是通过两个条件的否定来推导出一个新的条件。
这些推理规则可以帮助我们在逻辑推理中得出正确的结论。
除了推理规则，逻辑推理还涉及到一些重要的概念，如充分必要条件和等价条件。
充分必要条件是指一个条件是另一个条件的必要条件，同时另一个条件也是这个条件的充分条件。
等价条件是指两个条件互相蕴含，即一个条件成立时另一个条件也成立。
通过理解这些概念，我们可以更好地进行逻辑推理。
总之，离散数学中的逻辑推理方法是一种通过推理和论证来得出结论的方法。
命题逻辑和谓词逻辑是逻辑推理的基础，通过逻辑运算符和量词来连接和限定命题。
推理规则和重要概念如充分必要条件和等价条件可以帮助我们进行逻辑推理。
离散数学逻辑推理规则
离散数学逻辑推理规则
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊离散数学里的逻辑推理规则。
啥是离散数学的逻辑推理规则呢？简单说，就是在离散数学这个领
域里，咱们怎么根据已知的条件和信息，有理有据地推出新的结论。
先来说说允许的行为哈。
比如说，咱们可以根据给定的命题和已经
证明过的定理，一步一步地推导。
就像搭积木一样，一块一块稳稳地
往上加，只要每一步都有理有据，那就是被允许的。
再说说禁止的行为。
可千万别乱猜！不能毫无根据就得出结论，这
就像闭着眼睛走路，容易摔跟头。
也不能随便否定已经被严格证明过
的定理和规则，不然整个推理的大厦可就要摇摇欲坠啦。
举个例子哈，如果已知“所有的猫都会抓老鼠”，又知道“小花是一只猫”，那咱们就能得出“小花会抓老鼠”的结论。
这就是合理的推导。
但
要是说“因为我觉得小花长得可爱，所以它会抓老鼠”，这可就不行啦，这完全没逻辑嘛！
为啥要有这些规则呢？这就好比咱们玩游戏得有游戏规则，不然就
乱套啦。
在离散数学里，有了明确的逻辑推理规则，才能保证咱们得
出的结论是可靠的，是能站得住脚的。
而且哦，掌握好这些规则，能让咱们的思维更加清晰，解决问题更
加有条理。
就像在迷宫里有了地图，能更快找到出口。
总之呢，离散数学的逻辑推理规则很重要，咱们要遵守允许的，避开禁止的，这样才能在离散数学的世界里畅游，得出准确又靠谱的结论！好啦，希望大家都能玩转这些规则，在离散数学里玩得开心！。
离散数学命题逻辑公式
离散数学命题逻辑公式1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑中的基本概念包括：命题：命题是描述客观事实真假的句子。
命题的真假值只有两个：真和假。
命题联结词：命题联结词用于将两个或多个命题连接起来，形成新的命题。
常见的命题联结词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）。
命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的表达式。
命题公式的真假值取决于其组成命题的真假值。
2. 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则是用于从给定的命题公式推导出新命题公式的规则。
常见的推理规则有：三段论：三段论是一种由两个前提和一个结论组成的推理形式。
如果两个前提都是真的，那么结论也一定是真的。
例如：所有哺乳动物都是恒温动物。
猫是哺乳动物。
所以，猫是恒温动物。
假言推理：假言推理是一种由一个条件句和一个结论组成的推理形式。
如果条件句是真的，那么结论也一定是真的。
例如：如果今天下雨，那么我就不出门。
今天下雨。
所以，我不出门。
选言推理：选言推理是一种由两个或多个分支组成的推理形式。
如果其中一个分支是真的，那么结论也一定是真的。
例如：要么今天下雨，要么明天下雨。
今天下雨。
所以，明天不会下雨。
3. 命题逻辑的应用命题逻辑在计算机科学、人工智能、哲学等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，命题逻辑用于设计和分析逻辑电路、编译器和操作系统等。
在人工智能中，命题逻辑用于知识表示和推理。
在哲学中，命题逻辑用于研究逻辑的本质和推理的有效性。
4. 结语命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑的应用非常广泛，包括计算机科学、人工智能、哲学等领域。
[翻译转载]离散数学教程--命题逻辑,谓词逻辑和推理规则
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[翻译转载]离散数学教程--命题逻辑,谓词逻辑和推理规则Discrete Mathematics命题逻辑数理逻辑的规则指定了如何判断⼀个数学语句的正确性. 古希腊哲学家,亚⾥⼠多德是数理逻辑的先驱. 数理逻辑为数学和计算机科学的许多领域提供了理论的基础. 它在计算机科学领域中也有着许多实际的应⽤,如计算器,⼈⼯智能,编程语⾔中数据结构的定义等等.命题逻辑关注与陈述中的真值,"true"和"false"(下⽂作真,假). 它的⽬的是分析这些独⽴的陈述或复合的语句.定理命题逻辑是⼀系列陈述语句,取值只能为真/假,叫做命题的真值. 它包含了命题变量和逻辑连词. 我们将命题变量记做⼤写字母(A,B, 等.), 连结词连接这些命题变量下⾯是⼀些命题的例⼦:"男⼈是⼈", 真值为真"12+9 = 3-2", 真值为假下⾯的例⼦不是⼀个命题:"A ⼩于 2", 除⾮我们给出A的特定值,否则⽆法确定语句的真值逻辑连词命题逻辑中通常有5种连词OR(∨) 或AND(∧) 与NOT(¬) 否if-then(→) 蕴含/如果那么if and only if(⇔) 等价/当且仅当或(∨) - 或运算作⽤在两个命题A,B上(写作A∨B) 当A,B中的⾄少⼀个为真时为真.真值表如下-A B A∨B真真真假真真真假真假假假与(∧) - 与运算作⽤在两个命题A,B上(写作A∧B) 当A,B同为真时为真.真值表如下-A B A∧B真真真假真假真假假假假假否(¬) - 否运算作⽤在命题A上(写作 ¬A) 当A为真时为假,当A为假时为真.真值表如下-A¬A真假假真蕴含(→) - 命题"如果A, 那么B" 表⽰为蕴含式A→B, 当A为真B为假时为假,其他情况都为真.A B A→B真真真真假假假真真假假真等价(⇔) - A⇔B, 是⼀个双向的逻辑连词, 当A,B取值相同时为真, 如A,B同时位假时为真A B A⇔B真真真真假假假真假假假真重⾔式/永真式重⾔式是⼀种⽆论命题变量取值如何真值都为真的公式.例: 证明 [(A←B)∧A]←B是重⾔式真值表如下A B A←B(A←B)∧A[(A←B)∧A]←B真真真真真真假假假真假真真假真假假真假真因为[(A←B)∧A]←B的所有取值都为真,所以为重⾔式⽭盾式/永假式⽭盾式是⼀种⽆论命题变量取值如何真值都为假的公式.例: 证明 (A∨B)∧[(¬A)∧(¬B)] 是⽭盾式真值表如下A B A∨B¬A¬B(¬A)∧(¬B)(A∨B)∧[(¬A)∧(¬B)]真真真假假假假真假真假真假假假真真真假假假假假假真真真假因为(A∨B)∧[(¬A)∧(¬B)] 的所有取值都为假,所以为⽭盾式偶然式(Contingency)偶然式是⼀种在逻辑变量的所有取值中,⼀些真值为真⼀些真值为假的公式.例: 证明 (A∨B)∧(¬A) 是⽭盾式真值表如下A B A∨B¬A(A∨B)∧(¬A)真真真假假真假真假假假真真真真假假假真假因为(A∨B)∧(¬A) 的取值既包含真也包含假,所以为偶然式逻辑等价当下⾯两种情况成⽴时, 陈述X和Y被认为是等价的两个陈述的真值表有相同的真值双条件陈述X⇔Y是永真式例: 证 ¬(A∨B)and[(¬A)∧(¬B)] 是等价的⽤第⼀种⽅法测试(⽐较真值表)A B A∨B¬(A∨B)¬A¬B[(¬A)∧(¬B)]真真真假假假假真假真假假真假假真真假真假假假假假真假假真¬(A∨B)and[(¬A)∧(¬B)]的真值表相同,因此陈述是等价的⽤第⼆种⽅法测试(双向条件)A B¬(A∨B)[(¬A)∧(¬B)]¬(A∨B)⇔[(¬A)∧(¬B)]真真假假真真假假假真假真假假真假假真真真¬(A∨B)⇔[(¬A)∧(¬B)]是永真式,因此陈述是等价的否命题,逆命题和逆否命题蕴含→也被叫做条件陈述, 它包含两个部分假设,p结论,q就像之前说过的, 它被记做p→q条件陈述的例⼦ - "如果你做了作业,你就不会被惩罚",中"你做作业"是假设p,"你不会被惩罚"是结论q否命题 - 条件陈述的否命题是将假设和结论中的陈述同时取反, 如果陈述是如果p,那么q, 否命题就是 "如果⾮p,那么⾮q". 因此p→q的否命题是 ¬p→¬q例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的否命题是"如果你不做作业,你就会被惩罚"逆命题 - 条件陈述的逆命题是将原陈述的假设和结论交换, 如果陈述是如果p,那么q, 逆命题就是 "如果q,那么p". 因此p→q的逆命题是q→p例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆命题是"如果你没有被惩罚,你做了你的作业"逆否命题 - 条件陈述的逆否命题是将原陈述的假设和结论取⾮后交换, 如果陈述是如果p,那么q, 逆命题就是 "如果⾮q,那么⾮p". 因此p→q的逆命题是 ¬q→¬p例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆否命题是"如果你被惩罚了,那么你没有做你的作业"对偶原则对偶原则是当陈述为真时,将其中的交集换成补集,补集换成交集,全集换成空集,空集换成全集,得到它的对偶陈述, 那么它的对偶陈述也为真. 如果⼀个陈述的对偶陈述为本⾝,那么他就是对称陈述.例: (A∩B)∪C的对偶是 (A∪B)∩C逻辑范式我们可将所有命题转换为两种标准形式合取范式析取范式合取范式如果复合陈述中所有的或操作(包括⾮运算)都由与来连接,则被称为合取范式. 在集合中,复合陈述中的并集要通过交集来连接.例:(A∨B)∧(A∨C)∧(B∨C∨D)(P∪Q)∩(Q∪R)析取范式如果复合陈述中所有的与操作(包括⾮运算)都由或来连接,则被称为析取范式. 在集合中,复合陈述中的交集要通过并集来连接.例:(A∧B)∨(A∧C)∨(B∧C∧D)(P∩Q)∪(Q∩R)谓词逻辑谓词逻辑处理谓词, 谓词是包含变量的命题.定义谓词是⼀个或多个定义在特定域中的变量表达式. ⼀个带有变量的命题可以通过为变量赋值或量化变量来变成命题.下⾯是⼀些谓词的例⼦设E(x,y), 表⽰"x=y"设X(a,b,c), 表⽰"a+b+c=0"设M(x,y), 表⽰"x嫁给了y"合式公式命题下⾯的条件就被叫做合式公式(wwf)所有的命题变量和命题常量都是合式公式如果x是⼀个变量Y是⼀个合式公式, ∀xY和∃xY也是合式公式真和假是合式公式所有原⼦公式是合式公式由连接词连接的合式公式也是合式公式量词谓词中的变量由量词来量化, 谓词逻辑中的量词有两种-全称量词和存在量词全称量词全称量词描述了在特定域中不论特定变量取何值陈述都为真, 符号表⽰为∀∀xP(x) 读作对于x的任意取值,P(x)都为真例: "男⼈是⼈"可以被写成谓词形式∀xP(x), 其中P(x)是谓词表⽰x是⼈, 并且论述的全集是男⼈集合.存在量词存在量词描述了在特定域中特定变量有取值使得陈述都真, 符号表⽰为∃∃xP(x) 读作对于x的某些取值,P(x)都为真例: "有些⼈不诚实" 可以被写成谓词形式∃xP(x), 其中P(x)是谓词表⽰x不诚实, 并且论述的全集是某些⼈的集合.嵌套量词如果在⼀个量词的域内使⽤了另⼀个量词, 则叫做嵌套量词例:∀a∃bP(x,y)其中P(a,b)表⽰a+b=0∀a∀b∀cP(a,b,c)其中P(a,b,c)表⽰a+(b+c)=(a+b)+c注意: ∀a∃bP(x,y)≠∃a∀bP(x,y)推理规则为了从已知真值的陈述推论出新的陈述的真值需要使⽤推理规则推理逻辑做什么?数理逻辑通常⽤来做逻辑证明, 证明是决定数学陈述的真值的有效推论推论是⼀系列的陈述, 最后⼀个陈述是前⾯所有陈述语句的结论,前⾯的陈述叫做前提或假设. 将符号∴(因此)放在结论前. ⼀个有效的推论是从前⾯所有前提的真值中正确推理出的. 推理规则提供了从已知陈述构建出有效推论的模板和⼤纲推理规则表推理规则名字推理规则名字\begin{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}析取引⼊\begin{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}析取消去/析取三段论\begin{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q\end{matrix}合取引⼊\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ Q\rightarrow R \\ \hline \therefore P\rightarrow R\end{matrix}假⾔三段论\begin{matrix} P \land Q \\ \hline \therefore P \end{matrix}合取简化\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\\hline \therefore Q \lor S \end{matrix}⼆难论证复杂构成式/构造性⼆难\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}分离论证\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor\lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}⼆难论证复杂破坏式/破坏性⼆难\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}逆分离论证析取引⼊将P作为前提,我们可以析取引⼊P \lor Q\begin{matrix} P \\ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}例: 设命题P"他学习很努⼒"为真.因此 - "要么他学习很努⼒要么他是⼀个坏学⽣". 其中Q是命题"他是⼀个坏学⽣"合取引⼊如果P和Q作为前提, 我们可以合取引⼊P \land Q\begin{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q\end{matrix}例: 设P-"他学习很努⼒", Q-"他是班级⾥最好的⼈"因此 - "他学习很努⼒,也是班级中最好的⼈"合取简化让P \land Q 作为前提, 可以合取简化出P\begin{matrix} P \land Q \\ \hline \therefore P \end{matrix}例: "他学习很努⼒,也是班级中最好的⼈", P \land Q因此 - "他学习很努⼒"分离论证如有P和P \rightarrow Q两个前提, 我们可以分离论证出Q\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}例: "如果你有密码,你就可以登录qq", P\rightarrow Q"你有密码", P因此 - "你可以登录qq"逆分离论证如有P\rightarrow Q 和 \lnot Q两个前提, 我们可以逆分离论证出\lnot P\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ \lnot Q \\ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}例: "如果你有密码,你就可以登录qq",P \rightarrow Q"你没法登录进QQ", \lnot Q因此 - "你没有密码"析取消去/析取三段论如有\lnot P 和 P \lor Q两个前提, 我们可以析取消去出Q\begin{matrix} P \lor Q \\ \lnot P \\ \hline \therefore Q \end{matrix}例: "冰淇淋不是草莓味的", \lnot P"冰淇淋要么是草莓味要么是巧克⼒味" P \lor Q因此 - "冰淇淋是巧克⼒味的"假⾔三段论如有P \rightarrow Q 和 Q \rightarrow R两个前提, 根据假⾔三段论可得P \rightarrow R\begin{matrix} P \rightarrow Q \\ Q\rightarrow R \\ \hline \therefore P \rightarrow R\end{matrix}例: "如果下⾬我就不去学校了", P \rightarrow Q"如果我不去学校我就不⽤做作业" Q \rightarrow R因此 - "如果下⾬我就不⽤做作业了"构造性⼆难如有(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) 和 P \lor R两个前提, 根据构造性⼆难可得Q \lor S\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}例: "如果下⾬我就休息⼀下", P \rightarrow Q"如果外⾯很热我就洗个澡" R \rightarrow S"外⾯要么下⾬要么很热" P \lor R因此 - "我要么休息⼀下要么洗个澡"破坏性⼆难如有(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) 和 \lnot Q \lor \lnot S两个前提, 根据构造性⼆难可得\lnot P \lor \lnot R\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \\ \lnot Q \lor \lnot S \\ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}例: "如果下⾬我就休息⼀下", P \rightarrow Q"如果外⾯很热我就洗个澡" R \rightarrow S"要么我不会休息,要么我不去洗澡" \lnot Q \lor \lnot S因此 - "外⾯要么没有下⾬,要么不是很热"Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
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前提
推理规则
推理
结论
本节内容：从逻辑推理的角度来理解命题演算
.
2
推理的例子：设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1.
如果x是偶数, 则x2是偶数。
x是偶数。
前提
x2是偶数。 ------------- 结论
例2.
如果x是偶数, 则x2是偶数。
x2是偶数。 P Q
x是偶数。 P Q P Q
常用的推理规则
1) 恒等式(E1~E24) 2) 永真蕴含式(I1~I8,表1.5-1) 3) 替换规则，代入规则 4) P规则和T规则
P规则：(前提引入)
在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T规则：(结论引用)
在推导任何步骤上所得结论都可以作为后继证明的前提。
.
6
1.5-1
表 常 用 推 理 规 则
Q
√
P
× x 2
四个例子的推理是否正确？
例3.
例4.
如果x是偶数, 则x2是偶数。所用依据如是果什x是么偶？数, 则x2是偶数。
x不是偶数。
x2不是偶数。
x2不是偶数。
x不是偶数。
P Q P Q
× x 2
.
P Q
Q
√
P
3
1、推理和推理规则
刚才的例子表明了研究推理规则的重要性。 推理规则：正确推理的依据。
是重言式
iff (Q ¬ H1) (Q ¬ H2) … (Q ¬ Hn)
是重言式
iff (¬ Q → ¬ H1) (¬ Q → ¬ H2) … (¬ Q → ¬ Hn) 是重言式
若至少有一个i，使得 使 ¬ Q ¬Hi, 则原恒等式成立。
.
12
6. 证明方法
6. CP规则（演绎定理）
P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)形式命题的证明
任何一条永真蕴含式都可以作为一条推理规则。
例：析取三段论： P(PQ ) Q 如果，P：他在钓鱼，Q：他在下棋
前提：他在钓鱼或下棋； 他不在钓鱼
结论：所以他在下棋
PQ P 所以 Q
.
4
1、推理和推理规则
定义1：若H1∧H2∧ …∧Hn C, 则称C是H1, H2, …, Hn的 有效结论。 特别若A B, 则称B是A的有效结论，或从A推出B。
对有限的或特殊的情况, 它们常常是重要的。
.
10
3. 证明方法
3).直接证明法
H1∧H2∧ …∧Hn C，由前提利用推理规则直接推出C。
例2：证明
CD, C→R, D→S RS
证： (1) CD (2) ¬( ¬ C) D
(3) ¬ C → D (4) D → S (5) ¬ C→ S (6) C →R (7) ¬ R→¬C
第四讲
推理规则和证明方法
讲授内容： 1.推理和推理规则
推理 推理规则 两规则 替换规则
2. 证明方法
直接证明方法 CP规则 反证法
讲授重点：推理规则，直接证明方法与CP规则 讲授难点：直接证明方法，CP规则与反证法
.
1
1.推理和推理规则
什么是推理？
推理:从前提推出结论的思维过程。 前提:指已知的命题公式。 结论:从前提出发，应用推理规则推出的命题公式。
注意： • 不考虑前提的真假，推理正确≠结论为真。 • 结论的真假 取决于 前提H1∧H2∧ …∧Hn的真假。
前提为真，则结论为真； 前提为假，则结论可真可假。 • 因此，定义中只说C 是H1, H2, …, Hn 的有效结论而不说是正确结 论。“有效”是指结论的推出合乎推理规则。
.
5
1、推理和推理规则
证： P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
即证 P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P Q
因为 P1∧P2∧ …∧Pn P→Q
iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q) iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn )(¬ P Q) iff ¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn ¬ P ) Q iff ¬ (P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P) Q iff P1∧P2∧ …∧Pn ∧ P → Q iff P1∧P2∧ …∧Pn →( P→Q)
即证
P→Q，R→ ¬ Q，R ¬ P
证： 步骤 断言(真)
根据
（1）
R
P
（2） R→ ¬ Q
P
（3） （4）
¬Q P→Q
T,(1),(2),I3 P
（5） ¬ P
T,(3),(4),I4
.
9
3. 证明方法
1). 无义证明法
证明 P Q为真，只需证明P为假。
2). 平凡证明法 证明 P Q为真，只需证明Q为真。 无义证明法和平凡证明法应用的次数较少, 但
因为P Q iff P→Q永真 iff ¬ Q → ¬P永真
iff ¬Q ¬P
5). (H1∧H2∧ …∧Hn) Q形式命题的证明
H1∧H2∧ …∧Hn Q
iff H1∧H2∧ …∧Hn →Q
是重言式
iff ¬ (H1∧H2∧ …∧Hn )Q
是重言式
iff ¬ H1 ¬ H2 … ¬ Hn Q
P
T,(1),(2),I5 P
T,(3),(4),I3 P
T,(5),(6),I3 CP规则
.
14
3. 证明方法
7.分情况证明
证明 P1 P2 … Pn Q ， 只需证明对每一i，Pi → Q成立。
因为 P1 P2 … Pn Q iff P1 P2 … Pn → Q iff ¬(P1 P2 … Pn) Q iff (¬P1 ¬P2 … ¬Pn) Q iff ( ¬P1 Q) ( ¬P2 Q) … ( ¬Pn Q) iff (P1 → Q ) (P2 → Q ) (Pn → Q )
永真 永真 永真 永真 永真 永真
.
13
3. 证明方法
利用CP规则证明以下例题
例3：证A →(B → C)， ¬ D A，B D → C
证： (1) D (2) ¬ D A (3) A (4) A →(B → C) (5) B → C (6) B (7) C (8) D → C
P（附加前提）
.
7
永真蕴含式
.
8
运用推理规则形式化证明
例1：考虑下述论证: 1. 如果这里有球赛, 则通行是困难的。 2. 如果他们按时到达, 则通行是不困难的。 3. 他们按时到达了。 4. 所以这里没有球赛。 前 3 个断言是前提, 最后1个断言是结论, 要求我们从前提推出结论。
设P: 这里有球赛, Q: 通行是困难的, R: 他们按时到达。
P
T,(1),E1 T,(2),E14 P T,(3),(4),I6 P T,(6),E24
(8) ¬ R→ S
(9) ¬( ¬ R)S
(10) R S
T,(5),(7),I6
T,(8),E14 T, (9), E1
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Байду номын сангаас
3. 证明方法
4). 间接证明法-（对原命题的逆否命题进行证明）
证P Q只需证¬Q ¬P