第八章资产组合理论
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资产组合的理论与应用
资产组合与投资选择
资产组合与投资选择
无风险资产与风险资产同时存在时的效率前 沿
一条通过无风险收益率Rf与风险资产组合效率 前沿相切的直线。
这条直线称为资本市场线（Capital Market Line,缩写为CML）。
其表达公式为：
E(Rp)
Rf
E(RM ) R f
M
p
资产组合与投资选择
• CML线的推导
资产组合与投资选择
E(R)
Rf σ
资产组合与投资选择
分离原理： 投资者对风险资产组合构成的投资选择与 其风险偏好是不相关的。投资者的投资选择 分为两步：
• 第一步：选择市场组合，这时不考虑自身 的风险偏好。
• 第二步：根据自身的风险偏好在自己的投 资组合中选择市场资产组合与无风险资产的 比例。
资产组合与投资选择
非系统风险，又称个别风险。只与个别 资产（企业）或少数资产（企业）自身 的状况相联系，是由每项资产自身的经 营状况和财务状况决定的，可通过多项 资产的组合加以分散。 非系统风险可进一步分解为经营风险和 财务风险，经营风险又可分解为外部原 因和内部原因。
系统风险与非系统风险
系统风险，又称市场风险。是由整个经 济系统的运行状况决定的，是经济系统 中各项资产相互影响，共同运动的总体 结果，无法通过多项资产的组合来分散。
• 投资者按照投资的期望收益和风险状况 进行投资决策，即投资者的效用函数是 投资期望收益和风险的函数；
资产组合理论的基本假设（续）：
• 投资者是理性的，即给定一定的风险水 平，投资者将选择期望收益最高的造成 或资产组合，给定一定的期望收益，投 资者将选择风险最低的资产或资产组合；
• 人们可以按照相同的无风险利率R借入 借出资金；
现代资产组合理论
基于布朗运动的对数正态随机漫步理论，逐渐成为金融市场研究的经典框架，也为之后量化金融的发展奠定 了基础。
现代资产组合
现代资产组合理论是由美国纽约市立大学巴鲁克学院的经济学教授马柯维茨提出的。 1952年3月马柯维茨 在《金融杂志》发表了题为《资产组合的选择》的论文，将概率论和线性代数的方法应用于证券投资组合的研究， 探讨了不同类别的、运动方向各异的证券之间的内在相关性，并于1959年出版了《证券组合选择》一书，详细论 述了证券组合的基本原理，从而为现代西方证券投资理论奠定了基础。
虽然分散投资可以降低个别风险，但是首先，有些风险是与其他或所有证券的风险具有相关性，在风险以相 似方式影响市场上的所有证券时，所有证券都会做出类似的反应，因此投资证券组合并不能规避整个系统的风险。
其次，即使分散投资也未必是投资在数家不同公司的股票上，而是可能分散在股票、债券、房地产等多方面。
再次，未必每位投资者都会采取分散投资的方式，因此，在实践中风险分散并非总是完全有效。
现代资产组合理论
经济学术语
目录
01 金融投资理论
03 马柯维茨原理
02 现代资产组合 04 具体内容
现代资产组合理论，也有人将其称为现代证券投资组合理论、证券组合理论或投资分散理论。
人类对于股市波动逻辑的认知，是一个极具挑战性的世界级难题。迄今为止，尚没有任何一种理论和方法能 够令人信服并且经得起时间检验——2000年，著名经济学家罗伯特·席勒在《非理性繁荣》一书中指出：“我们 应当牢记，股市定价并未形成一门完美的科学”；2013年，瑞典皇家科学院在授予罗伯特·席勒等人该年度诺贝 尔经济学奖时指出：几乎没什么方法能准确预测未来几天或几周股市债市的走向，但也许可以通过研究对三年以 上的价格进行预测。
现代资产组合
现代资产组合理论是由美国纽约市立大学巴鲁克学院的经济学教授马柯维茨提出的。 1952年3月马柯维茨 在《金融杂志》发表了题为《资产组合的选择》的论文，将概率论和线性代数的方法应用于证券投资组合的研究， 探讨了不同类别的、运动方向各异的证券之间的内在相关性，并于1959年出版了《证券组合选择》一书，详细论 述了证券组合的基本原理，从而为现代西方证券投资理论奠定了基础。
虽然分散投资可以降低个别风险，但是首先，有些风险是与其他或所有证券的风险具有相关性，在风险以相 似方式影响市场上的所有证券时，所有证券都会做出类似的反应，因此投资证券组合并不能规避整个系统的风险。
其次，即使分散投资也未必是投资在数家不同公司的股票上，而是可能分散在股票、债券、房地产等多方面。
再次，未必每位投资者都会采取分散投资的方式，因此，在实践中风险分散并非总是完全有效。
现代资产组合理论
经济学术语
目录
01 金融投资理论
03 马柯维茨原理
02 现代资产组合 04 具体内容
现代资产组合理论，也有人将其称为现代证券投资组合理论、证券组合理论或投资分散理论。
人类对于股市波动逻辑的认知，是一个极具挑战性的世界级难题。迄今为止，尚没有任何一种理论和方法能 够令人信服并且经得起时间检验——2000年，著名经济学家罗伯特·席勒在《非理性繁荣》一书中指出：“我们 应当牢记，股市定价并未形成一门完美的科学”；2013年，瑞典皇家科学院在授予罗伯特·席勒等人该年度诺贝 尔经济学奖时指出：几乎没什么方法能准确预测未来几天或几周股市债市的走向，但也许可以通过研究对三年以 上的价格进行预测。
资产组合理论(修改版)
投资学资产组合理论&资本资产定价模型Modern Portfolio Theory &CapitalAsset Pricing Model一、金融理论框架•莫迪里亚尼-米勒定理-MM Model•马克维茨资产组合理论，Modern Portfolio Theory –MPT•资本资产定价模型，Capital Asset Pricing Model –CAPM•套利定价模型, Arbitrage Pricing Theory –APT •单因素定价模型，Single Index Model –SIM •多因素定价模型，Factor Model –FM•有效市场假说，Effective Market Hypothesis –EMH•期权定价模型,Black-Scholes Model –B-S Model二、Key Concepts 重点掌握1.Risk and Risk Aversion（风险和风险厌恶）2.Understand the Efficient Frontier（有效前沿）3.Understand the derivation of CAPM(CAPM的推导)4.Security Market Line（证券市场线）&Capital Market Line （资本市场线）三、Chapter Outline 内容概览•Optimal Choice between Two Risky Asset（两种风险资产下的最优选择）•Efficient Frontier（有效前沿）•Market with Risk-free Asset（存在无风险资产的市场）•Capital Market Line（资本市场线）•Separation Principle（分离原则）•Capital Asset Pricing Model & Security Market Line（资本资产定价模型&证券市场线）风险资产配置（Allocation to Risky Assets）•投资者一般会规避风险除非风险意味着更高的收益。
资产组合理论
资产组合理论投资组合理论⼀、资产组合理论简介资产组合理论是与投资问题紧密联系在⼀起的，所以也被称为投资组合理论。
该理论产⽣于上世纪50年代，是财务学家们在探索如何定量风险、选择最佳资产组合以分散和控制风险的道路上逐步发展起来的。
资产组合理论学派的代表⼈物包括马克维兹、威廉·夏普、斯蒂芬·罗斯等。
其中马克维兹分别于1952和1959年发表了《资产组合选择》的论⽂和《组合选择》的专著，论述了投资收益率的⽅差确定⽅法和风险资产组合模型，成为资产组合理论学派的创始⼈。
威廉·夏普在马克维兹理论的基础上于1964年建⽴了著名的CAPM模型，并与1990年与马克维兹分享了第22界诺贝尔经济学奖。
斯蒂芬·罗斯于1976发表了题为《资本资产定价套利理论》的论⽂，对CAPM模型提出极⼤的挑战。
另外，该学派的理论还包括了单指数模型和多因素模型。
⼆、⼏个前提性概念1、风险厌恶和效⽤价值由于⼈们对风险的偏好程度不同，可以将投资者分为三类，即风险厌恶者、风险中性者和风险爱好者。
我们可以使⽤效⽤函数度量投资者对收益和风险的偏好：U ＝E（r）－0.005Aσ2其中E(r)为期望收益，σ2为收益⽅差，A为风险厌恶系数，其取值区间为（－∞，＋∞）数值越⼤，投资者的风险厌恶程度越⾼，当A＝0时，即为风险中性者。
在资产组合理论中，假设所有投资者都为风险厌恶者，因此投资者的效⽤值与期望收益呈正向变化，与风险和风险厌恶系数呈反向变化，所以其效⽤函数可以⽤下图表⽰：2、资本配置线和酬报与波动性⽐率在包括了⼀个风险资产和⼀个⽆风险资产的资产组合中，其期望收益和标准差可以⽤下式表⽰：E （r c ）＝wpE （r p ）＋（1－w p ）r f ＝r f ＋w p （E （r p ）－r f ）σc＝w pσp其中w p 为风险资产在组合中所占的⽐例，将以上两式结合可以得到： E （r c ）＝rf＋σσpc （E （r p ）－r f ）⽤图形表⽰如下：图中的直线就是资本配置线（CAL ），表⽰了投资者的所有的可⾏的风险收益组合。
资产组合理论
者在单一期间内以均值和方差标准来评价资产 和资产组合。该前提隐含证券收益率的正态分布 假设，正态分布的特性在于随机变量的变化规律 通过两个参数就可以完全确定，即期望值和方差 。
✓无交易成本，而且证券可以无限细分（即 证券可以 按任一单位进行交易）
✓资金全部用于 ，但不允许卖空；
✓证券间的相关系数都不是-1，不存在无风 险证券，而且至少有两个证券的预期收益 是不同的。
4、 者更偏好位于左上方的无差异曲线。 无差异曲线族：如果将满意程度一样的点连接
成线，则会形成无穷多条无差异曲线。
者更偏好位于左上方的无差异曲线。
5、不同的 者有不同类型的无差异曲线。
– – 风险厌恶型无差异曲线： – 由于一般 者都属于尽量回避风险者，因此我们主
要讨论风险厌恶型无差异曲线。
风险厌恶型无差异曲线
产2的标准差；w1为资产1在组合中的比重，(为：
(wrp1)= w1 +r1(1-w1) r2 （5.2）
当w1＝1时，则有σp=σ1，rp=r1
当w1＝0时，即有σp=σ2，rp=r2
因此，该可行集为连接（ 点的直线。如图。
，r1σ1）和（
，rσ2 2）两
E(rp)
（r1-,σ1）
（r2-,σ2） σp
则2.有如：果两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，
= p (w1)
w1212
(1
w1)2
2 2
2w1 (1
w1)1
2
w11 (1 w1) 2
和：(wr1p )=w1 +r1(1-w1) r2 当w1=σ2/(σ1+σ2)时，σp=0
当w1≥σ2/(σ1+σ2)时， σp(w1)=w1σ1-(1-w1)σ2,则可得到：W1=f(σp)
✓无交易成本，而且证券可以无限细分（即 证券可以 按任一单位进行交易）
✓资金全部用于 ，但不允许卖空；
✓证券间的相关系数都不是-1，不存在无风 险证券，而且至少有两个证券的预期收益 是不同的。
4、 者更偏好位于左上方的无差异曲线。 无差异曲线族：如果将满意程度一样的点连接
成线，则会形成无穷多条无差异曲线。
者更偏好位于左上方的无差异曲线。
5、不同的 者有不同类型的无差异曲线。
– – 风险厌恶型无差异曲线： – 由于一般 者都属于尽量回避风险者，因此我们主
要讨论风险厌恶型无差异曲线。
风险厌恶型无差异曲线
产2的标准差；w1为资产1在组合中的比重，(为：
(wrp1)= w1 +r1(1-w1) r2 （5.2）
当w1＝1时，则有σp=σ1，rp=r1
当w1＝0时，即有σp=σ2，rp=r2
因此，该可行集为连接（ 点的直线。如图。
，r1σ1）和（
，rσ2 2）两
E(rp)
（r1-,σ1）
（r2-,σ2） σp
则2.有如：果两种资产完全负相关，即ρ12 =-1，
= p (w1)
w1212
(1
w1)2
2 2
2w1 (1
w1)1
2
w11 (1 w1) 2
和：(wr1p )=w1 +r1(1-w1) r2 当w1=σ2/(σ1+σ2)时，σp=0
当w1≥σ2/(σ1+σ2)时， σp(w1)=w1σ1-(1-w1)σ2,则可得到：W1=f(σp)
第八章资产组合理论
因为资产组合的期望收益是资产组合中各组成证券的期望 收益的加权平均值，其标准差小于各组成资产标准差的加 权平均值。非完全相关资产组成的资产组合的风险-收益 机会总是优于资产组合中各个证券单独的风险-收益机会。 各资产之间的相关性越低，所得的有效性就越高。
资产组合的标准差能有多低呢？相关系数的最低 值为-1，表示完全负相关，此时，式( 8 - 5 )可简化 为
假设现在一个投资者希望从机会集合中选择一个最优的资 产组合，最优的资产组合与风险的厌恶有关。位于图8 - 5 中东北方向的资产组合收益高，但风险也高。最好的取舍 取决于个人的偏好。比较厌恶风险的投资者将愿意选择西 南方向的资产组合，这一资产组合的风险较低，期望收益 亦较低。
8.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
当共同的风险来源影响所有的公司时，即便是 最充分的分散化亦不能消除风险。在图8 - 1 b ) 中，资产组合的标准方差随着证券的增加而下 降，但是，它不能降至零。在最充分分散条件 下还保存的风险是市场风险（market risk）， 它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称 为系统风险（ systematic risk ） 或不可分散的 风险（n o n d i v e r s i f i a b l e r i s k）。相反， 那些可被分散化消除的风险被称为独特风险 （u n i q u er i s k）、特定企业风险（firmspecific risk）、非系统风险（nonsystematic risk） 或可分散风险（diversifiable risk）。
因此，另一种表示资产组合方差的方法 是：
总之，资产的方差是协方差的加权求和，权重为协方差项中的两资产的份额。
表8 - 2表示两个共同基金收益的方差矩 阵，在每一基金中是资产组合的投资权 重。这个矩阵提供了一个快速计算资产 组合方差的方法：斜方差矩阵中的每个 因子与行、列中的权重相乘，把四个结 果相加，就可以得出式( 8 - 4 )中给出的 资产组合方差。
资产组合的标准差能有多低呢？相关系数的最低 值为-1，表示完全负相关，此时，式( 8 - 5 )可简化 为
假设现在一个投资者希望从机会集合中选择一个最优的资 产组合，最优的资产组合与风险的厌恶有关。位于图8 - 5 中东北方向的资产组合收益高，但风险也高。最好的取舍 取决于个人的偏好。比较厌恶风险的投资者将愿意选择西 南方向的资产组合，这一资产组合的风险较低，期望收益 亦较低。
8.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
当共同的风险来源影响所有的公司时，即便是 最充分的分散化亦不能消除风险。在图8 - 1 b ) 中，资产组合的标准方差随着证券的增加而下 降，但是，它不能降至零。在最充分分散条件 下还保存的风险是市场风险（market risk）， 它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称 为系统风险（ systematic risk ） 或不可分散的 风险（n o n d i v e r s i f i a b l e r i s k）。相反， 那些可被分散化消除的风险被称为独特风险 （u n i q u er i s k）、特定企业风险（firmspecific risk）、非系统风险（nonsystematic risk） 或可分散风险（diversifiable risk）。
因此，另一种表示资产组合方差的方法 是：
总之，资产的方差是协方差的加权求和，权重为协方差项中的两资产的份额。
表8 - 2表示两个共同基金收益的方差矩 阵，在每一基金中是资产组合的投资权 重。这个矩阵提供了一个快速计算资产 组合方差的方法：斜方差矩阵中的每个 因子与行、列中的权重相乘，把四个结 果相加，就可以得出式( 8 - 4 )中给出的 资产组合方差。
公司金融第8章 资本结构1
37
MM命题II(无税)： 股东的期望收益率随财务杠杆上升。
MM认为权益的期望收益率与财务杠杆正 相关，因为权益持有者的风险随财务杠杆而 增加。
负债不影响营业风险，但会增加财务风险。
39
在没有税收的经济世界，rWACC必定总是等于r0。
对于杠杆企业，权益的期望收益率则表示为：
rS
r0
19
3.结论： 加权平均资本成本从下降变为上升的转
折点就是加权平均资本成本的最低点，这 时公司总价值上升，该负债比率就是公司 的最佳资本结构。 该理论承认，确实存在一个可以使公司 市场价值达到最大的最佳资本结构，他可 以通过财务杠杆的运用来获得。
20
21
对传统资本结构理论的总结：
以上三种理论的不同之处在于确定公司负债水平 和股本价值的假设条件不同，因而得出不同的结 论。
因此，企业价值和与财务杠杆无关。
练习：
G公司是一家电力公司，一直将所有的收益以股利 形式支付给股东。现计划建一个新发电厂，并通过新 的融资来筹集资金，目前公司没有债务。公司当前的 年收益为2700万元。新发电厂的投资支出为2000万元， 新增加的年收益为300万元。假设所有的盈利是永续性 的。当前股票的预期收益率是10%，不存在税收和破 产成本，且新发电厂的风险和现有资产的相同。 （1）若发行普通股融资，融资后公司的价值是多少? （2）若发行利率为8%的2000万元的债券进行融资， 融资后公司的价值又是多少?假设债券是永续性的。 （3）假定公司发行债券，在融资发生后及工厂建成后 股东的期望收益率是多少？
在图中的两类资本结构中，管理人员应选择较高价 值者。假设两个圆饼的总面积相同。支付较少税收 的资本结构价值最大。
我们将发现由于税收，圆饼图中杠杆企业的税负对 应的比例小于无杠杆企业税负对应的比例。因此， 管理者应选择高财务杠杆。
MM命题II(无税)： 股东的期望收益率随财务杠杆上升。
MM认为权益的期望收益率与财务杠杆正 相关，因为权益持有者的风险随财务杠杆而 增加。
负债不影响营业风险，但会增加财务风险。
39
在没有税收的经济世界，rWACC必定总是等于r0。
对于杠杆企业，权益的期望收益率则表示为：
rS
r0
19
3.结论： 加权平均资本成本从下降变为上升的转
折点就是加权平均资本成本的最低点，这 时公司总价值上升，该负债比率就是公司 的最佳资本结构。 该理论承认，确实存在一个可以使公司 市场价值达到最大的最佳资本结构，他可 以通过财务杠杆的运用来获得。
20
21
对传统资本结构理论的总结：
以上三种理论的不同之处在于确定公司负债水平 和股本价值的假设条件不同，因而得出不同的结 论。
因此，企业价值和与财务杠杆无关。
练习：
G公司是一家电力公司，一直将所有的收益以股利 形式支付给股东。现计划建一个新发电厂，并通过新 的融资来筹集资金，目前公司没有债务。公司当前的 年收益为2700万元。新发电厂的投资支出为2000万元， 新增加的年收益为300万元。假设所有的盈利是永续性 的。当前股票的预期收益率是10%，不存在税收和破 产成本，且新发电厂的风险和现有资产的相同。 （1）若发行普通股融资，融资后公司的价值是多少? （2）若发行利率为8%的2000万元的债券进行融资， 融资后公司的价值又是多少?假设债券是永续性的。 （3）假定公司发行债券，在融资发生后及工厂建成后 股东的期望收益率是多少？
在图中的两类资本结构中，管理人员应选择较高价 值者。假设两个圆饼的总面积相同。支付较少税收 的资本结构价值最大。
我们将发现由于税收，圆饼图中杠杆企业的税负对 应的比例小于无杠杆企业税负对应的比例。因此， 管理者应选择高财务杠杆。
投资学之资产组合理论
Markowitz（1952）提出“期望收益-收益方差” （expected return-variance of return）准则，认为 投资者在实际中按照这一法则进行投资。
其现实基础：
1、投资者的风险厌恶性
2、投资者的不满足性 其理论形式：均值-方差准则
Ra
R
b
且
2 a
2 b
Ra
Rb
且
2 a
二、有效集定理
投资者选择最优组合的原则： （1） 对于相同的风险水平，提供最大的预期回报
率； （2）对于相同的预期回报率，风险水平最小。
有效集定理应用于可行集便得到有效集。
可行集（feasible set）：又称机会集，代表一组证券 所形成的所有可能的组合。
可行集的特征：
1、若至少存在三种风险资产（不完全相关且均值不 同），可行集为一二维实心区域； 2、可行区域凸向左侧。
i
其中，n代表证券组合中所包含资产类别的数
量； ri 代表第 i 种资产的期望收益率；wi 代
表第 i 种资产的投资比重。
(二)资产组合的方差计算
1、直接法 n 2 pi [ri E(r)]2 i 1
2、间接法
2 p
wA2
2 A
wB2
2 B
2wAwB A,B
资产 A、B 以及三种组合的收益率
2
2
22
注
b：
1
2
0.0167
4
2
0.01167
2
1
4
0.00333
0.0086
5
5
55
注
c：
4
2
0.0167
1
2
其现实基础：
1、投资者的风险厌恶性
2、投资者的不满足性 其理论形式：均值-方差准则
Ra
R
b
且
2 a
2 b
Ra
Rb
且
2 a
二、有效集定理
投资者选择最优组合的原则： （1） 对于相同的风险水平，提供最大的预期回报
率； （2）对于相同的预期回报率，风险水平最小。
有效集定理应用于可行集便得到有效集。
可行集（feasible set）：又称机会集，代表一组证券 所形成的所有可能的组合。
可行集的特征：
1、若至少存在三种风险资产（不完全相关且均值不 同），可行集为一二维实心区域； 2、可行区域凸向左侧。
i
其中，n代表证券组合中所包含资产类别的数
量； ri 代表第 i 种资产的期望收益率；wi 代
表第 i 种资产的投资比重。
(二)资产组合的方差计算
1、直接法 n 2 pi [ri E(r)]2 i 1
2、间接法
2 p
wA2
2 A
wB2
2 B
2wAwB A,B
资产 A、B 以及三种组合的收益率
2
2
22
注
b：
1
2
0.0167
4
2
0.01167
2
1
4
0.00333
0.0086
5
5
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注
c：
4
2
0.0167
1
2
资产组合理论
可以为正数，也可以为负数。 其中xi可以为正数，也可以为负数。 这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解， 这个线性规划问题可以通过引入如下拉格朗日函数来求解，即：
对上式求偏导， (i=1， ……， 对上式求偏导，可以得到最优资产组合的权数xi(i=1，2，……， N)， N)，然后根据单个资产的收益和风险来计算出最优资产组合的 收益和风险。 收益和风险。
一、资产组合理论概述 资产组合理论概述
在马克维兹的理论模型中， 在马克维兹的理论模型中，以均值来代表证券 资产组合的预期收益， 资产组合的预期收益，以方差来代表证券资产 组合收益的变动性，即风险， 组合收益的变动性，即风险，投资者可以根据 原有单个资产的均值和方差， 原有单个资产的均值和方差，对证券资产组合 的收益和风险进行简化的分析。 的收益和风险进行简化的分析。 马克维兹认为所有的投资者均是风险厌恶者， 马克维兹认为所有的投资者均是风险厌恶者， 投资者的投资目标是在均值— 投资者的投资目标是在均值—方差空间中寻找 效用最大化的一点， 效用最大化的一点，并确定了投资者风险资产 组合的有效边界。 组合的有效边界。 他认为通过投资分散化， 他认为通过投资分散化，可以在不改变投资组 合预期收益的情况下降低风险， 合预期收益的情况下降低风险，也可以在不改 变投资组合风险的情况下增加收益。 变投资组合风险的情况下增加收益。
二、资产组合理论的基本模型 资产组合理论的基本模型
(二)马克维兹资产组合理论的基本模型 二 马克维兹资产组合理论的基本模型 允许约束条件变化的均值— 2、允许约束条件变化的均值—方差模型 纳入无风险资产的均值— (3) 纳入无风险资产的均值—方差模型
其中， 是无风险资产的收益率。 其中，rj是无风险资产的收益率。
资产组合理论
预期收益率
第i项资产的
投资组合权数
3、证券组合风险的计算
收益率的协方差(Covariance)： 衡量组合中一种资产相对于其它资产的风险，
记作Cov(RA, RB)或σAB
协方差>0，该资产与其它资产的收益率正相关 协方差<0，该资产与其它资产的收益率负相关
AB pi RAi ERA RBi ERB
能得到的所有证券组合的集合。 （三）有效组合的决定
有效边界上的所有组合都是有 效组合。
ρAB取不同值时投资组合的机会集
收益 E(Rp)
20
ρ= -1ρ= 0ρ= -0.51410 B
A
ρ= 0.5 ρ= 1
10
15
风险 σp
1
（三）多种资产组合的有效集
三种资产组合的收益-风险的1,000对 可能组合之模拟
标准差 σ
15% 10%
相关系数 ρAB +0.5
组合 wA wB E(RP) σP
1 0.0 1.0 10.0% 10.0%
2 0.2 0.8 12.0% 9.8%
3 0.4 0.6 14.0% 10.4%
4
5
0.6 0.8
0.4 0.2
16.0% 18.0%
11.5% 13.1%
6 1.0 0.0 20.0% 15.0%
（二）单项资产的收益和风险
1、单项资产的收益 单项资产的预期收益率 (expected return)
n
ER 或 R Ri pi i 1
2、单项资产的风险 单项资产收益率的方差(variance)/标准差 (standard deviation)
n
2或Var(R) pi Ri ER2 i 1
第i项资产的
投资组合权数
3、证券组合风险的计算
收益率的协方差(Covariance)： 衡量组合中一种资产相对于其它资产的风险，
记作Cov(RA, RB)或σAB
协方差>0，该资产与其它资产的收益率正相关 协方差<0，该资产与其它资产的收益率负相关
AB pi RAi ERA RBi ERB
能得到的所有证券组合的集合。 （三）有效组合的决定
有效边界上的所有组合都是有 效组合。
ρAB取不同值时投资组合的机会集
收益 E(Rp)
20
ρ= -1ρ= 0ρ= -0.51410 B
A
ρ= 0.5 ρ= 1
10
15
风险 σp
1
（三）多种资产组合的有效集
三种资产组合的收益-风险的1,000对 可能组合之模拟
标准差 σ
15% 10%
相关系数 ρAB +0.5
组合 wA wB E(RP) σP
1 0.0 1.0 10.0% 10.0%
2 0.2 0.8 12.0% 9.8%
3 0.4 0.6 14.0% 10.4%
4
5
0.6 0.8
0.4 0.2
16.0% 18.0%
11.5% 13.1%
6 1.0 0.0 20.0% 15.0%
（二）单项资产的收益和风险
1、单项资产的收益 单项资产的预期收益率 (expected return)
n
ER 或 R Ri pi i 1
2、单项资产的风险 单项资产收益率的方差(variance)/标准差 (standard deviation)
n
2或Var(R) pi Ri ER2 i 1
补充——9章资产组合理论
概率 股票A的收益率 股票B的收益率
E(rA)=10.5%
E(rB)=6%
Cov(rA, rB)=0.5(25-10.5)(1-6)+
0.3(10-10.5)(-5-6)+
0.2(-25-10.5)(35-6) =-240.5
协方差的简单性质：
COV X , X D X COV X , Y COV Y , X COV aX , bY abCOV X , Y
σ c =yσ
p
=22%y
直线 FP 的斜率为= 截距为= rf
E rp rf
p
直线 FP 的方程为：
E r rf
E rp rf
p
可以证明，(E(rc), σ c)对应的点都在直线 FP上（见下页）。
因此有：
E rc rf c
E rp rf
（二）资产组合的风险
1、一个风险资产与一个无风险资产相组合 规则2：一个风险资产与一个无风险资产相组合时， 资产组合的标准差等于风险资产的标准差乘以该资产的 投资比例。 例： 投资于国库券的收益率为5%,标准差为0； 投资于股票A的收益率为10%,标准差为8%。 一样投资一半时，资产组合的标准差 =0.5*8%=4% 前者投资80%，后者投资20%时，资产组合的标准差 =0.2*8%=1.6%
j 1 i 1
n
n
资产组合
w1
w1
w2
Cov(r1, r2) …
wn
Cov(r1, rn)
Cov(r1, r1)
w2
Cov(r2, r1) Cov(r2, r2)
…
Cov(r2, rn)
资产组合理论
资产组合选择理论的中心论点：理性的投资 者会将其拥有的财富，按照收益与风险的权 衡，配置于各种可供选择的资产上。
W M N p e Fp
式中，W、M、 Np、e、 Fp分别表示私人部门 持有的财富净额、本国货币、本国证券、汇 率（以本币表示的外币价格）和国外资产。 需要进一步说明的是： 私人部门持有的各种资产形式是以其净资产 额（资产与负债的差额）来表示的。 进一步来看，M是中央银行通过向私人部门 买卖N和F来控制的。
它将汇率波动完全归因于货币市场的失衡，而否 认商品市场上的实际冲击对汇率的影响，未免有 失偏颇。 它假定国内外资产具有完全的替代性。事实上， 由于交易成本、赋税待遇和各种风险的不同，各 国资产之间的替代性远远还没有达到可视为一种 资产的程度。
汇率的资产组合平衡模式 （Portfolio Balance Model of Exchange Rate）
我们看一看资产市场的各种失衡是如何影响 汇率变动 ： + + + - +
e e(i f , N , M , F , e)
但这一模式也存在一些不足：商品市场的失 衡如何影响汇率，没有纳入其分析中；它用 财富总额代替收入作为影响资产组合的因素， 而又没有说明实际收入对财富总额的影响。
主要贡献
现代资产组合理论最初是由美国经济学家哈里· 马科维茨 （Markowits）于 1952年创立的，他认为最佳投资组合应当是 具有风险厌恶特征的投资者的无差异曲线和资产的有效边界 线的交点。 威廉· 夏普（Sharpe）则在其基础上提出的单指数模型，并提 出以对角线模式来简化方差－协方差矩阵中的非对角线元素。 他据此建立了资本资产定价模型(CAPM)，指出无风险资产收 益率与有效率风险资产组合收益率之间的连线代表了各种风 险偏好的投资者组合。 根据上述理论，投资者在追求收益和厌恶风险的驱动下，会 根据组合风险收益的变化调整资产组合的构成，进而会影响 到市场均衡价格的形成。
资产组合理论和模型(知识点详细归纳)精华篇
一、资产组合管理概述1．资产组合的含义和类型（1）资产组合的含义资产组合是指个人或机构投资者所持有的各种资产的总称，通常包括各种类型的债券、股票及存款单等。
投资者构建资产组合的原因主要有：①降低风险；②实现收益最大化。
（2）资产组合的类型资产组合的分类通常以组合的投资目标为标准。
资产组合按不同标准可以分为避税型、收入型、增长型、收入和增长混合型、货币市场型、国际型及指数化型等。
2．资产组合管理的基本步骤（1）确定资产投资政策；（2）进行资产投资分析；（3）组建资产投资组合；（4）投资组合的修正；（5）投资组合业绩评估。
3．现代资产组合理论体系的形成与发展1952年哈里·马柯威茨发表了一篇题为《证券组合选择》的论文。
这篇著名的论文标志着现代证券组合理论的开端。
1963年，马柯威茨的学生威廉·夏普提出了一种简化的计算方法。
这一方法通过建立“单因素模型”来实现，在此基础上后来发展出“多因素模型”，以图对实际有更精确的近似。
夏普、特雷诺和詹森三人分别于1964年、1965年和1966年提出了著名的资本资产定价模型（CAPM）。
1976年，史蒂夫·罗斯突破性地发展了资本资产定价模型，提出套利定价理论（APT）。
二、资产组合的理论与应用1．资产组合理论的基本假设（1）期望收益假设，期望收益是指未来一段时间内各种可能收益值的统计平均；（2）单项资产和资产组合的风险由其收益（率）的方差或标准差表示；（3）投资者按照投资的期望收益和风险状况进行投资决策，即投资者的效用函数是投资期望收益和风险的函数；（4）投资者是理性的，即给定一定的风险水平，投资者将选择期望收益最高的资产或资产组合，给定一定的期望收益，投资者将选择风险最低的资产或资产组合；（5）人们可以按照相同的无风险利率R来借入资金或借出资金；（6）没有政府税收和资产交易成本。
2．资产组合的风险与收益（1）两项资产构成的资产组合的风险与收益期望收益：方差：（2）资产组合的风险与收益组合的期望收益与两项资产间的相关系数无关，而组合的标准差则依赖于两项资产间的相关系数。
大学教育-证券投资学-第八章 资产组合理论
一、无风险资产 二、允许无风险贷出 三、允许无风险借入 四、允许无风险借贷
第八章 资产组合理论
17
一、无风险资产
概念：
– 所谓的无风险资产，是指投资于该资产的收益率是
确定的、没有风险的。 – 通常，我们认为国债没有信用风险。投资于零息国 债，并持有到期，其收益率是确定的。
含义：
– 既然无风险资产的收益率是确定的，因此其收益率
允许无风险借入情况下的资产组合
– 无风险借入投资于一项风险资产
组合的可行区域是一条延长线，参见前例 – 无风险借入投资于多项风险资产 将多项风险资产看成一个组合，然后再与无风险资产进行 组合。
第八章 资产组合理论
23
无风险借入对有效边界的影响
无风险借入投资于一项风险资产
– 有效边界就是可行区域
借入资金投资于风险资产。
允许无风险借贷对有效边界的影响：
– 无风险借入与一项风险资产的组合
有效边界就是可行区域，是一条从无风险收益率经过风险 收益率的射线 有效边界是从无风险收益率经过切点的射线
– 无风险借入与多项风险资产的组合
对最优组合选择的影响
– 参见图8.4
第八章 资产组合理论 25
无风险借贷对有效边界的影响
的标准差为零。 – 由此可以推出，一项无风险资产的收益率与一项风 险资产的收益率之间的协方差为零。 – 由于无风险资产的收益率是确定的，与任何风险资 产的收益率无关，因此它们之间的相关系数为零。
第八章 资产组合理论 18
二、允许无风险贷出
无风险贷出
– 所谓无风险贷出，是指投资者对无风险资产的投资。
第八章 资产组合理论
17
一、无风险资产
概念：
– 所谓的无风险资产，是指投资于该资产的收益率是
确定的、没有风险的。 – 通常，我们认为国债没有信用风险。投资于零息国 债，并持有到期，其收益率是确定的。
含义：
– 既然无风险资产的收益率是确定的，因此其收益率
允许无风险借入情况下的资产组合
– 无风险借入投资于一项风险资产
组合的可行区域是一条延长线，参见前例 – 无风险借入投资于多项风险资产 将多项风险资产看成一个组合，然后再与无风险资产进行 组合。
第八章 资产组合理论
23
无风险借入对有效边界的影响
无风险借入投资于一项风险资产
– 有效边界就是可行区域
借入资金投资于风险资产。
允许无风险借贷对有效边界的影响：
– 无风险借入与一项风险资产的组合
有效边界就是可行区域，是一条从无风险收益率经过风险 收益率的射线 有效边界是从无风险收益率经过切点的射线
– 无风险借入与多项风险资产的组合
对最优组合选择的影响
– 参见图8.4
第八章 资产组合理论 25
无风险借贷对有效边界的影响
的标准差为零。 – 由此可以推出，一项无风险资产的收益率与一项风 险资产的收益率之间的协方差为零。 – 由于无风险资产的收益率是确定的，与任何风险资 产的收益率无关，因此它们之间的相关系数为零。
第八章 资产组合理论 18
二、允许无风险贷出
无风险贷出
– 所谓无风险贷出，是指投资者对无风险资产的投资。
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在上一章中，我们考虑了最简单的资产配置决策，从无风 险的货币市场证券资产组合到有风险的证券资产组合。下 面我们将进一步分析，着重分析包含股票与债券基金的风 险资产组合。我们仍要说明投资者是如何在股票与债券市 场进行资金配置及构造风险资产组合的。这也是一种资产 配置决策。正如专栏8 - 2所述，大部分投资专家认识到 “真正重要的决策是如何在股票、债券和安全性最好的国 库券中分配你的资金”。
如果我们的资产组合中的风险资产仍然 是债券基金与股票基金，但是，现在我 们也投资于年收益率为5%的无风险的国 库券，那会发生什么情况呢？我们从图 解开始，图8 - 6显示了根据表8 - 1计算出 的股票基金与债券基金的联合概率分布 的机会集合。
两条可能的资本配置线（ C A L）从无风险 利率（ rf＝5%）连到两种可行的资产组合。
8.2 两种风险资产的资产组合
在上一节我们考虑了几种证券等权重的分散资 产组合。现在开始研究有效分散，这可以构建 任意给定期望收益条件下的最低风险的资产组 合。
两种资产的资产组合相对易于分析，它们体现 的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合。 我们将考察一个包括两个共同基金的资产组合， 一个是专门投资于长期债券的债券资产组合D， 一个是专门投资于股权证券的股票基金E，表8 - 1列出了影响这些基金收益率的参数，这些参 数可以从真实的基金中估计得出。
在上一节，我们推导了资产组合中两种风险资产的比例， 在此基础上，我们引入第三种选择—无风险的资产组合。 这可以使我们处理好资金在三种关键资产：股票、债券与 无风险货币市场证券之间的配置，一旦投资者掌握了这个 原则，他将可以很容易地构造由多种风险资产组成的资产 组合。
最优风险资产组合：两种风险资产和一种 无风险资产
低于组合中各个资产的标准差。
最后，三角形的折线显示了完全对冲的情况，当两种
资产为完全负相关，即 ＝-1时，资产组合的最小方差
为：
资产组合的方差（与标准差）为零。
我们可以把图8 - 3和8 - 4组合在一起，以 揭示在有关资产的参数给定的情况下，
资产组合风险（标准差）与期望收益率 的关系，结果见图8 - 5。对于任一对投 资比率为wD、wE的资产，我们可以从图8 - 3中得到它们的期望收益，从图8 - 4中 得到它们的标准差。期望收益与标准差 在表8 - 3中列出，并在图8 - 5中给出了它 们的几何图形。
因为资产组合的期望收益是资产组合中各组成证券的期望 收益的加权平均值，其标准差小于各组成资产标准差的加 权平均值。非完全相关资产组成的资产组合的风险-收益 机会总是优于资产组合中各个证券单独的风险-收益机会。 各资产之间的相关性越低，所得的有效性就越高。
资产组合的标准差能有多低呢？相关系数的最低 值为-1，表示完全负相关，此时，式( 8 - 5 )可简化 为
有一个小于资产组合中各个单独资产的标准差， 这显示了分散化的影响。
图8 - 4中其他三条线表明在其他相关系 数下，资产组合中各组成资产的方差不 变，资产组合的风险是如何变化的。这 些曲线画出了表8 - 3中其他三列中的数 值。
黑色实线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票 的资产组合，即wD＝1或wE＝1，表示资产组合中的资
最后，当＝-1时，资产组合的机会集合是线性的，但它
提供了一个完全对冲的机会，此时从分散化中可以获得最 大的利益。
总之，尽管期望收益是资产组合各个组成资产收益的简单 加权平均值，但是标准差却并非如此。当相关系数小于1 时，分散化的潜在收益将增加。资产组合中的资产相关性 越低，分散化的潜在收益就越大。在极端的完全负相关的 情况下，我们可以有一个完全对冲掉风险的机会，并能构 造一个零方差的资产组合。
Z，权重为wX，wY和wZ，显示资产组合 的方差为
式( 8 - 2 )展示如果斜方差项为负，方差 将减小。这对于以下观点十分重要：即 尽管
斜方差项是正的，资产组合的标准差仍然 低于个别证券标准差的加权平均值，除 非两
种证券是完全正相关的。
为了理解这点，可以 根据相关系数计算出 协方差
所以
当资产收益的标准差给定，在 D E越高时，资产组合的方差越高。当完全正
这个方法的正确性是因为协方差矩阵是 对称的。即C o v (rD，rE)＝C o v (rE，rD)， 这样每一协方差都出现两次。解答以下
概念检验问题将向你证明这个方法可以 运用在任何多个资产组成的资产组合中。
概念检验
问题1： a. 首先确认从协方差矩阵中计算资产组
合方差这个简单原则与式( 8 - 2 )一致。 b. 一个资产组中包含三个基金： X，Y，
产完全正相关，＝1。在这种情况下，分散化没有好处，
资产组合的标准差只是组合中各资产标准差的简单加 权平均值。
绿色的抛物线描绘出非相关资产，即＝0时的资产组
合的风险。相关系数越低，分散化就越有效，资产组 合风险就越低（至少在两种资产的持有量为正时），
最小的标准差是当＝0时，为1 0 . 2 9%（见表8 - 3）,
当然，改变投资比例还会影响资产组合的标准差。表8 - 3 给出了根据8 - 5式和资产组合的相关系数分别假定为0 . 3 及其他值计算出的不同权重下的标准差。图8 - 4显示了标
准实差线与，资此产图组显合示权，重当的股关权系投。资首的先比看例一从下0增加D到E1＝时0，. 3资时产的
组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因为 资产组合中股权先是增加，然后全部投资都集中于股权， 从集中到分散，再到集中。只要基金之间的相关系数不是 太高，这一类型总是有效率的。对于一对收益的正相关系 数很高的资产，资产组合的标准差将单调上升，从低风险 资产变化为高风险资产。即便在这种情况下，如果正相关 值很小，分散化还是会有一个积极的效果。
如果我们分散投资于更多的证券，将能 继续分散对特定公司有影响的因素，资 产组合的收益离散性将进一步下降。但 是，最终我们并不能通过大量股票的资 产组合把所有风险都规避掉，因为所有 的证券最终还会受到共同的宏观经济因 素的影响。例如，如果所有的股票都会 受到经济周期的影响，我们就不能避免 经济周期风险，不管我们持有多少股票。
假设现在一个投资者希望从机会集合中选择一个最优的资 产组合，最优的资产组合与风险的厌恶有关。位于图8 - 5 中东北方向的资产组合收益高，但风险也高。最好的取舍 取决于个人的偏好。比较厌恶风险的投资者将愿意选择西 南方向的资产组合，这一资产组合的风险较低，期望收益 亦较低。
8.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
相关时， D E= 1，式( 8 - 5 )的右边可简化为：
这样，具有完全正相关的资产组合的标准差恰好是资产组 合中每一部分证券标准差的加权平均值。在其他情况下， 相关系数小于1，这将使资产组合的标准差小于资产组合 中各部分证券标准差的加权平均值。
在资产组合中，一个套期资产与其他资产负相关，式( 8 5 )显示这样的资产对于降低整体风险有特殊的作用。而且， 从8 - 1式中可以看出，期望收益不受各证券收益相关性的 影响。因此，在其他条件不变的情况下，我们总是更愿意 在资产组合中增加与现有资产低相关甚至最好是负相关的 资产。专栏8 - 1从华尔街日报摘录的一段文字就是建议你 如何选择基金的。
第8 章 最优风险资产组合
在第7章中，我们讨论了资本配置决策。 这一决策指导投资者如何在无风险资产 与最优风险资产组合之间进行选择。这 一章将阐述如何建立一个最优的风险资 产组合。
8.1 分散化与资产组合风险
假设你的资产组合只有一种股票— 康柏电脑 （ Compaq ComputerC o r p o r a t i o n），那么 这一“资产组合”的风险来源会有哪些呢？你 可能会想到两种主要的不确定的来源。第一， 来自一般经济状况的风险。比如经济周期、通 货膨胀率、利息和汇率等。所有这些宏观经济 指标都不能准确预测，而它们都会影响康柏公 司股票的回报率。另外，这些宏观经济因素可 能对特定企业有影响，譬如对康柏公司的研发 成功与否、人员的变动等产生影响。但是，这 些因素不会像影响康柏那样影响其他公司。
哪种资产组合的标准差的最小水平是可 接受的？根据表8 - 1规定的参数值，通 过解以下最小值问题可以得出资产组合 的权重：
根据表8 - 3中 ＝0 . 3列的数据，这个最小化方 差的资产组合的标准差为
图8 - 4中的实线表示当 ＝0 . 3时，标准差是投
资比例的函数，这条线经过wD＝1和wE＝1两个 非分散化的资产组合。我们发现最小方差资产 组合（m i n i m u m - v a r i a n c ep o r t f o l i o）
当所有的风险都是对特定公司有影响时，如图 8 - 1 a )所示，分散化就可以把风险降至任意低 的水平。原因是所有风险来源都是独立的，任 何一种风险来源的暴露可以降低至可忽略的水 平。由于独立的风险来源使风险降低至一个很 低的水平，有时被称为保险原则（insurance principle），因为保险公司通过向具有独立风 险来源的不同客户开出许多保单，每个保单只 占保险公司总资产组合的一小部分，用这种分 散化的方法达到降低风险的目的。
图8 - 5绿色曲线是相关系数＝0 . 3时的资产组 合机会集合（portfolio opportunitys e t）。我们 把它称为资产组合的机会集合是因为它显示了 由两种有关资产构造的所有资产组合的期望收 益与标准差。其他线段显示的是在其他相关系 数值下资产组合的机会集合。黑色实线连接两 种基金，表示当两种资产的相关系数为1时， 分散化没有什么益处。绿色抛物线表示，当相 关系数小于0 . 3时，可以从分散化中获得更多 的利益。
因此，另一种表示资产组合方差的方法 是：
总之，资产的方差是协方差的加权求和，权重为协方差项中的两资产的份额。
表8 - 2表示两个共同基金收益的方差矩 阵，在每一基金中是资产组合的投资权 重。这个矩阵提供了一个快速计算资产 组合方差的方法：斜方差矩阵中的每个 因子与行、列中的权重相乘，把四个结 果相加，就可以得出式( 8 - 4 )中给出的 资产组合方差。
如果我们的资产组合中的风险资产仍然 是债券基金与股票基金，但是，现在我 们也投资于年收益率为5%的无风险的国 库券，那会发生什么情况呢？我们从图 解开始，图8 - 6显示了根据表8 - 1计算出 的股票基金与债券基金的联合概率分布 的机会集合。
两条可能的资本配置线（ C A L）从无风险 利率（ rf＝5%）连到两种可行的资产组合。
8.2 两种风险资产的资产组合
在上一节我们考虑了几种证券等权重的分散资 产组合。现在开始研究有效分散，这可以构建 任意给定期望收益条件下的最低风险的资产组 合。
两种资产的资产组合相对易于分析，它们体现 的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合。 我们将考察一个包括两个共同基金的资产组合， 一个是专门投资于长期债券的债券资产组合D， 一个是专门投资于股权证券的股票基金E，表8 - 1列出了影响这些基金收益率的参数，这些参 数可以从真实的基金中估计得出。
在上一节，我们推导了资产组合中两种风险资产的比例， 在此基础上，我们引入第三种选择—无风险的资产组合。 这可以使我们处理好资金在三种关键资产：股票、债券与 无风险货币市场证券之间的配置，一旦投资者掌握了这个 原则，他将可以很容易地构造由多种风险资产组成的资产 组合。
最优风险资产组合：两种风险资产和一种 无风险资产
低于组合中各个资产的标准差。
最后，三角形的折线显示了完全对冲的情况，当两种
资产为完全负相关，即 ＝-1时，资产组合的最小方差
为：
资产组合的方差（与标准差）为零。
我们可以把图8 - 3和8 - 4组合在一起，以 揭示在有关资产的参数给定的情况下，
资产组合风险（标准差）与期望收益率 的关系，结果见图8 - 5。对于任一对投 资比率为wD、wE的资产，我们可以从图8 - 3中得到它们的期望收益，从图8 - 4中 得到它们的标准差。期望收益与标准差 在表8 - 3中列出，并在图8 - 5中给出了它 们的几何图形。
因为资产组合的期望收益是资产组合中各组成证券的期望 收益的加权平均值，其标准差小于各组成资产标准差的加 权平均值。非完全相关资产组成的资产组合的风险-收益 机会总是优于资产组合中各个证券单独的风险-收益机会。 各资产之间的相关性越低，所得的有效性就越高。
资产组合的标准差能有多低呢？相关系数的最低 值为-1，表示完全负相关，此时，式( 8 - 5 )可简化 为
有一个小于资产组合中各个单独资产的标准差， 这显示了分散化的影响。
图8 - 4中其他三条线表明在其他相关系 数下，资产组合中各组成资产的方差不 变，资产组合的风险是如何变化的。这 些曲线画出了表8 - 3中其他三列中的数 值。
黑色实线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票 的资产组合，即wD＝1或wE＝1，表示资产组合中的资
最后，当＝-1时，资产组合的机会集合是线性的，但它
提供了一个完全对冲的机会，此时从分散化中可以获得最 大的利益。
总之，尽管期望收益是资产组合各个组成资产收益的简单 加权平均值，但是标准差却并非如此。当相关系数小于1 时，分散化的潜在收益将增加。资产组合中的资产相关性 越低，分散化的潜在收益就越大。在极端的完全负相关的 情况下，我们可以有一个完全对冲掉风险的机会，并能构 造一个零方差的资产组合。
Z，权重为wX，wY和wZ，显示资产组合 的方差为
式( 8 - 2 )展示如果斜方差项为负，方差 将减小。这对于以下观点十分重要：即 尽管
斜方差项是正的，资产组合的标准差仍然 低于个别证券标准差的加权平均值，除 非两
种证券是完全正相关的。
为了理解这点，可以 根据相关系数计算出 协方差
所以
当资产收益的标准差给定，在 D E越高时，资产组合的方差越高。当完全正
这个方法的正确性是因为协方差矩阵是 对称的。即C o v (rD，rE)＝C o v (rE，rD)， 这样每一协方差都出现两次。解答以下
概念检验问题将向你证明这个方法可以 运用在任何多个资产组成的资产组合中。
概念检验
问题1： a. 首先确认从协方差矩阵中计算资产组
合方差这个简单原则与式( 8 - 2 )一致。 b. 一个资产组中包含三个基金： X，Y，
产完全正相关，＝1。在这种情况下，分散化没有好处，
资产组合的标准差只是组合中各资产标准差的简单加 权平均值。
绿色的抛物线描绘出非相关资产，即＝0时的资产组
合的风险。相关系数越低，分散化就越有效，资产组 合风险就越低（至少在两种资产的持有量为正时），
最小的标准差是当＝0时，为1 0 . 2 9%（见表8 - 3）,
当然，改变投资比例还会影响资产组合的标准差。表8 - 3 给出了根据8 - 5式和资产组合的相关系数分别假定为0 . 3 及其他值计算出的不同权重下的标准差。图8 - 4显示了标
准实差线与，资此产图组显合示权，重当的股关权系投。资首的先比看例一从下0增加D到E1＝时0，. 3资时产的
组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因为 资产组合中股权先是增加，然后全部投资都集中于股权， 从集中到分散，再到集中。只要基金之间的相关系数不是 太高，这一类型总是有效率的。对于一对收益的正相关系 数很高的资产，资产组合的标准差将单调上升，从低风险 资产变化为高风险资产。即便在这种情况下，如果正相关 值很小，分散化还是会有一个积极的效果。
如果我们分散投资于更多的证券，将能 继续分散对特定公司有影响的因素，资 产组合的收益离散性将进一步下降。但 是，最终我们并不能通过大量股票的资 产组合把所有风险都规避掉，因为所有 的证券最终还会受到共同的宏观经济因 素的影响。例如，如果所有的股票都会 受到经济周期的影响，我们就不能避免 经济周期风险，不管我们持有多少股票。
假设现在一个投资者希望从机会集合中选择一个最优的资 产组合，最优的资产组合与风险的厌恶有关。位于图8 - 5 中东北方向的资产组合收益高，但风险也高。最好的取舍 取决于个人的偏好。比较厌恶风险的投资者将愿意选择西 南方向的资产组合，这一资产组合的风险较低，期望收益 亦较低。
8.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置
相关时， D E= 1，式( 8 - 5 )的右边可简化为：
这样，具有完全正相关的资产组合的标准差恰好是资产组 合中每一部分证券标准差的加权平均值。在其他情况下， 相关系数小于1，这将使资产组合的标准差小于资产组合 中各部分证券标准差的加权平均值。
在资产组合中，一个套期资产与其他资产负相关，式( 8 5 )显示这样的资产对于降低整体风险有特殊的作用。而且， 从8 - 1式中可以看出，期望收益不受各证券收益相关性的 影响。因此，在其他条件不变的情况下，我们总是更愿意 在资产组合中增加与现有资产低相关甚至最好是负相关的 资产。专栏8 - 1从华尔街日报摘录的一段文字就是建议你 如何选择基金的。
第8 章 最优风险资产组合
在第7章中，我们讨论了资本配置决策。 这一决策指导投资者如何在无风险资产 与最优风险资产组合之间进行选择。这 一章将阐述如何建立一个最优的风险资 产组合。
8.1 分散化与资产组合风险
假设你的资产组合只有一种股票— 康柏电脑 （ Compaq ComputerC o r p o r a t i o n），那么 这一“资产组合”的风险来源会有哪些呢？你 可能会想到两种主要的不确定的来源。第一， 来自一般经济状况的风险。比如经济周期、通 货膨胀率、利息和汇率等。所有这些宏观经济 指标都不能准确预测，而它们都会影响康柏公 司股票的回报率。另外，这些宏观经济因素可 能对特定企业有影响，譬如对康柏公司的研发 成功与否、人员的变动等产生影响。但是，这 些因素不会像影响康柏那样影响其他公司。
哪种资产组合的标准差的最小水平是可 接受的？根据表8 - 1规定的参数值，通 过解以下最小值问题可以得出资产组合 的权重：
根据表8 - 3中 ＝0 . 3列的数据，这个最小化方 差的资产组合的标准差为
图8 - 4中的实线表示当 ＝0 . 3时，标准差是投
资比例的函数，这条线经过wD＝1和wE＝1两个 非分散化的资产组合。我们发现最小方差资产 组合（m i n i m u m - v a r i a n c ep o r t f o l i o）
当所有的风险都是对特定公司有影响时，如图 8 - 1 a )所示，分散化就可以把风险降至任意低 的水平。原因是所有风险来源都是独立的，任 何一种风险来源的暴露可以降低至可忽略的水 平。由于独立的风险来源使风险降低至一个很 低的水平，有时被称为保险原则（insurance principle），因为保险公司通过向具有独立风 险来源的不同客户开出许多保单，每个保单只 占保险公司总资产组合的一小部分，用这种分 散化的方法达到降低风险的目的。
图8 - 5绿色曲线是相关系数＝0 . 3时的资产组 合机会集合（portfolio opportunitys e t）。我们 把它称为资产组合的机会集合是因为它显示了 由两种有关资产构造的所有资产组合的期望收 益与标准差。其他线段显示的是在其他相关系 数值下资产组合的机会集合。黑色实线连接两 种基金，表示当两种资产的相关系数为1时， 分散化没有什么益处。绿色抛物线表示，当相 关系数小于0 . 3时，可以从分散化中获得更多 的利益。
因此，另一种表示资产组合方差的方法 是：
总之，资产的方差是协方差的加权求和，权重为协方差项中的两资产的份额。
表8 - 2表示两个共同基金收益的方差矩 阵，在每一基金中是资产组合的投资权 重。这个矩阵提供了一个快速计算资产 组合方差的方法：斜方差矩阵中的每个 因子与行、列中的权重相乘，把四个结 果相加，就可以得出式( 8 - 4 )中给出的 资产组合方差。