高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编含答案解析

数学《空间向量与立体几何》复习知识点

一、选择题

1．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )

A．16

9

π

B．

8

9

π

C．

16

27

π

D

．

8

27

π

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．

【详解】

解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，

则由题意可得

3

23

r x

-

=，

3

3

2

x r

∴=-，

∴圆柱的体积为23

()(3)(02)

2

V r r r r

π

=-<<，

则3

333

3

163331616

442

()(3)()

9442939

r r r

V r r r r

ππ

π

++-

=-=

g g g g

…．

当且仅当

33

3

42

r r

=-，即

4

3

r=时等号成立．

∴圆柱的最大体积为

16

9

π

，

故选：A．

【点睛】

本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．

2．在三棱锥P ABC

-中，PA⊥平面ABC，且ABC

∆为等边三角形，2

AP AB

==，则三棱锥P ABC

-的外接球的表面积为（）

A ．

272

π B ．

283

π C ．

263

π D ．

252

π 【答案】B 【解析】 【分析】

计算出ABC ∆的外接圆半径r

，利用公式R =可得出外接球的半径，进而可

得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】

ABC ∆

的外接圆半径为

2sin

3

AB r π

=

=

PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -

的外接球半径为

3R ===， 因此，三棱锥P ABC -

的外接球的表面积为2

2

284433R πππ⎛=⨯= ⎝⎭

. 故选：B. 【点睛】

本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.

3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A

B ．3:1

C ．2:1

D

2

【答案】A 【解析】 【分析】

设圆锥SC 的底面半径为r ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值. 【详解】

设圆锥SC 的底面半径为r ，则高为3r ，∴圆锥SC

的母线长l ==，

∴圆锥SC

的侧面积为2rl r π=；

圆柱OM 的底面半径为2r ，高为h ，

又圆锥的体积23133V r r r ππ=

⋅=，234r h r ππ∴=，4

r h ∴=， ∴圆柱OM 的侧面积为2224rh rh r πππ⋅==，

∴圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为2210:10:1r r ππ=.

故选：A . 【点睛】

本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.

4．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P ABCD -中，E 为侧棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的余弦值是（ ）

A ．

34

17

B ．

234

C ．

517

D ．

317

【答案】D 【解析】 【分析】

首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB 与CE 所成角的平面角，在PCD ∆中利用余弦定理求出cos DPC ∠进而求出CE ，再在GFH ∆中利用余弦定理即可得解. 【详解】

如图，取PA 的中点F ，AB 的中点G ，BC 的中点H ，连接FG ，FH ，GH ，EF ，

则//EF CH ，EF CH =，从而四边形EFHC 是平行四边形，则//EC FH ， 且EC FH =.

因为F 是PA 的中点，G 是AB 的中点，

所以FG 为ABP ∆的中位线，所以//FG PB ，则GFH ∠是异面直线PB 与CE 所成的角.

由题意可得3FG =，1

222

HG AC =

=. 在PCD ∆中，由余弦定理可得2223636167

cos 22669

PD PC CD DPC PD PC +-+-∠===⋅⨯⨯，

则2222cos 17CE PC PE PC PE DPC =+-⋅∠=，即17CE =.

在GFH ∆中，由余弦定理可得222cos 2FG FH GH GFH FG FH +-∠=⋅317

2317

==

⨯⨯. 故选：D 【点睛】

本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.

5．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为3

32

厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移

3

厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）

A ．2颗

B ．3颗

C ．4颗

D ．5颗

【答案】C 【解析】 【分析】

利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可. 【详解】