卷积定理

e
jn 1 t
2


2
e jn1 2 e jn1 2 jn 1T1 2E n 1T1
T
2．级数形式
周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 2 T1
在满足狄氏条件时，可展成:
f ( t ) a0 a n cos n 1t bn sin n 1t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量: 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度
F ( n 1 )
1 2
a b
2 n
2 n

1 2
cn
bn n tg a n
1

关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
n 1
16
频谱图 幅度频谱
cn ~ 或 Fn ~ 曲线
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)

t 0 T1
f (t ) d t
t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系 数Fn都是有限值，因为:
Fn
T
1
f t e
j n 1 t
dt
T
T
T
1
1
f t d t
T
Fn
f t d t
T
8
狄利克雷（Dirichlet）条件:例3 周期信号 f t
F ( n 1
也可写为 Fn
e

j n 1 t

n 0,1,2
j n 1 t
f (t )
n
F ( n 1 ) e
4
)
1
T1
f (t ) e e
j n 1 t
j n 1 t
dt dt
dt
0 T1

e
j n 1 t
0
T1 j n 1 t
j n 1 t
指数形式的傅里叶级数的系数
F ( 0) 1
1 j 0.15 1.12e F 1 1 2j 1 j 0.15 1.12e F 1 1 2j
F 2 1
1 2
/2
T1
t
f t 是个偶函数
bn 0, 只有a 0 , a n
28
2．指数形式的谱系数
F ( n 1 ) 1 T1
1 T1
jn 1 t
jn 1 t

T1 2 2
T1
f ( t )e
dt

=



2 2
Ee
jn 1 t
dt
E
1
T1 jn 1
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
14
三．两种系数之间的关系及频谱图
F ( n 1 )
T T
1 2 1
1
T
f ( t )e
T
j n 1 t
dt
0
利用欧拉公式
T
1
T 0

0
f ( t )cos n1t d t j jbn
f ( t )sin n1t d t
an
F ( n 1 )
1 0.15
2 0.25
2 0.25
指数形式的频谱图
F n 1
n
0.15 2 1
1
0.5
1.12
1
1.12
0.25
0.5
2 1
1
0
0.15
2 1 1
0
1
2 1
0.25
20
三角形式与指数形式的频谱图对比 三角函数形式的频谱图
cn
c1
2.24 c2
n
0.25
c0
1
1
1
0
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.15 2 1
1
0.5
1.12
1
1.12
0.25
0.5
2 1
1
0
0.15
2 1 1
0
1
2 1
0.25
21
四．总结

n为整数

T t
分析：狄氏条件是傅里叶级数存 在的充分条件。根据冲激信号的 定义和特性，其积分有确定值， 傅里叶级数存在。即
T
1

T
0
T
t
F n 1
1

T
F n 1
1 T
T
t e
2
2
jn 1 t
dt
1 T

O

f (t ) T (t )
5 cos( 1 t 0.15 ) cos 2 1 t 4
c0 1
c1
0.25
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
cn
c1
0 0
5 2.236 1 0.15
n
2.24 c2
c2 1
2 0.25
c0
1
0
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对 e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 ( t )的实函数的性质不变。 f
25
周期单位冲激序列的频谱
T (t )
n
( t nT )
T
f ( t )e
5
13
0
说明
f (t )
n
F ( n 1 ) e

j n 1 t
4
F n 1
T
1
T1
f (t ) e
j n 1t
dt
5
1
0
周期信号可分解为 的线性组合。
, 区间上的指数信号e j n t
如给出F ( n 1 )，则f t 唯一确定，)、 )式是一对 (4 (5 变换对。
A
T1 2 t
a0
an
1 T1
2 T1
T1

2 T 1 2 T1
2 T 1 2
A T1
A T1

1
A ( 1)
2 T1
bn
2 T1
T1

周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
f t 0 A
2 T 1 2
A T1
t sin n 1 t d t
n1
n
n 1,2,3

cn cos(n 1 t n )
n 1
j n 1 t

指数形式
f (t )
n
F ( n 1 ) e
23
(3)三个性质
收敛性： n , F n 1 谐波性： （离散性），频率只出 现在n 1处 唯一性： f ( t )的谱线唯一
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性

bn n tg a n

正弦形式
d 0 a0
f ( t ) d 0 d n sin n 1 t n
n 1
dn
2 an

2 bn
bn n tg a n
1

an d n sin n
O
c0 cn
c1
离散谱，谱线
c3
1
3 1

相位频谱
n ~ 曲线
n

O
1
3 1

17
例
2
已知f ( t ) 1 sin 1 t 2 cos 1 t cos 2 1 t ， 4
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t ) 1
T

2 T 2
cos n 1 t sin m 1 t 0
T , 2 T cos n 1 t cos m 1 t 2 2 0,
T
mn mn mn mn
3
T , 2 T sin n 1 t sin m 1 t 2 2 0,

sin 1 t
A 2
sin 2 1 t
直流
基波
谐波
10
其他形式 余弦形式
c0 a0 an cn cos n
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
2
1
cn
a b
2 n
2 n
bn cn sin n
e
j
4
F 2 1
1 2
e
j
4
19
谱线
F0 F (0) 1 F1 F ( 1 ) 1.12 F1 F ( 1 ) 1.12 F2 F ( 2 1 ) 0.5 F 2 F ( 2 1 ) 0.5
0 0
1 0.15

T
1
T
0
f ( t ) cos n 1t d t j
T
1
T
0
f ( t ) sin n 1t d t
1 2
an j bn
F n1 F ( n1 ) e
j n
F ( n1 ), F ( n1 )是复数
15
幅频特性和相频特性 幅频特性 相频特性
an bn F ( n 1 )
a0 an bn
T
2
1
t 0 T
f (t ) d t f ( t ) cos n 1t d t f ( t ) sin n 1t d t
t0 t 0 T
T T
2
t0 t 0 T
t0
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
1 t , 0 t 1，周期为1，不满足此条件。
f t

1 0

2
1
1
2
t
9
例 1 求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。
f (t ) A T1 t
T1 / 2 t T1 / 2
tdt 0
t cos n 1 t d t 0
T1 2
f t
§3.2
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
1
主要内容 •三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系
2
一．三角函数形式的傅里叶级数 1.三角函数集
cosn1t , sin n1 t是一个完备的正交函数集
t在一个周期内，n=0,1,.... 由积分可知
bn d n cos n
Βιβλιοθήκη Baidu11
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流，基波（1）和各次谐波
（n1 : 基波角频率的整数倍）的线性组合．
cn ~
关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图
n ~
可画出频谱图 周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
12
二．指数函数形式的傅里叶级数 1．复指数正交函数集 2．级数形式 3．系数 利用复变函数的正交特性
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
（2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
22
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 三角形式
f ( t ) a 0 a n cos n 1 t bn sin n 1 t
n 1
= c0
1
1
2 1
1
0
2 1
0.15
X 18
化为指数形式
f (t ) 1
e 2j
1
j1 t
e
j1 t
2 e
2
j1 t
e
j1 t

2 j1t 2 j n1t 1 4 4 e e 2
f t 1
1 2


8
0
8
t
6
狄利克雷（Dirichlet）条件2:例2 不满足条件2的一个函数是:
2 f t sin , 0 t 1 t
f t
1

1
0

1
t
对此函数，其周期为1，有
0 f t dt 1
1
7
狄利克雷（Dirichlet）条件3:说明
n


1 T
e
j n 1 t
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t )
E
脉宽为 脉冲高度为 E
T1
/ 2
/2
T1
t
周期为T1
1. 三角函数形式的谱系数
2. 指数函数形式的谱系数
3. 频谱特点
27
1．三角形式的谱系数
f (t )
T1
/ 2
1 j 1t 1 j 1t 1 j 4 j 2 1t 1 j 4 j 2 1t e e f (t ) 1 1 1 e e e e 2 j 2 j 2 2
整理

n 2
F ( n
2
1
)e