单位圆与三角函数线ppt课件演示文稿
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三角函数ppt
7
5
7
7
4 y
7
M1 M2 O
x
小练习
解析： 2. f(x)=sin(x)+ 3cos(x)
1
3
=2( sin(x)+ cos(x))
2
2
=2sin(x+ )
3
因为x∈[− , ]
2 2
5
所以x+ ∈[- , ]
3
6 6
1
故− ≤ ( + ) ≤ 1
2
3
则−1 ≤ 2( + ) ≤ 2
三角函数的定义
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最
常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边
与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以
等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数的定义
y轴
1
T
P(x,y)
A(1,0)
-1
M
O
-1
sinα=MP
cosα=OM
tanα=AT
3
即函数的值域为[-1,2]
故选A
课堂小结
本节课，我们了解了什么是三角函数，
常见的三角函数有哪些以及常见三角
函数图像和性质，借助这些三角函数
的知识我们可以解决比较正弦函数、
余弦函数、正切函数的大小以及求三
角函数的奇偶性等问题。
课后作业
1.选择题：比较 和 的大小
7
7
A.sin 大 √
1
x轴
三角函数
定义域
值域
sinα
R
[-1,1]
5
7
7
4 y
7
M1 M2 O
x
小练习
解析： 2. f(x)=sin(x)+ 3cos(x)
1
3
=2( sin(x)+ cos(x))
2
2
=2sin(x+ )
3
因为x∈[− , ]
2 2
5
所以x+ ∈[- , ]
3
6 6
1
故− ≤ ( + ) ≤ 1
2
3
则−1 ≤ 2( + ) ≤ 2
三角函数的定义
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最
常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边
与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以
等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数的定义
y轴
1
T
P(x,y)
A(1,0)
-1
M
O
-1
sinα=MP
cosα=OM
tanα=AT
3
即函数的值域为[-1,2]
故选A
课堂小结
本节课，我们了解了什么是三角函数，
常见的三角函数有哪些以及常见三角
函数图像和性质，借助这些三角函数
的知识我们可以解决比较正弦函数、
余弦函数、正切函数的大小以及求三
角函数的奇偶性等问题。
课后作业
1.选择题：比较 和 的大小
7
7
A.sin 大 √
1
x轴
三角函数
定义域
值域
sinα
R
[-1,1]
单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
已知任意角终边上除原点外的另外一点 , ，求角的正弦函数值和余弦函数值。
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标
=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（ ）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对 点 练 习
1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
栏目导航
1．sin(－315°)的值是( )
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
单位圆和三角函数线课件(说课)
问题二、P点位于什么位置时，角 的正弦值和
余弦值表示最简单?这时P点的坐标是什么？
问题三、如何用轴上向量表示出角 的正弦值、
余弦值?
.
y
定义：我们把轴上向量OM
,
ON
叫做的 的余弦线、正弦线。
其中 cos = OM ,sin = ON .
B(0,1) N
A`(-1,0) O
P(cosa,sina)
三、教学方法
2、学法分析
类比学习：由正弦线、余弦线的分析类比到正 切线的学习．
探究定向性学习：学生在教师建立的问题构架 下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出 三种三角函数线的定义．
主动合作式学习：学生在归纳得出三种三角函 数线的定义时，通过小组讨论，纠正错误理 解，使问题得以圆满解决．
三、教学方法
练习2、分别作出下列各角的正切线：
（1） （2）5 （3） 2 （4） 13
3
6.
3
6
步骤：1、以A为原点建立 y轴与 y轴同向；
2、y轴与 的终边或其反向延长线相交于点T ，T源自正切线 ATAT四、教学设计
（三）巩固应用，能力形成
例1、分别作出 0，的正弦线、余弦线、正切线：
2
例2、 设是第一象限的角，作 的正弦线、余弦 线、正切线，由图证明下列各等式：
单位圆与三角函数线
2、正切函数线
例2
练习2
三、应用举例 例1
四、课堂小结， 五、布置作业
教学环节 复习引入 概念形成 能力形成 反思小结 布置作业
时间分配 5分钟 9分钟 25分钟 5分钟 1分钟
一、教材分析 二、学情分析 三、教学方法 四、教学设计 五、设计说明
一、教材分析
高中数学(新教材)《单位圆与三角函数线》课件
7．2.2 单位圆与三角函数线
(教师独具内容) 课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出 角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息． 教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结 合． 教学难点：三角函数线的运用.
核心概念掌握
课前自主学习
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[解] (1)作直线 y＝23交单位圆于 P，Q 两点，则 OP 与 OQ 为角 α 的终 边，如图①.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
(2)作直线 x＝－35交单位圆于 M，N 两点，则 OM 与 ON 为角 α 的终边， 如图②.
答案 (1)× (2)√ (3)×
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
2．做一做 (1) 如图，在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线P→M，正切线A→′T′ B．正弦线M→P，正切线A→′T′ C．正弦线M→P，正切线A→T D．正弦线P→M，正切线A→T
课后课时精练
知识点二 三角函数线
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
如图，设单位圆的圆心在原点，角 α 的顶点在圆心 O，始边与 x 轴的正 半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，点 P 在 x 轴上的正射影为 M，点 P 在 y 轴上的正射影为 N，过 A(1,0)作单位圆的切线交 α 的终边 OP 或其反向延长 线于点 T，则
(1)把向量O→M，O→N，A→T分别叫做 α 的 □01 余弦线 、 □02 正弦线 、 □03 正切线 ，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
(教师独具内容) 课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出 角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息． 教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结 合． 教学难点：三角函数线的运用.
核心概念掌握
课前自主学习
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[解] (1)作直线 y＝23交单位圆于 P，Q 两点，则 OP 与 OQ 为角 α 的终 边，如图①.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
(2)作直线 x＝－35交单位圆于 M，N 两点，则 OM 与 ON 为角 α 的终边， 如图②.
答案 (1)× (2)√ (3)×
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
2．做一做 (1) 如图，在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线P→M，正切线A→′T′ B．正弦线M→P，正切线A→′T′ C．正弦线M→P，正切线A→T D．正弦线P→M，正切线A→T
课后课时精练
知识点二 三角函数线
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
如图，设单位圆的圆心在原点，角 α 的顶点在圆心 O，始边与 x 轴的正 半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，点 P 在 x 轴上的正射影为 M，点 P 在 y 轴上的正射影为 N，过 A(1,0)作单位圆的切线交 α 的终边 OP 或其反向延长 线于点 T，则
(1)把向量O→M，O→N，A→T分别叫做 α 的 □01 余弦线 、 □02 正弦线 、 □03 正切线 ，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
三角函数ppt高一全文
下面我们再从图形角度认识一下三角函数．
M A
P
sin y MP
cos x OM
思考: 为了去掉等式中得绝对值符号，能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向, 使它们的取值与点P的坐标一致？
我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).
y
的终边
P
M
o P
的终边
1<
2
,
∴-
2
<cos<0,
0<sin<
2
.
∴sin(cos)<0, cos(sin)>0.
∴sin(cos)cos(sin)<0.
故 sin(cos)cos(sin) 的符号为“ - ”号.
练习：求值
cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
解：cos
11
3
sin
71
6
tan
19
y
o
y M
o P
小结sin cos的符号问题：
y
P
P
sin cos 1, (0, )
2
Mx
P MM o
y
0 sin cos 1, ( , 3 )
x
24
sin cos 0, (3 , )
y=-x
4
若
sin2kcos
4
03,2(k,
4
3(2k)
)
y=-x x
则sinsin cocsos 0 0, (3 , 7 )
，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
于是，
圆与三角函数线
05
实例分析
三角函数线在几何问题中的应用
确定角度
01
三角函数线可以用来确定几何图形中的角度，例如在三角形中，
通过三角函数线可以找到角的大小。
计算长度
02
利用三角函数线，可以计算出几何图形中某条边的长度，例如
在直角三角形中，可以通过三角函数线计算斜边长度。
解决最值问题
03
通过三角函数线，可以解决几何图形中的最值问题，例如在圆
圆与三角函数线在解析几何问题中的应用
极坐标与直角坐标转换
圆和三角函数线在解析几何中常常用于极坐标与直角坐标之间的转换，例如在求解某些 曲线方程时，可以将极坐标转换为直角坐标，或者将直角坐标转换为极坐标。
解决轨迹问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些轨迹问题，例如在平面内求一个点绕另一个 点做圆周运动的轨迹。
解决最值问题
通过圆和三角函数线的组合，可以解决一些最值问题，例如在平面内求一个点到另一个 点的距离的最大值或最小值。
06
总结与展望
总结
圆与三角函数线是数学中两个重要的 概念，它们在几何、代数和三角学等 多个领域都有广泛的应用。
三角函数线是三角函数在直角坐标系 中的图像表示，包括正弦线、余弦线 和正切线等。
圆是二维平面上的一个封闭曲线，其 性质包括圆心到圆上任一点的距离相 等、经过圆心的直径将圆分成两个相 等的部分等。
圆与三角函数线在解析几何、微积分、 物理和工程等领域都有广泛的应用， 是数学和科学研究中不可或缺的工具。
未来研究方向
随着数学和科学技术的不断发展， 圆与三角函数线的研究也在不断
深入。
未来研究方向包括探索圆与三角 函数线的更多性质和应用，以及 如何将它们应用于实际问题中， 如物理学、工程学和经济学等。
《三角函数——三角函数的概念》数学教学PPT课件(5篇)
一
二
三
提示:sin α=y,cos α=x,tan α= .这一结论可以推广到α是任意角.
一
二
三
2.填空如图,α是任意角,以α的顶点O为坐标原点,以α的始边为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系.设P(x,y)是α的终边与单位圆的交点.(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α;(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cos α,即x=cos α;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切,记作tan α,即 =tan α(x≠0).正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.3.填空
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
判断三角函数值的符号A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)判断下列各式的符号:分析:(1)由已知条件确定出sin α,cos α的符号即可确定角α的象限;(2)先判断每个因式的符号,再确定积的符号.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(1)解析:由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二、第三象限角.由 可知cos α,tan α异号,从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.答案:C(2)解:①∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin 105°>0,cos 230°<0.于是sin 105°·cos 230°<0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 三角函数符号的判定:对三角函数符号的判定,首先要判断角是第几象限角,然后根据规律:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”,即可确定三角函数的符号.
三角函数的图象PPT
交流电
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模 拟和分析各种振动现象，如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数，其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π； 对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)； 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模 拟和分析各种振动现象，如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数，其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π； 对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)； 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
课件1：1.2.2 单位圆与三角函数线
3
的正弦线为MP,余弦线为OM
, 正切线为AT
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向 线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键 是作出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与 X正半轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交 点P(x,y)，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0) 作 单位圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交 与点T .
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观 体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值 的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此， 比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数 线．
2．比较下列各组数的大小．
(1)sin1和sin
3
(2)cos4 和cos 5
7
7
解析：(1)sin1＜ sin (2)cos 4 ＞cos 5
O
x
PT
(Ⅳ)
α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
预习测评
1．对三角函数线，下列说法正确的是( D ) A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不 一定存在 D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线 不一定存在 解析：当角的终边落在Y轴上时，正切线不存在， 故选D.
3
D． (0, )
3
(5 ,2 )
3
解析：A明显范围不对，B、C都不全面，故选D.
误区解密：因忽略有向线段的方向而出错
的正弦线为MP,余弦线为OM
, 正切线为AT
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向 线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键 是作出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与 X正半轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交 点P(x,y)，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0) 作 单位圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交 与点T .
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观 体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值 的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此， 比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数 线．
2．比较下列各组数的大小．
(1)sin1和sin
3
(2)cos4 和cos 5
7
7
解析：(1)sin1＜ sin (2)cos 4 ＞cos 5
O
x
PT
(Ⅳ)
α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
预习测评
1．对三角函数线，下列说法正确的是( D ) A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不 一定存在 D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线 不一定存在 解析：当角的终边落在Y轴上时，正切线不存在， 故选D.
3
D． (0, )
3
(5 ,2 )
3
解析：A明显范围不对，B、C都不全面，故选D.
误区解密：因忽略有向线段的方向而出错
单位圆中的三角函数.ppt
y
P
MP＋OM>OP=1
OM x
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
tan y AT
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其ta终n 边 与x y单位圆的交
点为P（x，y），则
终边相同的角的同名三角函数值相等.
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆
的交点为P（x，y），则 cos x，sin y都是正数，
复习引入
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，
y），角α的三角函数是怎样定义的？
sin y
cos x
tan y (x 0)
x
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 sin( 2k ) sin ，cos( 2k ) cos，
tan( 2k ) tan( k Z).其数学意义如何？
（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
yT P
O M Ax
例1 在0～2 内，求使 sin a > 3 成立的α的取值
范围.
2
y
y= 3 2
P2
P P1
OM
x
a Î ( p , 2p ) 33
例2 求函数 f (a ) = 2 cos a - 1 的定义域. y
P2 P
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
三角函数线的作法_图文_图文
三角函数线的作法_图文_图文.ppt
三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
α的 终边
P
y
的垂线,垂足为M.
A(1,0
MO
)x
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
(Ⅱ)
【思考】为了去掉
y
上述等式中的绝对值
符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方
M
A(1,0
O )x
向,使它们的取值与点 α的 P
P的坐标一致?
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0
O M) x
(Ⅰ)
y
M A(1,0
O
)x
P
α的
(Ⅳ) 终边
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
三角函数线
把有向线段MP、OM、AT叫做角
的正弦线、余弦线、正切线.
步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长
线)交于T．
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
三角函数线——正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
α的 终边
P
y
的垂线,垂足为M.
A(1,0
MO
)x
|MP|=|y|=|sinα|
|OM|=|x|=|cosα|
(Ⅱ)
【思考】为了去掉
y
上述等式中的绝对值
符号,能否给线段OM、 MP规定一个适当的方
M
A(1,0
O )x
向,使它们的取值与点 α的 P
P的坐标一致?
终边 (Ⅲ)
y
α的
终边
P
A(1,0
O M) x
(Ⅰ)
y
M A(1,0
O
)x
P
α的
(Ⅳ) 终边
【定义】有向线段
* 带有方向的线段叫有向线段. *有向线段的大小称为它的数量.
在坐标系中,规定:
有向线段的方向与坐标系的方向相同. 即同向时,数量为正;反向时,数量为负.
因为tan= =AT，所以AT是的正切线．
三角函数线
把有向线段MP、OM、AT叫做角
的正弦线、余弦线、正切线.
步骤：
⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长
线)交于T．
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
⑵图中的圆均为单位圆，作出表示cos的
有向线段．
因为cos =x=OM，所以OM叫的余弦线!
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1.2.2 单位圆与三角函数线
前面我们研究了三角函数在各象限内的
符号，学习了将任意角的三角函数化成0º 到 360º 角的三角函数的一组公式， 由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习
正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法—
—几何表示法
cos1>cos1.5
tan2<tan3
例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0º <x<360º ) 解：由在y轴上找 到y=0.5的点，做 x轴的平行线， 交单位圆于点P 和P’两点，由三 角函数线知 x1=30º , x2=150º .
例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
OAT
y N O P T x M A
1 1 OA OA AT 2 2
即sinα<α<tanα .
小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 AT
B(0，1)，B’(0，－1).
2. 有向线段的概念：
带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3
OA 3
OB 3
x B O A
3. 三角函数线
设任意角α的顶点 在原点，始边与x轴的 正半轴重合，终边与 单位圆相交于点P(x， y），过P作x轴的垂线， 垂足为M； 做PN垂直 y轴于点N， 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
Hale Waihona Puke 我们把轴上的向量 OM , ON和AT (或AT ') 分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
例1.分别作出
2 3
3 、 4
2 、 3
的正弦线、
余弦线、正切线。
例2.比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM，sinα=ON. 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α 的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 以A为原点建立y’轴与y 轴同向，y’轴与α角的终边 (或其反向延长线)相交于点 T(或T ’)，则tanα=AT(或 AT ’)
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
证明：在△OMP中， OP=1，OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|， 因为三角形两边之和 大于第三边，所以 |sinα|+|cosα|≥1。
例5. 已知α∈(0， 2 )，试证明sinα<α<tanα .
证明：sinα=|ON|=|MP|, α = AP tanα=|AT|. 又 S扇形OAP S 所以
我们首先建立下面的坐标系：
在观览车转轮圆面所在的平面
内，以观览车转轮中心为原点，
以水平线为x轴，以转轮半径为
单位长建立直角坐标系。 设P 点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置，记 xOP ，则由正弦函数的定义可知，
MP sin
1.单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为
前面我们研究了三角函数在各象限内的
符号，学习了将任意角的三角函数化成0º 到 360º 角的三角函数的一组公式， 由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习
正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法—
—几何表示法
cos1>cos1.5
tan2<tan3
例3. 已知sinx=0.5，求角x的大小.(0º <x<360º ) 解：由在y轴上找 到y=0.5的点，做 x轴的平行线， 交单位圆于点P 和P’两点，由三 角函数线知 x1=30º , x2=150º .
例4. 利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
OAT
y N O P T x M A
1 1 OA OA AT 2 2
即sinα<α<tanα .
小结： 1. 给定任意一个角α，都能在单位圆中作出它
的正弦线、余弦线、正切线。 2. 三角函数线的位置 ： 正弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在y轴上的射影的有向线段； 余弦线为从原点到α的终边与单位圆的交点 在x轴上的射影的有向线段； 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切 线上，为有向线段 AT
B(0，1)，B’(0，－1).
2. 有向线段的概念：
带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3
OA 3
OB 3
x B O A
3. 三角函数线
设任意角α的顶点 在原点，始边与x轴的 正半轴重合，终边与 单位圆相交于点P(x， y），过P作x轴的垂线， 垂足为M； 做PN垂直 y轴于点N， 则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.
Hale Waihona Puke 我们把轴上的向量 OM , ON和AT (或AT ') 分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.
例1.分别作出
2 3
3 、 4
2 、 3
的正弦线、
余弦线、正切线。
例2.比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα) 其中cosα=OM，sinα=ON. 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α 的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 以A为原点建立y’轴与y 轴同向，y’轴与α角的终边 (或其反向延长线)相交于点 T(或T ’)，则tanα=AT(或 AT ’)
3. 特殊情况： ① 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合， 点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成 了一点，数量为零，而余弦线OM=1或－1。 ② 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或－1 余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切 线不存在。
证明：在△OMP中， OP=1，OM=|cosα|, MP=ON=|sinα|， 因为三角形两边之和 大于第三边，所以 |sinα|+|cosα|≥1。
例5. 已知α∈(0， 2 )，试证明sinα<α<tanα .
证明：sinα=|ON|=|MP|, α = AP tanα=|AT|. 又 S扇形OAP S 所以
我们首先建立下面的坐标系：
在观览车转轮圆面所在的平面
内，以观览车转轮中心为原点，
以水平线为x轴，以转轮半径为
单位长建立直角坐标系。 设P 点为转轮边缘上的一点, 它表示座椅的位置，记 xOP ，则由正弦函数的定义可知，
MP sin
1.单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为