6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

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2022版新教材数学必修第二册人教A版课件-6.3.4-平面向量数乘运算的坐标表示

6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
基础认知·自主学习
首都北京的中轴线是北京的中心标志，也是世界上现存最长的城市中轴线，在北京 700 余年的建筑格局上，中轴线起着相当重要的作用，但是科学家们发现“中轴线”并不是“正南正北”的朝向，即它并没有和子午线重合.
【问题 1】如何判断两条直线平行或重合呢？
【解析】设P(x，y)，则O→P ＝(x，y)，因为O→B ＝(4，4)，且O→P 与O→B 共线，所以4x ＝y4 ，即x＝y. 又A→P ＝(x－4，y)，A→C ＝(－2，6)，且A→P 与A→C 共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3，3).
三点共线问题
①已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，试判断A，B，C三点共线吗？ ②已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，试判断直线AB平行于直线 CD吗？
【解析】①因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，A→C ＝(1－(－1)，5－(－1)) ＝(2，6)，所以 2×4－2×6≠0，所以A→B 与A→C 不共线，所以 A，B，C 不共线， ②因为A→B ＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， C→D ＝(2－1，7－5)＝(1，2). 又 2×2－4×1＝0，所以A→B ∥C→D .
【备选例题】已知A(2，1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，求P点分 A→B 的比λ.
【解析】设P(x，y)，则由 A→P ＝λ P→B 及定比分点坐标公式得：(x，y)＝
21＋＋3λλ，11－＋λλ ，又因为P点在直线l上，
1－λ
2＋3λ
所以 1＋λ

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)【学习目标】两个向量共线的坐标表示(1) 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )．(2)若用坐标表示，可写为 (x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎨⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，可得向量 a ，b (b≠0)共线的充要条件 .注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2.( )(3)若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量．( )(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )(5)已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则m ＝－12.( ) 2.已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________．【经典例题】题型一向量共线的坐标表示点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b →＝λa →验证． (2)判断AB →∥CD →，只要把点的坐标代入公式x 1y 2－x 2y 1＝0，看是否成立．【跟踪训练】1 已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________．题型二三点共线问题点拨：三点共线问题转化成向量共线问题，向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用AB→与＝λAC →；二是利用坐标运算.例2已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断A ，B ，C 三点之间的位置关系。

高中数学人教A版(2019)必修第二册 6.3.1平面向量基本定理说课稿

高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。

本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。

1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。

也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。

这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。

如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。

平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册

问题2 如何用坐标表示向量共线的条件?
设
a // b (b 0) 存在实数λ，使
a b
( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x2 , y2 )
消去λ，得 x1 y2 x2 y1 0
重要结论2：
a // b (b 0) x1 y2 x2 y1 0
们是同向还是反向?
解:法一
ห้องสมุดไป่ตู้
ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数λ,使 ka+b=λ(a-3b).
由(k-3,2k+2)=λ(10,-4).

- = ,
得
解得 k=λ=- .

,
2
2
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,

解得 k=- .

所以 ka+b=(- , )=- (10,-4)=- (a-3b),
故 ka+b 与 a-3b 反向.
【课本例题8】已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断A，B，
C三点之间的位置关系．
【解析】在平面直角坐标系中作出A,B,C三点，观察图形，
＝(1 , 1 )，＝(2 , 2 )
向量与共线
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点满足＝
(1 , 1 )，(2 , 2 )
点为中点
1 2 －2 1 ＝0
1 + 2 1 + ��2

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示PPT课件(人教版)

[解] 因为 a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，又(ka＋b)∥(a－3b)，故－4(k－3)＝10(2k＋2)，即 k＝－13. 这时 ka＋b＝－130，43，且 a－3b 与－13a＋b 的对应坐标异号，故当 k＝－13时，ka＋b 与 a－3b 平行，并且是反向的．
2解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行.
[变式训练 5] 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线 AC 与 OB 交点 P 的坐标．
解：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，O→B＝(4,4)， ∵P，B，O 三点共线，∴O→P∥O→B. ∴4x－4y＝0. 又A→P＝O→P－O→A＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)， A→C＝O→C－O→A＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
[变式训练 1] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， ∴A→B＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)． A→C＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)． ∵D 是 BC 的中点，
∵P，A，C 三点共线，∴A→P∥A→C， ∴6(x－4)＋2y＝0. 由64xx－－44y＝＋02，y＝0，得yx＝＝33.， ∴点 P 的坐标为(3,3)．
1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)

6-3-3平面向量加、减、数乘运算的坐标表示课件20张-人教A版(2019)高中数学必修第二册

人教A版(2019)高中数学必修第二册
6.3.3 平面向量加、减、数乘运算的坐标
表示
复习引入
平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2.
e1
e1
a
O
e2
e2
a
探究新知
思考：向量的坐标与点的坐标有何联系与区别？
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
解法2：如图，由向量加法的平行四边形
法则可知 BD ＝ BA ＋BC ＝(-2-(-1),1-3)
＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)，
而 OD ＝ OB ＋ BD ＝(-1,3)＋(3,-1)
＝(2,2)，
所以顶点D的坐标为(2，2)．
∴a＋b＝(2,1) ＋(－3，4)＝(－1，5)，a－b＝(2,1) －(－3，4)＝(5，－3)，
3a＋4b＝3(2,1) ＋4(－3，4)＝(6,3) ＋(－12，16)＝(－6,19)。
典例分析
例3 如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是
(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标．
目标检测
2．在下列各小题中，已知A、B两点的坐标，分别求 AB ， BA
的坐标：
（1）A（3，5），B（6，9）；
（2）A（－3，4），B（6，3）；
（3）A （0，3）， B（0，5）；
（4）A （3，0）， B（8，0）．
的位置的坐标．
2.求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点
坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该

高中数学人教A版(2019)必修第二册知识点总结

高中数学必修2第六章平面向量设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心. （2）为的重心.（3）为的垂心. （4）为的内心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；①向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0 单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，向量a ，b 平行，记作a ①b ，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则：向量求和的法则图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作①OACB ，则以O 为起点的向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （OC 是①OACB 的对角线）就是向量a 与b 的和（3）规定：对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a .（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.ABC ∆,,A B C ,,a b c O ABC ∆222OA OB OC ⇔==O ABC ∆0OA OB OC ⇔++=O ABC ∆OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅O ABC ∆0aOA bOB cOC ⇔++=（5）一般地我们有|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 就可以把减法转化为加法）定义：我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量性质：①对于相反向量有：a ＋（－a ）＝0；①若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0；①零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算）定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.a －b ＝a ＋（－b ），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa ，它的长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；①当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. ①由①可知，当λ＝0时，λa ＝0；由①①知，（－1）a ＝－a .（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa ）＝（λμ）a ；①（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；①λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ；特别地，有（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－a ）；λ（a －b ）＝λa －λb .（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量.对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a ±μ2b ）＝λμ1 a ±λμ2 b .（4）共线向量定理：向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为[0，π2]（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则①a O b ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角. 当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ①b .（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 （4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（5）投影：如图，设a ，b 是两个非零向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，我们考虑如下变换：过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点a 和终点b ，分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.（6）向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则①a ·e ＝e ·a ＝|a |cosθ①a ①b ①a ·b ＝0①当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝√a ·a .在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方①|a ·b |≤|a |·|b |. （7）运算律：①a ·b ＝b ·a ；①（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （8）运算性质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量）条件：e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2 基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标. （3）坐标表示：a ＝（x ，y ）.（4）特殊向量的坐标：i ＝（1，0），j ＝（0，1），0＝（0，0）. （5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆）设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），λ①R ，则有下表：设向量a ＝（x ，y ），则有λa ＝（λx ，λy ），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），其中b ≠0.向量a ，b （b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0.（8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P 的坐标为（x ，y ），则x =x 1+x 22y =y 1+y 22.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式.（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a ·b ＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a ①b ①x 1 x 2＋y 1 y 2＝0（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a ＝（x ，y ），则|a |＝√x 2+y 2.①两点间的距离公式：若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. ①向量的夹角公式：设两非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ，则θ=a ·b |a||b|=x x +y y √x 12＋y 12√x 22＋y 22【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 2、向量在物理中的应用举例（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F ·s ＝|F ||s |cosθ（θ为F 和s 的夹角）.动量m ν实际上是数乘向量. 3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS 、SSS 、SSA ）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：；；.在①ABC 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （3）正弦定理的表示（AAS 、SSA ）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. 符号语言：在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则2sin sin sin a b cR C===A B （R 为①ABC 的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，正弦定理有如下变形： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；①sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；①::sin :sin :sin a b c C =A B ；（5）三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．（6）相关术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-①方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.①方位角的其他表示——方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；①建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.①求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.①检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.第七章复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如a ＋bi （a ，b ①R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C ＝{a ＋bi |a ，b ①R }叫做复数集.（2）复数通常用字母z 表示，代数形式为z ＝a ＋bi （a ，b ①R ），其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集C ＝{a ＋bi |a ，b ①R }中任取两个数a ＋bi ，c ＋di （a ，b ，c ，d ①R ），我们规定：a ＋bi 与c ＋di 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d . （4）复数的分类①对于复数a ＋bi （a ，b ①R ），当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z ＝a ＋bi （a ，b ①R ）可以分类如下：复数{实数（b ＝0）虚数（b ≠0）（当a ＝0时为纯虚数），①集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义①复数z ＝a ＋bi （a ，b ①R ）一一对应↔ 复平面内的点z （a ，b ）. ①复数z ＝a ＋bi （a ，b ①R ）一一对应↔ 平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ . （3）复平面上的两点间的距离公式：，）.（4）复数的模①定义：向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z ＝a ＋bi （a ，b ①R ）的模或绝对值. ①记法：复数z ＝a ＋bi 的模记为|z |或|a ＋bi |. ①公式：|z |＝|a ＋bi |＝√a 2+b 2（a ，b ①R ）.如果b ＝0，那么z ＝a ＋bi 是一个实数，它的模就等于|a |（a 的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z̅表示，即如果z ＝a ＋bi ，那么z̅＝a －bi .（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

高中数学必修二 6 3 4 平面向量数乘运算的坐标表示练习(含答案)

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量(,4)a m =，(1,2)=-b ，且a ∥b ，则m = A ．8- B ．2- C ．2 D ．8【答案】B 【解析】由题意结合平面向量平行的充要条件可得：4,212mm =∴=--.本题选择B 选项.2．（2019·全国高一课时练习）已知平面向量()1,2a =，()2,b m =-且//a b ，则23a b +=（） A ．()2,4-- B ．()3,6-- C ．()4,8-- D ．()5,10--【答案】C【解析】()1,2a =，()2,b m =-且//a b ，()122m ∴⨯=⨯-，4m =-∴，则()2,4b =--，因此，()()()2321,232,44,8a b +=+--=--，故选C.3．已知向量()2cos ,2sin a θθ=，(b =，且a 与b 共线，[)0,2πθ∈，则θ= A ．π3 B ．π6 C ．π3或2π3 D ．π6或7π6【答案】D【解析】因为a 与b 共线，所以2230cos sin θθ⨯=，cos θθ=，所以3sin tan cos θθθ==又因为[)0,2θπ∈，所以6πθ=或76π.本题选择D 选项4．已知向量则下列向量中与向量平行且同向的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】，故选A ．5．（多选题）若三点A (4,3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子正确的是( ) A ．2m －n ＝3B ．n －m ＝1C ．m ＝3，n ＝3D ．m －2n ＝3 【答案】AC【解析】∵三点(4,3)A ，(5,)B m ，(6,)C n 在一条直线上∴AB AC λ=∴(1,3)(2,3)m n λ-=-∴12λ=∴13(3)2m n -=-，即23m n -=.当m ＝3时，n ＝3。

课件2：6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

(3)解：因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， C→D＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又因为 2×2－4×1＝0，所以A→B∥C→D. 又因为A→C＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，A→B＝(2,4)，所以 2×4－2×6≠0，所以 A，B，C 不共线，所以 AB 与 CD 不重合，所以 AB∥CD.
∴a 与 d 不平行．]
2．已知向量 a＝(3，x－1)，b＝(1,2)，若 a∥b，则实数 x 的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
C [∵a∥b，∴3×2－(x－1)＝0，解得 x＝7.]
3．已知 A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)三点共线，则 x＝________.
6 [∵A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)， ∴A→B＝(1,1)，A→C＝(4，x－2)，又 A，B，C 三点共线，∴A→B∥A→C，故 x－2－4＝0，解得 x＝6.]
∴xy－＋34＝＝－4－2－2y，2x，
解得 x＝13， y＝0，
∴P 点坐标为13，0. 当 P 在线段 AB 延长线上时，A→P＝－2P→B， ∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)， ∴xy－＋34＝＝－2＋42＋x，2y，解得xy＝＝－8，5， ∴P 点坐标为(－5,8)．综上所述，点 P 的坐标为13，0或(－5,8)．
【规律方法】 1．关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解． 2．本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用．

人教A版(2019)必修第二册第6章6-3-4 平面向量数量积的坐标表示课件(31张)

内容索引
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示；【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b；【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0，即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0，所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系，从而解决一些相关问题．
【解析】在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)，所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C，所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，

数学人教A版(2019)必修第二册6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(共16张ppt)

综上所述，点P的坐标为(
,
)或
3
3
P1
P2
l
P
O
x
y
探究：当1 = 2 时，点P的坐标是什么？
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)

x

y

x1 x2
1
y1 y2
1
(定比分点公式)
x1 x2 y1 y2
问题1：已知,
Ԧ ，其中≠ 0，则两个向量共线的条件是什么？
Ԧ =
问题2：如何用坐标表示两个向量共线？
设Ԧ = (1 , 1 ), = (2 , 2 ), ≠ 0
用坐标表示(1 , 1 ) = (2 , 2 ),
1 = 2
1 = 2
消去λ，得1 2 − 2 1 = 0
1
x1 x2 y1 y2
,
)
解法1： OP (OP1 OP2 ) (
2
2
2
x1 x2 y1 y2
∴点P 的坐标为 (
,
)
2
2
解法2：设P( x, y )，
由P1P PP2
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y )
x1 x2 y1 y2
3
1
2
1
21 + 2 21 + 2
= 1 + (2 − 1 ) = 1 + 2 = (
,
)
3
3
3
3
3
21 +2 21 +2
点P的坐标为(
,
)
3
3

平面向量数乘运算的坐标表示

6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示学习指导核心素养1.会用坐标表示平面向量的数乘运算．2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1.数学运算：平面向量坐标的数乘运算．2.逻辑推理：平面向量共线的判定．[学生用书P24]1．平面向量数乘运算的坐标表示符号表示若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )文字表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标2.平面向量共线的坐标表示条件 a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0 结论向量a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝03.中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．把x 1y 2－x 2y 1＝0写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0可以吗？怎样记忆此公式的表达形式？提示：写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，这一公式可简记为：纵横交错积相减．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) 答案：(1)√ (2)√2．已知向量a ＝(4，2)，b ＝(x ，3)且a ∥b ，则x ＝( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．3答案：B3．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝________．答案：(5，7)4．已知P (2，6)，Q (－4，0)，则PQ 的中点坐标为________．答案：(－1，3)[学生用书P25]探究点1 向量数乘的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12).(2)方法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3). 因为CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB → ，所以CM → ＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)， CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6).所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝2. 所以M (0，20)，N (9，2).方法二：设O 为坐标原点，则由CM → ＝3 CA → ，CN → ＝2 CB →，可得OM → －OC → ＝3(OA → －OC → )，ON → －OC → ＝2(OB → －OC →)，所以OM → ＝3 OA → －2 OC → ，ON → ＝2 OB → －OC → . 所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2). 所以M (0，20)，N (9，2).向量数乘坐标运算的三个关注点(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用；(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题； (3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．已知A ，B ，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB → ＋2BC →＝____________，BC →－12AC → ＝____________．解析：因为A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)，所以AB → ＝(－2，10)，BC → ＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)，所以AB → ＋2BC → ＝(－18，18)，BC →－12 AC → ＝(－3，－3).答案：(－18，18) (－3，－3) 探究点2 向量平行(共线)的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4).若(3a －b )∥(a ＋kb )，则k ＝________． (2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB → 与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋kb ＝(1＋3k ，－2＋4k )，因为(3a －b )∥(a ＋kb )，所以0－(－10－30k )＝0. 所以k ＝－13 .故填－13.(2)因为AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，因为2×6－3×4＝0，所以AB → ∥AC → ，所以AB → 与AC →共线．又AB → ＝23AC → ，所以AB → 与AC →的方向相同．(变设问)若本例(1)条件不变，判断向量3a －b 与a ＋kb 是反向还是同向？解：由向量3a －b 与a ＋kb 共线，得k ＝－13 ，所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋kb ＝a －13 b ＝(1，－2)－13 (3，4)＝⎝⎛⎭⎫0，－103 ＝13(0，－10).所以向量3a －b 与a ＋kb 同向．(1)向量共线的判定方法三点共线问题的实质是向量共线问题．(2)利用向量的坐标运算求参数用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)进行求解．1．下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)解析：选D.A 选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，所以a 与b 不平行；B 选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a 与b 不平行；C 选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a 与b 不平行；D 选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a ∥b ，故选D.2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________．解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3). 因为向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，解得λ＝2. 答案：2探究点3 向量共线的应用 [问题探究]证明三点共线可利用向量法，其实质是什么？探究感悟：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(1)已知OA → ＝(3，4)，OB → ＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 三点共线；(2)已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP → |＝2|PB →|，求点P 的坐标．(1)【证明】由题意知AB → ＝OB → －OA →＝(4，8)， AC → ＝OC → －OA → ＝(6，12)，所以AC →＝32 AB → ，即AB → 与AC →共线．又因为AB → 与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 三点共线． (2)【解】设点P 的坐标为(x ，y )，因为|AP → |＝2|PB → |，所以P 在线段AB 上时，AP → ＝2PB → ，所以(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0 ；当P 在线段AB 的延长线上时，AP → ＝－2PB → ，所以(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8，所以点P 的坐标为(－5，8)，综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0 或(－5，8).1．(变条件)若将本例(2)条件“|AP → |＝2|PB → |”改为“AP → ＝3PB → ”，其他条件不变，求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y ).因为AP → ＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12 . 2．(变条件)若将本例(3)条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB → |＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．解：由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB → |＝3|AP →|.设A (x ，0)，B (0，y ). ①点P 在A ，B 之间，则有AB → ＝3AP →，所以(－x ，y )＝3(－2－x ，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－6－3x ，y ＝9，解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9). ②点P 不在A ，B 之间，则有AB → ＝－3AP → ，易得点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0 ，(0，－9). 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝⎛⎭⎫－32，0 ，(0，－9).判断向量(或三点)共线的3个步骤设点A (x ，1)，B (2x ，2)，C (1，2x )，D (5，3x )，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同？此时A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB →＝(2x ，2)－(x ，1)＝(x ，1)， BC →＝(1，2x )－(2x ，2)＝(1－2x ，2x －2)， CD →＝(5，3x )－(1，2x )＝(4，x ).由AB → 与CD →共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2. 又AB → 与CD →方向相同，所以x ＝2.所以当x ＝2时，AB → 与CD →共线且方向相同．此时，AB → ＝(2，1)，BC →＝(－3，2)，而2×2≠－3×1，所以AB → 与BC →不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 四点不在同一条直线上．[学生用书P26]1．下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－1，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1 B ．a ＝⎝⎛⎭⎫3，34 ，b ＝⎝⎛⎭⎫2，32 C ．a ＝(2，3)，b ＝(2，－3) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)解析：选D.选项A 中，2×12 －(－1)×1≠0，则a 与b 不共线；同理，B ，C 中的两向量不共线；选项D 中，2×6－(－3)×(－4)＝0，则有a ∥b .2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析：选C.由a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).3．已知A ，B ，C 三点共线，且A (3，－6)，B (－5，2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13解析：选C.设C (6，y )，因为AB → ∥AC →，又AB → ＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，所以－8×(y ＋6)－3×8＝0，所以y ＝－9.4．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB → ＝a ，BC → ＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)因为a ＝mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.[学生用书P175(单独成册)][A 基础达标]1．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－1，2)D ．(－4，－8)解析：选D.由题意得AB → ＝(1，2)，结合选项可知a ＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB →，所以D 正确．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R)，则λ＋x 的值为( ) A ．－112B ．112C ．－292D ．292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14.所以λ＋x ＝－292，故选C.3．在△ABC 中，A (2，3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG → ＝2GD →，则点C 的坐标是( )A ．(－4，2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4，2)解析：选B.设点C 的坐标为(x ，y )，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫8＋x 2，－4＋y 2 .由AG → ＝2GD →可得4＋x ＝0，－2＋y ＝－4，解得x ＝－4，y ＝－2，故点C 的坐标为(－4，－2).4．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋kb ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k ).因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.5．(多选)若三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子正确的是( ) A ．2m －n ＝3 B ．n －m ＝1 C ．m ＝3，n ＝3D ．m －2n ＝3解析：选AC.因为三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，所以AB → ＝λAC →，所以(1，m －3)＝λ(2，n －3)，所以λ＝12 ，所以m －3＝12 (n －3)，即2m －n ＝3.当m ＝3时，n ＝3.6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解析：2a ＋b ＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，c ＝(1，λ)，由c ∥(2a ＋b )，得4λ－2＝0，得λ＝12.答案：127．已知A (－1，2)，B (2，8).若AC → ＝13 AB → ，DA → ＝－23 AB → ，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13 AB → ＝13 (3，6)＝(1，2)，DA →＝－23 AB → ＝－23 (3，6)＝(－2，－4)，DC → ＝DA → ＋AC →＝(－1，－2)，所以CD →＝(1，2). 答案：(1，2)8．已知OA → ＝(－2，m )，OB → ＝(n ，1)，OC →＝(5，－1)，若点A ，B ，C 在同一条直线上，且m ＝2n ，则m ＋n ＝________．解析：AB → ＝OB → －OA →＝(n ，1)－(－2，m )＝(n ＋2，1－m )， BC → ＝OC → －OB →＝(5，－1)－(n ，1)＝(5－n ，－2). 因为A ，B ，C 共线，所以AB → 与BC →共线，所以－2(n ＋2)＝(1－m )(5－n ).① 又m ＝2n ，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32．所以m ＋n ＝9或m ＋n ＝92 .答案：9或929．已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10).若AP → ＝AB → ＋λAC →(λ∈R)，试求λ为何值时． (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB → ＋λAC →＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为AP → ＝AB → ＋λAC →(λ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝12，所以当λ＝12时，点P 在第一、三象限的角平分线上．(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ＜0，4＋7λ＜0，所以λ＜－1，所以当λ＜－1时，点P 在第三象限内．10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且AE → ＝13 AC → ，BF →＝13BC → . (1)求点E ，F 的坐标； (2)判断EF → 与AB →是否共线．解：(1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2).依题意，得AC → ＝(2，2)，BC →＝(－2，3). 由AE →＝13 AC → 可知，(x 1＋1，y 1)＝13(2，2)，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝23，y 1＝23，解得⎩⎨⎧x 1＝－13，y 1＝23，所以点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23 . 由BF →＝13 BC → 可知，(x 2－3，y 2＋1)＝13 (－2，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23，y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0，所以点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0 . (2)由(1)可知，EF → ＝⎝⎛⎭⎫73，0 －⎝⎛⎭⎫－13，23 ＝⎝⎛⎭⎫83，－23 ，又AB → ＝(4，－1)，所以EF → ＝23 (4，－1)＝23AB → ，所以EF → 与AB → 共线． [B 能力提升]11．(多选)已知向量e 1＝(－1，2)，e 2＝(2，1)，若向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则可使λ1λ2＜0成立的a 可能是( )A ．(1，0)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：选AC.因为e 1＝(－1，2)，e 2＝(2，1)，所以a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝(－λ1，2λ1)＋(2λ2，λ2)＝(2λ2－λ1，2λ1＋λ2)，若使λ1λ2＜0成立，a ＝(1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足题意；a ＝(0，1)，则2λ2－λ1＝0，不满足题意；a ＝(－1，0)，则2λ1＋λ2＝0，满足题意；a ＝(0，－1)，则2λ2－λ1＝0，不满足题意．故选AC.12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ).设B (x ，y )，则AB → ＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72 或⎝⎛⎭⎫73，0 . 答案：⎝⎛⎭⎫0，72 或⎝⎛⎭⎫73，0 13．如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 的交点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，则DP → ＝(x －1，y )，DB → ＝(5，4)，CA → ＝(－3，6)，DC → ＝(4，0).由B ，P ，D 三点共线可得DP → ＝λDB → ＝(5λ，4λ).又因为CP → ＝DP → －DC → ＝(5λ－4，4λ)，由CP → 与CA → 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47. 所以DP → ＝47DB → ＝⎝⎛⎭⎫207，167 ，所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167 .答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．设OA → ＝(2，－1)，OB → ＝(3，0)，OC → ＝(m ，3).(1)当m ＝8时，将OC → 用OA → 和OB → 表示；(2)若以A ，B ，C 三点为顶点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC → ＝(8，3)，设OC → ＝xOA → ＋yOB → ，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC → ＝－3OA → ＋143 OB → . (2)因为以A ，B ，C 三点为顶点能构成三角形，所以AB → ，AC → 不共线．又AB → ＝(1，1)，AC → ＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM → ＝t 1OA → ＋t 2AB → .(1)若点M 在第二或第三象限，求t 1与t 2满足的条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解：点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM → ＝t 1OA → ＋t 2AB → ，所以AB → ＝OB → －OA → ＝(4，4)，OM → ＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2).当点M 在第二或第三象限时，⎩⎪⎨⎪⎧t 2＜0，t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM → ＝(4t 2，4t 2＋2)，AB → ＝(4，4).因为AM → ＝OM → －OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB → ，所以AM → 与AB → 共线，又有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．。

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

法一：∵(−2) × (−6) − 3 × 4 = 0，
∴与共线，通过观察可知，和方向相反.
法二：∵ = −2，
∴与共线且方向相反.
练习巩固
变式3-1：(多选)下列各组向量中，可以表示其所在平面内所有向量的基底的是(
.a = (−1,2) ，b = (3,5)
B.a = (1,2) ，b = (2,1)
解：在平面直角坐标系中作出，，三点(如图).观察图形，
我们猜想，，三点共线.下面来证明.
因为 = (1 − (−1), 3 − (−1)) = (2,4)，
= (2 − (−1), 5 − (−1)) = (3,6)，
又2 × 6 − 4 × 3 = 0，
所以//.
探究：如图，线段P1 P2 的端点P1 ，P2 的坐标分别是(x1 , y1 )，(x2 , y2 )，点P是直线P1 P2
上的一点.当P1 P = λPP2 时，点P的坐标是什么？
OP OP1 PP
OP1
1

1
PP
1 2
y
( x x1 , y y1 ) ( x2 x, y2 y)
【答案】： 2, −3
1
+ 的坐标为_______.
3
练习巩固
变式1-2：已知A(−2,4)，B(3, −1)，C(−3, −4)，且CM = 3CA，CN = 2CB，求点M，N
的坐标.
解：∵(−2,4)，(3, −1)，(−3, −4)，
∴ = (−2,4) − (−3, −4) = (1,8)， = (3, −1) − (−3, −4) = (6,3).
当在线段上时， = 2，
∴( − 3, + 4) = 2(−1 − , 2 − )，

人教A版(2019)高中数学必修第二册《平面向量数乘运算的坐标表示》知识解读

《平面向量数乘运算的坐标表示》知识解读1.若(,),a x y λ=∈R ，则(,)a x y λλλ=.即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.用坐标表示两个向量共线的条件设()()1122,,,a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 的充要条件是12210x y x y -=，即1221//0a b x y x y ⇔-=.证明如下：（1）必要性.因为//a b ，所以存在实数λ，使得a b λ=，即()()()112222,,,x y x y x y λλλ==.也就是1122x i y j x i y j λλ+=+.由平面向量基本定理，得12x x λ=①，12y y λ=②.由22y x ⨯-⨯①②，得12210x y x y -=.（2）充分性.由0b ≠知，22,x y 不全为0.当22,x y 均不为0时，由12210x y x y -=，得1122x y x y =.令1122x y x y λ==，则1212,x x y y λλ==.所以()()()112222,,,a x y x y x y b λλλλ====.所以//a b .当22,x y 中有一个为0时，不妨设20x =，则20y ≠，否则0b =，这与0b ≠矛盾. 将20x =代入12210x y x y -=，得120x y =.因为20y ≠，所以10x =，所以()10,a y =.又()20,b y =，所以//a b .根据（1）和（2）可知1221//0a b x y x y ⇔-=.友情提醒①当0b =时，220x y ==，一定有12210x y x y -=.由此可知无论b 是否为0，都有1221//0a b x y x y ⇔-=.②两个向量共线的几种不同的表示方法.已知()()1122,,,a x y b x y ==，且0b ≠.a.//()a b a b λλ⇔=∈R .这是几何运算，体现了向量a 与向量b 的长度及方向之间的关系.b.1221//0a b x y x y ⇔-=.这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.c.当220x y ≠时，1122//x y a b x y ⇔=，即两个向量的相应坐标成比例.这种形式不易出现搭配错误. ③公式12210x y x y -=无条件220x y ≠的限制，便于应用；公式1122x y x y =有条件220x y ≠的限制，但便于记忆，所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式.④通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一个有序实数对能表示一个向量.这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对.这样，就给出了向量的另一种表示——坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的代数运算.。