第三章离散傅里叶变换(DFT)

第三章 离散傅里叶变换（DFT ）

1. 如图P3-1所示，序列)(n x 是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。

图 P3-1 分析

利用DFS 的定义求解。

解：由nk j n nk

n e n x W n x k X 6250650

)()()(~π

-==∑∑==

k j

k j

k j

k j

k j

e

e

e

e

e

56

246

236

226

26

21068101214πππππ-----+++++=

计算求得

,3j39(1)X ~ 60,(0)X ~-== 3j 3(2)X ~

+= , 3j 3(4)X ~ 0,(3)X ~-== 3j39(5)X ~

+=

2. 设4()()x n R n =，6()(())x n x n =，试求)(~k X ，并做图表示)(~

),(~

k X n x 。 分析

利用DFS 的定义求解。

解： 由 k j k j k j nk j n nk n e e

e e n x W n x k X ππ

π

π

-----=+++===∑∑3

236250

650

1)(~)(~)(~

计算求得

,3j (1)X ~ 4,(0)X ~-== 1(2)X ~

=

,1(4)X ~ 0,(3)X ~== 3j (5)X ~

=

)(~),(~k X n x 如图P3-2所示。

图 P3-2

3. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =。现将长度变成rN 点的有限长序列)(n y

⎩⎨⎧-≤≤-≤≤=1,01

0),()(rN n N N n n x n y

试求rN 点DFT[)(n y ]与)(k X 的关系。 分析

利用DFT 定义求解，)(n y 是rN 点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解：由)(k X = DFT[)(n x ]∑-=-=1

02)(N n nk N

j e

n x π

，10-≤≤N k

可得 nk

rN N n nk rN

N n W n x W

n y n y DFT k Y ∑∑-=-====10

1

)()()]([)(

)()(1

2r

k

X e

n x N n l

k

n N j

==∑-=-π， 1,...,0,-==N l lr k

所以在一个周期内，)(k Y 的抽样点数是)(k X 的r 倍（)(k Y 的周期为Nr ），相当于在)(k X 的每两个值之间插入r-1个其他的数值（不一定为零），儿当k 为r 烦人整数l

倍时，)(k Y 与)(r

k

X 相等。

4. 已知)(n x 是N 点有限长序列，)]([)(n x DFT k X =，现将)(n x 的每两点之间补进

r-1个零值点，得到一个rN 点的有限长序列)(n y

⎩⎨⎧-===else N i ir n r n x n y ,01

,...,1,0,),()(

试求rN 点)]([n y DFT 与)(k X 的关系。 分析

离散时域每两点间插入r-1个零值点，相当于频域以N 为周期延拓r 次，即)(k Y 周期为rN 。

解：由 )(k X = DFT[)(n x ]∑-==1

0)(N n nk

N W n x ， 10-≤≤N k

可得 k n N n nk rN

N n nk

rN

N n W i x W

r ir x W

n y n y DFT k Y ∑∑∑-=-=-=====1

1

1

)()()()]([)(，10-≤≤rN k

而 )())(()(k R k X k Y rN N =

所以)(k Y 是将)(k X （周期为N ）延拓r 次形成的，即)(k Y 周期为rN 。

5. 频谱分析的模拟信号以8kHz 被抽样，计算了512个抽样的DFT ，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。 分析

利用频域抽样间隔0F 和时域抽样频率s f ，以及抽样点数N 的关系0NF f s =。 证明

由 π2s s f Ω=

， π

200Ω

=F 得

0ΩΩ=s s F f 其中s Ω是以角频率为变量的频谱周期，0Ω是频谱抽样之间的频谱间隔。

又

N F f s

s =ΩΩ=0

则 N

f F s

=

0 对于本题有 8=s f kHz ，512=N

所以 625.15512

8000

0==

F Hz 6. 设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10 Hz ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms ，试确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。 分析

抽样间隔T 和抽样频率s f 满足T f s /1=,记录长度0T 和频域分辨力0F 的关系为

001F T =。抽样定理为h h s f f f (2>为信号最高频率分量),一个记录中最少抽样总数N

满足

002F f F f T T N h s >== 解： （1）因为00

1

T F =

，而010F Hz ≤，所以 01

10

T s ≥

即最小记录长度为0.1s 。

（2）因为311

10100.1

s f kHz T ==⨯=，而

2s h f f >

所以

1

52

h s f f kHz <

= 即允许处理的信号的最高频率为5 kHz 。

（3）300.1

1010000.1

T N T ≥=⨯=，又因N 必须为2的整数幂，所以一个记录中的最少点数

为1021024N ==。

7. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换， （1）证明如果)(n x 满足关系式)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。 （2）证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2(=N X 。 分析