北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳

阶段强化专题训练

专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式

技巧1 中间比代换法证比例式

1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：

BC

DE

AB AD =

； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.

技巧2 等积代换法证比例式

2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：

PB

PA

PF PE =

.

技巧3 等比代换法证比例式

3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：

AD

AF

AB AD =

.

类型2 证线段相等

技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)

4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点

E ，C

F ∥BA 交DE 的延长线于点F.

(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．

类型3 证比例和为1

技巧5 同分母的中间比代换法

5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：

1=+BC

BE

AD AE

专题二：证明相似三角形的方法

名师点金

要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：

(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若

只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；

(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；

(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性

．．．”.

方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似

1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )

A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似

B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似

C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似

D.两个等腰直角三角形相似

2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=

3.1.求证：△ABC∽△DEC.

方法2 利用角判定两三角形相似

3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．

方法3 利用边角判定两三角形相似

4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似

5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.

专训三巧作平行线构造相似三角形

名师点金：

解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；

(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．

训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形

1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.

训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形

2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．

3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.

求证：AE:ED＝2AF:FB.

训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.

训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形

5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=

4

1

AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：

作辅助线的方法二：

作辅助线的方法三：

作辅助线的方法四：

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专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金

证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．

技巧1 构造平行线法

1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.

2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.

技巧2 三点找三角形相似法

3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD

.

4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB

于E.求证：AM 2

＝MD ·ME.

技巧3 构造相似三角形法

5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.

技巧4 等比过渡法

6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.

7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP

于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2

＝DE ·PE.

技巧5 两次相似法

8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝AB

BC

.

9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：