土木有限元(研究生)算例练习试题.doc
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例1某三角形3节点单元，3个节点的坐标分别为(0, 0)、(3, 0)、(0, 4)o
作用在单元内的点(1, 1)处作用有一个大小等于10N、方向沿x轴正向的集中
力P。求该集中力的等效节点荷载。
解：(1)形函数及形函数矩阵计算
根据面积比或形函数公式，可计算得到各形函数为:
Ar 5 Ar 4 3
A, = —、A 9——、A’ 3 =—
12 12 °12
形函数矩阵为:
(2)等效节点荷载计算
例2图示三角形3节点单元，设13边的长度为3m,在13边作用有如图所示的分布荷载，求该分布荷载的等效节点荷载。
解：(1)形函数及形函数矩阵计算
在13边上，节点2的形函数％ = 0,设t为节点1到节点3的位置参数,
在节点1处取0，在节点3处取1,则在13边上有：
A* =! —/■> M = t 1 O
-20此一10N3
- 20(1 -/- Wt
lot -
20
=3f 1 -1
1 一
I
10£ -
20
dt = 3 Jo
d - t) (io* -
20)'
o
*(10* - 20)
>d
t 25
T
o
o
o
20
5 1 - t0 0 0 Z 0
LA;J =
0 1 — f 0 0 0 匕
(2)分布荷载的参数表示
在13 边上，q v = 0 ,设 / = a + bt ,由:
t = 0, q x = -20
t = 1 , q x = -10
可求得：
a = -20
b = 10
于是有:
lOt - 20
Cly
另外，由于在边上为一次函数，也可直接根据形函数插值建立分布函数:
（3）等效节点荷载计算
\dl
-25
- 20
在
263
边上，节点
1、5、7、4、 8
的形函数值均为零。
0 0 N. 0
M
L
N.3
0 0 0 0 *6 0
；V 6 0
(2分布荷载的参数表示
Q x Qy
(4)边长的微分变换 则有:
例设一矩形8节点单元的263边长度为4m,作用有如图所示的分布荷载, 求该荷载的等效节点荷载。
10N/m
事 20N/m
解：（1）形函数及形函数矩阵计算
N ，z = - (1 - 5)(-5) 2
A ； = -(1 + s}s '' 2
设2点y 坐标为0、6点的y 坐标为2、3点的y 坐标为4,
y = N.)* 0 +
* 2 + N R * 4 = 2 + 2s
o
o
dy - 2ds
（3）等效节点荷载计算
15 一 5s
20A ； + 15A ；
+
5、一个矩形区域划分为4个三角形3节点单元，节点编号如图，设整体结构的 自由
度根据节点序号依次编号。对于该网格的整体结构刚度矩阵，以。表示零元 素，以x 表示非零元素，请写出该总刚矩阵的结构形式，并说明每一行中非零元 素的个数o
（15分）
0 0
N'2
私
0 0 0 0
-
0 0 0
私 0 0 15 - 5s 、
<
0 >ds =
2)： v
•*
0 0 凡(15 -
0 &15 - 0 0 5s ) 5s )
也=上＜
3
0 0 40 0 20 0 0 0 0
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M(15 - 5s
) 120 0 此
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4 3