复变函数PPT课件
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复变函数入门 1ppt课件
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
注解：
➢ 复数的减法运算是加法运算的逆运算
➢ 复数的除法运算是乘法运算的逆运算
➢ 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致
7
定理: 全体复数关于上述运算做成一个数域.
称为复数域，用C表示.即
复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 z1 z2 z2 z1 ②加法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ③乘法交换律 z1 z2 z2 z1 ④乘法结合律 z1 (z2 z3) (z1 z2 ) z3 ⑤乘法对加法的分配律
面上的点向量oz 表示.
o
x
x
18
结论:
两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致.
y
z2
z1 z2
y
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
19
附录： 向Hamilton 学习
Hamilton.William Rowan（威廉.罗万.哈 密儿顿，1805——1865）爵士，无 疑是使爱尔兰人在数学领域中享有 盛益的最伟大的人物，同时也是有 名望的物理学家和天文学家。他 1805年生于都柏林，除了短时间外 出访问外，一生都是在这里度过 的。他才一岁时，被委托给一位叔 叔教育，这位叔叔的热心在于给他 侧重语言上的教育，不久之后，他 就成了孤儿。Hamilton是个神童，3 岁时能阅读英文，5岁时能阅读、
以上各式证明略.
10
例3 将下列复数表示为 x iy 的形式.
复变函数ppt课件
(iii) f (z) cn (z z0 )n n
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
有无穷多个负幂次项，称z=z0为~~本~~性~~奇~~点。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 级极点
----z=1为孤立奇点
f
(z)
1 sin
1
z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
但 lim 1 0, 在z 0不论多么小的去心
n n
y
邻域内,总有f (z)的奇点存在，
故z
0不
是
1 sin
1
z
的孤立奇点。
这说明奇点未
o
x
必是孤立的。
2. 分类
以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：
(1 ez )'
ez
z i ( 2k 1)
z i ( 2k 1)
[cos (2k 1) i sin (2k 1)] 0
zk i(2k 1) (k 0,1,2,)是1 ez的一级零点
综合 z i为f (z)的二级极点; zk i(2k 1) (k 1,2,)为f (z)的 一 级 极 点.
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2
f "(z) 6(z 1)2 6z(z 1)
复变函数 全套课件
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
复变函数PPT第四章
——代入法
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
1 例2 求 f ( z ) 2 在 z 0 点邻域内的 Taylor级数. (1 z )
解：z1 1 是 f ( z ) 的惟一奇点，且 z1 0 1, 故收敛半径 R 1.
利用逐项积分得
(n 1)z dz
n 0 n 0 n 0
z
z
0
( n 1) z dz z
n n 0
n 1
z . 1 z
所以
1 z n (n 1)z 1 z (1 z )2 n 0
z 1 .
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
sn 1 z z 2 z n1 1 lim sn z 1 n 1 z
z 1
lim z 0
n n
1 zn , ( z 1) 1 z z n 收敛, 级数
n 0
级数
z n 发散.
所以收敛半径 R 1,
即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散, zn 1 在圆周 z 1上,级数 3 3 n 1 n n 1 n 收敛的 p 级数 ( p 3 1). 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.
(cos in) z n （2）
n 0
1 n 解 因为 cn cos in (e e n ), 所以收敛半径为 2 en en cn 1 1 e 2 n lim n1 R lim . n 1 lim 2 n 1 n e n c n e e e e n1
(7)(1 z ) 1 z
( 1)
复变函数课件
第一章 复数与复平面
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
复变函数课件：2_1极限与连续
映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
《复变函数》(工科)课件 No.3
8
无界区域的例子
角形域:0<arg z<j
y
y
上半平面:Im z>0
j
x
x
b
y
带形域:a<Im z<b
a
x
9
2. 曲线 单连通域 多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
18
在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平 面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定 了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应 着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之 间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.
z1
区域 z2
不连通
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
设D为复平面内的一个点集, 如果点P的任 意邻域内总包含有D中的点,也包含有D的余 集中的点,这样的点P称为D的边界点. D的所 有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由 几条曲线和一些孤立的点所组成的.
C3
z
g1 g2
C1
C2
6
区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为 中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个 点z都满足|z|<M, 则称D为有界的, 否则称为 无界的. y
无界区域的例子
角形域:0<arg z<j
y
y
上半平面:Im z>0
j
x
x
b
y
带形域:a<Im z<b
a
x
9
2. 曲线 单连通域 多连通域 平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb) 代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t) 则此曲线可用一个方程 z=z(t) (atb) 来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.
18
在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平 面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定 了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应 着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之 间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函 数.
z1
区域 z2
不连通
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
设D为复平面内的一个点集, 如果点P的任 意邻域内总包含有D中的点,也包含有D的余 集中的点,这样的点P称为D的边界点. D的所 有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由 几条曲线和一些孤立的点所组成的.
C3
z
g1 g2
C1
C2
6
区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为 中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个 点z都满足|z|<M, 则称D为有界的, 否则称为 无界的. y
复变函数课件第2章复变函数的概念、极限与连续性
u x cos y sin
v
x sin
y
sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
(1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域，使得 f (z) 在此邻域内处处可导, 则称 f (z)在 z0处解析, 也称 z0是 f (z)的解析点.
(2) 若 f (z) 在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在区域D内解析, 或者称 f (z) 是区域D内的 解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G, 且 f (z)在G内解析，则称 f (z) 在闭区域 D 上 解析.
由 f (z)在D内可导, 可知 f (z)在U内可导, 即 f (z)在z处解析.
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z). z0
所以 z2 2z.
例2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处 连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
( x x) 2( y y)i x 2 yi x 2yi. 故 lim[ f (z z) f (z)] 0.
z z0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
复变函数课件
§3.解析函数在无穷远点的性质 3.解析函数在无穷远点的性质
定义： 内解析, 称点∞为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w = 把扩充z平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞ z 1 0 映射成扩充w平面上原点的去心邻域：<| w |< . R 又 f ( z ) = f ( 1 ) = ϕ ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞
tan
1 z k = 1 k + π 2
(k = 0,±1,±2,L)为本性奇点
z = 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念 整函数与亚纯函数的概念 4.1 整函数 4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z )为一整函数，则 f ( z )只以 z = ∞ 为孤立奇点，
且可设： f ( z ) =
∑
∞
n=0
c n z n (0 ≤| z |< +∞ ) (5.14)于是有
定理5.10 若 f (z ) 为一整函数，则 为一整函数， 定理 (1) z = ∞ 为的可去奇点的充要条件是f (z )为常数； 为常数； (2) z = ∞为 f (z )的 m 级极点的充要条件是f (z ) 是一 个m 次多项式. 次多项式 (3) z = ∞为的本性奇点的充要条件是 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 有无穷 不等于零.(这样的整函数称为超越整函数 这样的整函数称为超越整函数) 多个 c n不等于零 这样的整函数称为超越整函数
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
定义： 内解析, 称点∞为 f (z)的孤立奇点.
1 作变换 w = 把扩充z平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞ z 1 0 映射成扩充w平面上原点的去心邻域：<| w |< . R 又 f ( z ) = f ( 1 ) = ϕ ( w) .这样, 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞
tan
1 z k = 1 k + π 2
(k = 0,±1,±2,L)为本性奇点
z = 0为非孤立奇点；
§4.整函数与亚纯函数的概念 整函数与亚纯函数的概念 4.1 整函数 4.2 亚纯函数
4.1 整函数
定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数。
设f ( z )为一整函数，则 f ( z )只以 z = ∞ 为孤立奇点，
且可设： f ( z ) =
∑
∞
n=0
c n z n (0 ≤| z |< +∞ ) (5.14)于是有
定理5.10 若 f (z ) 为一整函数，则 为一整函数， 定理 (1) z = ∞ 为的可去奇点的充要条件是f (z )为常数； 为常数； (2) z = ∞为 f (z )的 m 级极点的充要条件是f (z ) 是一 个m 次多项式. 次多项式 (3) z = ∞为的本性奇点的充要条件是 为的本性奇点的充要条件是(5.14)有无穷 有无穷 不等于零.(这样的整函数称为超越整函数 这样的整函数称为超越整函数) 多个 c n不等于零 这样的整函数称为超越整函数
定义 5.7 非有理函数的亚纯函数称为超越亚纯 函数。 亚纯函数可以表示成两个整函数的商,也可以 表示成部分分式(有理函数式)。
复变函数课件
2. 映射的概念
如用z平面上的点表示自变量 的值, 而用另一个平面w 如用 平面上的点表示自变量z的值 而用另一个平面 平面上的点表示自变量 的值 平面上的点表示函数w的值 则函数w=f(z)在几何上就 的值, 平面上的点表示函数 的值 则函数 在几何上就 可以看做是把z平面上的一个点集 定义集合)变到 平面上的一个点集G(定义集合 变到w平 可以看做是把 平面上的一个点集 定义集合 变到 平 面上的一个点集G*(函数值集合 的映射 或变换 这个 函数值集合)的 面上的一个点集 函数值集合 映射(或变换). 映射通常简称为由函数 由函数w=f(z)所构成的映射 如果 中 所构成的映射. 映射通常简称为由函数 所构成的映射 如果G中 的点z被映射 的点 被映射w=f(z)映射成 中的点w, 则w称为 的象 映射成G*中的点 称为z的 被映射 映射成 中的点 称为 (映象 而z称为 的原象 映象), 称为w的原象. 映象 称为
§5 复变函数
1. 复变函数的定义
是一个复数z=x+iy的集合 如果有一个确定的 的集合, 定义 设G是一个复数 是一个复数 的集合 法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数 中的每一个复数z, 法则存在 按照这一法则 对于集合 中的每一个复数 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应 则称复变数 是 与之对应, 就有一个或几个复数 与之对应 则称复变数w是 复变数z的函数 简称复变函数 的函数(简称复变函数), 复变数 的函数 简称复变函数 记作 w=f(z)
.
这就是说 lim u ( x, y ) = u 0 , lim v( x, y ) = v0
x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
充分性: 充分性
《复变函数》课件
设 ①B是 由
C
C1
C
2
C
所
n
围
成
的
有界多连通区域.且B D, ②f (z)在D内解析,则
f (z)dz 0 (1)
n
或
f (z)dz
f (z)dz (2)
c
其中:闭C
D
,
i 1
C1 , C
ci
2 ,
C
是
n
在C的内部
的
简
单
闭曲线(互不包含也不相交), 每一条曲线C及Ci
是逆时针,
C
i
c
c1
ck
f ( z)dz f ( z)dz
此式说c明一个解析c1 函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 的f(z)的不解析点. —闭路变形原理
D
CCC1 11
C
例2 计 算
2z 1 z2 z dz
: 包 含 圆 周z 1在 内 的
1 z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
由柯西-古萨基本定理有
y
11
C
dz 0,
C1 2 z i
1 1 dz 0,
C1 2 z i
C2
•i
C1
1
11
O
x
dz 0, dz 0,
C2 z
C2 2 z i
• i
22
1
1
1
C
z(z2
dz 1)
C1
dz z
C2
2( z
i)
高校工程数学第5节复变函数教学课件
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
4、反函数定义
假定函数w = f ( z ) 的定义集合为G，函数值集合为 G*，那么G*中的每一个点必将对应着G中的一个 或几个点。 按照函数的定义，在G*上就确定了某一个函数 z=φ(w)，它称为函数w=f(z)的反函数，也称为映射 w=f(z)的逆映射。
u
w1 2 3i
z1 w1 , z2 w2 ,
ABC ABC .
（ 1）
映射
z1 w2
o
如果把z平面和w平面重叠在一起，不 难看出，函数是关于实轴的一个对称 映射，且是全同图形。 一般地，通过映射，z平面上的任一图 形的映象是关于实轴对称的一个全同
图形。
A
§1.5 复变函数
1、复变函数的定义 2、映射的概念 3、典型例题 4、小结与思考
一、复变函数的定义
1、复变函数的定义[定义] 设 Nhomakorabea是一个复数z=x+iy的集合，如果有一个 确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中 的每一个复数z，就有一个或几个相应的复数 w=u+iv随着而定（与之对应），那么称复变数w 是复变数z的函数（简称复变函数)，记作 w=f(z)
u=u(x,y)，v=v(x,y)
它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数。反之，
如果给定了两个二元实变函数u=u(x,y)和v=v(x,y)，那
么w=u(x,y)+iv(x,y)就构成了z=x+iy的一个复变函数 w=f(z)。
复变函数和实变函数的关系
例如，函数w=z2。令z=x+iy，w=u+iv，那么
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
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.
12
2.3.5 幂函数
1.定义
z e L n z ( C , z 0 ) ; 规 定 z 0 , R 时 , z 0 .
2. 对 具 体 取 值 进 行 讨 论
3.举例
例3.计算下列函数值 (1). 31i , (2).i2i, (3).1 2.
.
13
小结
初等函数是复变函数的主要研究对像.
w A rcsinz iL n(iz1z2).
同样，有
w A rcco sz iL n(zz2 1 )
wArctanz1iLnzi. 2 iz
均为多值函数.
.
函数图像
11
2.3.4 双曲与反双曲函数
• 双曲函数与反双曲函数
ez ez
sh z
Arsh z Ln(z
z 2 1),
2
c h z ez ez Arch z Ln(z z 2 1), 2
w e z e x p (z ) e x ( c o sy is in y ) 函数图像
注:
x 0 E u l e r 公 式 ： e i y ( c o s y is i n y ) ;
y0ez ex.
2.性质 ( 1 ) e z e x i y e x e i y |e z | e x , A r g e z y 2 k , k 0 , 1 ,.
2.3.3 三角函数
1.定义
s i n ( z ) e i z e i z ,c o s ( z ) e i z e i z ,t a n ( z ) s i n z ,c o t ( z ) c o s z .
2 i
2
c o s z s i n z
注: 正、余弦函数可以大于1. 2.性质
• 4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建 林 编，西北工业大学出版社, 2001年1月.
017－44/1－2
.
2
教学方式与要求
• 方式
板书结合PPT 源于课本稍高于课本
• 要求
适当做笔记 按质完成作业
.
3
《复变函数与积分变换》主要内容
解析函数(导数)
复变函数
复变积分
第六－七章不讲 共9周36课时
(2 )e z 1e z 2 e z 1 z 2 ,e z 1/e z 2 e z 1 z 2 .
(3) limez 不. z
( 4 ) 解 析 性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( e z ) ' e z .
3.举例 例1.计算e3i4.
.
8
2.3.2 对数函数
1.定义 指 数 函 数 的 反 函 数 , 满 足 e w z ( 0 ) 的 w ,即
2.性质
(1)多值性
w Ln z
函数图像
w L n z l n |z | i A r g z l n |z | i ( a r g z 2 k ) .
主值支 w l n z l n |z | i a r g z L n z l n z i 2 k ,k Z .
(2)运算性 (3)解析性
介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等 函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.
要求: 会计算基本初等函数值.
展望
第三章 复变函数积分.
.
14
结论:一般情形下幂函数为多值函数
(1 ) 0 z z0 e 0 L n z 1 ; 函数图像
互
( 2 ) n z n e n L n z e n [ l n | z | i ( a r g z 2 k ) ] e n l n | z | e i n a r g z | z | n e i n a r g z 单 值 ;
函数图像
(1)单值性
பைடு நூலகம்
(2)周期性 T 2.
(3)奇偶性 cosz 偶 ,sinz 奇 .
(4)三角公式
(5)解析性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( s i n z ) ' c o s z , ( c o s z ) ' s i n z .
.
10
反三角函数
定义 如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为
t h z sh z Arth z 1 Ln(1 z ),
ch z
2 1 z
coth z ch z Arth z 1 Ln(1 z ).
sh z
2 z 1
注：双曲函数与三角函数的关系为
函数图像
Q:双曲正(余)弦的单值性、 周期性、奇偶性如何？
s h z i s i n ( i z ) , c h z c o s ( i z ) , t h z i t a n ( i z ) , c o t h z i c o t i z .
为
反 函 数
( 3 ) 1 ( n ) z 1 n e 1 n L n z |z |1 n e i a r g z n 2 k ( k 0 , 1 ,,n 1 ) n 值 ; n
(4)p， 其 中 p,q互 质 且 q0,则
q
函数图像
zq peq pLnzeq pln|z|iq p(argz2k)eq pln|z|{cos[p(argz2k)]isin[p(argz2k)]},
《复变函数与积分变换》(第二版)
华中科技大学数学系
教师 黄志祥(博士)
.
1
参考教材
• 1.数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社， 2007年4月.
• 2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业 出版社，2006年7月.
• 3. MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )，陈 怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006.
级数
两者关系: 留数
积分变换
Fourier 变换
Laplace. 变换
4
复球面
.
5
4.4 罗朗级数
.
6
§2.3 初等函数
• 指数函数 • 对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 双曲函数与反双曲函数 • 幂函数 • 小结
.
7
2.3.1 指数函数
1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为
Ln(z1z2)Ln(z1)Ln(z2);Ln(z1/z2)Ln(z1)Ln(z2);
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
w L n z 在 除 原 点 及 正 实 轴 外 均 解 析 且 ( L n z ) ' 1 / z .
3.举例 例2.计算ln(4).
.
9