复变函数PPT课件
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《复变函数与积分变换》(第二版)
华中科技大学数学系
教师 黄志祥(博士)
.
1
参考教材
• 1.数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社， 2007年4月.
• 2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业 出版社，2006年7月.
• 3. MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )，陈 怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006.
级数
两者关系: 留数
积分变换
Fourier 变换
Laplace. 变换
4
复球面
.
5
4.4 罗朗级数
.
6
§2.3 初等函数
• 指数函数 • 对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 双曲函数与反双曲函数 • 幂函数 • 小结
.
7
2.3.1 指数函数
1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为
2.性质
(1)多值性
w Ln z
函数图像
w L n z l n |z | i A r g z l n |z | i ( a r g z 2 k ) .
主值支 w l n z l n |z | i a r g z L n z l n z i 2 k ,k Z .
(2)运算性 (3)解析性
• 4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建 林 编，西北工业大学出版社, 2001年1月.
017－44/1－2
.
2
教学方式与要求
• 方式
板书结合PPT 源于课本稍高于课本
• 要求
适当做笔记 按质完成作业
.
3
《复变函数与积分变换》主要内容
解析函数(导数)
复变函数
复变积分
第六－七章不讲 共9周36课时
w A rcsinz iL n(iz1z2).
同样，有
w A rcco sz iL n(zz2 1 )
wArctanz1iLnzi. 2 iz
均为多值函数.
.
函数图像
11
2.3.4 双曲与反双曲函数
• 双曲函数与反双曲函数
ez ez
sh z
Arsh z Ln(z
z 2 1),
2
c h z ez ez Arch z Ln(z z 2 1), 2
(2 )e z 1e z 2 e z 1 z 2 ,e z 1/e z 2 e z 1 z 2 .
(3) limez 不. z
( 4 ) 解 析 性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( e z ) ' e z .
3.举例 例1.计算e3i4.
.
8
2.3.2 对数函数
1.定义 指 数 函 数 的 反 函 数 , 满 足 e w z ( 0 ) 的 w ,即
函数图像
(1)单值性
(2)周期性 T 2.
(3)奇偶性 cosz 偶 ,sinz 奇 .
(4)三角公式
(5)解析性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( s i n z ) ' c o s z , ( c o s z ) ' s i n z .
.
10
反三角函数
定义 如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为
为
反 函 数
( 3 ) 1 ( n ) z 1 n e 1 n L n z |z |1 n e i a r g z n 2 k ( k 0 , 1 ,,n 1 ) n 值 ; n
(4)p， 其 中 p,q互 质 且 q0,则
q
函数图像
zq peq pLnzeq pln|z|iq p(argz2k)eq pln|z|{cos[p(argz2k)]isin[p(argz2k)]},
w e z e x p (z ) e x ( c o sy is in y ) 函数图像
注:
x 0 E u l e r 公 式 ： e i y ( c o s y is i n y ) ;
y0ez ex.
2.性质 ( 1 ) e z e x i y e x e i y |e z | e x , A r g e z y 2 k , k 0 , 1 ,.
.
12
2.3.5 பைடு நூலகம்函数
1.定义
z e L n z ( C , z 0 ) ; 规 定 z 0 , R 时 , z 0 .
2. 对 具 体 取 值 进 行 讨 论
3.举例
例3.计算下列函数值 (1). 31i , (2).i2i, (3).1 2.
.
13
小结
初等函数是复变函数的主要研究对像.
Ln(z1z2)Ln(z1)Ln(z2);Ln(z1/z2)Ln(z1)Ln(z2);
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
w L n z 在 除 原 点 及 正 实 轴 外 均 解 析 且 ( L n z ) ' 1 / z .
3.举例 例2.计算ln(4).
.
9
2.3.3 三角函数
1.定义
s i n ( z ) e i z e i z ,c o s ( z ) e i z e i z ,t a n ( z ) s i n z ,c o t ( z ) c o s z .
2 i
2
c o s z s i n z
注: 正、余弦函数可以大于1. 2.性质
介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等 函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.
要求: 会计算基本初等函数值.
展望
第三章 复变函数积分.
.
14
结论:一般情形下幂函数为多值函数
(1 ) 0 z z0 e 0 L n z 1 ; 函数图像
互
( 2 ) n z n e n L n z e n [ l n | z | i ( a r g z 2 k ) ] e n l n | z | e i n a r g z | z | n e i n a r g z 单 值 ;
t h z sh z Arth z 1 Ln(1 z ),
ch z
2 1 z
coth z ch z Arth z 1 Ln(1 z ).
sh z
2 z 1
注：双曲函数与三角函数的关系为
函数图像
Q:双曲正(余)弦的单值性、 周期性、奇偶性如何？
s h z i s i n ( i z ) , c h z c o s ( i z ) , t h z i t a n ( i z ) , c o t h z i c o t i z .
华中科技大学数学系
教师 黄志祥(博士)
.
1
参考教材
• 1.数学物理方法(第三版)，汪德新 编，科学出版社， 2007年4月.
• 2. 数学物理方法与计算机仿真，杨华军 编，电子工业 出版社，2006年7月.
• 3. MATLAB及在电子信息课程中的应用( 第3版 )，陈 怀琛 等 编著,电子工业出版社, 2006.
级数
两者关系: 留数
积分变换
Fourier 变换
Laplace. 变换
4
复球面
.
5
4.4 罗朗级数
.
6
§2.3 初等函数
• 指数函数 • 对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 双曲函数与反双曲函数 • 幂函数 • 小结
.
7
2.3.1 指数函数
1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为
2.性质
(1)多值性
w Ln z
函数图像
w L n z l n |z | i A r g z l n |z | i ( a r g z 2 k ) .
主值支 w l n z l n |z | i a r g z L n z l n z i 2 k ,k Z .
(2)运算性 (3)解析性
• 4.复变函数与积分变换典型题分析解集(第二版)，李建 林 编，西北工业大学出版社, 2001年1月.
017－44/1－2
.
2
教学方式与要求
• 方式
板书结合PPT 源于课本稍高于课本
• 要求
适当做笔记 按质完成作业
.
3
《复变函数与积分变换》主要内容
解析函数(导数)
复变函数
复变积分
第六－七章不讲 共9周36课时
w A rcsinz iL n(iz1z2).
同样，有
w A rcco sz iL n(zz2 1 )
wArctanz1iLnzi. 2 iz
均为多值函数.
.
函数图像
11
2.3.4 双曲与反双曲函数
• 双曲函数与反双曲函数
ez ez
sh z
Arsh z Ln(z
z 2 1),
2
c h z ez ez Arch z Ln(z z 2 1), 2
(2 )e z 1e z 2 e z 1 z 2 ,e z 1/e z 2 e z 1 z 2 .
(3) limez 不. z
( 4 ) 解 析 性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( e z ) ' e z .
3.举例 例1.计算e3i4.
.
8
2.3.2 对数函数
1.定义 指 数 函 数 的 反 函 数 , 满 足 e w z ( 0 ) 的 w ,即
函数图像
(1)单值性
(2)周期性 T 2.
(3)奇偶性 cosz 偶 ,sinz 奇 .
(4)三角公式
(5)解析性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( s i n z ) ' c o s z , ( c o s z ) ' s i n z .
.
10
反三角函数
定义 如果sinw=z,则称w为z的反正弦函数，记为
为
反 函 数
( 3 ) 1 ( n ) z 1 n e 1 n L n z |z |1 n e i a r g z n 2 k ( k 0 , 1 ,,n 1 ) n 值 ; n
(4)p， 其 中 p,q互 质 且 q0,则
q
函数图像
zq peq pLnzeq pln|z|iq p(argz2k)eq pln|z|{cos[p(argz2k)]isin[p(argz2k)]},
w e z e x p (z ) e x ( c o sy is in y ) 函数图像
注:
x 0 E u l e r 公 式 ： e i y ( c o s y is i n y ) ;
y0ez ex.
2.性质 ( 1 ) e z e x i y e x e i y |e z | e x , A r g e z y 2 k , k 0 , 1 ,.
.
12
2.3.5 பைடு நூலகம்函数
1.定义
z e L n z ( C , z 0 ) ; 规 定 z 0 , R 时 , z 0 .
2. 对 具 体 取 值 进 行 讨 论
3.举例
例3.计算下列函数值 (1). 31i , (2).i2i, (3).1 2.
.
13
小结
初等函数是复变函数的主要研究对像.
Ln(z1z2)Ln(z1)Ln(z2);Ln(z1/z2)Ln(z1)Ln(z2);
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
w L n z 在 除 原 点 及 正 实 轴 外 均 解 析 且 ( L n z ) ' 1 / z .
3.举例 例2.计算ln(4).
.
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2.3.3 三角函数
1.定义
s i n ( z ) e i z e i z ,c o s ( z ) e i z e i z ,t a n ( z ) s i n z ,c o t ( z ) c o s z .
2 i
2
c o s z s i n z
注: 正、余弦函数可以大于1. 2.性质
介绍了常见的基本初等函数，注意与实变初等 函数类比学习，着重掌握它们之间的区别.
要求: 会计算基本初等函数值.
展望
第三章 复变函数积分.
.
14
结论:一般情形下幂函数为多值函数
(1 ) 0 z z0 e 0 L n z 1 ; 函数图像
互
( 2 ) n z n e n L n z e n [ l n | z | i ( a r g z 2 k ) ] e n l n | z | e i n a r g z | z | n e i n a r g z 单 值 ;
t h z sh z Arth z 1 Ln(1 z ),
ch z
2 1 z
coth z ch z Arth z 1 Ln(1 z ).
sh z
2 z 1
注：双曲函数与三角函数的关系为
函数图像
Q:双曲正(余)弦的单值性、 周期性、奇偶性如何？
s h z i s i n ( i z ) , c h z c o s ( i z ) , t h z i t a n ( i z ) , c o t h z i c o t i z .