线性时间序列分析及其应用
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Tsay
第一章 金融时间序列及其特征 1.1资产收益率 1.2收益率的分布性质 1.3其他过程 略
1.1资产收益率 Pt 是资产在t时刻的价格 单期简单收益率：若从第t-1填到第t天 一个周期 持有某种资产， Pt 则简单毛收益率为：1+R t = 或Pt =Pt-1 1+R t 对应的单期简单 Pt-1 Pt Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ -Pt-1 净收益率或称简单收益率为：R t = -1= 。 Pt-1 Pt-1 多期简单收益率：若从第t-k天到第t天这k个周期内持续持有某 Pt Pt Pt-1 种资产，则k-期简单毛收益率为：1+R t k = = ... Pt-k Pt-1 Pt-2
rt 称为弱平稳的，如果rt的均值与rt 和rt -l的协方差不随时间而改 变。更具体的说， rt 是弱平稳的，若 a Ert =； b cov rt，rt -l = l， l 只依赖于l。在实际中，假定我们有T个数据观测点rt |t=1,..., T ，
的随机变量，即P X 1 , P X 0 1 , 且0 1， 12较
2 2 小而 2 相对较大。 2 的较大值使混合把更多的“质量”放在其 2 分布的尾部，来自于N , 2 的收益率的百分比较低，表明大
多数收益率服从一个简单的正态分布。正态分布有限混合的优 点包括：保持了正态分布的易处理性、具有有限高阶矩和能刻 画超额峰度。然而，我们很难估计混合参数。
2.1平稳性 平稳性是时间序列分析的基础。时间序列rt 称为严平稳的，如 果对所有的t任意正整数k和任意k个正整数 t1 ,...tk , rt1 ,..., rtk 的联 合分布与 rt1 +t ,..., rtk t 的联合分布是相同的，换言之，严平稳性要 求 rt1 ,..., rtk 的联合分布在时间的平移变换下保持不变。时间序列
收益率的似然函数：若条件分布f rt | rt 1 ,..., r1 , 是均值为 t、方 差为 t2的正态分布，则由参数 t 和 t2组成，数据的似然函数为：
2 rt t 1 f rt ,..., rT ; =f r1; exp , 其中f r1; 是第 2 2 t 2 t t 2 一个观测r1的边际密度函数，其对数似然函数为： T 2 rt t 1 2 ln f rt ,..., rT ; =lnf r1; ln 2 ln t 。 2 2 t 2 t 书中图标表明简单收益率和对数收益率的基本模式相似。 T
k-1 Pt-k+1 = 1+R t 1+R t-1 ... 1+R t-k+1 = 1+R t-j .这样k-期简单毛收 Pt-k j=0
益率就是其所包含的这k个单期简单毛收益率的乘积，称为复合 收益率。k-期简单净收益率是R t k = Pt -Pt-k Pt-k
1.2收益率的分布性质 K x -3叫做超额峰度，因为正态分布的峰度K x =3.若一个分布 有正的超额峰度，则称此分布具有厚尾性。 对数正态分布:一个常用的假定是:资产的对数收益率是独立同 分布的且都服从均值为、方差为 2的正态分布.那么在此假定 下,简单收益率是独立同分布的对数正态分布的随机变量,均值 2 和方差分别为:E Rt = exp 1, 2 2 Var rt exp 2 2 exp 1 稳定分布：是正态分布的自然推广它们在加法运算下是稳定的， 这一点符合连续复合收益率rt的要求。稳定分布能刻画股票的历 史收益率所显示出来的超额峰度，然而非正态分布没有有限方 差。这一点与大部分金融理论相矛盾。柯西分布是其一个例子。
连续复合：连续复合年利率为r，则资产的现值与其未来价值的 关系为：A=C exp r n , C A exp r n 。 连续复合收益率：资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合 Pt 收益率或对数收益率，rt ln 1+R t ln pt pt 1。 Pt-1 连续复合多期收益率是它所包含的连续复合单期收益率之和： rt k ln 1+R t k ln 1+R t 1+R t-1 ... 1+R t-k+1 rt rt 1 ... rt k 1 资产组合收益率：R p ,t wi Rit , wi为权重，Rit 是i的简单收益率。
i 1 N
分红支付：设Dt 是一个资产在第t-1天和第t天之间的分红,Pt是第t个 周期末的价格.这样分红并没有包含在Pt中,因此t时刻连续复合收 Pt +D t 益率和简单净收益率分别变为:rt ln Pt +D t - ln Pt-1，R t = -1. Pt-1 超额收益率:简单超额收益率Z t Rt -R0t ,对数超额收益率zt rt r0t
Tsay
第二章 线性时间序列分析及其特征 2.1平稳性 2.2相关系数和自相关函数 2.3白噪声和线性时间序列 2.4简单的自回归模型 2.5简单滑动平均模型 2.6简单的ARMA模型 2.7单位根非平稳性 2.8季节模型 2.9带时间序列误差的回归模型 2.10协方差矩阵的相合估计 2.11长记忆模型
正态分布的尺度混合：在正态分布尺度混合的假定下，对数收 益率rt 服从均值为、方差为 2的正态分布。但是 2是一个随机 变量，它服从一个正的分布。正态分布的有限混合的一个例子
2 是：rt ~ 1 X N , 12 XN , 2 ，其中X 是服从伯努利分布
第一章 金融时间序列及其特征 1.1资产收益率 1.2收益率的分布性质 1.3其他过程 略
1.1资产收益率 Pt 是资产在t时刻的价格 单期简单收益率：若从第t-1填到第t天 一个周期 持有某种资产， Pt 则简单毛收益率为：1+R t = 或Pt =Pt-1 1+R t 对应的单期简单 Pt-1 Pt Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ -Pt-1 净收益率或称简单收益率为：R t = -1= 。 Pt-1 Pt-1 多期简单收益率：若从第t-k天到第t天这k个周期内持续持有某 Pt Pt Pt-1 种资产，则k-期简单毛收益率为：1+R t k = = ... Pt-k Pt-1 Pt-2
rt 称为弱平稳的，如果rt的均值与rt 和rt -l的协方差不随时间而改 变。更具体的说， rt 是弱平稳的，若 a Ert =； b cov rt，rt -l = l， l 只依赖于l。在实际中，假定我们有T个数据观测点rt |t=1,..., T ，
的随机变量，即P X 1 , P X 0 1 , 且0 1， 12较
2 2 小而 2 相对较大。 2 的较大值使混合把更多的“质量”放在其 2 分布的尾部，来自于N , 2 的收益率的百分比较低，表明大
多数收益率服从一个简单的正态分布。正态分布有限混合的优 点包括：保持了正态分布的易处理性、具有有限高阶矩和能刻 画超额峰度。然而，我们很难估计混合参数。
2.1平稳性 平稳性是时间序列分析的基础。时间序列rt 称为严平稳的，如 果对所有的t任意正整数k和任意k个正整数 t1 ,...tk , rt1 ,..., rtk 的联 合分布与 rt1 +t ,..., rtk t 的联合分布是相同的，换言之，严平稳性要 求 rt1 ,..., rtk 的联合分布在时间的平移变换下保持不变。时间序列
收益率的似然函数：若条件分布f rt | rt 1 ,..., r1 , 是均值为 t、方 差为 t2的正态分布，则由参数 t 和 t2组成，数据的似然函数为：
2 rt t 1 f rt ,..., rT ; =f r1; exp , 其中f r1; 是第 2 2 t 2 t t 2 一个观测r1的边际密度函数，其对数似然函数为： T 2 rt t 1 2 ln f rt ,..., rT ; =lnf r1; ln 2 ln t 。 2 2 t 2 t 书中图标表明简单收益率和对数收益率的基本模式相似。 T
k-1 Pt-k+1 = 1+R t 1+R t-1 ... 1+R t-k+1 = 1+R t-j .这样k-期简单毛收 Pt-k j=0
益率就是其所包含的这k个单期简单毛收益率的乘积，称为复合 收益率。k-期简单净收益率是R t k = Pt -Pt-k Pt-k
1.2收益率的分布性质 K x -3叫做超额峰度，因为正态分布的峰度K x =3.若一个分布 有正的超额峰度，则称此分布具有厚尾性。 对数正态分布:一个常用的假定是:资产的对数收益率是独立同 分布的且都服从均值为、方差为 2的正态分布.那么在此假定 下,简单收益率是独立同分布的对数正态分布的随机变量,均值 2 和方差分别为:E Rt = exp 1, 2 2 Var rt exp 2 2 exp 1 稳定分布：是正态分布的自然推广它们在加法运算下是稳定的， 这一点符合连续复合收益率rt的要求。稳定分布能刻画股票的历 史收益率所显示出来的超额峰度，然而非正态分布没有有限方 差。这一点与大部分金融理论相矛盾。柯西分布是其一个例子。
连续复合：连续复合年利率为r，则资产的现值与其未来价值的 关系为：A=C exp r n , C A exp r n 。 连续复合收益率：资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合 Pt 收益率或对数收益率，rt ln 1+R t ln pt pt 1。 Pt-1 连续复合多期收益率是它所包含的连续复合单期收益率之和： rt k ln 1+R t k ln 1+R t 1+R t-1 ... 1+R t-k+1 rt rt 1 ... rt k 1 资产组合收益率：R p ,t wi Rit , wi为权重，Rit 是i的简单收益率。
i 1 N
分红支付：设Dt 是一个资产在第t-1天和第t天之间的分红,Pt是第t个 周期末的价格.这样分红并没有包含在Pt中,因此t时刻连续复合收 Pt +D t 益率和简单净收益率分别变为:rt ln Pt +D t - ln Pt-1，R t = -1. Pt-1 超额收益率:简单超额收益率Z t Rt -R0t ,对数超额收益率zt rt r0t
Tsay
第二章 线性时间序列分析及其特征 2.1平稳性 2.2相关系数和自相关函数 2.3白噪声和线性时间序列 2.4简单的自回归模型 2.5简单滑动平均模型 2.6简单的ARMA模型 2.7单位根非平稳性 2.8季节模型 2.9带时间序列误差的回归模型 2.10协方差矩阵的相合估计 2.11长记忆模型
正态分布的尺度混合：在正态分布尺度混合的假定下，对数收 益率rt 服从均值为、方差为 2的正态分布。但是 2是一个随机 变量，它服从一个正的分布。正态分布的有限混合的一个例子
2 是：rt ~ 1 X N , 12 XN , 2 ，其中X 是服从伯努利分布