2011年四川省初中数学联赛(初二组)初赛试题(含答案)
四川省全国初中数学联赛初赛
四川省全国初中数学联赛初赛试卷及解析一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的，将你选择的答案的代号填在题后的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1、某件商品的标价为13200元，若以8折降价出售，仍可获利10%（相对于进货价），则该商品的进货价是 （ ）A 、9504元B 、9600元C 、9900元D 、10000元2、如图，在凸四边形ABCD 中，80,AB BC BD ABC ==∠=︒，则ADC ∠等于（ ） A 、80° B 、100° C 、140° D 、160°3、如果方程2240()()x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数m 的取值范围是 （ ） A 、04m <≤ B 、3m ≥ C 、4m ≥ D 、34m <≤4、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，60306,,,BAD ABC AB AD CD ∠=︒∠=︒==且,那么BD 的长度是 ( )AB 、4 C、 D、5、如果20140a -<<，那么20142014x a x x a -+++-+的最小值是 （ ）A 、2014B 、2014a +C 、4028D 、4028a +AABA B6、方程223()x xy y x y ++=+的整数解有 （ ） A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、如图，扇形AOB 的圆心角90AOB ∠=︒，半径为5，正方形CDEF 内接于该扇形，则正方形CDEF 的边长为 。
2、已知四个自然数两两的和依次从小到大的次序是：23、28、33、39、x 、y ，则x y += 。
3、已知6x y -=9=的值是 。
八年级数学竞赛试题及参考答案
八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。
2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛四川初赛试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线12222=-by a x 的左、右准线l 1、l 2将线段F 1F 2三等分（其中1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e 等于（ ）．A 、26 B 、3 C 、233 D 、32 2、已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数；命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点．则p 是q 的（ ） A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为ξ，则随机变量ξ的数学期望ξE 的值为（ ）A 、31 B 、94C 、32 D 、14、函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）A 、3B 、3C 、32D 、33 5、如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60°角，M 、N分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =， 则线段MN 的长的取值范围是A 、]2,21[ B 、[1,2] C、 D、6、设数列}{n a 为等差数列，数列}{n b 满足：11a b =，322a a b +=，6543a a a b ++=，……，若2lim3=∞→n b nn ，则数列}{n a 的公差d 为（ ）A 、21B 、1C 、2D 、4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数x 满足6|52||12|=-++x x ，则x 的取值范围是 ．8、设平面内的两个非零向量a 与b 相互垂直，且1||=b ，则使得向量b m a +与b m a )1(-+互相垂直的所有实数m 之和为 ．9、记实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70,103010==S S ，则=40S ．10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π．关于实数x 的方程⎡⎤21213-=+x x 的全部实根之和等于 ． 11、已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim．12、已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．14、已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．15、抛物线2y x =与过点(1,1)P --的直线l 交于1P 、2P 两点． （I ）求直线l 的斜率k 的取值范围； (II) 求在线段12PP 上满足条件12112PP PP PQ +=的点Q 的轨迹方程．16、已知m 为实数，数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：m a S n n n +⨯-=33489，且364≥n a 对任何的正整数n 恒成立．求证：当m 取到最大值时，对任何正整数n 都有16331<∑=nk kk S ．2011年全国高中数学联赛四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线12222=-by a x 的左、右准线l 1、l 2将线段F 1F 2三等分（其中1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e 等于（ ）．A 、26 B 、3 C 、233 D 、32 解：由题意得ca c 2232⨯=，解得3=e ． 故答案选B ．2、已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数； 命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点． 则p 是q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 解：选A ．3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为ξ，则随机变量ξ的数学期望ξE 的值为（ ）A 、31 B 、94C 、32D 、1解：942743)0(=⨯==ξP , 942743)1(=⨯==ξP ,912713)2(=⨯==ξP , 于是32291194094=⨯+⨯+⨯=ξE . 故答案选C ．4、函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）A 、3B 、3C 、32D 、33 解：法一：()f x 的定义域为85≤≤x ，由0324525332432423521)(=-⋅----=--+-='xx x x xx x f ，解得423=x ． 因为3)5(=f ，32)423(=f ，3)8(=f ，于是32)423()(max ==f x f ． 故答案选C ．法二：()f x 的定义域为85≤≤x ，12)85)(31()8351()(22=-+-+≤-⋅+-⋅=x x x x x f当且仅当3815xx -=-，即423=x 时，()f x 取到最大值32．故答案选C ．5、如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60°角，M 、N 分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =， 则线段MN 的长的取值范围是A 、]2,21[ B 、[1,2] C、 D、解：过点M 作MH//BC 交AB 于H ，则AM AHAC AB=， 又AM=FN ，AC=FB ，∴FN AHFB AB=，∴NH//AF ， ∴NH ⊥AB ，MH ⊥AB ，∴∠MHN=60°． 设AH=x (0≤x ≤2)，则MH=x ，x NH -=2， ∴MN ==1)1(32+-=x∴ 21≤≤MN ．选答案选B ．6、设数列}{n a 为等差数列，数列}{n b 满足：11a b =，322a a b +=，6543a a a b ++=，……，若2lim3=∞→n b nn ，则数列}{n a 的公差d 为（ ）A 、21B 、1C 、2D 、4 解：n n n n n n n n a a a b +-+-+-+++=2)1(22)1(12)1( ][22)1(12)1(n n n n n a a n+-+-+=])12)1((2)1([211d n n n a d n n a n -+-++-+=)2(221d n d a n+-= 于是22)2(21lim lim 213==+-=∞→∞→d d n d a n b n n n ，解得4=d ．故答案选D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数x 满足6|52||12|=-++x x ，则x 的取值范围是 ． 解：因为6|)25()12(||52||12|=-++≥-++x x x x ， 等号成立当且仅当0)52)(12(≤-+x x ，即2521≤≤-x ．故答案填]25,21[-． 8、设平面内的两个非零向量a 与b 相互垂直，且1||=b ，则使得向量b m a +与b m a )1(-+互相垂直的所有实数m 之和为 ．解：由于])1([)(0b m a b m a -+⋅+==22)1(b m m b a a -+⋅+)1(||2m m a -+=， 即22||a m m --=0，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数m 之和为1．故答案填1．9、记实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70,103010==S S ，则=40S ． 解：记101S b =，10202S S b -=，20303S S b -=，30404S S b -=设q 为{}n a 的公比，则4321,,,b b b b 构成以10q r =为公比的等比数列， 于是)1(10)1(7022132130r r r r b b b b S ++=++=++==即062=-+r r ，解得2=r 或3-=r （舍去），故150)1(103240=+++=r r r S ．故答案填150.10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π．关于实数x 的方程⎡⎤21213-=+x x 的全部实根之和等于 ． 解：设Z k x ∈=-212，则412+=k x ，432113+++=+k k x ，于是原方程等价于1432-=⎥⎥⎤⎢⎢⎡+k ，即14322-≤+<-k ，从而27211-≤<-k ，即45--=或k ． 相应的x 为47,49--．于是所有实根之和为4-．故答案填4-．11、已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim ．解：由条件3)31(n n n b a +=+知3)31(n n n b a -=-，于是])31()31[(321],)31()31[(21n n n n n n b a --+=-++=， 故n n n n n nn n b a )31()31()31()31(3lim lim --+-++⨯=+∞→+∞→3)3131(1)3131(13lim =+--+-+⨯=+∞→nnn ． 故答案填3．12、已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．解：如图，因为SA=SB=SC ，所以S 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，即AB 的中点H ，同理O 点在平面ABC 上的射影也是△ABC 的外心H ，即在等边△SAB 中，求OH 的长，其中OA=OB=OS ． 显然，332323131=⨯⨯==SH OH三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．解：令mx t -=100，则m t x 2100-=， （5分）∴4100)2(110022mm m t m t m t y ++--=+-=， ∴当2m t =时，y 有最大值4100m m +，即4100)(mm m g +=． （10分） ∴10410024100)(=⨯≥+=mm m m m g ， （15分） 等号当且仅当20=m 时成立，∴当20=m 时，)(m g 有最小值10． （20分）14、已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= （5分）令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ，则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f （10分） 令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5.当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； （15分） 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！ 当01<-m 时，512)(≤+<u u g ，矛盾！综上所述，所求的实数1=m ． （20分）15、抛物线2y x =与过点(1,1)P --的直线l 交于1P 、2P 两点． （I ）求直线l 的斜率k 的取值范围； (II) 求在线段12PP 上满足条件12112PP PP PQ +=的点Q 的轨迹方程． 解：（I ）直线l 的方程为1(1)y k x +=+，与抛物线方程2y x =联立得21(1)y x y k x ⎧=⎨+=+⎩，消去y 得2(1)1x k x =+-，即2(1)0x kx k ---=， 由2()4(1)0k k ∆=-+->，解得2k >-+或2k <-- （5分） （II ）设Q 点坐标为(,)x y ，1P 点坐标为11(,)x y ，2P 点坐标为22(,)x y ， 则12x x k +=，12(1)x x k ⋅=--，又1P 、2P 、Q 都在直线l 上，所以有1(1)y k x +=+，111(1)y k x +=+，221(1)y k x +=+， 由12112PP PP PQ +=得化简得12112|1||1||1|x x x +=+++ （10分）又121212(1)(1)1(1)120x x x x x x k k ++=+++=--++=>，点Q 在线段12PP 上，所以121,1,1x x x +++同号．则12112111x x x +=+++ 因此121212122122x x x x kx x x k +++-=-=+++ ①， 232(1)1(1)122k k y k x k k k --=+-=⋅+-=++ ②， 由①得221x k x -=+代入②得22321122221x x y x x x --+==--++,即210x y -+=， （15分）又因为2k >-+或2k <--412x k =-+的取值范围是11x <<且1x ≠-，因此点Q 的轨迹方程是210x y -+=（11x <且1x ≠-）． （20分）16、已知m 为实数，数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：m a S n n n +⨯-=33489，且364≥n a 对任何的正整数n 恒成立．求证：当m 取到最大值时，对任何正整数n 都有16331<∑=nk kk S ．证明：当1=n 时，由m a a +-=48911得)4(81m a -=， 当1≥n 时，m a S n n n +⨯-=33489，m a S n n n +⨯-=+++11133489，∴n n n n a a a 338898911⨯--=++，即nn n a a 336491⨯+=+， （5分） ∴)3932(9393211n n n n a a ⨯+=⨯+++ ∴119)332(3932-⨯+=⨯+n n n a a ， 即n n n m a 39329)316(278⨯-⨯-= （10分） 由条件知，36439329)316(278≥⨯-⨯-n n m 对任何正整数n 恒成立， 即n n m 3193291364)316(278⨯+⨯≥-对任何正整数n 恒成立， 由于n n 3193291364⨯+⨯在1=n 时取最大值27963193291364=⨯+⨯， 于是2796)316(278≥-m ，解得34≤m ． 由上式知道m 的最大值为34． （15分）当34=m 时，n n n a 3929932⨯3-⨯=， 于是34334)39329932(89+⨯-⨯-⨯=n n nn S )13)(13(34]134)3(3[3412--=+⨯-⨯=+nn n n ，所以∑∑=+=--=n k kk knk k k S 111)13)(13(3433)131131(8311---=+=∑k n k k 1632183)131131(831=⨯<---=+n ． （20分）。
2011年初二三科联赛数学试题
2011年八年级三科联赛数学试题分数：100分 时间：120分钟一、选择题（每题5分，共30分） 1、若10,20==c b b a 则cb b a ++的值为（ ） A 、2111 B 、1121 C 、21110 D 、112102、如图，H 是正方形ABCD 一边BC 延长线上一点，E 为CD 上一点，且CE=CH ，则下列结论错误的是（ ）A 、BE=DH ；B 、∠H+∠BEC=90°C 、BG ⊥DHD 、∠HDC+∠ABE=90° 3、若a ≠b ，化简b a ab --2的结果是（ ）A 、b a -B 、b a --C 、b a ---D 、O 4、已知点A （1,2），B （2,1），线段AB 与直线y=3x+b 有交点，则b 的取值范围是（ ）A 、b ＞－5B 、b ＜－1C 、－5＜b ＜－1D 、－5≤b ≤－1 5、已知∠MON ＝40°，P 是∠MON 内的一定点，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上移动，当△PAB 周长最小时，∠APB 的值为（ ）A 、80° A 、100° A 、120° A 、140° 6、方程abc=2（a+b+c ）的正整数解有（ ）A 、3组B 、4组C 、6组D 、12组 二、填空题（每题5分，共30分）7、如图，平行四边行ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，E 、F 是BD 上两点，且BF=DE ，则图中全等三 角形有 对。
8、若100x 2－Kxy+49y 2是一个完全平方式，则K 值为 。
9、如图，平面直角坐标系中，多边形OABCDE 的顶点分别是O （0,0），A （0,6），B （4,6）C （4,4）， D （6,4），E （6,0）若直线l 经过点M （2,3）， 且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式为 。
10、有一列数为1,1,5,13,25,41,…，按此规律排列，第101个数为 。
2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题
绝密★启用前2011年全国初中数学联合竞赛四川地区试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：82分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．362、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A ．42条 B ．54条 C ．66条 D ．78条3、设方程的两根是、，则方程的根是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5、若不等式有解，则实数最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66、不定方程的正整数解的组数是（ ）A ．0组B ．2组C ．4组D ．无穷多组第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）7、二次函数的图像关于对称，则的最小值是 .8、已知△ABC中，AB=；BC=6；CA=.点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是 .9、一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。
比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是 .三、解答题（题型注释）10、已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立，求其实数的可能值。
2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛 四川初赛试题详细解答一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、双曲线12222=-by a x 的左、右准线l 1、l 2将线段F 1F 2三等分（其中1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率e 等于（ ）．A 、26B 、3C 、233D 、32解：由题意得ca c 2232⨯=，解得3=e ． 故答案选B ．2、已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数； 命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点． 则p 是q 的（ ）A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件解：选A ．3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏．每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的．设在一局中甲赢的人数为ξ，则随机变量ξ的数学期望ξE 的值为（ ）A 、31 B 、94C 、32D 、1解：942743)0(=⨯==ξP , 942743)1(=⨯==ξP ,912713)2(=⨯==ξP ,于是32291194094=⨯+⨯+⨯=ξE . 故答案选C ．4、函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）A 、3B 、3C 、32D 、33 解：法一：()f x 的定义域为85≤≤x ，由0324525332432423521)(=-⋅----=--+-='xx x x xx x f ，解得423=x ． 因为3)5(=f ，32)423(=f ，3)8(=f ，于是32)423()(max ==f x f ． 故答案选C ．法二：()f x 的定义域为85≤≤x ，当且仅当3815xx -=-，即423=x 时，()f x 取到最大值32．故答案选C ． 5、如图，边长为2的正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的面成60°角，M 、N 分别是线段AC 和BF 上的点，且FN AM =，则线段MN 的长的取值范围是A 、]2,21[ B 、[1,2] C、2] D、2] 解：过点M 作MH//BC 交AB 于H ，则AM AHAC AB=， 又AM=FN ，AC=FB ，∴FN AHFB AB=，∴NH//AF ， ∴NH ⊥AB ，MH ⊥AB ，∴∠MHN=60°．设AH=x (0≤x ≤2)，则MH=x ，x NH -=2，∴MN ==1)1(32+-=x∴ 21≤≤MN ．选答案选B ．6、设数列}{n a 为等差数列，数列}{n b 满足：11a b =，322a a b +=，6543a a a b ++=，……，若2lim3=∞→n b nn ，则数列}{n a 的公差d 为（ ） A 、21B 、1C 、2D 、4 解：nn n n n n n n a a a b +-+-+-+++=2)1(22)1(12)1( ][22)1(12)1(n n n n n a a n+-+-+=于是22)2(21lim lim213==+-=∞→∞→dd nd a n b n n n ，解得4=d ．故答案选D ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、已知实数x 满足6|52||12|=-++x x ，则x 的取值范围是 ． 解：因为6|)25()12(||52||12|=-++≥-++x x x x ， 等号成立当且仅当0)52)(12(≤-+x x ，即2521≤≤-x ．故答案填]25,21[-． 8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且1||=，则使得向量m +与m )1(-+互相垂直的所有实数m 之和为 ．解：由于])1([)(0m m -+⋅+==22)1(m m -+⋅+)1(||2m m -+=， 即22||m m --=0，所以由根与系数的关系知符合条件所有实数m 之和为1．故答案填1．9、记实数等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70,103010==S S ，则=40S ． 解：记101S b =，10202S S b -=，20303S S b -=，30404S S b -=设q 为{}n a 的公比，则4321,,,b b b b 构成以10q r =为公比的等比数列，于是)1(10)1(7022132130r r r r b b b b S ++=++=++==即062=-+r r ，解得2=r 或3-=r （舍去），故150)1(103240=+++=r r r S ．故答案填150.10、设x 为实数，定义⎡⎤x 为不小于x 的最小整数，例如⎡⎤4=π，⎡⎤3-=-π．关于实数x 的方程⎡⎤21213-=+x x 的全部实根之和等于 ． 解：设Z k x ∈=-212，则412+=k x ，432113+++=+k k x ，于是原方程等价于1432-=⎥⎥⎤⎢⎢⎡+k ，即14322-≤+<-k ，从而27211-≤<-k ，即45--=或k ． 相应的x 为47,49--．于是所有实根之和为4-．故答案填4-．11、已知3)31(n n n b a +=+，其中n n b a ,为整数，则=+∞→nnn b a lim ．解：由条件3)31(n n n b a +=+知3)31(n n n b a -=-， 于是])31()31[(321],)31()31[(21n n n n n n b a --+=-++=， 故n n n n n nn n b a )31()31()31()31(3lim lim --+-++⨯=+∞→+∞→3)3131(1)3131(13lim =+--+-+⨯=+∞→nnn ． 故答案填3．12、已知三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S 、A 、B 、C 四点均在以O 为球心的某个球面上，则点O 到平面ABC 的距离为 ．解：如图，因为SA=SB=SC ，所以S 在平面ABC 上的射影是△ABC 的外心，即AB 的中点H ，同理O 点在平面ABC 上的射影也是△ABC 的外心H ，即在等边△SAB 中，求OH 的长，其中OA=OB=OS ． 显然，332323131=⨯⨯==SH OH．故答案填3． 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知0>m ，若函数mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．解：令mx t -=100，则m t x 2100-=， （5分）∴4100)2(110022mm m t m t m t y ++--=+-=， ∴当2m t =时，y 有最大值4100m m +，即4100)(m m m g +=． （10分） ∴10410024100)(=⨯≥+=mm m m m g ， （15分） 等号当且仅当20=m 时成立，∴当20=m 时，)(m g 有最小值10． （20分） 14、已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2,0[π∈x 有最大值5，求实数m 的值．解：422222)cos (sin cos sin 4)cos (sin 2)(x x m x x x x x f ++-+=42)cos (sin )cos sin 2(2x x m x x ++-= （5分） 令]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=πx x x t ，则1cos sin 22-=t x x ，从而12)1()1(2)(24422++-=+--=t t m mt t x f （10分）令]2,1[2∈=t u ，由题意知12)1()(2++-=u u m u g 在]2,1[∈u 有最大值5.当01=-m 时，12)(+=u u g 在2=u 时有最大值5，故1=m 符合条件； （15分） 当01>-m 时，5122)2()(max =+⨯>≥g u g ，矛盾！ 当01<-m 时，512)(≤+<u u g ，矛盾！综上所述，所求的实数1=m ． （20分） 15、抛物线2y x =与过点(1,1)P --的直线l 交于1P 、2P 两点． （I ）求直线l 的斜率k 的取值范围； (II) 求在线段12P P 上满足条件12112PP PP PQ +=的点Q 的轨迹方程． 解：（I ）直线l 的方程为1(1)y k x +=+，与抛物线方程2y x =联立得21(1)y x y k x ⎧=⎨+=+⎩，消去y 得2(1)1x k x =+-，即2(1)0x kx k ---=， 由2()4(1)0k k ∆=-+->，解得2k >-+2k <-- （5分）（II ）设Q 点坐标为(,)x y ，1P 点坐标为11(,)x y ，2P 点坐标为22(,)x y ， 则12x x k +=，12(1)x x k ⋅=--，又1P 、2P 、Q 都在直线l 上，所以有1(1)y k x +=+，111(1)y k x +=+，221(1)y k x +=+， 由12112PP PP PQ +=得化简得12112|1||1||1|x x x +=+++ （10分）又121212(1)(1)1(1)120x x x x x x k k ++=+++=--++=>，点Q 在线段12P P 上， 所以121,1,1x x x +++同号．则12112111x x x +=+++ 因此121212122122x x x x kx x x k +++-=-=+++ ①，232(1)1(1)122k k y k x k k k --=+-=⋅+-=++ ②， 由①得221x k x -=+代入②得22321122221x x y x x x --+==--++,即210x y -+=， （15分）又因为2k >-+2k <--412x k =-+的取值范围是11x <<且1x ≠-，因此点Q 的轨迹方程是210x y -+=（11x <<且1x ≠-）． （20分）16、已知m 为实数，数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：m a S n n n +⨯-=33489，且364≥n a 对任何的正整数n 恒成立．求证：当m 取到最大值时，对任何正整数n 都有16331<∑=nk kk S ．证明：当1=n 时，由m a a +-=48911得)4(81m a -=， 当1≥n 时，m a S n n n +⨯-=33489，m a S n n n +⨯-=+++11133489，∴n n n n a a a 338898911⨯--=++，即nn n a a 336491⨯+=+， （5分） ∴)3932(9393211n n n n a a ⨯+=⨯+++ ∴119)332(3932-⨯+=⨯+n n n a a ，即n n n m a 39329)316(278⨯-⨯-=（10分） 由条件知，36439329)316(278≥⨯-⨯-n n m 对任何正整数n 恒成立， 即n n m 3193291364)316(278⨯+⨯≥-对任何正整数n 恒成立， 由于n n 3193291364⨯+⨯在1=n 时取最大值27963193291364=⨯+⨯， 于是2796)316(278≥-m ，解得34≤m ． 由上式知道m 的最大值为34． （15分）当34=m 时，nn n a 3929932⨯3-⨯=，于是34334)39329932(89+⨯-⨯-⨯=n n n n S)13)(13(34]134)3(3[3412--=+⨯-⨯=+nn n n ，所以∑∑=+=--=n k kk knk k k S 111)13)(13(3433)131131(8311---=+=∑k n k k 1632183)131131(831=⨯<---=+n ． （20分）。
四川初中数学联赛(初二组)决赛试卷及其答案
2011年四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷（4月10日 上午8：45—11：15）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元．某人从成都邮寄一本书到上海，书的质量是470克，那么他应付邮资（ ） A ．2.3元 B ．2.6元 C ．3元 D ．3.5元2．设关于x 的分式方程2222a a x x --=--有无穷多个解，则a 的值有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无穷多个3．实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，且0abc >，则111a b c++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．正负不能确定4．若a ，b ，c 分别是三角形三边长，且满足1111a b c a b c+-=+-，则一定有（ ）A ．a =b =cB ．a =bC ．a =c 或b =cD ．a 2+b 2=c 25．已知如图，长方形ABCD ，AB ＝8，BC ＝6，若将长方形顶点A 、C 重合折叠起来，则折痕PQ 长为（ ）A ．152B ．7C ．8D ．1726．用三个2，能写出最大的数一定是（ ）A ．等于222 B ．等于222 C ．等于242 D ．大于1000 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．x 是实数，那么115x x x -++++的最小值是_________． 2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．右图是一个由6个正方形构成的长方形，如果最小的正方形的面积是1，则这 个长方形的面积是_______．4．若△ABC 的三条中线长为3、4、5，则S △ABC 为____________． 三、（本大题满分20分）设有m 个正n 边形，这m 个正n 边形的内角总和度数能够被8整除，求m +n 的最小值．QP DCBA四、（本大题满分25分）现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要多少只袜子就一定能够配成10双袜子． 五、（本大题满分25分）已知如图：正方形ABCD ，BE ＝BD ，CE 平行于BD ，BE 交CD 于F ，求证：DE ＝DF ．FE D C B A2011年四川初中数学联赛(初二组)决赛参考解答与评分标准一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、我国邮政国内外埠邮寄印刷品邮资标准如下：100克以内0.7元，每增加100克（不足100克按100克计）0.4元。
2011年全国 初中数学联赛(含答案)
12011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2a b +=，()()22114a b ba--+=-，则ab 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．12-D ．12【解析】 B由22(1)(1)4a b b a--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-，即()2233()240a b a b a b ab +-++++=，即()()222222240a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1ab =-．2．已知ABC △的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 B设ABC △的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为222520S S Sh，，．显然222520S S >，于是由三边关系，得222205222205S S Sh S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得2043h <<． 所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．3．方程()21423(2)x x -=-+的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C如图，利用函数图像，发现主要是讨论在11x -≤≤时的交点情况，可用判别式判断(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根，所以函数图象上中间部分应该是相切的，所以共有三个交点．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组【解析】 C显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条，当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．yxOy=4-23((x +2)y=x 2-13又因为12945+++=L ，所以正方形的边长不大于45114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由于7=1+了=2+5=3+4； 8=1+7=2+6=3+5； 9=1+8=2+7=3+6=4+5；1+9=2+8=3+7=4+6 2+9=3+8=4+7=5+6．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法．故满足条件的“线段组”的组数为1459⨯+=．5．如图，菱形ABCD 中，3AB =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，则AE =（ ）A ．12+B 6C ．231D ．13【解析】 D过F 作AB 的垂线，垂足为H ．60DAB ∠=︒Q ，2AF AD FD =-=，30EFG ∴∠=︒，1AH =，3FH =，又15EFG ∠=︒Q90301545EFH AFG AFH EFG ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，从而FHE △是等腰直角三角形，所以3HE FH ==DCABE HFG413AE AH HE ∴=+=．6．已知111111111234x y z y z x z x y +=+=+=+++，，，则234x y z++的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【解析】 C111122x x x y z y z +=∴+=++，，即22x y z x y zy z x x y z+++=∴=+++， 同理可得：34x z x yy x y z z x y z++==++++， 则()22342x y z x y z x y z++++==++ 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在ABC △中，已知2B A ∠=∠，223BC AB ==+，，则A ∠=______________．【解析】 15︒方法一：延长AB 到D ，使BD BC =，连线段CD ，则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA Cd =．作CD AB ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故()()111223223222AE DE AD AB BD ===+=+=+，((223233BE AB AE =-=+-．在Rt BCE △中，3cos EB EBC BC ∠==，所以30EBC ∠=︒，故1152A ABC ∠=∠=︒． CD5方法二：过点C 点AB 的平行线交B ∠的角平分线与D 点，分别过C 点和D 点作AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，易知梯形ABCD 为等腰梯形易知22CD CB EF ==∴=，3Rt AF BE BCE ∴==∴中，3cos EBC ∠=，30CBE ∴∠=︒ 15A ∴∠=︒2．二次函2y x bx c =++的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A B ，两点，与y 轴正方向交于C 点，若ABD △和OBC △均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则2b c +=____________．【解析】 2．方法一：由已知，得24(0)0b b c C c A ⎫---⎪⎪⎝⎭，，，240b b c B ⎫-+-⎪⎪⎝⎭，2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，．过D 作DE AB ⊥于点E ，则2DE AB =，即224244b c b c -⨯-22424b c b c -=-240b c -242b c -．又240b c ->242b c -=．又OC OB =，即24b b cc -+-=，得2242b c b c +-=．方法二：OBC △为等腰直角三角形，OB OC ∴=，B ∴点坐标为()0c ，20c bc c ∴++=，又0c ≠，10c b ∴++=，24AB b c -D 点纵坐标为24b c -，BE F A CD6ABD △为等腰直角三角形，221442b c b c ∴-=-22424b c b c ∴-=-240b c -≠，所以244b c -=2444b c b ∴=+=-，0b ≠，4b ∴=-，3c ∴=3．能使2''256+是完全平方数的正整数n 的值为______________．【解析】 11．当8n <时，()82''2562''12n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则2''2562652+=⨯；若4n =，则42''256217+=⨯；若6n =，则62''25625+=⨯；若8n =，则82''25622+=⨯，所以，当8n ≤时，2''256+都不是完全平方数．当8n >时，()882''256221n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设()282121n k -+=+（k 为自然数），则10(1)n n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．4．如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果34DE CE =，85AC =，D 为EF 的中点，则AB =______________．【解析】 24．设4CE x AE y ==，，则36DF DE x EF x ===，连AD BC ，．因为AB 为O e 的直径，AF 为O e 的切线，所以90EAF ∠=︒，ACD DAF ∠=∠．7又因为D 为Rt AEF △的斜边EF 的中点，DA DE DF DAF AFD ∴==∴∠=∠，，85ACD AFD AF AC ∴∠=∠∴==，在Rt AEF △中，由勾股定理得222EF AE AF =+，即2236320x y =+．设BE z =，由相交弦定理得CE DE AE BE =g g ，即24312yz x x x ==g， 23203y yz ∴+= ①又AD DE =Q ，DAE AED ∴∠=∠．又DAE BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，BCE BEC ∴∠=∠，从而BC BE z ==．在Rt ACB △中，由勾股定理得222AB AC BC =+，即22()320y z z +=+，22320y yz ∴+=． ②联立①②，解得816y z ==，．所以24AB AE BE =+=．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a b c ，，满足3a b c -+=，方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根，方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根．求a b c，，的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．CAE OFDB8设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则221211100x ax x bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得11c x a b -=-．设1x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则22211200x x a x cx b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得21a b x c -=-．所以121x x =．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则22210x ax ++=． 又2220x x a ++=，两式相减，得2(1)1a x a -=-． 若1a =，则方程①无实根，所以1a ≠，故21x =．于是21a b c =-+=-，．又3a b c -+=，解得32b c =-=，．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =，P 为AC 的中点．求证：（1）30PBD ∠=︒；（2）AD DC =．直径，P 为该圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒．（2）作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，DAPM SNB C931222MS DS DM SB SB SB SN ∴=-=-==，Rt PMS Rt PNS ∴≅△△，30MPS NPS ∴∠=∠=︒，又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．⑴证明：3m n p +=+；⑵求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 ⑴因为90ACB ∠=︒，OC ab ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=2()2()()()m n p p m n p m n p m n p ++-++=+++-，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．（2）由2mn p =，3m n p +=+知m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而[]22(3)40p p =-+->△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．10当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．设图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =-．所以，图象经过.A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =．求证：AD DC =．证明 由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径．设P 为AC 的中点，则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，则M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，CBNSM PAD11∴31222MS DS DM SB SB SB SN =-=-==,∴Rt PMS Rt PNS ≅△△,∴30MPS NPS ∠=∠=︒,又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，所以45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 因为90ACB ∠=︒，OC AB ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=222()2()()2()m n p p m n p m n p p np mp ++-++=++-++，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．又2mn p =，故m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而()22340p p =-+->⎡⎤⎣⎦△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．12当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．试图象经过A B C ，，三点的二次涵数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =． 所以，图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，已知P 为锐角ABC △内一点，过P 分别作BC AC AB ，，的垂线，垂足分别为D E F ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ，如果PD PE PF =+，求证：CN 是ACB ∠的平分线．证明 如图1，作1MM BC ⊥于点1M ，2MM AB ⊥于点2M ，1MN BC ⊥于点1N ，2MN AC ⊥于点2N ．MAB CD EPF M 1N 1M 2N 2NP NDHMN 1M 1H 1设NP NM λ=⊥，∵11NN PD MM ∥∥，∴111N D N M λ=．13若11NN MM <，如图2，作1NH MM ⊥，分别交1MM ，于点1H H ，，则1NPH NMH :△△，∴1PH NPMH NMλ==，∴1PH MH λ=， ∴()()111111111PD PH H H MH NN MM NN NN MM NN λλλλ=+=+=-+=+-．若11NN MM =，则()11111PD NN MM MM NN λλ===+-．若11NN MM >，同理可证11(1)PD MM NN λλ=+-．∵2PE NN ∥，∴21PE PMNN NMλ==-，∴2(1)PE NN λ=-． ∵2PF MM ∥，∴2PF NPMM NMλ==，∴2PE MM λ=． 又PD PE PF =+，∴1122(1)(1)MM NN MM NN λλλλ+-=+-．又因为BM 是ABC ∠的平分线，所以12MM MM =，∴()()1211NN NN λλ-=-．显然1λ≠，即10λ-≠，∴12NN NN =，∴CN 是ACB ∠的平分线．三、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同．。
2011年全国初中数学联赛一试二试试题、答案及评分标准
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-， 即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ．2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8. 【答】B.设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为h S S S 2,202,52．显然20252SS >，于是由三边关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h S S S Sh S S 解得3204<<h ． 所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x24x =-1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x ，满足1||<x ．综上，原方程有3个解．.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=； 5362718+=+=+=； 546372819+=+=+=+=； 64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。
四川竞赛数学试题及答案
四川竞赛数学试题及答案一、选择题：（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 如果一个长方体的长、宽、高分别是3、4、5，那么它的体积是多少？A. 60B. 120C. 180D. 2403. 一个数的平方根是4，这个数是：A. 16B. -16C. 4D. 84. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 15. 圆的周长是2πr，其中π是一个常数，r是半径。
如果一个圆的周长是12π，那么它的半径是多少？A. 2B. 3C. 4D. 66. 下列哪个数是2的倍数？A. 11B. 13C. 14D. 157. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 88. 一个数的立方根是2，这个数是：A. 6B. 8C. 2D. 49. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是10. 一个分数的分子和分母相等，这个分数是：A. 1/2B. 1C. 1/1D. 2/4二、填空题：（每题4分，共20分）11. 一个数的平方是25，这个数可以是______或______。
12. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
13. 如果一个直角三角形的斜边长度是10，其中一个锐角的正弦值是3/5，那么这个锐角的对边长度是______。
14. 一个数的立方是-27，这个数是______。
15. 如果一个数的平方根是2或-2，那么这个数是______。
三、解答题：（每题10分，共50分）16. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
17. 证明：如果一个三角形的三个内角分别是A、B、C，那么A + B +C = 180°。
18. 计算：(2 + 3i)(1 - 4i)，其中i是虚数单位。
19. 一个圆的半径是7，求这个圆的面积。
四川初二数学试题及答案
四川初二数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. √2C. 0.5D. 3.14答案：B2. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. 0C. -1D. 以上都不是答案：B3. 一个二次函数的图像开口向上，下列哪个选项是正确的？A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a 可以是任何实数答案：A4. 以下哪个图形不是轴对称图形？A. 圆形B. 正方形C. 等腰三角形D. 菱形答案：D5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 非负数D. 非正数答案：C7. 以下哪个选项是正确的？A. 2x + 3 = 5x - 7B. 3x - 2 = 2x + 3C. 4x = 2x + 6D. 5x - 2 = 3x + 4答案：C8. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是：A. 1B. 0C. -1D. 以上都是答案：D9. 以下哪个图形是中心对称图形？A. 圆形B. 正方形C. 等腰三角形D. 以上都是答案：D10. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 以上都不是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。
答案：5，-52. 一个数的平方是16，这个数可以是______或______。
答案：4，-43. 一个数的立方是-8，这个数是______。
答案：-24. 如果一个数的相反数是-7，那么这个数是______。
答案：75. 如果一个数的倒数是2/3，那么这个数是______。
答案：3/26. 一个二次函数的图像开口向下，那么a的值应该是______。
答案：小于07. 一个数的平方根是2，那么这个数是______。
答案：48. 一个数的立方根是3，那么这个数是______。
数学四川竞赛试题及答案
数学四川竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 计算下列表达式的值：\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \]A. \( \frac{5}{6} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案：A3. 一个数的平方等于81，那么这个数是：A. 9B. -9C. 9或-9D. 以上都不是答案：C4. 圆的周长公式是：A. \( C = \pi d \)B. \( C = 2\pi r \)C. \( C = \pi r^2 \)D. \( C = 2\pi d \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是______。
答案：56. 一个数的立方等于27，那么这个数是______。
答案：37. 一个圆的半径是7，那么它的面积是______。
答案：\( 49\pi \)8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。
答案：5或-5三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知一个等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
解：根据等差数列的通项公式 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( a_1 \) 是首项，\( d \) 是公差，\( n \) 是项数。
\[ a_{10} = 1 + (10 - 1) \times 2 = 1 + 18 = 19 \]答案：1910. 计算下列二次方程的解：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]解：使用因式分解法解方程。
\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]所以，\( x - 2 = 0 \) 或 \( x - 3 = 0 \)。
答案：\( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)11. 已知一个圆的直径为14，求圆的面积。
四川省八年级数学联赛初赛试题
一 ．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四 ．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五 ．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。
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2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、分式
)0(≠++xyz z
y x xyz
中z y x ,,的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的（ ）。
（A ）2倍 （B ）4倍 （C ）6倍 （D ）8倍 答：选B 。
2、有甲、乙两班，甲班有m 个人，乙班有n 个人。
在一次考试中甲班平均分是a 分，乙班平均分是b 分。
则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）． （A ）
2b a + （B ） 2
n
m + （C ） b a bn am ++ （D ）n m bn am ++ 答：选D 。
3、若实数a 满足a a -=||，则||2a a -一定等于（ ）．
（A ）2a （B ）0 （C ） -2a （D ）-a
答：因为a a -=||，所以0≤a ，故a a a a a a 2|2|||||||2-==-=-，选C 。
4、ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=。
若
60=∠BAC ，则ABC ∠的大小为（ ）
（A ）
40 （B ）
60 （C ）
80 （D ）
100 答：作C 关于AD 的对称点C ’。
因为AD 是角平分线， 则C ’一定落在AB 上。
由CD AC AB +=，得D C AC AB ''+=，故D C BC ''=， 所以B D AC C ∠=∠=∠2'，
又 120180=∠-=∠+∠A C B ，故
40=∠B ，选A 。
5、在梯形ABCD 中，AD 平行BC ，2:1:=BC AD ，若ABO ∆的面
积是2，则梯形ABCD 的面积是（ ）。
（A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10
答：设x S ADO =∆。
由2:1:::===∆∆CDO ADO S S OC AO BC AD ，故x S CDO 2=∆，
第5题
O
A
D
B
C
第4题
C'D
A
B
C
同理x S ABO 2=∆，x S CBO 4=∆，故1=x ，所以梯形面积是9，选C 。
6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。
那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。
重量（千克）
1
**
2
**
3
**
长度（厘米）
**
5
**
6
**
7 A 10厘米 B 13.5厘米 C 14厘米 D 14.5厘米
答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y ）与称重（x ）的关系是x y +=5.3，故弹簧最长为13.5厘米，选B 。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、已知1
31,1
31-=
+=
b a ，则72
2++b a 的值为 .
答：由题设有：4
324,432422
+=-=
b a ，则372
2=++b a 。
2、已知在ABC ∆中，
90=∠C ，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于点D ，
1:2:=DC BD ，则B ∠的度数是 。
答：因为AD 是角平分线，所以1:2::==AC AB DC BD ， 故 30=∠B 。
３、在ABC ∆中， 80=∠A ，I 是C B ∠∠,的角平分线的交点，则BIC ∠的度数为 ．
答：由题知
1302
1
90)180(21180)2121(180=∠+=∠--=∠+∠-=∠A A C B BIC 。
４、设函数)0(>=k kx y 与x y 1
=的图像相交于A 、C ，过A 作x 轴
的垂线相交于B ，则ABC ∆的面积是 。
答：由题得B 的坐标为),1(
k k
，
第2题
D
B
A
C
第4题
y
x
C
B
O
A
G E
D
F
C
B
A
所以2
1121=⋅⋅=
∆k k S ABO ，又显然O 为AC 的中点， 故12==∆∆ABO ABC S S 。
三、（本大题满分20分）
设t x tx +=-22是关于x 的方程。
当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求t 的取值范围。
解：方程整理为t x t +=-2)2( 当2≠t 时，方程的解为：2
2-+=t t
x …………………5分 （1）当0>x 时，则
022>-+t t
，此时，2-<t 或2>t ；…………………10分 （2）当0=x 时，则022=-+t t
，此时，2-=t ； …………………15分
（3）当0<x 时，则02
2<-+t t
，此时，22<<-t 。
…………………20分
四、(本大题满分25分)
在平面直角坐标系中，A （2,0），B （3,0），P 是直线x y =上的点，当PB PA +最小时，试求P 点的坐标。
解：如图，作A 关于直线x y =的对称点A ’， 则'PA PA =，
故PB PA PB PA +=+'。
…………………5分
由图知，只有当A 、P 、B 共线时，PB PA +最小。
……10分 又由A 与A ’关于x y =对称知，A’（0,2）。
…………15分 由'A 、B 两点坐标得AB 直线方程：
12
3=+y
x 。
……20分 联立⎪⎩
⎪⎨⎧==+x y y
x 1
23解得56==y x ，
故当PB PA +最小时，P 的坐标为)5
6
,56(。
…………………25分 五、（本大题满分25分）
求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。
设BD 、CE 是ABC ∆的两条中线（如图），证明AC AB =。
……5分
x
y 第四题
A'O
A
B P
F
E
D
B
C
A
证明1 作中线AF ，则三条中线交于重心G 。
……10分 因为BD BG 32=
，CE CG 3
2
=，所以CG BG =； ………15分 所以BC GF ⊥，即BC AF ⊥。
………20分 又AF 是中线，故AC AB =。
……………25分 证明2：
如图，将EC 沿ED 平移得DF ，连接ED 、CF ，则四边形EDFC 是平行四边形， 所以DF EC BD ==. …………10分 又D 、E 分别AC 、AB 的中点，所以DE 平行BC ， 所以B 、C 、F 共线。
所以 ECB DFB DBF ∠=∠=∠ ………15分 又 BD =CE ，BC =CB
所以)(SAS DBC ECB ∆≅∆ ………20分 所以ACB ABC ∠=∠，故AB=AC 。
……………25分。