O二次曲线方程的化简

a1'2 (a22 a11)sin cos a12 (cos2 sin2 )
a2' 2 a11sin2 2a12sin cos a22cos2
b1' b1cos b2sin b2' b1sin b2cos
c' c
要使得新方程中没有
混乘项，即 a1'2 0
如果 ((a22 a11)sin2 2a12cos2 ) 0, 即 cot 2 a11 a22 .
a'' 11
x''
2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
c''
0.
椭圆型 a1*1a2*2 0
(1) 椭圆 c* 0，a1*1c* 0;
(2) 无轨迹c*
(3)点
c*
0，a1*1c*
0,
0
a'' 11
0,
a1*1 x*2
a2*2
y*2
c*
0
双曲型
a1*1a2*2 0
c''
0
y'
y ''
b2' a2' 2
a'' 11
a1' 1, b1''
a'' 22
=a2' 2
0.
b1' , c''
c'
b2' 2 a2' 2
在新的坐标系O'' x'' y''中原方程化成
a'' 11
x''
2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
c''
0.
方程没有 x'' y'' , y''项，曲线关于 x''轴对称.
假设 a2' 2 0 ，上面的方程可化为
a1' 1x'2
把坐标系 标变换.
a2' 2 ( y' O' x' y'沿
ayb2'2''2轴)2平移2b1' xab' 2'2'2
c'
b2' 2 a2' 2
0.
，即经过坐
x' x''
方程化为：
a1''1 x '' 2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
a1*1 a1"1 a1' 1, a2*2 a2"2 a2' 2
c*
c''
b '' 2 1
a'' 11
c'
b1' 2 a1' 1
b2' 2 a2' 2
.
a'' 11
பைடு நூலகம்
0,
曲线有唯一的对称中心，化简方程的
第三步的几何意义就是把坐标原点移到对称中
心，这类曲线称为中心型曲线.其方程称为标
准方程
a1*1x*2 a2*2 y*2 c* 0.
a'' 11
0时的曲线，叫做抛物型曲线：有两
种形式: a2*2 y*2 2b1*x* 0， a2*2 y*2 c* =0,
抛物型曲线 a1*1 0, a2*2 0.
(6) 抛物线，顶点为坐标原点O* : b1'' 0 （7）一对平行的直线：b1'' 0, a2*2c* 0
（8）无轨迹：b1'' 0, a2*2c* 0 （9）一条直线：b1'' 0, c* 0
y
''
2
2b1'' x''
c''
0
化为
a'' 22
y '' 2
2b1'' x''
c''
0.
（1.2.1）若
将坐标系 标变换
b1'' 0
a'' 22
y '' 2
2b1'' (x''
O"x'' y''沿 x'' 轴平移
x''
x*
c'' 2b1''
,
2cb2''c1'b' ')'1''， 0即. 经过坐 其中
3 二次方程的化简 根据系数的具体情况，适当选取坐标系，以化简 二次曲线的方程.希望能够化简成像椭圆， 双曲 线或者抛物线的标准方程的形状.
F (x, y) a11x2 2a12 xy a22 y2 2b1x 2b2 y c 0.
假设上面方程中有混乘项, 即 a12 0. 问题是如何消掉混乘项 xy
椭圆型中心曲线：
(I) 椭圆：c* 0，a1*1c* 0; (2) 无轨迹（虚椭圆）： c* 0，a1*1c* 0; (3) 点： c* 0,
双曲型中心曲线：
(4) 双曲线：c* 0, (5) 两条直线：c* 0,
（1.2）如果
a'' 11
0, 则方程 a1''1x''2
a'' 22
0,则上面方程可以化为
a'' 11
将坐标系 标变换
( x ''
b1'' a''
11
)2
a'' 22
y '' 2
O"x'' y''沿 x'' 轴平移
x''
x*
b1'' a''
11
,
cb''1''，ba1即1''''21 经 0过. 坐 a ''
11
y'' y*
曲线的方程化简为
a1*1x*2 a2*2 y*2 c* 0.
抛物线没有对称中心，称为无心曲线.
总结
二次方程的化简分三步完成。前两步将坐标轴 变成曲线的对称轴，第三步按照中心型和非中 心型曲线，把坐标原点移动到中心或者顶点， 得到标准坐标系和标准方程. 根据标准方程，二 次曲线可以分为椭圆型，双曲型和抛物型三大 类。
a1'1x'2 a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' （0 a2' 2 0）.
转轴
x=x' cos y' sin , 代入上面的方程 y x' sin y' cos.
F ' (x' , y' )=a1'1x'2 2a1'2 x' y' a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' 0.
系数的关系
a1'1 a11cos2 2a12sin cos a22sin2
2a12
新方程中就没有混乘项，为了得到确定的值,
规定 0
这样，原方程在新坐标系 O'x' y' 就变成如下
没有混乘项的形式
a1'1x'2 a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' 0.
用移轴来进一步简化方程. 假设经过转轴以后二次曲线的方程化为
a1'1x'2 a2' 2 y'2 2b1' x' 2b2' y' c' 0.
y'' y* 方程化为a2*2 y*2 2b1*x* 0.
a2*2 a2"2 a2' 2 , b1* b1" b1' 0.
(1.2.2)若b1'' =0，方程a1''1x''2
a'' 22
y
''
2
2b1'' x''
c''
0变为
a'' 22
y''
2
c''
0.
统一记为 a2*2 y*2 c* =0, a2*2 a2"2 , c* c''
这也说明二次曲线总有一个对称轴，上面 化简方程的过程，其实就是把坐标轴变成对称 轴的过程，而消掉混乘项的过程，就是把坐标 轴变成与对称轴平行的过程.
在新的坐标系O'' x'' y''中继续化简方程
a1''1 x '' 2
a'' 22
y
'' 2
2b1'' x''
c''
0.
（1.1）如果
a'' 11