中考数学复习--几何最值及路径长 精讲及测试题

初三数学几何最值及路径长

一、知识点睛

1.解决几何最值问题的通常思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．

理论依据：

两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、结构示例：

①奶站模型

l

l

求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，

使点在线异侧使点在线同侧

②天桥模型

l

固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为奶站模型解决

③折叠求最值结构

A

M

A'

N

B C

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）2.解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②猜测、验证，确定运动路径；猜测常通过“起点、终点、特殊点”，结合不变特征验

证．

③设计方案，求出路径长．

二、精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点

A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，点C的坐标为(

1

2

，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为____．

Q

P

E

D

C

B

A

第1题图第2题图

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两

动点，且PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小．

3.如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点A作直线l平行于

BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值之差为__________．

l

P

C

N

B

M

A

第3题图第4题图

4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M，N两点分别是边AB，AC上的动点，

将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A'，连接BA'，则BA'的最小值是___________．5.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运

A

M

A'

N

B C

第1页第2页

第3页

第4页

……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线………………………

……………………………密……………………………………………………封…………………………………………线………………………

动时，点A 随之在OM 上运动，且矩形ABCD 的形状和大小保持不变．若AB =2，BC =1，则运动过程中点D 到点O 的最大距离为（ ） A

B

C

．5

D ．52

D

C

A

B O

N M F D

E

A

H G

B

C

第5题图 第6题图

6. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD

于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是__________．

7. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF

⊥AC 于点F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为___________．

M F

E P

C

B

A

第7题图 第8题图

8. 如图，在Rt △AOB 中，OA =OB

=O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点

P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 长度的最小值为___________． 9. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB =30°，点E ，F 分别是AC ，

BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE +FH 的最大值为_________________．

G

O

O'

D'A'

D

C

B

A

第9题图 第10题图

10. 边长为2的正方形ABCD 的两条对角线交于点O ，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆

时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A'BCD'．设A'C ，BD'交于点O'，若旋转了60°，则由点O 运动到点O'所经过的路径长为___________． 11. 如图，木棒AB 的长为2a ，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，且与地面的倾斜角

（∠ABO ）为60°．当木棒A 端沿NO 向下滑动到A'，B 端沿直线OM

向右滑动到B'，

若AA'=a ，则木棒的中点P 随之运动的路径长

为____________．

B

第11题图 第12题图

12. 如图，已知线段AB =10，AC =BD =2，点P 是线段CD 上一动点，分别以AP ，PB 为边

向上、向下作正方形APEF 和正方形PHKB ．设正方形对角线的交点分别为O 1，O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2的中点G 运动的路径长

为_________．

13. 已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，

点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接ED ，以ED 为

边在ED 右侧作等边三角形EDF ．设△EDF 的中心为O ，则点E 由点B 向点A 运动的过程中，点O 运动的路径长为_____________．

几何最值及路径长（随堂测试）

1. 如图，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC =4，BC =3，P 为AB 上一动点，且PE

⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，则线段EF 长度的最小值是____________．

F P C

B

A

A

B C

P C'

第1题图 第2题图

2. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，P ，Q 两点分别是边AC ，BC 上的动点．将

P

B

O

A

Q