静电场中的导体
大学物理-第3章-静电场中的导体
R2 R1
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
q r0
作过 r 处的高斯面S1
q
S1 E2 dS 0
得
E2 r
q
40r 2
q
E2 40r 2 er
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S2
E4
dS
在它形成的电场中平行放置一无限大金属平板。求：
金属板两个表面的电荷面密度？
解：带电平面面电荷密度0 ，导体两面感应电荷面密度分 别为1 和 2，由电荷守恒有
1 2 0 (1)
导体内场强为零（三层电荷产生）
σ0 σ1
σ2
E0 E1 E2 0
(2)
E0
0 1 2 0
(3)
20 20 20
导体表面任一点的电场强度都与导体表面垂 直。
20
2.导体在静电平衡状态下 的一些特殊性质
❖ 导体是等势体，导体表面是等势面。
在导体内部任取两点P和Q，它们之间的电势差可以表示为
VP VQ
Q
E
dl
0
P
❖ 导体表面的电场强度方向与导体的表面相垂直。
❖ 导体上感应电荷对原来的外加电场施加影响，改
Q1
Q2
0
q
q
0
得
E4r
q
4 0 r 2
E4
q
4 0 r 2
er
43
思考：（3）金属球壳和金属球的电势各 为多少？
解：设金属球壳的电势为U壳 ，则：
U壳
R2 E4 dl
(整理)静电场中的导体和电介质
第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等；②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=∙⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即B A U U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ， ∴ 腔内表面必有感应电荷-q 。
4静电场中的导体
3) 推论：处于静电平衡的导体是等势体 导体表面是等势面 导 体 是 等 势 体
en
E dl
E
+
+ + +
E dl 0
导体内部电势相等
dl
+
+
et
U AB E dl 0
AB
A
B
注意 当电势不同的导体相互接触或用另一导体（例如导 线）连接时，导体间将出现电势差，引起电荷宏观 的定向运动，使电荷重新分布而改变原有的电势差， 直至各个导体之间的电势相等、建立起新的静电平 衡状态为止。
各个分区的电场分布（电场方向以向右为正）：
1 2 3 4 在Ⅰ区：E 2 0 2 0 2 0 2 0 1 Q 方向向左 0 2 0 S
Eint 0
◆ 导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直。
E S 表面
证明(1)：如果导体内部有一点场强不为零，该点的 自由电子就要在电场力作用下作定向运动，这就不 是静电平衡了。 证明(2)：若导体表面紧邻处的场强不垂直于导体表 面，则场强将有沿表面的切向分量 Et，使自由电子 沿表面运动，整个导体仍无法维持静电平衡。
const .
E dS
S
q
i
i
0
E dl 0
L
3. 电荷守恒定律
讨论题：
1. 将一个带电+q、半径为 RB 的大导体球 B 移近一 个半径为 RA 而不带电的小导体球 A，试判断下列说 法是否正确。 +q B (1) B 球电势高于A球。 (2) 以无限远为电势零点，A球的电势 A 0 。 (3) 在距 B 球球心的距离为r ( r >> RB ) 处的一点P， q /(40。 r2) 该点处的场强等于 (4) 在 B 球表面附近任一点的场强等于 B / 0 ，
大学物理-静电场中的导体
E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
6
半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
22
解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
31
例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0
静电场中的导体
'
'
13
电偶极矩： 斜柱体的体积：
' ql Sl V Sl cos
电极化强度矢量的大小： p
' p cos pn
3、电介质的极化规律，极化率：
' V cos
p
极化强度矢量与该点的合场强有关，并与介质有关 对大多数各向同性电介质
2、电容器及其电容： 平板电容：
同轴柱形电容器 设 长 为 l
s c 0 d
C AB
qA U A UB
带电量为 q 外半径为 RB
8
内半径为 RA 则 q l
L
E 2 0 r B U AB E dl
A
RB
q c 2 0 U AB
同心球形电容器
1.0 102 m 处的电势
3、把点电荷移开球心，导体球壳的电势是否变化？
10 4 . 0 10 解：1、 V 9 109 40 R2 3.0 10 2
q
+q
-q
120v
2、定义
R1
+q
V1
R1
q 4 0 r
2
r1
dr
R2
q 4 0 r
0
s
E
0
2
尖端放电的实质 三、静电屛蔽：
+
+ + + + +
+ +
四、导体存在时静电场的计算： 例1、金属板面积为S，带电量为 Q。近旁平行放置第二块不 带电大金属板。 1、求电荷分布和电场分布；
静电场中的导体
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
1.5 静电场中的导体
§5 静电场中的导体
5.2 导体上的电荷分布 尖端放电现象 尖端放电可以利用的一面——避雷针。 当带电的云层接近地表面时，由于静电感应使地面上 物体带异号电荷，这些电荷比较集中地分布在突出的 物体（如高大建筑物、烟囱、大树）上。当电荷积累 到一定程度，就会在云层和这些物体之间发生强大的 火花放电。这就是雷击现象。 为了避免雷击，如右图所示，可在高大建筑物上安装 尖端导体（避雷针），用粗铜缆将避雷针通地，通地 的一端埋在几尺深的潮湿泥土里或接到埋在地下的金 属板（或金属管）上，以保持避雷针与大地电接触良 好。当带电的云层接近时，放电就通过避雷针和通地 粗铜导体这条最易于导电的通路局部持续不断地进行 以免损坏建筑物。
2
§5 静电场中的导体
2.1.1 导体的静电平衡条件 导体从非平衡态趋于平衡态的过程：
把一个不带电的导体放在均匀电场中。在导体所占据的那部分空间 里本来是有电场的，各处电势不相等。在电场的作用下，导体中的自由 电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，另一端带上负电，这就 是静电感应现象。 导体上的电荷达到什么程度时，电荷不再增加？ 导体内部： E E0 E 0， 达到平衡
12
§5 静电场中的导体
5.3 导体壳（腔内无带电体情形） （2）法拉第圆筒 静电平衡时，导体壳内表面没有电荷的结论 可以通过如图所示的实验演示。
A、B是两个验电器，把一个差不多封闭的空心金 属圆筒C（圆筒内无带电体）固定在验电器B上。给圆 筒和验电器B以一定的电荷，则金箔张开。取一个装有 绝缘柄的小球D，使它和圆筒C外表面接触后再碰验电 器A（图a），则A上金箔张开，如果重复若干次，我们 就能使金属箔A张开的角度很显著，这证明圆筒C的外 表面是带上了电的。 如果把小球D插入圆筒上的小孔使之与圆筒的内 表面相接触后，再用验电器A检查（图b）,则发现A的 金属箔总不张开。这表明圆筒C的内表面不带电。这 就从实验上证实了上述结论。这实验称为法拉第圆筒 实验，实验中的圆筒C称为法拉第圆筒。
大学物理-第18章静电场中的导体与电介质
+
O
+- H+ - H+
++
-
++
+
He
H2O
有极分子对外影响等效为一个电偶极子，电矩 Pe ql
事只实不上过lq所在为中为有无从心分分电负 的子子 场电 有中均 时荷 向所可 ，作 线有等 无用 段正效 极中电为 分心荷电 子指的偶 的向代极电正数子偶电和的极作；模矩用型为
综 1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的 述：宏观效果都是产生了极化电荷。
2）两种极化都是外场越强，极化越厉害 所产生的分子电矩的矢量和也越大。
三、电介质内的场强、有介质时的高斯定理
1、电介质内的场强
EE0E'
c
E0
E'
a
b
EE0E'
实验发现，在均匀介质中
E
2 3 0 ……(3)
在板内任选一点P,其场强是四个面的场强的叠加，有
EP210220230240
又 EP 0 12340 Q
联立四式得：
……(4) 1 2 3 4
12432Q S
I
II III
P
由于静电平衡时表面面电荷密度与表面附近场强大小成
E0
E
E0
r
r 1
0
++
E0
+ +-
E
+ +-
静电场中的导体总结
q 2
方向朝左
2 0 s q EC 2 0 s
EB
q
方向朝右
X
方向朝右
16
2、右板接地
4 0
高斯定理:
q 1 2 s 2 3 0
1 2
0
A
3
q
B p
4
0
C
q
P点的合场强为零:
1 2 3 0
1 0
EA 0
q 2 s q 3 4 0 s q EB EC 0 0s
根据高斯定理有：
E ds
3
p
4
E1 E2 E3
q
i
i
2 3 0
0
( 2 3 )s
E4
0
0
X
E p E1 E2 E3 E4 0 P点的场强是四个带电面产生 1 2 3 4 0 E p E1 E2 E3 E4 0, E p
q p
V p Vq
Ei dl 0
p
导体静电平衡条件：
Ei 0
q
V p Vq
导体表面：场强方向处处垂直于表面 表面即为一等势面
4
导体的静电平衡
静电平衡条件：
场强
导体内部场强处处为零
表面场强垂直于导体表面
' E内 E 0 E 0 ' E表面 E0 E 表面
E1 0 E3 0 E2 4 0 r22 q1
q1 q1
A
B
q1 q2 E4 4 0 r42
q1 q1 q1 q2 1 q1 q2 V1 ( ) ; V3 4 0 R1 R2 R3 4 0 R3 1 q1 q1 q1 q2 1 q1 q2 V2 ( ) ; V4 4 0 r2 R2 R3 4 0 r4 1
6静电场中的导体和电介质
V表面 常量
2. 导体上电荷分布 1）静电平衡时，导体内无净电荷，电荷只分布在导体 外表面上。 证明： (1)导体内无空腔 .p
E内 ds 0 q内 0
(2)导体内有空腔，腔内无其它带电体
可以看成已经达到静电平衡的实心导体，从中 挖出空腔，由于没有挖去净电荷，不会影响电 荷分布，也不影响电场分布。内表面无净电荷。
r
D1 E1 R1 2 r1 2 1r1 r R1 r1 r : E1 21r1 E1 2 r2 E 2 1r1 同理：r r2 R2 : E2 22 r2
R2
r R2 V d r1 dr2 ln ln 21r1 22 r2 21 R1 22 r R r
q
§6—7 静电场中的电介质 电介质 绝缘体(不导电) 1.电介质的电结构 带负电的电子→束缚电子 每个分子 带正电的原子核 正负重心不重合 两类电介质： 正负重心重合 E 2.电极化现象 E外 0 1）有极分子 2）无极分子
所有负电荷负重心 所有正电荷正重心
有极分子 p p 0 无极分子
q q A B
(3)内球与地相接，设内球带电q’：
R1
q q VA dr dr 2 2 R 4 r R2 4 r o o q 1 1 q q 1 ( ) 0 可解出 q 4o R R1 4o R2 q q 1 VB 4o R2
R
o
R
q
q
4 R 4
o
dq
q
o
2R
0
q q R 2R
q 4o R
静电场中的导体30052
E 外
+ + + + +
+ + +
导体的静电感应过程 加上外电场后
E 外
+ + + + + +
+ + + +
导体的静电感应过程 加上外电场后
E 外
+ + + + + +
+ + + +
感应电荷
导体达到静平衡
E 感
E内 E外 E感 0
+ + + + + +E
外 + + + +
感应电荷
处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度处处为零，整 个导体是个等势体。表面是等势面
﹡例2.已知导体球和导体球壳的半径 R1、R2、R3、及 q、Q
Q q
求 ①电荷及场强分布；球心的电势 ②如用导线连接A、B，再作计算
解: 电荷分布 q q Q q
q q
B A R1 R2
O R3
由高斯定理得
场
0
r R1 R2 r R3
强 分 布
q
E 4 0r 2 R1 r R2
9.7 静电场中的导体
一、导体的静电平衡 导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就 说导体处于静电平衡状态
无外 电场 时
导体的静电感应过程
E 外
加上外电场后
导体的静电感应过程
E 外
+
加上外电场后
导体的静电感应过程
E 外
+
静电场中的导体
物理学
势面。
1.2 静电平衡导体上的电荷分布
（1）导体内部各处的净电荷为零， 电荷只分布在导体的表面
如下图所示，由于导体内的电场强度E处处为零，所以通 过导体内任意高斯面的电通量为零，即
S E dS 0
根据高斯定理可知，此时高斯面 所包围的电荷量的代数和必然为零。 因为此高斯面是任意的，因此可得上 述表述是正确的。
若把金属导体放在外电场中，导体内部的自由电子在电 场力的作用下作宏观定向运动，从而使导体内正负电荷重新 分布。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈 现出的带电现象，称为静电感应现象。
2．静电平衡条件
如下图所示，在电场强度为E0的匀强电场中放入一块金 属板。在电场力的驱动下，金属内部的电子逆着外电场的方
E dS E dS+ E dS+ E dS
S
上底
ห้องสมุดไป่ตู้
下底
侧面
E S +0 S +E S cos E S 2
此高斯面包围的净电荷为σΔS，根据高斯定理有
所以
ES S 0
E0
由上式可知，在静电平衡时，导体表面上各处的面电荷密 度与该表面外附近处的场强的大小成正比。
（3）孤立的导体处于静电平衡时，它的表面 各处的电荷面密度与各处表面的曲率有关，曲 率越大的地方，电荷面密度越大
对于腔内有带电体的空腔导体，如右图所示，空腔内表面 必定带有与腔内带电体等量异号的电荷，外表面带有与腔内带 电体等量同号的电荷。若导体接地，则空腔内带电体的电荷变 化将不再影响导体外的电场。
如下图所示，对于在腔内带电体的空腔导体外还有一带 电体B，由于静电感应，空腔导体外表面上的电荷及其带电 体B上的电荷将重新分布。静电平衡时，空腔导体有如下特 点：
第一节 静电场中的导体
8-1 静电场中的导体一、静电感应 静电平衡条件金属导体由大量的带负电的自由电子和带正电的晶体点阵构成。
无论对整个导体或对导体中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和晶体点阵的正电荷的总量是相等的，导体呈现电中性。
若把金属导体放在外电场中，导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力作用下作宏观定向运动，从而使导体中的电荷重新分布。
在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象。
如上图所示，在电场强度为0E 的均强电场中放入一块金属板G ，则在电场力的作用下，金属板内部的自由电子将逆着外电场的方向运动，使得G 的两个侧面出现了等量异号的电荷。
于是，这些电荷在金属板的内部建立起一个附加电场，其电场强度E '和外来的电场强度0E 的方向相反。
这样，金属板内部的电场强度E 就是0E 和E '的叠加。
开始时0E E <'，金属板内部的电场强度不为零，自由电子会不断地向左移动，从而使E '增大。
这个过程一直延续到金属板内部的电场强度等于零，即0=E 时为止。
这时，导体内没有电荷作定向运动，导体处于静电平衡状态。
当导体处于静电平衡状态时，满足以下条件：（1） 导体内部任何一点处的电场强度为零；（2） 导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直；（3）导体为一等势体。
讨论：导体表面的电场强度与表面垂直在静电平衡时，不仅导体内部没有电荷作定向运动，导体表面也没有电荷作定向运动，这就要求导体表面电场强度的方向应与表面垂直。
假若导体表面处电场强度的方向与导体表面不垂直，则电场强度沿表面将有切向分量，自由电子受到该切向分量相应的电场力的作用，将沿表面运动，这样就不是静电平衡状态了。
讨论：导体是等势体导体的静电平衡条件，也可以用电势来表述。
由于在静电平衡时，导体内部的电场强度为零，因此，如在导体内取任意两点B A 和，这两点间的电势差U ，即电场强度沿B A 和两点间任意路径的线积分应为零，即⎰=⋅=AB U 0d l E这表明，在静电平衡时，导体内任意两点间的电势是相等的。
静电场中的导体习题
《静电场中的导体》习题一、判断题1在带正电的导体A附近，有一不接地的中性导体B，则A离B越近时，A 的电位越低。
[]2、接地导体，其表面必处处无电荷。
[]3、静电平衡时，电力线不能由导体一端的正电荷发出而终止于该导体另一端的负电荷。
[]4、静电感应达到平衡时，凡是接地导体必不带电。
[]5、由于静电感应，在导体表面的不同区域出现异号电荷，因而导体不再是等位体。
[]6、由于中性导体壳B对带电体A的屏蔽作用，带电体A的电场将对验电器C 无影响。
[]7、由于静电屏蔽作用，空腔导体内的带电体在腔外产生的场强为零。
[ ]8静电平衡时，导体表面是等位面，所以导体表面附近的场强大小处处相等。
[]二、选择题：1、在串联电容电路中，若电压逐渐升高，对耐压值相同的电容器来说，先击穿的将是[]A、电容值小的B、电容值大的C、同时击穿D无法确定2、在一个带正电荷，电量为Q的大导体附近P点放一个带电量也为Q的点电荷，若此时点电荷受到的斥力大小为F，则F/Q与未放置此点电荷时场强E相比（）A、大于B、相等C、小于3、在一带电为Q的导体壳A内有一接地的导体球B，A与B不接触，静电平衡时导体球B上所带电量q,则q为（）A、零；B、符号与Q相反，且（q<QC、符号与Q相同，且（q <Q4、两个同心得均匀带电球面，半径分别为R i和R2,且R2=2R I，内球面带正电荷q i，要使内球面的电位为正值，则外球面的电量q2必须满足[ ](1)内、外场强分布均匀⑶内外场强分布都不均匀10、如右图所示，将一个带正电的金属小球移近一个A 、q 2>-q iB 、q 2>-2q iC 、q 2=-2q iD 、q 2<-2q i5、 平行板电容器充电后与电源断开，然后使极板间距增大，则 []A C T UJ E JB 、C J UT E T C 、C J UT E 不变D C T UJE 不变6、 如图所示，三个无限大均匀带电平面，面电荷密度均为 c,相互平行放置,E 沿x 正方向为正，则P 点的E 为[]A3b f 3cr cr a A 、… B 、 C 、 D 、2 2电 2心 2昴_ | d .6 如图所示，已知 C i =6 卩 F ，C 2=3 卩 F ，R=6Q, R 2=3Q ，若IU de =18V,则a 、b 两点间的电压为[]y l L 3i-' A 、0 B -6V C 、6V D 12V脸 T c?7、 中性金属球壳A 内有一带电体B ，如图所示各个电场线图 匸中，哪一个图正确地表示出球壳内外的场强分布 []&如图 所示，导体空腔腔内有一电荷q 和测量仪器A,腔外有一电荷Q 和测量仪器B ,则测量 仪器测得的结果是[]A 、 只测到q 的场，B 只测到Q 的场 B 、 A 只测到q 的场，B 能测到q 和Q 的场C 、 A 能测到q 和Q 的场，B 只能测到Q 的场D A 能测到q 和Q 的场，B 也能测到q 和Q 的场9、在一金属壳的内部放一点电荷 (不在导体壳中心),则金属壳内外电场分布((2)内场强不均匀，外场强均匀 (4)内场强均匀，外场强不均匀绝缘的不带电的导体时，贝u （ ）（1）A 端电势高 （2）B 端电势高 （3）电势相等 （4）电势相等11、 有两个半径均为R ,分别带电+Q 和-Q 的金属球，球心相距为d , （d>R ），它 们的相互作用力大小为F i 。
静电场中的导体和电介质
平行板电容器的电容，与极板的面积成正比，与极板 间的距离成反比。
圆柱形电容器的电容
两柱面间的场强大小 E Q 2 0 Lr 方向沿着径向 两柱面间的电势差
U A U B Edr Q 2 0 L ln R2 R1
R2
Q 2 0 Lr
R1
dr
柱形电容器的电容
dWe we dV
取半径为r，厚为dr的球壳， 电场总能量为： 其体积元为： 2
8r
2
dr
dV 4r dr
2
Q We dWe 8
R2
R1
dr 1 Q2 ( R2 R1 ) 2 r 2 4R2 R1
Q C U
4 0 R
★电量按半径比例进行重新分配
2 1 Q Q 2 Q 3 3 F 2 2 4π 0 R 18π 0 R
二. 电容器及其电容 常见的电容器： 平行板电容器----两块导体薄板； 圆柱形电容器----导体薄柱面； 球形电容器----导体薄球面； 当电容器的两极板分别带有等值异号电荷Q时，电荷Q与 两极板A、B间的电势差 (UA-UB) 的比值定义为电容器的 电容：
外 内
E内 ? S
★电荷只分布在外表面，内表面上处处无电荷
内表=0
E内=0
2、 若导体壳包围的空间（腔）有电荷：
内
q S ★内表面带电总量为-q,内表面上各处 电荷面密度取决于腔内电荷的分布
外
q内表 q
E内 0
3、静电屏蔽
S
A
Q
B
E内 0
在电子仪器中，用金属网罩把电路包起来，使其 不受外界带电体的干扰。 传送微弱电信号的导线，外表用金属丝编成的网 包起来，这种的导线叫屏蔽线。
第四章 静电场中的导体
+q
2º若将腔内带电体与导体壳连接， 会出现什么情况？
腔内无电荷分布：E内=0 屏蔽外场
Q
q
3º若将导体壳接地， 又会出现什么情况？
+q
q外 0 导体壳外：E外=0
屏蔽内场
12
静电屏蔽 在静电平衡的条件下：
当腔内有带电体时，将壳接地，
腔内带电体的电场对壳外无影响
E3
4 0
Q1 Q2
2 0S
如第二块金属板右边接地
① 左边导体板总电量不变，但右边导体板 总电量变化
27
(1 2 )S Q1
(1)
② 导体内任意一点场强=0
1 2 3 4 0
(3)
20 20 20 20
1 2 3 4 0 20 20 20 20
(4)
2 3 1 4 0
+q
屏蔽内场 在外电场中， 导体壳内和腔内无电场， 腔内物体不会受外界影响
EE==00
屏蔽外场
Q+q
13
五、有导体存在时静电场的分析与计算
例1 一半径为 R1的带电球体A，总电量q1 ，在它 外面有一个同心的带电球壳B，其内外半径分别为 R1 和R2 ，总电量Q。 试求:
（1）此系统的电场
分布及电势分布。
σ等于零）。
37
在球状导体的情况下： 接地点的电势等于无穷远处的电势等 于零，但与地相连的表面一般有电荷。
注意：公式 E / o 中E是所有表面
电荷产生的总场强大小。 σ是 紧靠场点处那个带电表面的面
电荷密度。而 E / 2o中E是
无限大平板情况下一个表面的 电荷产生的场强大小。
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总电量 q q1 q2 qn C1U C2U CnU CU
等效电容
小结
2013/3/11
C C1 C2 Cn
范德格拉夫起电机的起电原理就是利用尖端放电使起 电机起电；
场离子显微镜（FIM）、场致发射显微镜(FEM)乃至 扫描隧道显微镜(STM)等可以观察个别原子的显微设 备的原理都与尖端放电效应有关；
静电复印机的也是利用加高电压的针尖产生电晕使硒 鼓和复印纸产生静电感应，从而使复印纸获得与原稿 一样的图象。
E σe
ε0
E
S
EdS 1
0
qi
S内
eS 0
E d S E d S E d S ES
上底
下底
侧面
ES
=0 ？
导体表面是等势 面，处处与电力 线正交
？
2013/3/11
电荷分布
导体处于静电平衡时，电荷只分布在导体表面，导体内
部无电荷即e＝0（体内无未被抵消的净电荷）
证明：设导体达到静电平衡 ——E内＝0
电容器指标：电容值；耐压
2013/3/11
电容器串联
将个电容首尾相接，极板上电量相等
U1
q C1
,U2
q C2
,U n
q Cn
U U1 U2 Un
q q( 1 1 , 1 )
C
C1 C2
Cn
等效电容倒数
1 1 1 , 1
C C1 C2
Cn
2013/3/11
电容器并联
两极板间电压相等但极板上电量不同
对导体只讨论达到静电平衡以后的情况，不讨论加电 以后电荷的平衡过程。
2013/3/11
静电平衡条件
导体刚放入 匀强电场中
只要 E不为生附
加场
E内 E0 E'
两者大小相等， 方向相反—— 完全抵消—— 达到静电平衡
静电平衡条件
E内 0
2013/3/11
2013/3/11
同轴柱形电容器
U AB
B dr q ln RB
A 2 0r
2 0l RA
C q 2 0l
U AB ln RB RA
分布电容
任何导体间均存在电容，如导线之间、人体与 仪器之间——分布电容,一般分布电容很小， 可以忽略
尽管电容器与q、U无关，但实际上，电容器对加 在两极上的电压仍有限制，原因是因为过高电压 下，电容器两极间的介质有可能被击穿。
E E d S 0 P点处e 0
S向P点收缩
S内
面电荷密度与曲率半径的关系 表面具体的电荷分布？很复杂 （形状、周围情况）
孤立导体表面的电荷密度与曲率之间并不存在单一 的函数关系。
2013/3/11
孤立导体电荷分布 有以下定性规律
e
表 表
面凸 面较
出 平
尖锐 坦处
处 （
（曲 曲率
率大） 大 小） 小
E大 E小
表面凹进去处（曲率为负） 更小 E更小
尖端放电：
如果场强大到 可以使其周围 空气电离—— “尖端放电”。
2013/3/11
尖端放电及其应用
危害：
雷击对地面上突出物体（尖端）的破坏性最大； 高压设备尖端放电漏电等。
应用实例：
避雷针 高压输电中，把电极做成光滑球状
一般情况
2013/3/11
导体静电平衡时的性质
电势分布
导体是一个等势体，导体表 面是等势面
证明：
导体内部E=0
b
U ab
E dl 0
a
导体内部任意两点间电势差为零 ——各点等电势——等势体 ——表面为等势面
2013/3/11
场强分布
E内 0
表 面 附 近 ： E表 表 面
表面： 大小：
C
Q U
4
0R
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平行板电容器
板的线度>>板间距离——两块带等量异号电 荷的无限大平面板（忽略边缘效应）
E e ,
0
U AB
E dl ed qd 0 0S
C q 0S
UA UB d
同心球形电容器
UA UB
q
4 0
RB RA RA RB
,
C
4 0
RA RB RB RA
场边值问题的唯一性定理。 思考：引力能否屏蔽？
2013/3/11
2013/3/11
2013/3/11
2013/3/11
电容和电容器 p55/p62
孤立导体的电容
孤立导体：空间只有一个导体，在其附近没有其它导 体和带电体
物理意义：使导体每升高单位电势所需的电量
定义
C
q U
与 与
导体的形状 q、U无关
证明：作Gauss面如图 表面上带正电荷处，
内表面不是等势面 ——导
E E d S 0 S内
体也不是等势体 ，矛盾
S面内
q0
内 表 面 电 荷 代 数 和 为 零?
内表面无电荷q 0 e内 0
2013/3/11
空腔内部有带电体 q
导体内表面上所带电荷与腔内电荷的代数 和为零
证明：作Gauss面如图
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导体空腔
导体空腔一般分为两类
腔内没有带电体 腔内有带电体
讨论两类空腔在静电平衡时的电场、电势 和电荷分布 ，只讨论达到平衡的情况 。
2013/3/11
腔内无带电体
包围导体空腔的导体壳内表面上处处没有电荷，
电荷分布在导体外表面，空腔内处处E=0，空腔
内处处电势相等。
必然会有电力线起始于内
、
介
质
有关 导
体
储
能
能
力
单位：法拉，1F 1C 106 F（微法） 1012 F（沙法）
1V
2013/3/11
电容器
导体附近有其它导体存在， 则导体的电势不仅与它本身 所带的电量有关，而且还与 其它导体的形状和相对位置
有关。
孤立导体球电容器
UA UB q
C q UA UB
U Q ,
4 0R
第五讲
导体静电平衡条件 导体空腔 静电屏蔽、电容器 对应录像09、10
2013/3/11
导体静电平衡条件
导体：有足够多的自由电子 ——受电场力会移动 说明：
一般情况表面有一定厚度，很复杂如：E=109V，则感 应电荷聚集在表面的厚度为10-10m，本课程不讨论表 面层电荷如何分布。
实际物质内部既有自由电子，又是电介质。如：气体 在一般情况下绝缘（电介质），但加高压气体会被击 穿（导体）——导体是一种理想模型。
E内＝0 E E d S 0 S内
q 0 q x x q
2013/3/11
静电屏蔽
空
不论导体壳
腔 本身是否带
提 电，还是外
供 界是否存在
了 电场, 腔内
一 和导体壳上
个 都无电场
静
电
屏 蔽 的 条
不论导体壳本身 是否带电，还是 外界是否存在电 场,都不影响腔
件 内的场强分布
2013/3/11
在静电平衡状态下
起到了保 护所包围 区域的作 用，使其 不受导体 壳外表面 上电荷分 布以及外 界电场的 作 用 —— 静电屏蔽
外 无影响内
外 有影响 内
若外壳接地，内、 外均无影响
讨论：
静电屏蔽是由导体静电平衡条件决定 由于电荷有正、负 —— 静电屏蔽 静电屏蔽应用：屏蔽室、高压带电操作等 要透彻理解“静电屏蔽”问题要用到静电