华南理工大学高数习题册答案汇总

第七章 多元函数微分学

作业1 多元函数

1．填空题

（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛

⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()

222

11x y y -+； （2）49

arcsin

222

2-+++=y x y x z 的定义域是(){}

22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是

(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；

（4）函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0,

0,sin ),(x y x x xy

y x f 的连续范围是 全平面 ；

（5）函数2222y x z y x

+=-在2

2y x =处间断.

2．求下列极限

（1

）00

x y →→；

解：0000

1

6x t t y →→→→===-

（2）2

2

()

lim (e

x y x y x y -+→+∞→+∞

+）.

解：3

y x =22()2()

lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞

→+∞

→+∞

⎡⎤+=+-⎣⎦）） 由于1lim e lim lim 0t

t t t t t t t e e

-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t

t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，

故22()

2()lim (e

lim (e 20x y x y x y

x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞

→+∞→+∞

→+∞

⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限2630

0lim y x y

x y x +→→是否存在.

解：沿着曲线()()3

,,0,0y kx x y =→,有3

36626262000

lim lim 1x x y kx x y kx k

x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26

30

0lim y x y

x y x +→→不存在

4．证明⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(22222

2y x y x y x xy

y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y

都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.

解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡

从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线

()(),,0,0y kx x y =→,有22

22222000

222lim lim 1x x y kx xy kx k

x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0

lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.

作业2 偏导数

1．填空题

（1）设22),(y x y x y x f +-

+=，则=

)4,3(x f 25

； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛

⎫=+

⎪⎝⎭，则1

x y f y

==∂=

∂12

； （3）设2

sin x u xz y =+，则42u

x y z

∂=∂∂∂ 0 ；

（4）曲线22

:4

4

x y z y ⎧+=

⎪Γ⎨⎪=⎩

在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2

e x

y

u =， 证明 02=∂∂+∂∂y

u y x u x

. 证:因为

2

223

12,x

x

y y

u u

x e e x y y y

∂∂-==∂∂ 所以22222322

1222220x x x x

y y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂

3. 设x

y

z ln =，求22x z ∂∂，y

x z

∂∂∂2.

解：ln ln x y

z e

⋅=，

从而2

2

2ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭

2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy

⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂

4．设y x z u arctan =， 证明 0222

222=∂∂+∂∂+∂∂z

u

y u x u . 解：因为()()222222222221

1022,1u

yz u yz x xyz

z x

y x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅

⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪

⎝⎭

()()2222222222221

022,1u x xz u xz y xyz

z y

y x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪

⎝⎭

22arctan ,0,u x u

z y x

∂∂==∂∂ 所以()()

2222222222222200u u u xyz xyz

x y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()222

1sin ,

0,0,

x x y x f x y x

x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.

（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()(

)()3

2

2

2

221

11

0,,42sin cos x x f x y x xy

x x y x

x x

-≠=+++⋅

()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211

,42sin cos x f x y x xy x y x x

=+-+

当()()()()222

001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x

→→+--≠===-

()()()000,0,00

0,lim lim 0

y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，

()()()322211

,42sin cos x f x y x xy x y x x

=+-+

（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.