最新人教版七年级数学下册第九章《不等式》教材梳理

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、不等式

用不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.像a+2≠a -2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

深化升华 ①不等式表示的是不相等的关系，比如：2≠1，小象的重量>小马的重量等； ②常见的不等符号有：>, <,≤,≥,≠．

二、不等式的解集

1．不等式的解：一般地，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

误区警示 ①不等式的一个解是满足不等式的未知数的一个值；

②一般地，不等式的解不止一个，往往会有无数个．

2．不等式的解集

（1）不等式的解集：指由不等式的所有的解组成的集合，简称解集．

辨析比较 不等式的解集与不等式的解：①不等式的解集是由不等式的所有的解组成的，换言之，不等式的解集中任何一个数都是不等式的一个解；

②不等式的解有无数个，所以，不等式的解集是一个范围.

（2）不等式解集的表示方法

①一种是“数”的方法，即用一个与它解集相同的最简单的不等式表示（如x>a,x-12的解集是x>-6；

②另一种是“形”的方 法，即用数轴表示，比如5

2x>50的解集是x>75，在数轴上表示为：

图9-1-1

深化升华 在数轴上表示不等式解集的步骤为：

①定“界点”，各界点本身如果是不等式的解，就用实心点，否则用空心点；

②定“方向”，相对于“界点”而言，不等号是大于号时方向向右，不等号是小于号时方向向左.

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式，解不等式的结果是得到一个不等式的解集．

3.一元一次不等式

含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．

误区警示 一元一次不等式是最简单的代数不等式，它是整式形式的不等式，比如3

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不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变． 即，如果a>b ，那么a ± c> b ± c.

不等式的性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

即，如果a>b, c>0,那么ac>bc （或c

b c a >). 不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 即，如果a>b,c<0,那么ac ＜bc （或

c

b c a <)．

辨析比较 等式性质和不等式性质的相同之处和不同之处在于：

等式的性质有2条，它们表明，等式两边进行同样的加（减）乘（除）运算时相等关系不变；不等式的性质有3条，它们表明，不等式两边进行同样的加（减）乘（除）运算时大小关系有时改变，有时不变，对于乘（除）法运算，不等式要分乘数（除数）的正负分别论述，两者的结果不同．

记忆要诀 同加或减同一数，不等式号还如故.

同乘除以同一数，要看次数正与负.

只有负数才变号，是零还要分乘除.

乘零两边变相等，两边除零不可行.

典题·热题

知识点一不等式及其解集

例1用不等式表示

(1)a 与1的和是正数;

(2)y 的2倍与1的和大于3;

(3)x 的一半与x 的2倍的和是非正数;

(4)c 与4的和的30%不大于-2;

(5)x 除以2的商加上2,至多为5;

(6)a 与b 两数的和的平方不可能小于3.

解析：注意不大于、至多（指小于等于，用符号≤表示）和不小于、至少（指大于等于，用符号≥表示）的表述方法.

答案：(1)a+1>0;(2)2y+1>3; (3)

2

x +2x≤0;(4)30%(c+4)≤-2; (5)2x +2≤5;(6)（a+b ）2≥3. 方法归纳 用不等式表示不等关系时，一定要注意题目所表达的是什么样的不等关系，然后采用不同的不等符号.常见不等符号有：>,<,≤,≥,≠.

例2下列各数中：-3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5，其中是不等式x+1<3的解的数是_________.

解析：不等式的解指的是能使不等式成立的未知数的值.将题中所列各数代入不等式x+1<3，逐一验证即可得到答案.

答案：-3,-1,0,1,1.5

例3在数轴上表示下列不等式的解集

(1)x>-1;(2)x≥-1;(3)x<-1;(4)x≤-1

解析：按画数轴,定界点,走方向的步骤作答.

答案：如图9-1-2所示

图9-1-2

例4如图9-1-3，天平右盘中的每个砝码的质量都是1 g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为_____________．

图9-1-3

解析：根据图形知道,物体A 的质量应该大于1 g 而小于2 g ，故选择A ．

答案：A

方法归纳 不等式是用来表示生活中的不等关系的式子,数轴是它的一种表示方式,关键是要弄清楚界点是否属于这个范围．

知识点二不等式的性质

例5利用不等式的性质解下列不等式 (1)x-7>26;(2)3x<2x+1;(3)3

2x>50;(4)-4x>3. 解析：利用不等式的性质将所给的各个不等式变形为最基本的形式，不等式的解集是最简单的不等式形式（x>a 或x

答案：（1）根据不等式的性质1，两边都加上7，得

x-7+7>26+7,

整理得x>33.

(2）根据不等式的性质1，两边都减去2x ，得

3x-2x<2x-2x+1,

整理得x<1.

(3)根据不等式的性质2，两边都乘以23（或除以3

2），得 23×32x ＞2

3×50, 整理得x>75.

(4)根据不等式的性质3，两边都乘以4

1-，得 -4×(41-

)x ＜3×(4

1-), 整理得x<43-. 误区警示 不等式的两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变． 例6三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？

解析：我们已经学过了“三角形两边之和大于第三边”，利用不等式可以表示这种关系，然后再使不等式变形，就可以得出三角形两边之差与第三边的关系.

答案：设a 、b 、c 是任意一个三角形的三边的长，则

a+b ＞c,b+c ＞a,c+a ＞b.

由式子a+b>c 移项可得，

a>c-b,b>c-a.

类似地，由式子b+c>a 及a+c>b 移项可得，