新高考数学考点29 抛物线及其性质考点分类讲义练习题附解析2

焦点为 F，准线为 l.设 l 与 x 轴的交点为 K，P 为 C 上异于 O 的任意一点，P 在 l 上的射影为 E， EPF 的外角平分线交 x 轴于点 Q，过 Q 作 QN PE 交 EP 的延长线于 N ，作 QM PF 交线段 PF 于点 M
，则（ ）
A．| PE || PF | B．| PF || QF | C．| PN || MF | D．| PN || KF | 5、（2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知 P 是抛物线 y2 4x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M ，
解析附后
考点 29 抛物线及其性质
考纲要求
1、 了解抛物线的实际背景、定义和几何图形 . 2、了解抛物线的的标准方程,会求抛物线的的标准方程;会用抛物线的的标准方程处理简单的 实际问题 . 3、掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题
近三年高考情况分析
近几年抛物线在各地高考的真题主要体现在 3、求抛物线的标准方程以及其性质 4、直线与抛物线以及直线与向量等其它知识点的结合
且经过点 F ，直线 l 与抛物线 C 交于点 A 、 B 两点（点 A 在第一象限），与抛物线的准线交于点 D ，若
AF 8 ，则以下结论正确的是（ ）
A． p 4
B． DF FA
C． BD 2 BF
D． BF 4
4、（2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C : y2 2 px ( p 0) 的
直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16
B．14
C．12
D．10
9、【2017 年高考全国 II 理数】已知 F 是抛物线 C : y2 8x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN 的中点，则 FN _______________．
再经抛物线上的另一点 B 射出，则 ABM 的周长为（ ）
A． 71 26 12
B． 9 10
C． 83 26 12
D． 9 26
2、（北京市顺义区牛栏山第一中学 2019-2020 学年高三上学期期中数学试题）过曲线 E ： y2 4x 的焦点
F 并垂直于 x 轴的直线与曲线 E 交于 A ， B ， A 在 B 上方， M 为抛物线上一点， OM OA 2OB
题型二 抛物线与其它知识点的结合 1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的 光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已
知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，一条平行于 x 轴的光线从点 M 3,1 射出，经过抛物线上的点 A 反射后，
8、（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线 E ： y2 4x 和直线 l ： x y 4 0 ， P 是 直线上 l 一点，过点 P 做抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ， C 是抛物线上异于 A ， B 的任一点，抛 物线在 C 处的切线与 PA ， PB 分别交于 M ， N ，则 PMN 外接圆面积的最小值为______.
A. 经过点 O C. 平行于直线 OP
【答案】B
B. 经过点 P
D. 垂直于直线 OP
【解析】如图所示：
．
因为线段 FQ 的垂直平分线上的点到 F , Q 的距离相等，又点 P 在抛物线上，根据定义可知， PQ PF
，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P .
故选：B.
2、【2020 年全国 1 卷】.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴
5、（2020 届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A ， B 两点，
M 为线段 AB 的中点，则（ ）
A．以线段 AB 为直径的圆与直线 x 3 相离 2
C．当 AF
2FB 时，
AB
9 2
B．以线段 BM 为直径的圆与 y 轴相切 D． AB 的最小值为 4
考点总结
掌握求抛物线的方程以及由抛物线的方程解决焦点坐标等性质，掌握利用点斜式得直线方程，与抛物线方 程联立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转 化求得结果.
三年高考真题
1、【2020 年北京卷】.设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ． P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQ l 于 Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．
A ， B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 的离心率 e （ ）
A． 3 2
B． 2 3 3
C． 21 7
D． 21 3
4、（2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线 E ： y2 4x 和直线 l ： x y 4 0 ， P 是
直线上 l 一点，过点 P 做抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ， C 是抛物线上异于 A ， B 的任一点，抛 物线在 C 处的切线与 PA ， PB 分别交于 M ， N ，则 PMN 外接圆面积的最小值为______.
，则 （ ）
A．0
B．3
C．0 或 3
3
D．
4
3、（北京市昌平区新学道临川学校 2019-2020 学年高三上学期期末数学（文)试题）已知 F 是抛物线
C : y2 2 px ( p 0) 的焦点，抛物线 C 的准线与双曲线 : x2 y2 1 (a 0, b 0) 的两条渐近线交于 a2 b2
6、（2020 届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F 、准线为 l ，过点 F 的直线与
抛物线交于两点 P x1, y1 ， Q x2, y2 ，点 P 在 l 上的射影为 P1 ，则 （ ）
A．若 x1 x2 6 ，则 PQ 8
B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切
A. 经过点 O
B. 经过点 P
C. 平行于直线 OP
D. 垂直于直线 OP .
2、【2020 年全国 1 卷】.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴
的距离为 9，则 p=（ ）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
3、【2020 年全国 3 卷】设 O 为坐标原点，直线 x 2 与抛物线 C： y2 2 px( p 0) 交于 D ， E 两点，
又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3 ，∴直线 AB 的方程为： y 3(x 1)
代入抛物线方程消去 y 并化简得 3x2 10x 3 0 ，
解法一：解得
x1
1, 3
x2
3
所以| AB | 1 k 2 | x1 x2 |
1 3 | 3 1 | 16 33
解法二： 100 36 64 0
考点 29 抛物线及其性质
考纲要求
1、 了解抛物线的实际背景、定义和几何图形 . 2、了解抛物线的的标准方程,会求抛物线的的标准方程;会用抛物线的的标准方程处理简单的 实际问题 . 3、掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题
近三年高考情况分析
近几年抛物线在各地高考的真题主要体现在 1、求抛物线的标准方程以及其性质 2、直线与抛物线以及直线与向量等其它知识点的结合
的距离为 9，则 p=（ ）
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为
F，由抛物线的定义知 |
AF
|
xA
p 2
12
，即12
9
p 2
，解得
p
=6.
故选：C.
3、【2020 年全国 3 卷】设 O 为坐标原点，直线 x 2 与抛物线 C： y2 2 px( p 0) 交于 D ， E 两点，
点 A 的坐标为 2,3 ，则 PA PM 的最小值是__________．
6、（2020 届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线 y2 2 px p 0 的焦点为 F(4，0)，过 F 作直线 l 交
抛物线于 M，N 两点，则 p=_______， NF 4 的最小值为______． 9 MF
设
A( x1 ,
y1), B(x2 ,
若 OD OE ，则 C 的焦点坐标为（ ）
Hale Waihona Puke BaiduA.
1 4
,
0
B.
1 2
,
0
C. (1, 0)
D. (2, 0)
【答案】B
【解析】因为直线 x 2 与抛物线 y2 2 px( p 0) 交于 E, D 两点，且 OD OE ，
根据抛物线的对称性可以确定 DOx EOx ，所以 D 2, 2 ，
二年模拟试题
题型一 抛物线的标准方程与性质
1、（2020 届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为该抛物线上一点，
PA l ，A 为垂足.若直线 AF 的斜率为 3 ，则△PAF 的面积为( )
A． 2 3
B． 4 3
C．8
D． 8 3
2、（2020·浙江学军中学高三 3 月月考）抛物线 y2 2 px （ p 0 ）的焦点为 F，直线 l 过点 F 且与抛物线
3p p
A．2 C．4
B．3 D．8
6、 【 2019 年 高 考 天 津 卷 理 数 】 已 知 抛 物 线 y2 4x 的 焦 点 为 F ， 准 线 为 l ， 若 l 与 双 曲 线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的两条渐近线分别交于点
A 和点 B ，且|
AB | 4 | OF
若 OD OE ，则 C 的焦点坐标为（ ）
A.
1 4
,
0
B.
1 2
,
0
C. (1, 0)
D. (2, 0)
4、【2020 年山东卷】.斜率为 3 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB
=________．
5、【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 y2 1 的一个焦点，则 p=
|（ O 为原点），则双
曲线的离心率为
A． 2
B． 3
C． 2
D． 5
2
7、【2018 年高考全国 I 理数】设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与 C 交于
3 M，N 两点，则 FM FN =
A．5 C．7
B．6 D．8
8、【2017 年高考全国 I 理数】已知 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，
4
代入抛物线方程 4 4 p ，求得 p 1，所以其焦点坐标为 (1 , 0) ， 2
故选：B.
4、【2020 年山东卷】.斜率为 3 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB
=________．
16
【答案】
3 【解析】∵抛物线的方程为 y2 4x ，∴抛物线的 焦点 F 坐标为 F (1, 0) ，
交于点 M，N（点 N 在轴上方），点 E 为轴上 F 右侧的一点，若| NF || EF | 3 | MF | ， S△ MNE 12 3 ，
则p（ ）
A．1
B．2
C．3
D．9
3、（2020 届山东省德州市高三上期末）已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ，直线的斜率为 3
考点总结
掌握求抛物线的方程以及由抛物线的方程解决焦点坐标等性质，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联 立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求 得结果.
三年高考真题
1、【2020 年北京卷】.设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ． P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQ l 于 Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．
C．设 M 0,1 ，则 PM PP1 2 D．过点 M 0,1 与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条
7、（2020 届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线 C : y2 8x 的焦点为 F ，准线 l ， P 是 l 上一点， Q
是直线 PF 与 C 的一个交点，若 PF 3QF ，则| QF | __________.