容斥原理

容斥原理

标准三集合

【例 1】某专业有学生50人，现开设甲.乙.丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲乙两门课程的有28人，兼选甲丙两门课程的有26人，兼选乙丙两门课程的有24人，甲乙丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】B

【解析】至少选一门的有：40+36+30-28-26-24+20=48人，则均为选的有

50-48=2人。

【例 2】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为（）（2012联考）

A. 7人

B. 8人

C. 5人

D. 6人

【答案】A

【解析】假设同时报乙、丙职位的人数为x，则：

22+16+25-8-6-x+0=42，解得x=7

只满足一项条件型

【例 1】一次运动会上，18名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10名参加了蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5

名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这18名游泳运动员中，只参加1个项目的人数为（ ）（2012-424联考）

A.5名

B.6名

C.7名

D.4名

【答案】B

【解析】画图法

【例 2】 88名学生参加运动会，参加游泳比赛的有23人，参加田径比赛的有33人，参加球类比赛的有54人，既参加游泳比赛又参加田径比赛的有5人，既参加田径比赛又参加球类比赛的有16人。已知每名学生最多可参加两项比赛，问只参加田径比赛的有多少人？（）

A. 20

B. 17

C. 15

D. 12

【答案】D

【解析】画图

关于整体的三集合

【知识点】在三集合的题中，假设满足三个条件的元素数量分别为A 、B 、C ，至少满足三个条件之一的总量为W ，其中满足一个条件的元素数量为x ，满足两个条件的元素数量为y ，满足三个条件的元素数量为z ，

则有：W=x+y+z

A+B+C=x ×1+y ×2+z ×3

2 3

2 4

x

y y

z

x y x

【例 1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐剂添加不合格的9种，外包装不规范的6种，其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种，问三项全部合格的多少种？（）（河北2012）

A.14

B.21

C.23

D.32

【答案】C

【解析】假设至少一项不合格的有w项，一项不合格的有x项，带入公式：

w=x+5+2

7+9+6=x+10+6，解的w=13，x=6，都合格的是36-13=23种。

【例 2】某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网，如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个？（河北2012）

A.148

B.248

C.350

D.500

【答案】A

【解析】设采用一种方式上网的人数为x，采用两种方式的人数为y，同时采用三种的为z，

则有：

3542=x+y+z

1258+1852+932=x+2y+3z

352=y+z

解的：x=3190，y=204，z=148

三个集合深度解析

基础核心公式：

C B A C B C A B A C B A C B A +---++=

解读：我们计算C B A 的时候，A+B+C 相当于他们彼此相交的部分计算了两次，三者相交的地方计算了三次，而减去的C B C A B A --，里面包含三次C B A ，这样的就需要在后面补加一个。

【例 1】某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是（ ）

A. 69人

B. 65人

C. 57人

D. 46人

【答案】D

【解析】方法一、利用核心公式：我们假设他们彼此相交部分为x

89+47+63-x+24=125-20，计算得知x=118，118里面包括所有看过两部电影的以及重复计算三次看过三部电影的，所以只看过两部电影的人数是118-24×3=46

方法二、假设至少看过一部电影的人数为w ，看过一部的人数为x ，两部的为y ，可以得出：w=125-20=x+y+24

89+47+63=x+2y=72，解得x=35，y=46.

【例 2】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？（ ）

A.120

B.144

C.177

D.192

【答案】A

【解析】方法一、63+89+47-46-24×2=x-15，因为减去两种考试的都参见的46人后，还少减了两倍的三者都参加的人数，解得x=120