模式一1.1.3导数的几何意义

1. 1.3导数的几何意义

课前预习学案

一． 预习目标

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;

2.理解曲线的切线的概念;

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。

二． 预习内容

1.曲线的切线及切线的斜率

（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 . （2）割线n PP 的斜率是00

()()

n n n f x f x k x x -=

-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,

n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =

2.导数的几何意义

函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= .

三．提出疑惑

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一． 学习目标

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;

2.理解曲线的切线的概念;

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题

二． 学习过程

（一）。复习回顾

1．平均变化率、割线的斜率 2。瞬时速度、导数 （二）。提出问题，展示目标

我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在

0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？

（三）、合作探究

1.曲线的切线及切线的斜率

（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？

（2）如何定义曲线在点P 处的切线？

(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (4)切线PT 的斜率k 为多少？

说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;

2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;

3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？ （2）将上述意义用数学式表达出来。

（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？ 3.导函数

（1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

（2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？ 区别： 联系：

（四）。例题精析

例1 求曲线1)(2

+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.

解:

变式训练1

求函数2

3x y =在点(1,3)处的切线方程.

例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2

() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,

刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.

(1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 的斜率 , 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

(2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率 , 所以,在1t t =附近曲线下降,

即函数2

() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减. (3)

当

2

t t =时,曲线

()

h t 在

2

t 处的切线

2

l 的斜

率 ,

所以,在2t t =附近曲线下降,

即函数2

() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.

例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:

min )

变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到

0.1).

解:

三。反思总结

1.曲线的切线定义.

2.导数的几何意义

3．求曲线在一点处的切线的一般步骤：

四。当堂检测

1.求曲线2

)(x x f y ==在点(1,1)处的切线. 2.求曲线y x =(4,2)处的切线.

1.