模式一1.1.3导数的几何意义
第一章 1.1 1.1.3 导数的几何意义
[类题通法] 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时 所求的切线平行于 y 轴，所以直接得切线方程为 x＝x0.
1，则切线方程为
()
A．y＝9x
B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26
D．y＝9x＋6 或 y＝9x－26
解析： ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0＝
x0＋Δx3－3x0＋Δx2＋1－x30＋3x20－1 Δx
＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0，
所以f′(x0)＝Δlixm→0 [(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0.
1.1.3 导数的几何意义
导数的几何意义 [提出问题] 如下图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4)，P的坐 标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．
问题1：割线PPn的斜率kn是什么？ 提示：割割线PPn的斜率kn＝ΔΔxynn＝fxxnn－－fx0x0. 问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线 PT有什么关系？
于是 3x20－6x0＝9，解得 x0＝3 或 x0＝－1， 因此，点 P 的坐标为(3,1)或(－1，－3)．
又切线斜率为 9，所以曲线在点 P 处的切线方程为 y＝9(x－
3)＋1 或 y＝9(x＋1)－3，即 y＝9x－26 或 y＝9x＋6. 答案：D
2.搞错导数的几何意义致误 [典例] 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的 ( )
1.1.3导数的几何意义
时, 割线 PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
O
P3
T
P4 P
T
x
O
x
3
4
图1.1 2
y
y f (x)
相交
o
P
x
再来一次
此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同?
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 x 时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确 定位置的直线PT称为点P处的切线.
x ＝ ｘ
表示“平均变化率”
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
我们知道, 导数 f
'
x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率 , 反映了函 么, 导数 f
'
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那
x0 的几何意义是什么呢 ?
y
观 察 如图 1 .1 2 ,当点 Pn xn , f xn
y f x
y
y f x
P1
P2
T P
O
T
n 1, 2, 3, 4
沿着曲线 P x0 , f x0 f x 趋近于点
x
O
x
1
y
y f x
2
y
y f x
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
x
B
可能不惟一）适用于各 种曲线。所以，这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。
C
1.1.3导数的几何意义
y lim x0 x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0 .
导函数定义：
从求函数 f x在 x x0 处导数的过程可以
看到,当 x x0 时, f ' x0 是一个确定的数.这
样,当 x 变化时, f 'x 便是 x的一个函数,我
们称它为f x的导 函 数(derivative function)
的斜率.因此,函数 f x 在x x0处的导数就是切
线PT的斜率k .即
k
klimlximf0 x0
x0ylxim
x xx0
ff(xx00
x)
xf '
f
x0
(
Hale Waihona Puke x0.)
f '( x0 )
一般地，曲线y=f(x)上一点P(x0，y0)的切线 的斜率的计算公式：
(简称导 数 ). y f x的导函数有时也记作
y',即 f 'x y' lim f x x f x.
x0
x
我们知道, 导数 f ' x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' x0 的几何意义是什么呢?
并不相切；而直线l2尽管与曲线C有 不止一个公共点，但它们在点N处 仍然是相切的．因此，对于一般曲
F1
o F2
.P
x
线，必须重新寻求曲线切线的定义．
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐
渐转动的情况. y
1.1.3 导数的几何意义
题型三 导数几何意义的综合应用 例 3 设函数 f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x) 的斜率最小的切线与直线 12x＋y＝6 平行，求 a 的值．
[解] 因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax20－9x0－1) ＝(3x20＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3， 所以ΔΔyx＝3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2.
＝f′(x0)(x－x0).
注意：若在点(x0，f(x0))处切线
l
的倾斜角为π，此时切 2
线平行于 y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，
可根据切线的定义直接得切线方程为 x＝x0.
2.函数的导数，是对某一区间内任意一点 x 而言的，就
是函数 f(x)的导数 f′(x)．函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，就是
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲
线 y=f(x)在点P(x0
即: k切线 f '(x0 )
,f(lxim0))处y 的 l切im线f的(x斜0 率x.)
x x0x0x Nhomakorabeaf
( x0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一
种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义
回 定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
顾
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) .
x x0
x0
x
1.1.3导数的几何意义
y
y=f(x) Q
请问： Δy 是割线PQ的什么? Δx
Δy P O
β
Δx
M
x
我们知道，导数 f′x0 表示函数
f(x)在x = x0 处的瞬时变化率，反 映了函数f(x)在x = x0 附近的变化
情况.那么导数f′x0 的几何意义是
什么呢？
当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋 近于点P0(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什 么？
2, 4
即切线过抛物线y = x2上的点2，4， 3，9.
所以切线方程分别为：
x
0
2 , x0
y - 4 = 4 x - 2, y - 9 = 6 x - 3 .
o
x
化简得
y = 4x - 4, y = 6x - 9.
练习2:（作业）
1 2 7 求抛物线y = x 的过点 4, 的切线方程 4 4 （注意此点不在抛物线上） .
课堂小结
1. 几何意义
f (x)在x = x0处的导数f(x0 ) 即为f(x) 所表示曲线在 x = x0处切线的斜率，即
f(x0 +Δx)- f(x0 ) k = f(x0 )= lim Δx→ 0 Δx
作用：
确定x = x 0处切线的斜率，从而确 定切线的方程.
切线方程：
y - f(x 0 ) = f (x 0 )(x - x 0 )
y f x
y
P1
T P
y
y f x
P2
O
1
y f x
x
O
2
y f x
x
1.1.3导数的几何意义
y 表明： 表明： 就是割线的斜率 . x
O Q y P β x
M x
y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
α
x
o
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时, 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时, 割线PQ绕着点 逐渐转动的情况. 绕着点P 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
3．函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何 函数y 处的导数f 意义是（ 意义是（ ） C A．在点x=x0处的函数值 在点x B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹 在点( ))处的切线与 处的切线与x 锐角的正切值 C．曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线 曲线y 在点( 的斜率 D．点(x0，f(x0)与点(0，0)连线的斜率 与点(0，0)连线的斜率
1 C． 2
B．－ B．－1 ．－1 D．－2 ．－2
例4．y=x3在点P处的切线斜率为3，求点 在点P处的切线斜率为3 P的坐标. 的坐标.
练习题 1．曲线y=x2在x=0处的（ D ） 曲线y =0处的 处的（ A．切线斜率为1 B．切线方程为y=2x 切线斜率为1 B．切线方程为y=2x C．没有切线 D．切线方程为y=0 切线方程为y
2．已知曲线y=2x2上的一点A(2，8)，则 已知曲线y=2x 上的一点A(2，8)， 点A处的切线斜率为（ C ） 处的切线斜率为（ A． 4 B． B．16 C． C． 8 D． D． 2
例1．求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的 求抛物线y 过点(1，1)的切线的 斜率。 斜率。 练习．求抛物线y=x2+2x-2过点(1，1)的 练习．求抛物线y +2x 过点(1，1)的 切线的斜率。 切线的斜率。
1.1.3 导数的几何意义
1．1.3导数的几何意义预习课本P6～8，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？[新知初探]1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li mΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.[点睛]曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案：B3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案：D4．抛物线y 2＝x 与x 轴、y 轴都只有一个公共点，在x 轴和y 轴这两条直线中，只有________是它的切线，而______不是它的切线．答案：y 轴 x 轴求曲线的切线方程[典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程．[解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)．y ′|x ＝2＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝li m Δx →0 [4＋2·Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y ＝f (x )外一点P (x 1，y 1)的切线方程的六个步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)利用所设切点求斜率k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)用(x 0，f (x 0))，P (x 1，y 1)表示斜率． (4)根据斜率相等求得x 0，然后求得斜率k . (5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式． [活学活用]过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0解析：选A 显然点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上， 若切点为(1，－1)，则由f ′(1)＝li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝li m Δx →0 (1＋Δx )3－2(1＋Δx )－(－1)Δx＝li m Δx →[(Δx )2＋3Δx ＋1]＝1， ∴切线方程为y －(－1)＝1×(x －1)，即x －y －2＝0. 若切点不是(1，－1)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0＋1x 0－1＝x 30－2x 0＋1x 0－1＝(x 30－x 0)－(x 0－1)x 0－1＝x 20＋x 0－1，又由导数的几何意义知 k ＝f ′(x 0)＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )－(x 30－2x 0)Δx ＝3x 20－2， ∴x 20＋x 0－1＝3x 20－2，∴2x 20－x 0－1＝0，∵x 0≠1，∴x 0＝－12.∴k ＝x 20＋x 0－1＝－54， ∴切线方程为y －(－1)＝－54(x －1)，即5x ＋4y －1＝0，故选A.求切点坐标[典例] 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°. (2)切线平行于直线4x －y －2＝0. (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x ⎪⎪⎪2－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1. 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．[活学活用]直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切，则a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线l 与曲线C 的切点为(x 0，y 0)， 因为y ′＝li m Δx →(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x ，则y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－13，当x 0＝1时，y 0＝x 30－x 20＋1＝1，又(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋a 上，将x 0＝1，y 0＝1代入得a ＝0与已知条件矛盾舍去． 当x 0＝－13时，y 0＝⎝⎛⎭⎫－133－⎝⎛⎭⎫－132＋1＝2327， 则切点坐标为⎝⎛⎭⎫－13， 2327，将⎝⎛⎭⎫－13， 2327代入直线y ＝x ＋a 中得a ＝3227. 答案：3227 ⎝⎛⎭⎫－13， 2327层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4 C.5π4D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1. ∴切线的倾斜角为π4，故应选B.4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝li m Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝li mΔx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ， 则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx ＝li m Δx →cos Δx －1Δx. 当Δx →0时，cos Δx →1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x 过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝1x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)． 由f (x )＝x ， 得f ′(x )＝li m △x →1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →011＋Δx ＋1＝12，∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)．即x －2y ＋1＝0， 答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________． 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)， f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →02x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0[2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选B li m Δx →f (1)－f (1－2Δx )2Δx＝li m Δx →f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝f ′(x )＝－1.4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 为( ) A.13 B.23 C ．－23D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______.解析：由导数的概念和几何意义知， li m Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2.答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －cΔx ＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b .又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2bb ＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx ＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b . ∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ，∴y ′＝li m Δx →ΔyΔx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
1.1.3导数的几何意义
y 4 3 2 1 O A C
B 1 2 3 4 5 6
x
f ( f (0))
； lim
x 0
f (1 x) f (1) x
． （用数字作答）
学 后 反 思
第 2 页 共 2 页
二．探究新知；我们已经学习了导数的本质及一些实际意义， 问 题 导 学 及 探 究 我们不禁要问：导数的几何意义是什么呢？对于 y f ( x) ，符 号 f (2) 3 ， f ( x0 ) 1 等的几何意义分别是什么？
'
'
１．观察曲线 y f ( x) ，见课本 7 页
我们发现,当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时 , 割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的 思考： ⑴割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关 系？ ⑵切线 PT 的斜率 k 为多少？
学习任务 学习目标
1 .1.3 导数的几何意义 1．知识与技能：理解导数的几何意义，会求简单曲线在某点的切线斜率及 切线方程； 2．过程与方法：通过实验探究培养学生分析、抽象、概括等思维能力； 3．情感、态度与价值观：渗透“逼近”思想，激发学生学习兴趣，培养学 生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变 和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力．
2
的切线方程？
问 题 导 学 及 探 究
练习； 1、已知曲线 y 2 x 上的一点 A(1,2) ，求⑴点 A 处的切线的斜
2
率；⑵点 A 处的切线方程。 1、 （2008 年北京） 如图， 函数 f ( x) 的 图象是折线段 ABC ， 其中 A ，B，C 的坐标分别为 (0，，，，， 4) (2 0) (6 4) ，则
导数的几何意义
无穷多个.
例1. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t) 4.9t 2 6.5t 10 的图象，根据图像，请描述、比较曲线 h(t)在t0 , t1, t2附近的变化情况.
y f (x0 ) f (x0 )( x x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的基 本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。
动动手:1. 求曲线y=x2在点P(1,1)处的切线方程.
解 : k lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 1 x0 x
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点
P处的切线的斜率.
即:
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有
x0
x
lim 2(1 x)2 (1 x) (11)
x0
x
3x 2(x)2 1
lim
3.
x0
x
因此,切线方程为 y-1=3(x-1), 即y=3x-2.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 )，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
(1)当 t t0 时，曲线 h(t ) 在 t0 处的切线平行 于x轴，故在(t )在 t1处的切线斜率小于0， 故在 t t1附近曲线下降，即函数 t t1在 h(t )附近
1.1.3导数的几何意义
教学重难点
重点
体会导数的思想及其内涵， 理解导数的几何意义.
难点
导数的概念及其意义.
开动脑筋，想象一下 动态变化效果吧？
的
y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P
o
x
切线概念
我们发现,当点Q沿着曲线无限接 近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限
位置PT.则我们把直线PT称为曲线在
点P处的切线（
P
Dx
M
处的切线方程.
1 -1 O
j
x
1
因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
知识拓展
例3
（1）当 时，曲线h(t)在 处的 切线 平行于x轴. 所以，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2） 当 时，曲线h(t)在 处 的切线 的斜率 . 所以， 在 附近曲线下降，即 函数 h(t) 在 附近单调递减.
处的切线的斜率.
分析:为求得过点（2，4）的 切线的斜率, 可从经过点（2，4） 的任意一条直线(割线)入手.
解: 设 斜率
, 则割线PQ的
当
无限趋近于0时,
无限趋近于常数4, 即
从而曲线
在点P（2，4）处的切线斜率为4.
例2
y = x +1
2
y
Q
求曲线
Dy
y=f(x)=x2+1在
点P（1，2）
（3） 的切线 在 在
当 时，曲线h(t)在 处 的斜率 . 所以， 附近曲线下降，即函数 h(t) 附近单调递减.
导数概念
从函数f(x)在 处的导数的过程 可以看到，当 时， 是一个确 定的数.这样，当x变化时， 便是x 的一个函数，我们称它为f(x)的导函数 （derivative function）. 简称导数.
1.1.3导数的几何意义课件人教新课标2
【总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标； ②求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的 导数； ③利用点斜式求切线方程.
例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
h(t) 4.9t 2 6.5t 10 的图象. 根据图象, 请描述、
比较曲线 h(t) 在 t0 , t1, t2 附近的变化情况.
D.（- 1，- 1） 28
-1 6
y＝2x－1
1.曲线的切线定义
2.函数 f ( x) 在 x x0 处的导数 f / x0 的几何意义，
就是函数 f ( x) 的图象在点 P x0 , f (x0 )处的切线的斜
率（数形结合）
f
/
(
x0
)
lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 )
x1
x2
3.导数的概念
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
或 y |x x0, 即
f ( x0 )
lim
x0
f (x0
Δx) x
f ( x0 )
4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:
趋近于一个确定的位置，
这个确定位置的直线PT
o
x
称为点P处的切线.
注：曲线的切线,并不一定与曲线只有一 个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个.
探究点2 导数的几何意义 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线
斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系？
平均变化率 x 0 瞬时变化率（导数）
课件17：1.1.3 导数的几何意义
跟踪训练 1．若函数 f(x)在点 A(1,2)处的导数是－1，那么过点 A 的切 线方程是__________. 【解析】 切线的斜率为 k＝－1. ∴点 A(1,2)处的切线方程为 y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
【答案】 x＋y－3＝0
类型2 求切点坐标
例 2 已知抛物线 y＝2x2＋1.求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为 45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4x－y－2＝0?
名师指导 1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)写出切线方程，即 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)． 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的 切线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 x＝x0. 2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
y′|x＝1＝Δlxi→m0
ΔΔyx＝Δlxi→m0
(1＋Δx)3－1 Δx
＝ lim [3＋3Δx＋Δx2]＝3. Δx→0
∴k＝y′|x＝1＝3. ∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y－1＝3(x－1)，
即 3x－y－2＝0.
(2)由yy＝ ＝3x3x，－2， 解得xy＝ ＝11， 或xy＝ ＝－ －28， ， 从而求得公共点为 P(1,1)或 M(－2，－8)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点 (－2，－8)．
预习自测 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y ＝f(x)在点 x＝x0 处切线的斜率．( ) (2)若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)必存 在．( )
1.1.3导数的几何意义
y f ( x0 ) f ( x 0 )( x x0 )
导数的几何意义的应用
例1.求抛物线y=x2过点(1，1)的切线的斜率 及其方程。 解：过点(1，1)的切线斜率是
f (1 x) f (1) (1 x) 1 lim lim f (1)= x 0 x 0 x x
例3.y=x3在点P处的切线斜率为3,求点P的坐标.
解：设点P的坐标(x0，x03)
f ( x0 x) f ( x0 ) lim ∴斜率3= x 0 x 3 3 ( x0 x) x0 lim x 0 x 2 2 3
lim[3x0 3x0 x (x) ] 3x0
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
课堂练习：
1.已知曲线y=2x2上的一点A(2，8),则点A
f ( x0 x) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
思考:此处切线定义与以前的定义有何不同？
能否将圆的切线的概念推广为一般曲线的切线：直线 与曲线有唯一公共点时，直线叫曲线过该点的切线？ 如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例。 直线与圆有惟一公共点时， 直线叫做圆的切线。
3.由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处 的导数的步骤是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
回 顾
f ( x 0 x) f ( x0 ) y (2)求平均变化率 ; x x y (3)取极限，得导数f ( x0 ) lim . x 0共点的个数来定 义曲线的切线。
o
x
y
1.1.3导数的几何意义
几何 意义
函数 f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的② 斜率k ,即k =
lim f(x0 Δx)-f(x0 )
③ Δx0
Δx
= f'(x0)
知识拓展:曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
第1讲 描述运动第的一基本章概念导数及其应用
x0 -(-1)
x0 1
所以2x0+1=
x02
x0
x0 1
1
,
解得x0=0或x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=1,过点(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0.
当x0=-2时,切线的斜率k=-3,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0.
综上,所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0.
第1讲 描述运动第的一基本章概念导数及其应用
曲线f(x)过点P(x0, f(x0))的切线方程 (1)该点可能是切点,也可能不是切点; (2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,与切点个数有关; (3)求切线方程的一般步骤: ①设出切点(x1, f(x1)); ②求出曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的导数 f'(x1); ③写出切线方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),将(x0, f(x0))代入,求得x1; ④将x1代入切线方程,化简得切线方程.
名称
内容
速度 物体运动的速度v,可由可导位移函数s=s(t)对时间t求导得出,即v=⑤ s'(t)
加速度 物体运动的加速度a,可由可导速度函数v=v(t)对时间t求导得出,即a=⑥ v'(t)
第一章 1.1.3 导数的几何意义
1.1.3 导数的几何意义学习目标 1.通过曲线的割线到切线的变化过程，体会利用运动变化和极限逼近的思想构造导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.会利用导数研究函数图象的切线的斜率，能解决过曲线上一点及曲线外一点的切线方程问题．知识点一 导数的几何意义 1.割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，直线AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，直线AD 叫做此曲线在点A 处的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．思考 曲线的切线与曲线的交点是否一定唯一？答案 曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有多个甚至无穷多个． 知识点二 导函数的定义从求函数f (x )在x ＝x 0处导数的过程可以看出，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．这样，当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx .特别提醒：区别联系f ′(x 0)f ′(x 0)是具体的值，是数值在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是导函数f ′(x )f ′(x )f ′(x )是函数f (x )在某区间I 上每一点处的导数组成的一个新函数，是函数在x ＝x 0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值1．函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( √ )2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( √ ) 3．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( × )4．“直线l 与曲线C 相切”是“l 与C 有一个交点”的必要不充分条件．( × )一、利用图象理解导数的几何意义例1 (1)如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)等于( )A.12 B ．3 C ．4 D ．5 答案 A解析 根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率，则k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.(2)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，则下列不等式正确的是( )A ．k <f ′(x 1)<f ′(x 2)B ．f ′(x 1)<k <f ′(x 2)C ．f ′(x 2)<f ′(x 1)<kD ．f ′(x 1)<f ′(x 2)<k答案 B解析 函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大， 所以f ′(x 1)<k <f ′(x 2)．反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．跟踪训练1 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )答案 B解析 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时，f ′(x )>0；当x ＝0时，f ′(x )＝0；当x >0时，f ′(x )<0，只有B 适合条件． 二、求切线方程例2 (1)幂函数y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为( ) A ．y ＝12x －16 B ．y ＝12x ＋16 C ．y ＝－12x －16 D ．y ＝－12x ＋16答案 A解析 因为y ′＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx ＝12，故切线的斜率为12.∴曲线在点(2,8)处的切线方程为y －8＝12(x －2)， 即y ＝12x －16.(2)已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.求曲线C 在x ＝2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)． y ′|x ＝2＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0 [4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. 反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 若函数f (x )＝x －1x ，则它与x 轴交点处的切线方程为___________________．答案 2x －y －2＝0或2x －y ＋2＝0解析 f (x )＝x －1x 与x 轴交点坐标为(1,0)，(－1,0)，f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x －1x Δx＝1＋1x2，f ′(1)＝2，f ′(－1)＝2，∴所求切线方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)， 即2x －y －2＝0或2x －y ＋2＝0. 三、求切点坐标例3 (1)设曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1答案 A解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2，所以a ＝1.(2)已知函数f (x )＝1x 在x ＝x0处的切线的倾斜角为135°，则x 0＝________.答案 ±1解析 ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 1x 0＋Δx －1x 0Δx ＝－lim Δx →0 1x 0(x 0＋Δx )＝－1x 20.令－1x 20＝tan 135°＝－1，可得x 0＝±1.反思感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标． (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点的纵坐标．跟踪训练3 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________． 答案 －3解析 ∵y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx＝lim Δx →0(4＋Δx )＝4，∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线y ＝x 2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3. ∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.过某点的曲线的切线典例 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2＋x ＋1相切的直线方程．解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则切线的斜率为k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝2x 0＋1.又k ＝(x 20＋x 0＋1)－0x 0－(－1)＝x 20＋x 0＋1x 0＋1，∴2x 0＋1＝x 20＋x 0＋1x 0＋1.解得x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0. 故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0.[素养提升] (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点． (2)过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 ①设切点(x 0，f (x 0))． ②建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.③解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．(3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法．体现了直观想象和数学运算的数学核心素养．1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在答案 B解析 ∵切线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝－12<0.2.已知函数f (x )的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 C解析 k AB ＝f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，f ′(2)为函数f (x )的图象在点B (2，f (2))处的切线的斜率， f ′(3)为函数f (x )的图象在点A (3，f (3))处的切线的斜率， 根据图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．3．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4答案 C解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝lim Δx →0 21＋Δx ＝2，即切线的斜率k ＝2，所以切线方程为y ＋2＝2(x －1)， 即y ＝2x －4.4．函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程是y ＝x －4，则f ′(1)f (1)＝________.答案 －13解析 函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线y ＝x －4的斜率为1，则f ′(1)＝1， 由于切点(1，f (1))在直线y ＝x －4上， 则f (1)＝1－4＝－3，因此，f ′(1)f (1)＝－13.5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 令f (x )＝2x 2＋4x ，设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，则2x 20＋4x 0＝30，∴P (3,30)．1．知识清单： (1)导数的几何意义． (2)求曲线的切线方程． (3)导函数和导数的关系．2．方法归纳：以直代曲法，待定系数法．3．常见误区：(1)混淆在一点处的切线和过一点的切线． (2)不理解导函数和在一点处的导数的关系．1.已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定答案 B解析 由导数的几何意义，知f ′(x A )，f ′(x B )分别是曲线在点A ，B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．2．下列各点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，14答案 D解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y ′|0x x ＝＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0＝tan π4＝1，所以x 0＝12，y 0＝14.3.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ．3C ．－2D ．1答案 D解析 由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1，故选D. 4.若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 根据导数的几何意义，可知导函数f ′(x )在区间(－∞，0)内为负值，在区间(0，＋∞)内为正值，在x ＝0处为0，故f ′(x )的图象与x 轴有且只有1个交点． 5．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4， 所以x 0＝2.所以切点坐标为(2,4)，切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0，故选A.6．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝________.答案 2解析 由题意知a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2，∴a ＝1，b ＝2，故ba＝2.7．曲线y ＝1－1x 在点(1,0)处的切线的倾斜角等于______．答案 π4解析 因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＋Δx －0Δx＝lim Δx →0 11＋Δx＝1， 所以曲线在该点处的切线的斜率等于1，故倾斜角等于π4.8．曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为__________．答案 x －y ＋1＝0 解析 ∵y ＝x 2＋1x，∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1x ＋Δx －x 2－1x Δx ＝2x －1x 2，当x ＝1时，y ′＝2－1＝1，∴所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.9．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2，求直线l 2的方程．解 因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－(x 2＋x －2)Δx ＝2x ＋1， 所以y ′|x ＝1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3，设直线l 2与曲线y ＝x 2＋x －2相切的切点为P (x 0，x 20＋x 0－2)， 则直线l 2的方程为y －(x 20＋x 0－2)＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为l 1⊥l 2，所以3(2x 0＋1)＝－1，x 0＝－23， 所以直线l 2的方程为3x ＋9y ＋22＝0.10．已知曲线y ＝x －1x(x >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，求实数x 0的值． 解 ∵y ′＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋Δx －1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x －1x Δx＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋Δx －x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋Δx Δx＝lim Δx →0Δx ＋Δx x (x ＋Δx )Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x (x ＋Δx ) ＝1＋1x 2， ∴切线的斜率为1＋1x 20，则切线的方程为y －x 0＋1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－2x 0，令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20， ∴S △OAB ＝12×2x 0×2x 01＋x 20＝13， 解得x 0＝5(负根舍去)．11．已知抛物线y ＝x 2在点P 处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则P 点坐标为() A ．(2,4) B ．(－2,4)C ．(－1,1)D ．(1,1)答案 A解析 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .设抛物线在点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，则y ′|0x x ＝＝2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝x 20＝4，即P (2,4)，经检验，符合题意．12．已知函数f (x )＝x 3，过点P ⎝⎛⎭⎫23，0作曲线f (x )的切线，则其切线方程为( )A ．y ＝2B ．x ＝23C ．3x －y －2＝0或y ＝0D ．12x －9y －8＝0答案 C解析 设切点为Q (x 0，x 30)，得切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20，切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫23，0，所以2x 20－2x 30＝0，解得x 0＝0或x 0＝1，从而切线方程为y ＝0或3x －y －2＝0.13．若点P 是抛物线y ＝x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________，此时P 点坐标为________．答案 728 ⎝⎛⎭⎫12，14 解析 由题意可得，当点P 到直线y ＝x －2的距离最小时，点P 为抛物线y ＝x 2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y ＝x －2，设y ＝f (x )＝x 2，由导数的几何意义知y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝2x ＝1，解得x ＝12，所以P ⎝⎛⎭⎫12，14，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.14．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在x ＝1处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )＋1－ax 3－x －1Δx ＝lim Δx →0a (Δx )3＋3ax 2Δx ＋3ax (Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0[a (Δx )2＋3ax 2＋3ax Δx ＋1] ＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)， 又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.15．已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1x，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为__________________．答案 x －2y ＋1＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝1x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(x )＝lim Δx →0 1＋Δx －1Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)， 即x －2y ＋1＝0.16．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解 设切点为P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2＋2ax 0＋a Δx －9] ＝3x 20＋2ax 0－9，∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. ∵斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12. 解得a ＝±3.又a <0，∴a ＝－3.。
导数的几何意义
导数的几何意义篇一：导数几何意义1.1.3导数的几何意义教材分析本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 课时分配本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件. 教学目标重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答.自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程.易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法. 拓展点：求曲线的切线方程. 教具准备：多媒体课件.课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式. 一.创设情境师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．师：曲线在点处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？生：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点，有时还可能有多个公共点．师：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线然与曲线公共点有惟一公共点，但它与曲线和，但与曲线相切于点不相切；而另一条直线，直线虽，虽然与曲线有两个．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．【设计意图】引导学生归纳总结曲线在点处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，也不一定是曲线的切线.概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入对重点内容的探索. 二．探究新知师：如图，当点的变化趋势是什么？没着曲线趋近点时，割线（2）图（1）图（4）图图（3）图生：点师：趋近于点时，割线趋近于确定的位置.为曲线的切线【设计意图】尤其第五幅图通过课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质. 三.理解新知师：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？割线当点的斜率是：（板书）无限趋近于点在时，无限趋近于切线．的斜率．再次通过教师逐步的引导得出函数处导数就是切线的斜率.（教师重复定义，并板书）．即.教师引导学生观察：在点，??．过点可以用过点的附近，最贴近比更接近曲线，比更接近曲线的附近，曲线的切线的切线附近的曲线．因此，在点近似代替．【设计意图】要求学生能数形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义. “以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．四．运用新知例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数图形体现导数，的几何意义.的图象.用生：运动员在大约动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在时的瞬时速度为的速率上升.附近，正以，这说明运的速率下落；运动员在附近，正以大约在在师：根据图像描述、比较曲线请运用导数的几何意义，描述附近呢？附近增（减）以及增（减）快慢的情况. 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在生：作出曲线在这些点处的切线，⑴在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在，函数在点附近单调递减.曲线在是因为⑵当数⑶当函数在时，曲线.在处的切线的斜率作出切线，切线呈下降趋势，即附近比在附近下降得更快，则．∴ 在附近曲线上升，即函附近单调递增．时，曲线在处的切线的斜率．∴ 在附近曲线下降，即在附近也单调递减．师：如何用导数研究函数的增减？（先由学生交流讨论，学生回答后，教师再归纳结论）结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明在这点附近变化率为0，函数几乎没有增减.篇二：导数的几何意义与计算（四）导数的计算与几何意义【知识精讲】一、导数的概念函数y?f(x)在x0点的瞬时变化率，叫函数y?f(x)在x0点的导数，记作f/(x0) 即f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)?x二、导数的几何意义/函数f(x)在x?x0处的导数f?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在x?x0处的切线的斜率，即k?f’(x0)；如果y?f(x)在点x0可导，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为y?f(x0)?f/(x0)(x?x0)三、常见函数的导数公式和求导法则：1、常见函数的导数公式：公式1：(C)/?0（其中C为常数）公式2：(xn)/?nxn?1(n?N*)公式3：(sinx)’?cosx 公式4：(cosx)’??sinx公式5：(logax)’?11logae特别地，(lnx)’? xx公式6：(ax)’?axlna特别地，(ex)’?ex2、导数的四则运算法则：uu’v?uv’(u?v)’?u’?v’(uv)’?u’v?uv ‘ ()’? 2vv3、复合函数y?f(g(x))的导函数和函数y?f(u)，u?g(x)的导函数的关系为yx’?yu’?ux’.（只限于g(x)?ax?b）【题型归纳】例1、求下列函数的导数2x2（1）f(x)?xlnx （2）f(x)?(x?1)e?x（3）f(x)?x?3 e2x（4）f(x)?1x(1?2x)(x?5)2?6lnx（5）f(x)?ln(1?x)? 21?x例2、求曲线f(x)?2xlnx在点（1，0)处的切线方程.bex?1例3、（2014全国卷一）设函数f(x)?aelnx?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为xxy?e(x?1)?2求a,b【练习巩固】1、设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为（） A．4B．?2、曲线y?11C．2 D．? 42x在点?1,1?处的切线方程为（） 2x?1A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?03.曲线y?e1x2在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A．2922e Ｂ．4e2Ｃ．2e2 Ｄ．e 24．曲线f(x)?13x?x2?ax?a上不存在斜率为0的切线，则a的取值范围是___________ 3x5.已知函数y?ex，过原点作曲线y＝e的切线，则切线的方程___________6.f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是_____________.7.点P是曲线y?x?3x?x32上的任意一点,P点处切线倾斜角?的取值范围 ___________ 38.曲线y?xe?2x?1在点（0,1）处的切线方程为。
1[1].1.3导数的几何意义1
![1[1].1.3导数的几何意义1](https://img.taocdn.com/s3/m/2a03a43643323968011c92f9.png)
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
B
f(x1)
O
A x2-x1=△x x x1 x2
回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
lim
x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0) x
lim
x 0
f x
,
我们称它为函数y=f(x)
在x=x0处的导数，记作f′ (x0)或y′|x→x0即
f '( x 0 )
lim
x 0
f ( x 0 x ) f ( x 0) x
lim
x 0
，然后通过取极限， 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的基本方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
回 顾
(2)求平均变化率
y x
f ( x 0 x) f ( x0 ) x
y x
x 0
;
(3)取极限，得导数f ( x0 ) lim
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
小结:
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ( x ) 。 （3）函数f(x)在点x0处的导数 f ( x 0 ) 就是导函数 f ( x ) 在x=x0处的函数值，即 f ( x 0 ) f ( x ) | x x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
1.1.3导数的几何意义
填一填·知识要点、记下疑难点
(2)导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x) 在点P(x0，f(x0))处的切线的斜__率__．也就是说，曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是_f_′__(x_0_)_．相应 地，切线方程为_y_－__f_(x_0_)_＝__f′__(_x_0)_(_x_－__x0_)__． 2．函数的导数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时， f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导 数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 (1)根据例1图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增 (减)以及增(减)快慢的情况． 解 函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0， 所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在 t4附近递增得快．
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1.1.3 导数的几何意义
【学习要求】 1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义． 2．会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 【学法指导】
前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本 节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进 一步体会另一种重要思想——以直代曲.
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例2 已知曲线y＝x2， (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．
解 (1)设切点为(x0，y0)，
∵y′|x＝x0＝Δlixm→0
x0＋Δx2－x02 Δx
＝ lim Δx→0
x20＋2x0·ΔxΔ＋x Δx2－x20＝2x0，
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• (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函 数f′(x)在点x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝ x0. • 所以求函数在某一点处的导数，一般是先 求出函数的导函数，再计算这点的导函数 值．
• 2．函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函 数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线 的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线， 而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在 x＝0处有切线，但它不可导．
9、对于函数f(x)＝x2，f′(x)等于什么？ 当x在R内变化时，f′(x)是函数吗？
f′(x) ＝2x
形成概念
一般地，当x变化时，f ′(x)也是一个 函数，称为f(x)的导函数（简称导 数），利用极限如何求f′(x)？
f (x + Vx ) - f (x ) f ¢ x ) = lim ( Vx ® 0 Vx
例4 求斜率为4，且与抛物线y＝x2＋2x 相切的直线方程.
y＝4x－1.
典例讲评
例5 在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平 行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y ＋5＝0；(3)倾斜角为135°. • [分析] 解此类题的步骤为：①先设切点 坐标(x0 ，y0)；②求导函数f′(x)；③求切线 的斜率f′(x0)；④由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求x0 ；⑤由于点(x0，y0) 在曲线y＝f(x)上，将x0 代入求y0 ，得切点 坐标．
新知探究
1、利用极限如何求f′(x)？
f (x + Vx ) - f (x ) f ¢ x ) = lim ( Vx ® 0 Vx
探求新知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、如何理解导函数f ′(x)的值域？ 函数f(x)图象上各点的切线的斜率组 成的集合.
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1. 1.3导数的几何意义课前预习学案一． 预习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。
二． 预习内容1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 . （2）割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = =2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= .三．提出疑惑疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题二． 学习过程（一）。
复习回顾1．平均变化率、割线的斜率 2。
瞬时速度、导数 （二）。
提出问题，展示目标我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？（三）、合作探究1.曲线的切线及切线的斜率（1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？（2）如何定义曲线在点P 处的切线？(3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (4)切线PT 的斜率k 为多少？说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义（1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？ （2）将上述意义用数学式表达出来。
（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？ 3.导函数（1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.（2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？ 区别： 联系：（四）。
例题精析例1 求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.解:变式训练1求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程.例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 的斜率 , 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降.(2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率 , 所以,在1t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减. (3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率 ,所以,在2t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解:三。
反思总结1.曲线的切线定义.2.导数的几何意义3．求曲线在一点处的切线的一般步骤：四。
当堂检测1.求曲线2)(x x f y ==在点(1,1)处的切线. 2.求曲线y x =(4,2)处的切线.1.1.1.3 导数的几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;2.理解曲线的切线的概念;3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题 二．教学重点难点：重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 难点：导数的几何意义 三．教学过程： （一）。
【复习回顾】 1．平均变化率、割线的斜率 2。
瞬时速度、导数 （二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？（三）、【合作探究】 1.曲线的切线及切线的斜率如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0→∆x 时,割线n PP 趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题: (1)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (2)切线PT 的斜率k 为多少？容易知道,割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时,n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明: (1)当0→∆x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.(2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率,即0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率;③利用点斜式求切线方程. 3.导函数由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个 确定的数,那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 记作:()f x '或y ',即0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆.注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.4.函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系(1)函数在一点处的导数0()f x ',就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的 极限,它是一个常数,不是变数.(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x 而言的,就是函数)(x f 的导函数.(3)函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值,这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一. 四。
【例题精析】例1 求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程.解: 222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x =∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆ 所以,所求切线的斜率为2因此,所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=变式训练1求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程.因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线,刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴, 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当1t t =时,曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<, 所以,在1t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减. (3)当2t t =时,曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<, 所以,在2t t =附近曲线下降,即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出,直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度, 这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢.例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min )变化的图象.根据图像,估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度()f t 在此时刻的导数,从图像上看,它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作0.8t =处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), 则它的斜率为0.480.911.41.00.7k -=≈--,所以(0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'()f t0.4-0.7-1.4五。