功率谱密度函数(课堂PPT)

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《功率谱密度》课件

功率谱密度的定义
用来反映随机信号法雷氏中各频率成分功率大小关系的统计量。
功率谱密度的计算方法
Welch方法
将信号分段，通过FFT计算每个片段的功率谱，最后求平均得到总功率谱。
Burg方法
基于自回归模型的估计方法，具有高分辨能力和良好的拟合性，适合于对非平稳信号的分析。
Blackman-Tukey方法
功率谱密度提供了一种对信号分析的定量方法，有助于进行精确的信号识别和判别。
3 方法选择
在实际应用中，不同领域对功率谱密度的选择方法和计算方式也不尽相同，需要根据具体需求进行选择。
2
性质
功率谱密度是非负的实数函数，具有对称性、线性性和可加性。
3
宽度功率谱密度的宽Fra bibliotek反映了信号持续时间的长短，宽度越窄说明信号持续时间越短。
功率谱密度的优缺点
优点
提供了信号的频率分布信息，有助于对信号进行定性分析和判断。
缺点
需要缩小测量范围，降低噪声干扰，且测量值精确度高。
功率谱密度的实际案例
《功率谱密度》PPT课件
欢迎来到本节课程。本节课我们将会学习功率谱密度的定义、计算方法和应用领域等。希望大家能够认真听讲，掌握这一重要的电子工程概念。
功率谱密度的定义
谱的概念
将随时间变化的信号，即时域信号拆分成一系列不同频率的正弦波成分，这些正弦波的振幅、频率和相位都可以唯一确定，这种方法称为"频域分析"。
直接估计信号的自相关函数，然后将其FFT得到功率谱，计算比较方便。
功率谱密度的应用领域
通信信号处理机械地震学
频谱分析，调制识别，通信安全降噪，滤波，自适应控制振动分析，故障诊断，结构健康监测地震波处理和分析

谱密度PPT

Fx () :F (x)()
x(t)e jt dt

反演公式
x(t ) 1
2

Fx
(
)e
jt
d
(假设逆变换存在)
记 W x2(t)dt 为x(t)在(-,+)上的总能量
则
W
x2 (t)dt

x(t)[
解 R X ( ) 5 2 e 3| | 2 e 3| | c o s 4
S X ( ) F (R X )( )
5F (1)( ) 2F ( e 3| | )( ) 2F ( e 3| | c o s 4 )( )
10 ()
T T
e
j (t s)
RX
(t

s)dsdt
(令
u t s

v

t

) s

2T 2T
(1

|u | 2T
)e

ju
R
X
(u
)du

e

ju
R
T X
(u
)du
(令
R
T X
(
)

（ 1

2T
)RX
(
)

0
2T ,
2T
则
lim
T
第二式说明功率谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积.
谱密度的计算 ● 广义积分----可利用复变函数中的留数定理 ● 利用已知的基本公式和 Fourier 变换的性质等
留数定理函数f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2,..., zn外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

功率谱分析ppt课件

以模下拟是信库号G利自x(-f谱杜) 的T开2 |X估法( 值f的)|计2估算值式计：算式：
功率谱的计算
数字信S x号(k自) 谱N1的| X估(值k)计|2算式：

G
(k
x
)

2 N
|X
(k )|2
其中k
0,1,2..... N 1
模拟信Sx号y( f互) 谱T1的X估 ( f值)Y计( f 算) 式：
为
S R e (f)
( ) j 2f d
xy
xy

（2.36）
R S e
( )
( f ) j 2 f df
其逆变换xy 为 xy

功由S率于( f )谱R()密与度函的数傅里的叶定变换义对的S关( f )
系，两R()者是唯一对R应X (的) 。 S中x( f包) 含
dt
S x
T T 0
Sx( f )
（2.40）x2(t)
x2(t) T x2(t) T
上式表明： T 2(t)
x lim
dt
T T 0
曲线下的总面积与
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
从物理意义讲，是信号x（t）的能量，
这功一总率S功x(f) 率谱密度函数的物理意义
塞均法功P尔率av 定为Tlim理T1 ，0T x2在(t)d整t 个Tlim时 T1间|X轴( f )上|2df的信号平
（2.41）
S
x

lim
T
1 T
|
X
(
f
)|2
再由式（2.38）、（2.3(9,）) 、（2.41）得：
(,0)

第4章_功率谱分析(课堂PPT)

H
f
Yf Xf
Yf Xf
X f X f
Sxy f Sxf
▪ 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
▪
X(t)
系统1
系统2
y(t)
n t 1
n t 2
n3 t
随机信号的功率谱密度正弦加随机
随机信号
随机信号的功率谱密度
yt x't n1' t n2 ' t n3' t
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
➢ 自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)
➢ 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)
➢ 相干函数(coherence function)与频率响应函数(frequency response function)
xy
arctan
Qxy Cxy
随机信号的功率谱密度
▪ 互谱分析的估计
▪ 离散点
S k xy
1 N
X
k
i
Y
k
i
Sxy k
1 N
X
k
i
Y
k
i
▪ 对应于数字信号
Sxy fi
1 T
X
fi
Y fi
S xy
fi
1 T
X
fi Y fi
随机信号的功率谱密度
▪ 工程应用
▪ 可利用互谱求系统的 H f H f f
Rxx ( )
RxT xT ( )
随机信号的功率谱密度

自功率谱密度函数互功率谱密度函数演示文档.ppt

第二章信号及其描述
1
主要内容
–信号的分类与定义随机信号与确定性信号连续信号与离散信号周期信号与非周期信号
–确定性信号的特性时间特性频率特性时间与频率的联系
–确定性信号分析时域分析频域分析
–随机信号特性及分析 2
信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说，信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量中，才可能含有信息。
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非周期信号f(t)。即
lim
T
fT (t)
f (t)
9
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部信息量，信号的特性首先表现为它的时间特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变化的特性。
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉
总响应
n
rt skt t ht kt
k 0
17
S(t) 激励函数(输入信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的冲激响应(输出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加后的总响应(输出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt• t （当Δt 0，脉冲函数
时可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
3
确定信号与随机信号
当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值。这样的信号称为确定信号。
随机信号不是确定的时间函数，只知道该信号取某一数值的概率。
带有信息的信号往往具有不可预知的不确定性，是一种随机信号。

第七讲功率谱密度分解

从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1

的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0

性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声在电路系统分析、自动控制和测量中经常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电路系统中，由于分子的热运动，使电路各处的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电流的变化反映为声波的变化时，就是人们不爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五

四随机过程的功率谱密度概况PPT课件

向量范数
定义1. 对于 n维向量R空 n中间任意一x个 , 向量若存在唯一x一 R与个 x对实应数，且满足
( 1 )( 正 )x 定 0 , 且 x R 性 n ,x 0 x 0 ;
( 2 )( 齐 ) 次 x x ，性 x R n , R ;
(3 )(三角 )x 不 yx 等 y，式 x ,y R n . 则称 x为向x的量范. 数
2
信号s(t)的总能量为 E s2(t)dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即
E s2(t)dt2 1 S()2d
其中 S ( ) 2 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
有限能量信号：
在的条件
s2(t)dt 是能量谱密度存
随机信号的功率4ຫໍສະໝຸດ 功率谱密度可积，即SX()d
功率谱密度与自相关函数
功率谱密度的表达式为
SX()Tli mEXX2(TT,)2
其中
XX(T, ) xT(t)ejtdt
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的
Plim1 T x(t)2dt T 2T T 因此，可以研究随机过程的功率谱。
样本函数x(t)的截取函数
xT
(t)
x(t) 0
t T 其他
x(t)
-T
T

第六讲平稳随机过程的功率谱密度

第六讲平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。

设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点，那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。

信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。

即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。

能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。

6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。

经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。

功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。

可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。

通信原理第四讲功率信号的功率谱密度 ppt课件

f
F()
(t) 1
2
f (t)e jtdt
F()ejtd
或
F( f ) f (t)
f (t)e j2 ftdt
F( f )e j2 ftdf
2.确知信号的频率性质
(1)能量信号的频谱密度——能量信号S ( t ) 的傅里
叶变换 S(f) s(t)ej2ftdt
能量信号的能量谱密度——由巴塞伐尔定理将
功率。若信号电压和电流的值都随时间变化，
则S可以写为时间t的函数S ( t ) 。
信号能量：E s2(t)dt
单位是焦耳(J)
能量信号：若信号的能量是一个正的有限值,即
0E s2(t)dt，则称此信号为能量信号。
平均功率：
Plim1 T/2 s2(t)dt
T T T/2
傅立叶变换公式
(1)对信号的衰耗随时间的变化而变化； (2)传输时延随时间也发生变化；
(3)具有多径传播(多径效应)。
多径传播：由发射点出发的电波可能经过多条路径到达接收点的现象。
因此多径传播后的接收信号将是衰减和时延随时间变化的各路径信号的合成。
若设发射信号为Acosct ，则经过n条路径传播后的接收信号R ( t ) 可用下式表述：
n
令
aI(t) ai(t)cosi(t)
i1
同相分量
n
aQ(t) ai(t)sini(t) 正交分量
i1
R (t) a I(t)co c t sa Q (t)sic n t
a(t)
a2 I
(t)
aQ2
(t)
(t ) aI (t)
aQ (t)
cos(t) aI (t)

第五章功率谱密度函数

▲（1）自谱SX(ω)为一实偶函数，由于自相关函数为实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也是实偶函数 ▲（2）自谱密度SX(ω)曲线下面包围的面积乘以常数1/2π，即为平稳随机过程X(t)的圴方值E[X2(t)]。
SX(ω)
0
ω
RX

0

E X 2
t

1
2

SX
d
计算汽车四个输入的振动传递时，需要计算四个车轮输入的自谱和四个
车轮彼此之间的互谱，共16个谱量，其中四个自谱，12个互谱；其中互
谱的计算公式：
Gik
(n)

lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
Gik
(n)

lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
G11(n)

lim
T
1 T
F1* (n) F1 (n)
q2 (l) x(l L) q4 (l) y(l L)
1、2为同侧车轮 3、4为同侧车轮
F[q1(l)] F[x(l)] X (n)
F[q2 (l)] F[x(l L)] X (n)e j2nL
F[q3(l)] F[ y(l)] Y (n)
F[q4 (l)] F[ y(l L)] Y (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
作业：
推导：
G14 (n) G41*(n) Gxy (n)e j2nL G32 (n) G23*(n) Gyx (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)

第4章随机信号的功率谱密度.ppt

➢ 二、互谱密度的性质 1. GXY (ω ) GYX ( ω ) GYX (ω )。
2. Re GXY ( ) 和 Re G YX( ) 是的偶函数； Im GXY ( ) 和 Im G YX( ) 是的奇函数。
因为任一复函数 f ( )满足：

| E[lim
T
XT (, i ) |2 ]
2T
| E[lim
T
xT (t , i ) |2 ]
2T
GX ( ) 称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过程的
平均功率：
P 1
2

GX ( )d
1
lim T 2T
T T
E[
xT ( t , i

1
[ lim
T 2T
T T
RX
(t,
t

)dt
]e j d
令：RX
(
)

lim
T
1 2T
T
T RX ( t , t )dt
RX ( ) 可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。
➢ 若 X( t )为平稳过程，则 RX ( t , t ) RX ( ) ，故有
三、带限白噪声定义：
一个均值为零，功率谱密度为
GN (
)
N0 2
,
( 0 , 0 )
的平稳过程，称为带限白噪声。其中ω0为有限值。
对应于带限白噪声的自相关函数为：
RN ( )
其中，Sa (

0
21)GsiNn(0)e 0
j d 。

由
XT (, i )

功率谱与功率谱密度.ppt

S X () S X () 0
记 SX
, , 为双边功率谱
GX , 0, 为单边功率谱
10
2.互功率谱密度联合平稳信号X(t)与Y(t)的互功率谱密度为
S XY ( ) RXY ( )e j d

SYX () RYX ( )e
6
(2) 随机信号的平均功率及平均功率谱密度
对样本功率取平均，即为平均功率
PX E PX
对样本功率谱取平均，即为平均功率谱
2 1 S X E S , lim E X , X T 2T T
XT 是截断信号xT t 的傅里叶变换
xT t
x t
t
T
T
4
令
2 1 S lim X T T 2T
S ( ) 为功率谱密度，简称功率谱
S d 则可见，信号的能量谱密度或功率谱密度沿整个频率轴上的积分正好是信号的的能量或功率。
7
随机信号的平均功率与相关函数的关系
PX ARX t , t
0
v t dt
当x(t)为广义平稳时， P RX X 记算数平均算子为
1 A lim v t T 2T

T
T
平稳随机信号的功率谱密度满足
R S
8
3.4.2基本概念
2

| X j | d密度，简称能量谱。
E:归一化能量（单位电阻上消耗的平均能量）
3
（2）功率型信号 1 T 2 1 P lim x t dt T 2T T 2

自功率谱密度函数互功率谱密度函数ppt课件

连续信号模拟信号
5
连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
6
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1 01 2 3 4
(-1)
t
7
周期信号与非周期信号
用确定的时间函数表示的信号，可以分为周期信号和非周期信号。
当且仅当 f t T f (t) t
➢ 实际上周期信号与非周期信号之间没
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非周期信号f(t)。即
lim
T
fT (t)
f (t)
9
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部信息量，信号的特性首先表现为它的时间特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变化的特性。
k 0
17
S(t) 激励函数(输入信号)的分解
s(kΔt)
0
r(kΔt) 第k个脉冲的冲激响应(输出信号)波形
0
r(t)
冲激响应叠加后的总响应(输出信号)波形
第k个脉冲函数之面积
skt• t （当Δt 0，脉冲函数
时可近似表示为冲激函数）
域
kΔt
分 t
系统对第k个冲激函数
的冲激响应函数
此函数集表示为
f t
Cne jn1t
n
Cn
1 T
T /2 f te jn1tdt, n 0, 1, 2,....
T / 2
•求出Cn，信号分解的任务就完成了。
C0 a0 A0
Cn

随机振动--第7章-功率谱密度

Cx

2 x

2 Rx x 2 x
2 2 Rx x x
0时， 1随机变量与它自身是完全相关的
2 2 2 Rx 0 x x x
时，两个随机变量之间将不再相关前提：不是周期函数
8
自相关函数Rx(τ)描述“平均功率”随时差τ的变化 →“平均功率”的时间结构。功率谱密度S x(f)：描述“平均功率”在频域（谱域）的分布→频率结构。二者在不同的域（时域或频域）反映着同一个统计特性。在不同的场合，各有所长，相辅相成。
一、自功率谱密度函数二、互功率谱密度函数
9
自相关函数的傅里叶变换

对于平稳过程：
1 * sxy lim E X Y T T T T
S ( f ) R ( )e i 2f d yx yx R yx ( ) S yx ( f )e i 2f df
31
定义：
S xy f Rxy e j 2 f d

S yx Ryx e j d
2
25
7.3 窄带随机过程与宽带随机过程
窄带过程是功率谱Sx(ω)具有尖峰特性 ,并且只在该尖峰附近的一个窄频带内 Sx(ω) 才取有意义的量级。
典型的例子是随机信号通过窄带滤波器后所得到的结果。窄带过程最极端的情形是相位随机变化的正弦波，他的谱线是对称分布的两个δ函数。
26
宽带过程是指功率谱Sx(ω)在相当宽的频带上取有意义的量级。
22
例如。。。
例 2 ：如图的自功率谱函数，求其自相关函数。

随机过程的功率谱密度 ppt课件

GX ( ) GX (cos )ppt课件
17
三、互功率谱密度及其性质
GXY ()

E{lim T
1 2T
XT ()YT()}
其中： XT ()
T X (t)e jt dt
T
YT ()
T
Y
(t
)e
jt
dt
T
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
GXY ()
GX
( )e
j
d
物理谱定义：
FX () 2GX0()
0 0
ppt课件
12
5
0
-5
0
200
400
600
800
1000
1200
30
频谱
20
10
0 0
40 20
0 -20 -40
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
功率谱
200
400
广义联合平稳的定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , R (t , XpYpt课件1 t2 ) RXY ( ), t1 t221
随机过程的功率谱密度作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)

E[lim T
1 2T
XT () 2 ]

2 0
RX ( ) cos d
实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数。
RX
(0 )

1
2

GX

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15
5.3 互功率谱密度函数及其性质
自功率谱SX(ω)定义为自相关函数的傅里叶变换，互谱密度(简称互谱)有类似的定义，SXY(ω)与 RXY(τ)；SYX(ω)与RYX(τ)互为傅里叶变换对。
SXY ()
RXY
()e
j
d
RXY
()
1
2
SXY
()ej
d
SYX ()
RYX
()e
j
d
所以：自相关函数蕴藏着随机信号功率的物理意义。
5
研究随机过程时，常需要利用傅立叶变换来确定随机过程的频率结构，但一个时间函数，在区间 ( t) 内其傅立叶变换是否存在，取决于是否绝对可积。
X(t)dt
很多时间函数不能满足上述条件，因此不能利用用时间函数历程函数直接进行傅立叶变换。
6
对于平稳随机过程，x 0 时（不为零时可调节零
正交谱为正交分量之积
Q X Y T li m E T 1 X I Y R X R Y I
25
互谱一般为复数，亦可写成
其中
SX Y SX Y ejX Y
SXY
CX2Y
QX2Y
XY
arctan QXY CXY
26
互谱与自谱满足下列不等式
SX(ω)是ω的函数，表征信号本身“功率”按频率的分布情况。故定义SX(ω)为自功率谱密度函数
(简称自功率谱或自谱)。下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
9
下面将从另一角度定义自功率谱密度函数
设x(t)是遍历过程的一个样本函数，它是定义在
(-∞﹤t﹤∞)区间内的一个非周期函数，不满足
绝对可积条件，不能直接应用傅立叶变换。引入
下述辅助函数xT(ω):
x(t) T/2tT/2Βιβλιοθήκη xT(t) 0tT/2
若xT(t)满足绝对可积条件，则有
XT ()
xT
(t)e
jt
dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jtd
10
xT(t) 的均方值定义为:
11
T
对上式求集合平均得
R X 0 E X 2t 2 1 S Xd
12
自功率谱密度函数定义为 SX()T li m ET 1XT()2
相应地，其傅里叶反变换为
xT(t)21 XT()ejtd
yT(t)2 1
Y T(
)ej(t)d
17
xT(t)21 XT()ejtd
yT(t)2 1
Y T(
)ej(t)d
18
19
SX(Y ) R X(Y)ejd R X(Y )co sdj R X(Y )si nd
RYX
()
1
2
SYX
()ej
d
16
从另一个角度定义互功率谱密度
设x(t)与y(t)为遍历过程的两个子样函数，都是定义在区间-∞≤t≤∞内的非周期函数，其傅里叶变换 XT(ω)和YT(ω)分别为：
XT() xT(t)ejtdt
Y T () y T ( t) e j td t y T ( t ) e j ( t ) d t
第五章随机振动的功率谱密度
1
第五章随机振动的功率谱密度
5-1 自相关函数的物理意义及其傅立叶变换 5-2 自功率谱密度函数及其性质 5-3 互功率谱密度函数及其性质 5-4 共相谱、正交谱和相干函数
2
5-1 自相关函数的物理意义及其傅立叶变换
一个随机振动过程的特征可以用数学期望、方差和相关函数来描述。
若令式中τ=0，则可得
R X 0 E X 2t 2 1 S Xd
显然，若自相关函数在τ＝0处表示信号的“功率
”，则式中SX(ω)的量纲为“功率”/频率单位，
代表单位频带上所具有的功率。
8
5.2 自功率谱密度函数及其性质
自相关函数的傅里叶变换对为
SX() RX()ejd
RX21 SXejd
点），当时，自相关函数趋于 x2 0 ，所
以自相关函数满足绝对可积的条件，用符号SX(ω)
记作它的傅里叶变换
S X F R X R X e j d
相应的逆变换为:
RX21 SXejd
7
S X F R X R X e j d
RX21 SXejd 上两式通常叫做维纳—辛钦关系式。
功率谱密度函数可由相关函数转换而来。自相关函数
R x()E [X (t)X (t )]
当τ＝0时， Rx ( ) 为X(t) 的均方值
R x(0 ) E [X (t)X (t) ]E [X 2 (t)]
4
若随机过程为各态历经过程，则
Rx(0)E[X(t)X(t)]E[X2(t)]
lim1 TX2(t)dt T0
SX() RX()ejd
可以证明以上两种形式是等价的
13
自谱具有下列性质
▲（1）自谱SX(ω)为一实偶函数，由于自相关函数为实偶函数，实偶函数的傅立叶变换也是实偶函数 ▲（2）自谱密度SX(ω)曲线下面包围的面积乘以常数1/2π，即为平稳随机过程X(t)的圴方值E[X2(t)]。
SX(ω)
由于互相关函数不是偶函数，因而上述两项积分一般均不为零，即互谱函数为一复数。
20
互为共轭函数
21
互功率谱密度的两个性质：
22
5.4 共相谱、正交谱和相干函数
(只要求掌握相干函数的表达式) 互谱一般为复函数，可写成
共相谱正交谱
23
共相谱、正交谱名称的由来
24
共相谱为同相分量之积
C X Y T li m E T 1 X R Y R X I Y I
但在工程技术问题中，广泛采用从频率域来描述一个随机振动过程特征的功率谱密度函数。
1、功率谱密度函数能够反映随机振动的功率关于频率的分布密度。
2、对于一个线性系统，输入功率谱、输出功率谱、系统本身的传递特性三者之间的关系式非常简便。
3 在对系统进行振动试验时，功率谱有助于振动特性的模拟
3
功率谱密度与相关函数可分别从频域与时差域这两个不同的角度反映着同一个统计特性—“功率”。
0
ω
R X 0 E X 2t 2 1 S Xd
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▲（3）自谱SX(ω) 是一非负函数 SX()T li m ET 1XT()2
▲（4）单边谱密度GX(ω)
GXG(ωX()ω)
GX()20SX()
(0) (0)
SXS(ωX()ω)
0
ω
工程中不存在负频率，按其偶函数特征将负频率范围内的谱密度折算到正频率范围内获得单边谱密度函数