中国剩余定理问题的解题技巧
高考数学冲刺中 国剩余定理考点精讲
高考数学冲刺中国剩余定理考点精讲在高考数学的冲刺阶段，国剩余定理作为一个重要的考点，需要我们深入理解和掌握。
国剩余定理，又称中国余数定理，是数论中的一个重要定理，对于解决一些特定类型的数学问题具有关键作用。
首先，让我们来了解一下国剩余定理的基本概念。
国剩余定理主要用于解决这样一类问题：已知一个数除以几个不同的数所得的余数，求这个数。
比如说，有一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个数。
这就是一个典型的可以用国剩余定理来解决的问题。
为了更好地理解国剩余定理，我们需要先引入一些相关的概念。
比如，同余的概念。
如果两个整数 a 和 b 除以正整数 m 所得的余数相同，我们就说 a 和 b 对模 m 同余，记作a ≡ b （mod m)。
接下来，我们来看国剩余定理的具体表述。
设 m1, m2,， mk 是两两互质的正整数，M ＝ m1m2mk，Mi ＝ M/mi （i ＝ 1, 2,， k），则同余方程组：x ≡ a1 （mod m1)x ≡ a2 （mod m2)x ≡ ak （mod mk)在模 M 下的解为：x ≡ M1' M1a1 ＋ M2' M2a2 ＋＋ Mk' Mkak（mod M)，其中 Mi' 为 Mi 模 mi 的逆元。
可能这一段表述看起来有些复杂，但其实通过具体的例子来理解就会变得清晰很多。
比如，我们有这样一个同余方程组：x ≡ 2 （mod 3)x ≡ 3 （mod 5)x ≡ 2 （mod 7)首先，我们计算 M ＝ 3×5×7 ＝ 105。
然后，M1 ＝ 105÷3 ＝ 35，M2 ＝ 105÷5 ＝ 21，M3 ＝ 105÷7 ＝ 15。
接着，我们要找到 M1 模 3 的逆元，M2 模 5 的逆元，M3 模 7 的逆元。
对于 M1 模 3 的逆元，因为35 ≡ 2 （mod 3)，2×2 ≡ 1 （mod 3)，所以 M1 的逆元为 2。
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理问题的解题技巧
中国剩余定理问题的解题技巧中国剩余定理问题的解题技巧【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？这种问题称为“中国剩余定理”问题。
我一般用两种方法解决这类问题。
第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。
第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。
还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。
所以一般不用。
下面分别介绍一下常用的两种方法。
通用的方法：逐步满足法【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11。
所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。
特殊的`方法：最小公倍法情况一【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。
问这个数最小是多少？（1除外）除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16。
情况二【问题】一个数除以5余4，除以3余2。
问这个数最小是多少？这种情况也可以用特殊法。
数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。
数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。
所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14。
多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。
所以有时候特殊法和通用法混合使用。
在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。
谈“中国剩余定理”小学解法
谈“中国剩余定理”小学解法谈“中国剩余定理”小学解法前问题解答中所涉题目属于“中国剩余定理”，也称为鬼谷算，还叫隔墙算，或称为韩信点兵等。
“中国剩余定理”是公元5-6世纪、我国南北朝时期的一部著名算术著作《孙子算经》中的一个“物不知数”的解法问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？答曰：二十三。
解法后来归结为口诀诗：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
这诗的口诀的解法是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就得到所求的数。
如上题解：70×2+21×3+15×2=233， 233-105×2=23但这种解法比较局限，只能是除以3，5，7的，其它的就无法解。
“中国剩余定理”实质是初等数论解一元一次同余式方程组，按小学培优是不定方程组，这对于小学生来讲，无疑过于深奥和复杂。
所以小学涉及到的题目往往比较特殊，因而可以分类使用特殊简单的方法解答。
当然一般复杂的也可使用稍复杂的通解，现整理如下：第一类：余数相同或除数与余数的差相同，那么解答的方法是：除数的公倍数加上相同余数或除数的公倍数减去相同的除数与余数的差。
再根据要求加，减公倍数。
如：题1，一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余2，除以7余2，这个数是几？解，最小是2，加上（3，5，7）的公倍数105得2+105=107.题2，一个数一个数在100到200之间，除以3余2，除以5余4，除以7余6，这个数是几？解，3-2，5-4，7-6的差是1，所以（3，5，7）的公倍数105减去1得105-1=104昨天问题解答题：一列队伍中的人数比20多，比30少。
按1，2，3，4报数，最后一个人报3，按1，2，3报数，最后一个人报2。
这列队伍的人数是多少？解，差是1，在20到30之间，4和3的公倍数24减1 得24-1=23第二类，部分同第一类，分两步，先按第一类解答出第一步，在试算出第二步。
中国剩余定理求解同余方程组
中国剩余定理求解同余方程组
中国剩余定理是一种求解同余方程组的方法，它可以将一个方程组转化为一个等价的方程，从而简化计算。
具体来说，如果我们有以下同余方程组：
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
…
x ≡ an (mod mn)
其中m1、m2、…、mn是两两互质的正整数，那么中国剩余定理告诉我们，存在一个唯一的解x，满足0 ≤ x < M = m1 × m2 ×…× mn，并且这个解可以通过以下方式求出：
1. 计算M1 = M/m1, M2 = M/m2, …, Mn = M/mn。
2. 对于每个i，计算Mi的逆元ti（即满足Mi ti ≡ 1 (mod mi)的ti），可以使用扩展欧几里得算法求出。
3. 计算x = a1 M1 t1 + a2 M2 t2 + … + an Mn tn (mod M)。
这个方法的时间复杂度为O(nlogM)，其中logM是M的位数。
因此，当n较小而M较大时，中国剩余定理比较适用。
需要注意的是，如果m1、m2、…、mn不两两互质，那么这个方程组可能无解，或者有多个解。
此时，我们需要先对方程组进行合并，得到一个两两互质的方程组，再使用中国剩余定理求解。
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中国剩余定理的算术解法
中国剩余定理的算术解法中国剩余定理是一个重要的数论概念，它可以用来解决线性同余方程。
它指出了一些模数之间的问题，它可以使用算术方法来解决。
它的原理是，假设有一个整数的线性关系，其中的系数和常数均为非负整数，那么可以利用中国剩余定理来解决这一问题。
中国剩余定理是中国古代数学家张丘建提出的，它有着源远流长的历史。
用中文说，中国剩余定理是求模n个同余方程组的解法。
它与求解一般方程的方法是不同的，它可以将一般方程转化为一个模n 意义上的线性同余方程组。
系数和常数均为非负整数，然后求解该方程，可以求出这个线性方程的整数解。
用中国剩余定理解决线性同余方程的算术解法，有三个基本步骤：1、将原线性方程转化为模n意义上的线性同余方程组。
2、使用中国剩余定理，求出该同余方程组的解。
3、将解代入原方程，求出原方程的解。
下面将详细说明如何使用中国剩余定理来解决线性同余方程。
首先，将原线性方程转化为模n意义上的线性同余方程组。
假设原方程为：a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b (mod n)首先，我们必须取一个大于等于m的n，使得ai和b都为n的整数倍数。
然后再将原方程化为：(a1/n)x1 + (a2/n)x2 + (a3/n)x3 + ... + (an/n)xn = b/n (mod n)将原方程转换为模n的同余方程组，就完成了第一步。
第二步，使用中国剩余定理来求出该同余方程组的解。
中国剩余定理的公式如下：x1 = (a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn) mod n因此，模n的同余方程组的解为：x1 = (a1b1 + a2b2 + a3b3 + ... + anbn) mod nx2 = (a1b2 + a2b3 + a3b4 + ... + anbn-1) mod nx3 = (a1b3 + a2b4 + a3b5 + ... + anbn-2) mod n......xn = (a1bn + a2bn-1 + a3bn-2 + ... + ann-1) mod n 完成了第二步。
中国剩余定理例题讲解2
【例题】一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,问满足条件的最小自然数
为
【分析】法一：根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以可以使用普遍适用的
“中国剩余定理”,步骤如下：
Q
3、5
的公
倍数
3、7
的公
倍数
5.7的公
倍数
15
21
35
30
42
70
45
63
105
60
84
140
分别找出除以7余4的3、5的公倍数，除以5余3的3、7的公倍数，除以3余2
代，数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝；
O
七子团圆正半月，
除百零五便得知，
用现在的话来说就是：一个数用3除，除得的余数乘70;用5除，除得的余数乘21;用7除，除得的余数乘15.最后把这些乘积加起来再减去105的倍数，算法是；
11除余7,由于[3,5,11]=165,所以这个数最小是165+7=172.
法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的
基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数.
什么是中国剩余定理?
“物不知数问题”一般解题步骤：
o
①凑“多”相同，即把余数处理成相同条件；余数与除数的和相同
不相互影响各自被对应除数除后所得的余数，
即70a+213+15c是被3除余a,被5除余b,被7除余c的数，
得到18,恰好除以5余3,此时符合后两个条件；
再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18,当18被加上1个35个，得到53,检验符
江苏事业单位考试：数量关系之中国剩余定理
江苏事业单位考试：数量关系之中国剩余定理在事业单位备考到来之季，中公事业单位考试网为帮助考生更好的备考行测考试，特意准备了2016年行测答题技巧《数量关系之中国剩余定理》，助力考生顺利通过事业单位行测考试。
近期各省事业单位招聘进行得轰轰烈烈，在事业单位行测考试中，数量关系部分一直是考试中考生认为最难的一个部分，通常把它放在最后去做，或者干脆全蒙B，然而，数量关系部分分值较高，要想在行测拿到不错的分数，数量关系的分数是必不可少的。
因此，对于数量部分比较容易能够拿分的题目我们依然要尽可能学会，保证数量不拉分。
我们今天就来给大家分享一个较为简单的题型，关于我们的中国剩余定理。
一、题型特征已知X÷A……a，X÷B……b，X÷C……c，……求X是多少?二、求解方法(1) 余同加余X÷3......2 X÷4 (2)余数相同，则X=除数公倍数+余数，即X=12N+2(2) 和同加和X÷3......2 X÷4 (1)除数和余数的和相同(都是5)，则X=除数公倍数+和(除数与余数的和)，即X=12N+5(3) 差同减差X÷3......2 X÷4 (3)除数与余数的差相同(都是1)，则X=除数公倍数-差(除数和余数的差)，即X=12N-1(4) 逐步满足当余数、和、差都不相同，需要逐个尝试，从除数最大的开始满足。
X÷3……1 × √X÷4……2 6 10即符合条件的最小整数是10，则X=除数公倍数+最小满足数，即X=12N+10三、真题演练【真题演练】幼儿园组织小朋友列队，每列三每列五人也多2人，且幼儿园小朋友有不到50人，求小朋友最多有多少个?A.32B.49C.47D.45【答案】C。
根据题干分析可知，幼儿园小朋友人数除以3余2，除以5余2，属于中国剩余定理考核，而且余数相同，则考虑余同加余，所以人数=15n+2，由于不到50人，又要尽可能大，则最大是n=3，即共有47人。
巧解“中国剩余定理”
1 凑“多”相同，即把余数处理成相同（条件：余数与除数的和相同） 2 凑“缺”相同，即把余数处理成缺的数字相同（条件：除数与余数的
差相同） 3 逐步满足法：先满足条件一，得N，再用“M=N+已满足除数公倍
数”来满足下一个条件 我国古代的《孙子算经》中有这样一道题：“今有物不知其数，凡三三 数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个问题及其 解法，在世界数学史上是十分有名的。中外数学家将这道题的解法称之 为“孙子定理”或“中国剩余定理”。
3、一个自然数被3除余1Байду номын сангаас被5除余3，被7除余5，求满足这个条件的最 小自然数。
【难题点拨2】 篮子里有鸡蛋若干个，每次取出3个，最后剩1个，每次取出5个，最后 剩2个，每次取出7个，最后剩3个。问：篮子里至少有多少个鸡蛋？
在上面的解答过程中，我们都是假设总数减少了多少，使减 少后的数能被其中的两个数整除，被第三个数除余几，然后 在前两个数的公倍数中找能够满足被第三个数除余几的数。 思考：假设总数增加多少，是增加后的数能够被其中的两个数 整除，被第三个数除余几，然后在前两个数的公倍数中找能够 满足被第三个数除余几的数。
【难题点拨3】 一个自然数被7、8、9除的余数分别是1、2、3，并且三个商的和是 570，求这个自然数。 【点拨】 给这个自然数增加6，那么这个自然数就分别是7、8、9的倍数，这个自 然数除以7、8、9的商分别是8×9的n倍，7×8的n倍，7×9的n倍，三个商 的和（8×9+7×8+7×9）×n应该大于570，所以： （8×9+7×8+7×9）×n＞570
138，求这个自然数。
【看你能摘几颗★】 1、一个数被3除余1，被5除余2，被7除余3，求满足条件的最小自然 数。
2021国考行测如何用中国剩余定理快速解题
2021国考行测如何用中国剩余定理快速解题通过最新贵州公务员考试资讯、大纲可以了解到，《行政职业能力测验》主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
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中国剩余定理名字的由来是因为，它最先诞生于我国的古典高作《孙子兵法》韩信点兵的故事，以后归纳总结为咱们此刻的中国剩余定理。
中国剩余定理考核比较单一，咱们在做题求解的进程中关键是要能够判断出题目为剩余定理的考核，并结合主要求解方式和整除特性的运用进行求解。
下面中公教育专家具体讲解：【基础理论】一、中国剩余定理的通用形式某数除以A余a，除以B余b，除以C余c……求这个数。
例如：一个小于50的数字，除以7余1，除以5余4，除以9余4，这个数是多少?二、中国剩余定理的求解方式(1)余同加余——X=除数公倍数+余数【例】X除以8余3，除以6余3，且X在20~30之间，求X。
中公解析：题目中，余数都是3，所以说余数相同，此时X=除数公倍数+余数，即X=24n+3，由于X在20~30之间，所以X=27。
注：除数公倍数等于其最小公倍数的N倍(2)差同减差——X=除数公倍数-差(差为除数和余数的差)【例】X除以6余3，除以5余2，且X在20~30之间，求X。
中公解析：题目中，除以6余3，说明除数和余数之差为3，同理除以5余2，除数与余数之差也为3，所以说差相同。
此时X=除数公倍数-差，即X=30n-3，而X在20~30之间，所以X=27。
(3)和同加和——X=除数公倍数+和(和为除数和余数的和)【例】X除以5余2，除以4余3，且X在20~30之间，求X。
中公解析：题目中，除以5余2，则除数和余数之和为7，同理除以4余3，除数和余数之和也为7，所以说和相同。
此时X=除数公倍数+和，即X=20n+7，而X在20~30之间，则X=27。
中国剩余定理问题
2014国家公务员考试行测：中国剩余定理问题国家公务员考试数学运算部分，我们常用到整除的思想，但是有些题目我们会发觉题目中的被除数不满足能被整除的条件，即有余数，有一类题目称为剩余问题，常见形式为一个数同时满足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质，求满足这样条件的数。
对于这类题目我们在没有学习剩余定理之前往往只能采用枚举法来解决，而这种方法是比较繁琐的，在行测考试中时间对大家来说是最重要的，因此掌握此种题型的解题方法对大家在做题准确率以及做题速度上都有很大帮助。
下面中公教育专家结合具体的例子给大家做一详细的讲解。
剩余问题的解法：1. 特殊情况(1)余同(余数相同)加余【例题1】某校二年级全部共3个班的学生排队，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，这个学校二年级有( )名学生。
A.120B.122C.121D.123【答案】B【解析】方法一：代入排除法(略)方法二：由题意可知该校二年级的学生人数除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此该班学生人数满足通项公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，当n=2时，N=122,选择B 项。
注：n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数。
(2)和同(除数和余数的和相同)加和【例题2】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?A.3B.2C.4D.5【答案】A【解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8,218,428三个数。
注：n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。
(3)差同(除数与余数之差相同)减差【例题3】三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。
第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。
数量关系剩余定理问题和余数类问题的解法
[数量关系]剩余定理问题和余数类问题的解法特殊的剩余定理：核心基础公式：被除数=除数*商+余数同余问题核心口诀：“余同取余。
和同加和，差同减差，公倍数作周期”①余同：例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，则取1，公倍数作周期，则表示为：60N+1②和同：例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，则取7，公倍数做周期：则表示为60N+7③差同：例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，则取3，公倍数做周期：则表示为60N-3例题1：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？A、4B、5C、6D、7（当然可以用特殊值法）因为3+2=4+1=5所以取12+5=1717/12=1 余5剩余定理的一般情况：一个数，除以7余3，除以8余6，除以5余2，求满足这些条件的所有三位数。
卡卡西解析：--------------------------------一个数除以7余3，可以把这个数字表示为7a+3，同理有5b+2 8d+67a+3=5b+27a+1=5ba=2 b=3 最小公倍数3535c+17=8d+632c+8+3c+3=8d（因为32C+8 肯定是8的倍数，所以不予再考虑）3c+3=8dC=735*7+17=262 262+280N一个整数除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是几？分析：根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。
----------------------------------解：300-262=38262-205=57（28，57）=1912 ＋22 ＋32 ＋……＋20012＋20022除以7的余数是_____。
-----------------------方法一：根据公式：1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6方法二：÷7＝0…1，÷7＝0…4，÷7＝1…2，÷7＝2…2，÷7＝3…4，÷7＝5…1，÷7＝7（余数为0），，÷7与÷7余数相同，同样地，÷7与÷7余数相同，…….所以，每7个连续自然数的平方之和除以7的余数为1＋4＋2＋2＋4＋1除以7的余数，而（1＋4＋2＋2＋4＋1）÷7＝2（余数为0），而2002÷7＝286，所以原式能被7整除，即除以7的余数为0今天星期一，1998的1986次方天后星期几？----------------------------------1998的1986次=（265*7+3）1986次=3的1986次3^0 整除7的余数是 13^1 整除7的余数是 33^2 整除7的余数是 23^3 整除7的余数是 63^4 整除7的余数是 43^5 整除7的余数是 53^6 整除7的余数是 1由此可见，6次一循环所以：3的1986（1986/6=331，余数为0）次除7的余数为3^0/7=11+1=2。
小学剩余定理简单公式
小学剩余定理简单公式一、我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目:今有物不知其数，三三数之剩2,五五数之剩3,七七数之剩2, 问物几何?思路：1、先从5和7的公倍数中找除以3且余2的数。
很巧，5×7=35就是。
2、再从3和7的公倍数中找除以5且余3的数。
3×7=21，21再扩大3倍符合要求。
3×7×3=633、还要从3和5的公倍数中找除以7且余2的数。
3×5=15，15再乘2等于30，符合除以7且余2的要求。
3×5×2=30 最后将上面3个积相加，再减去3、5、7的公倍数，即得到符合要求的最小答案。
35＋63＋30－3×5×7＝2323即可物体个数，且符合要求。
二、比如这样一个题：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？用剩余定理如何求解！思路：依次寻找满足条件的数。
首先是3余1，很自然1就满足。
然后看4余2，前面的1加上3的倍数都肯定能满足3余1，为了匹配4余2，经简单计算（1+3=4，整除4，不满足；1+3*2=7，除4余3，不满足；1+3*3=10，除4余2，满足条件），发现1加3的3倍，也就是10，能够满足4余2。
最后看5余4，之前得到的10加上3和4的公倍数也就是12的倍数能满足3余1，4余2这两个条件，为了匹配5余4，简单计算（10+12=22，除5余2，不满足；10+12*2=34，除5余4，满足条件），发现10加12的2倍，也就是34，就能满足5余4。
每次简单试探的次数不会超过除数，也就是寻找4余2的计算不会超过4次，寻找5余4计算不会超过5次。
行测技巧：巧用中国剩余定理解决余数问题
行测技巧：巧用中国剩余定理解决余数问题任何一场考试取得成功都离不开每日点点滴滴的积累，下面由小编为你精心准备了“行测技巧：巧用中国剩余定理解决余数问题”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！行测技巧：巧用中国剩余定理解决余数问题近年来国考行测数量关系题目中出现很多余数相关问题，多数同学仅仅掌握了基本的同余特性解决余数问题的基本方法，但是对于一些特殊的题型不会应对，我们可以采用一种新的方法——中国剩余定理来解决实际问题，明确题目形式，掌握基本解题方法，利用初等数论解同余式或许会给我们带来一些意想不到的效果。
一、基本形式一个数除以A余数为a,除以B余数为b，除以C余数为c，求符合条件的数。
二、常考题型1、和同加和(X=除数的公倍数+除数和余数的和)【例】某歌舞团200多人在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?解析：题目中除数和余数虽然不同，但是除数和余数的和都为9，这个时候称之为和同，歌舞团人数为7、5、6的公倍数加上9，此时人数可以表示为210n+9，人数为200多人，则此时歌舞团人数=210+9=219。
2、余同加余(X=除数的公倍数+余数)【例】某班进行排队，每排4个、5个、6个最后一排都余2个，问这个班最少有多少人?解析：题目中除数4、5、6各不相同，但余数都为2，此时我们称之为余同，此时班级人数为除数的公倍数+2，班级人数可以表示为60n+2，则此时班级最少人数为60+2=62人。
3、差同减差(X=除数的公倍数-差)【例】三位运动员跨台阶，台阶总数在 100-150 级之间，第一位运动员每次跨 3 级台阶，最后一步还剩 2 级台阶。
第二位运动员每次跨 4 级台阶，最后一步还剩 3 级台阶。
第三位运动员每次跨 5 级台阶，最后一步还剩 4 级台阶。
问：这些台阶总共有多少级?解析：题目中除数和余数的差均为1，此时我们称之为差同，此时台阶数为除数的公倍数-5，台阶数可以表示为60n-1，又已知台阶数处于100-150之间，所以，此时n=2,符合条件的数只能是60×2-1=119。
行测数量关系中国剩余定理解题技巧
行测数量关系中国剩余定理解题技巧数量关系部分一直是考试中考生认为最难的一个部分，对于数量部分比较容易能够拿分的题目我们依然要尽可能学会，下面本人为大家带来行测数量关系中国剩余定理解题技巧，供各位考生练习。
中国剩余定理解题技巧一、题型特征已知X÷A……a，X÷B……b，X÷C……c，……求X 是多少?二、求解方法(1) 余同加余X÷3......2 X÷4 (2)余数相同，则X=除数公倍数+余数，即X=12N+2(2) 和同加和X÷3......2 X÷4 (1)除数和余数的和相同(都是5)，则X=除数公倍数+和(除数与余数的和)，即X=12N+5(3) 差同减差X÷3......2 X÷4 (3)除数与余数的差相同(都是1)，则X=除数公倍数-差(除数和余数的差)，即X=12N-1(4) 逐步满足当余数、和、差都不相同，需要逐个尝试，从除数最大的开始满足。
X÷3……1 × √X÷4……2 6 10即符合条件的最小整数是10，则X=除数公倍数+最小满足数，即X=12N+10三、真题演练【真题演练】幼儿园组织小朋友列队，每列三每列五人也多2人，且幼儿园小朋友有不到50人，求小朋友最多有多少个?A.32B.49C.47D.45【答案】C。
根据题干分析可知，幼儿园小朋友人数除以3余2，除以5余2，属于中国剩余定理考核，而且余数相同，则考虑余同加余，所以人数=15n+2，由于不到50人，又要尽可能大，则最大是n=3，即共有47人。
【真题演练】幼儿园组织小朋友列队，每列四人多3人，每列五人多2人，每列六人多1人，且幼儿园小朋友有不到100人，求小朋友最多有多少个?A.67B.49C.97D.85【答案】A。
根据题干分析可知，幼儿园小朋友数量除以4余额，除以5余2，除以6余1，属于和同加和的情况，因此人数=60n+7，由于不到100人，因此n=1，人数为67人。
中国剩余定理
中国剩余定理1、余同加余【例题1】一个数除以3余2，除以7余2，求这个数。
【解析】因为这个数减去2能被3整除，能被21整除，也就是21的倍数。
所以这个数为21的倍数加上2.2、差同减差【例题2】一个数除以3余1，除以7余5，求这个数。
【解析】因为这个数加上2能被3整除，能被7整除，也就是21的倍数，所以这个数为21的倍数减去2.3、和同加和【例题3】一个数除以3余2，除以4余1，求这个数。
【解析】因为这个数除以3余2，除以4余1，最小的为5，所以这个数为12的倍数加上5.剩余定理－－巧解国考行测数学题余数问题国考真题：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：( )A.5个B.6个C.7个D.8个论坛里面有高手分析并且解决了余数定理的问题，可是对于我们这些新手或“低手”来说，也许说的不是很容易懂。
我在这里就献丑了——高手不用看了，跳过吧。
这是专门写给新手的：先看【一】：15÷7=2……余1，即2×15÷7=4 (2)3×15÷7=6 (3)4×15÷7=8 (4)5×15÷7=10 (5)6×15÷7=12……余6. (废话？不要急，如果是新手就要慢慢看，你也可以直接做下面的例子1－4)你得出什么规律了？比如说35/3余2，那么知道70/3余“4”，也就是余1.。
35/4余3，那么70/4余“6”，也就是余2。
接着看【二】：从758里连续减去若干个105后，求所得的要求小于105的差数，实际上就是求758除以105所得的余数.即758÷105=7……余23. （废话吧？定义来着。
）结论：从某数A中连续减去N个B后，求所得的要求小于数B的差数，实际上就是求数A除以数B所得的余数.再看【三】：“孙子问题”.“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数.”思路一：分别写出除数3、5、7的两两最小公倍数——15， 35， 21.如下所示：除以7余2的较小数——30；（3跟5的最小公倍数为15，除以7余1，由上面废话一已经知道15×2除以7余2）除以5余3的较小数——63；（21除以5余1，那么由废话一可知21×3即63，它除以5余3，下同）除以3余2的较小数——35.根据和的整除性，可知30+63+35=128一定是一个同时满足“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数（稍做解释：比如，63，35是7的倍数了，加起来被7除肯定是余“0”的，只有30除以7余数2还在），但是不一定是最小的.要得到满足条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了（就是上面的废话二）. 。
“中国剩余定理”问题的解题技巧
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？这种问题称为“中国剩余定理”问题。
我一般用两种方法解决这类问题。
第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。
第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。
还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。
所以一般不用。
下面分别介绍一下常用的两种方法。
通用的方法：逐步满足法【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。
特殊的方法：最小公倍法情况一【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。
问这个数最小是多少？（1除外）除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16.情况二【问题】一个数除以5余4，除以3余2。
问这个数最小是多少？这种情况也可以用特殊法。
数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。
数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。
所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14.多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。
所以有时候特殊法和通用法混合使用。
在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。
我们接下来分析最开始的那个问题。
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。
如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理
如何为小学生讲透“中国剩余定理”的算理在上一篇《运用“中国剩余定理”解小学数学题》的方法四中，对一个未参透“中国剩余定理”者来说也许知其然而不知所以然，云里雾里，既然是讲解给小学生听的，如何讲透其中的道理呢？为此，特以“一个整数除以三余一，除以五余二，除以七余三，求这个最小整数。
”此例进一步分析其每一步的道理，供大家参考。
上所述：【例】一个整数除以三余一，除以五余二，除以七余三，求这个最小整数。
列式为：70×1+21×2+15×3-105=52，自拟的“若设要求的这个最小整数为N,数论倒数分别为M1、M2、M3，余数分别为a1、a2、a3，除数的最小公倍数的整数倍为C,那么公式为：N=M1×a1+M2×a2+M3×a3-C”，对小学生而言“数论倒数”权当是一个数学名词，不必深究。
下面就针对“70×1+21×2+15×3-105=52”列式中的每一步推理演算作一一说明：要求出这个最小整数必须符合三个条件：即除以三余一，除以五余二，除以七余三。
若要一次性找出其答案实属不易，为此，我们的思路是化难为易，步步推进。
假设一个整数除以三余一，能被五和七整除，求这个最小整数。
大家都知道，能被五和七整除的数是35，但35不满足“除以三余一”条件，因为35÷3=11……2，最小的是70，因70÷3=23……1（我们把70这个数称为35相对于3的数论倒数，注意余数是1的时候。
），70除以三余一，又能被五和七整除，所以这个最小的整数为70. 即70×1。
又假如一个整数能被三整除，除以五余二，又能被7整除，求这个最小整数。
能被三和七整除的数是21，21÷5=4……1（这时我们说21相对于5的数论倒数为21），但不是余2，怎办？先看一个例子，6÷5=1……1、12÷5=1……2、18÷5=1……3、24÷5=1……4等，我们发现：被除数扩大几倍，除数不变，余数也扩大几倍。
中国剩余定理不互素解法
中国剩余定理不互素解法
中国剩余定理的不互素解法是一种求解多项式方程的方法，它可以用来求解具有不互素项的多项式方程。
假设有一个具有n个不互素项的多项式方程：
f(x) = a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = 0
首先，需要求出这些不互素项的最小公倍数M，然后将f(x)中的每项都乘以M/ai，得到如下多项式：
f(x) = Mx1 + Mx2 + Mx3 + ... + Mnxn = 0
接下来，将f(x)拆分为n个相互素的多项式：
f1(x) = Mx1 + Mx2 + Mx3 + ... + Mxn-1 + 0xn = 0
f2(x) = 0x1 + 0x2 + 0x3 + ... + 0xn-1 + Mnxn = 0
以此类推，直到最后一个多项式：
fn(x) = 0x1 + 0x2 + 0x3 + ... + 0xn-1 + Mxn = 0
现在，每一个多项式都是相互素的，可以使用中国剩余定理的普通解法来求解每一个多项式，得到xi的值，然后将这些值代入原方程，就可以求出f(x)的解。
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【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？
这种问题称为“中国剩余定理”问题。
我一般用两种方法解决这类问题。
第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。
第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。
还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。
所以一般不用。
下面分别介绍一下常用的两种方法。
通用的方法：逐步满足法
【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？
把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.
所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。
特殊的方法：最小公倍法
情况一
【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。
问这个数最小是多少？（1除外）
除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16.
情况二
【问题】一个数除以5余4，除以3余2。
问这个数最小是多少？
这种情况也可以用特殊法。
数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。
数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。
所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。
要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。
即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14.
多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。
所以有时候特殊法和通用法混合使用。
在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。
我们接下来分析最开始的那个问题。
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？
这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。
除以７余２的数可以写成7n＋2。
7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。
（余数知识）
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。
所以满足“除以７余２，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44.
所有满足“除以７余２，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。
（想想为什么？）
要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。
（余数知识）
56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。
所以满足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156.。