人教版高数必修二第6讲：空间中的垂直关系(教师版)

空间中的垂直关系

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理解空间中三种垂直关系的定义；

掌握空间中三种垂直关系判定及性质；

用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．

一、直线与平面垂直

1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．

2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，

我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作AB⊥α，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离

3.直线和平面垂直的判定

4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于

这个平面．

符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α，

如图：

(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

符号语言：a∥b，a⊥α⇒b⊥α，

如图：

5．直线与平面垂直的性质

(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，

如图：

(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．

符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，

如图：

6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影

(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．

(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．

(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．

7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

二、直线和平面平行

1．平面与平面垂直的定义：

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.

2．两个平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

符号表示：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β，

如图：

3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．

符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β，

如图：

推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

类型一线面垂直

例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，

可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则

BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．

答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，

∴SD⊥AC.

在Rt△ABC中，连接BD，

则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，

∴△ADS≌△BDS.

∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，

∴SD⊥面ABC.

(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.

又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，

∴BD⊥平面SAC.

练习1：((2014·河南南阳一中高一月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，

底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，

P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.

答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.

∴FH 1

2 CD，

∴FH AE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF. ∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.

又∵PA⊥底面ABCD，

∴PA ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .

又∵AH ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AH .

又∵PA ＝AD ，∴AH ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AH ⊥平面PCD ，

又∵AH ∥EF ，∴EF ⊥平面PCD .

练习2：如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为ABCD 的中心， 求证：1B O ⊥平面PAC 答案：连结111,,PO PB B D ,

由正方体的性质可知，1,AC BD AC BB ⊥⊥,且1BD BB B =I ∴AC ⊥面11BDD B 又∵BO ⊂面11BDD B ∴1B O AC ⊥ 设AB a =，则11121,2,2

OB OD a B D a PD PD a ==

=== ∵2222222222221113113,22424

OB OB BB a a a OP PD DO a a a =+=

+==+=+= 222222111119

244

PB B D PD a a a =+=+=

∴222

1OB PO PB += ∴1B O PO ⊥ ∵PO AC O =I

∴1B O ⊥平面PAC

练习3：在如右图，在空间四边形ABCD 中，,AB AD BC CD ==, 求证：AC BD ⊥

答案：设E 为BD 的中点，连结,AE EC

∵AB AD = ∴BD AE ⊥ 同理可证：BD EC ⊥

又∵AE EC E =I ∴BD ⊥面AEC

∵AE ⊂面AEC ∴BD AC ⊥

例2：如图在△ABC 中，∠B ＝90°，SA ⊥平面ABC ， 点A 在SB 和SC 上的射影分别是N 、M ，求证：MN ⊥SC .

解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的 一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直． 答案：证明：∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ， ∴AN ⊥BC ，

又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ，

E A

B

C

D

O

P D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A