二次曲线小结

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二次曲线的性质及应用

二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。

本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。

AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。

车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。

这些都给我们留下圆的形象。

构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。

二次曲线和二次曲面的性质

二次曲线和二次曲面的性质二次曲线和二次曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、代数学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将就二次曲线和二次曲面的性质展开讨论。

一、二次曲线的性质1. 定义二次曲线是由二次方程所描述的曲线，其一般方程可以表示为Ax²+ Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为常数，并且A和C不同时为零。

2. 类型根据一般方程的系数，二次曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

椭圆：当B² - 4AC < 0 时，方程描述的曲线为椭圆。

椭圆是一个闭合曲线，具有对称轴和离心率等性质。

双曲线：当B² - 4AC > 0 时，方程描述的曲线为双曲线。

双曲线有两个分离的曲线支，其特点是无界且具有两个渐近线。

抛物线：当B² - 4AC = 0 时，方程描述的曲线为抛物线。

抛物线具有轴对称性，分为开口向上和开口向下两种类型。

3. 几何性质不同类型的二次曲线具有不同的几何性质。

椭圆的主轴为长轴，副轴为短轴，其焦点在椭圆的长轴上。

椭圆的离心率介于0和1之间，且椭圆上的任意点到两个焦点的距离之和等于常数。

双曲线的主轴为虚轴，分别与两个焦点连线构成直角。

双曲线的离心率大于1，且双曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于常数。

抛物线的焦点位于曲线的顶点上方或下方，其离心率等于1。

抛物线具有镜像对称性，焦点和顶点关于准线对称。

二、二次曲面的性质1. 定义二次曲面是由二次方程所描述的曲面，其一般方程可以表示为Ax²+ By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I和J为常数，并且A、B和C不同时为零。

2. 类型根据一般方程的系数，二次曲面可分为椭圆锥面、双曲面、抛物面和椭球面等类型。

椭圆锥面：当D² - 4AC < 0 时，方程描述的曲面为椭圆锥面。

关于二次曲线的某些结论

关于二次曲线的某些结论
二次曲线是几何学的重要研究对象，它们在几何及其它多领域都有广泛的应用。

下面将简要介绍关于二次曲线的某些结论。

首先，二次曲线存在不同种类，其中一种是双曲线。

双曲线有很多分类，比如双曲线x2/a2-y2/b2=1，这种双曲线有两个焦点，它们分别位于曲线上x和y的反函数处，且焦点之间的距离等于√(a2+b2)。

对于双曲线，其几何曲线可以表示为不一定是实数的x和y 的函数关系，这是它的一大优势。

其次，抛物线是二次曲线的另一个重要例子，不同抛物线有不同的性质。

抛物线是指一种形状为y2=2px或y2=-2px（p>0）的曲线，其特性是其凹点在y轴上，若y2=2px，则凹点位于原点，若y2=-2px，则凹点位于y轴上2/p处。

此外，高斯定理也是关于二次曲线的重要定理，它用来描述任意一个二次曲线的最大连续点数目是次数的平方。

具体来说，如果一个二次曲线的次数是n，那么最多可以连接n2个点，即n2+1个表示点，将它们连接起来，构成一个连续的线段。

最后，可以指出的是贝塞尔定理，它用于描述给定K曲线上给定点，K曲线可以通过K条直线连接起来。

K曲线指的是任意一个可以由K条交错曲线组成的折线图，它的K越大，给定点也就越多。

贝塞尔定理能够为进行折线图的分析和构建提供有用的信息。

以上是有关二次曲线的某些结论，这些结论可以为几何及其它多领域的研究提供有用的信息。

二次曲线的性质与像

-焦点：双曲线也具有两个焦点，满足$c^2 = a^2 + b^2$。
根据双曲线的方程，可以确定曲线分支的形状和方向。参数$a$和$b$决定了双曲线的形状，根据$f = \sqrt{a^2 + b^2}$，可以计算出焦点到曲线的距离。通过这些信息，可以确定双曲线的像在坐标系中的位置。
4.抛物线的性质与像
2.椭圆的性质与像
椭圆是二次曲线中最为常见的一种类型，具有许多独特的性质。椭圆的方程可表示为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的性质如下：
-椭圆是闭合的曲线，终点回归起点。
-对称性：椭圆关于$x$轴和$y$轴均对称。
通过给定抛物线的方程，可以确定其像的形状和方向。参数$a$决定了抛物线的开口方向和弯曲程度，通过求解焦点的坐标，可以确定抛物线的顶点位置。进而，可以确定抛物线的像在平面坐标系中的位置。
总结：
二次曲线是数学和几何学中的重要概念，通过分析二次曲线的性质和方程，我们可以了解其像的形状和位置。椭圆、双曲线和抛物线分别具有各自独特的性质，通过确定其参数值和焦点位置，我们可以准确地描述和绘制二次曲线的像。对于数学和几何学的研究和应用来说，深入理解二次曲线的性质与像是非常关键的。
抛物线是三种二次曲线中最简单的一种，其方程可表示为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq 0$。
抛物线的性质如下：
-抛物线关于$y$轴对称。
-拱形：抛物线可以朝上或朝下，具有一个最低或最高点。
-焦点：抛物线具有一个焦点，位于抛物线的对称轴上，与顶点的距离为$p = \frac{1}{4a}$。

二次发展曲线

二次发展曲线
二次发展曲线是一种描述一个系统、组织或个体发展变化的曲线模型。

它包括一个初始的增长阶段，紧随其后是一个成熟期，最终进入稳定状态。

在增长阶段，发展速度很快，然后逐渐减缓。

到达成熟期后，系统、组织或个体的发展速度将几乎停滞。

这种曲线模型常常用来描述产品生命周期、经济发展、人的知识和技能发展等。

二次发展曲线的形状通常是“S”型曲线。

曲线的前半部分代表
初始的增长阶段，增长速度很快。

曲线的中间部分则代表成熟期，增长速度开始减缓，但仍然在增长。

曲线的后半部分代表稳定期，增长速度几乎停滞。

二次发展曲线的概念强调了发展过程中的不同阶段和速度的差异。

它也提醒人们在发展过程中要注意适应和调整。

当一个系统、组织或个体进入稳定期时，可能需要进行改革和创新，以进入下一个增长阶段。

总的来说，二次发展曲线为我们提供了一个用于理解发展变化的模型，并帮助我们预测和应对未来的变化。

这个模型可以应用于各个领域，帮助人们更好地管理和推动发展。

二次曲线的性质与判定解析

二次曲线的性质与判定解析二次曲线是代数几何中重要的一个概念，它在数学和其他学科中有广泛的应用。

本文将详细探讨二次曲线的性质与判定解析，并对其相关理论进行阐述。

一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程定义的曲线，其表达形式为$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$，其中a、b、c是实数，且$a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$。

二、二次曲线的类型根据二次曲线的系数和方程的特征，可以将二次曲线分为以下几类：1. 椭圆：当二次曲线满足$b^{2}-4ac<0$时，曲线的解析形式为$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1$，其中$(x_{0},y_{0})$是椭圆中心的坐标。

2. 双曲线：当二次曲线满足$b^{2}-4ac>0$时，曲线的解析形式为$\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1$，其中$(x_{0},y_{0})$是双曲线中心的坐标。

3. 抛物线：当二次曲线满足$b^{2}-4ac=0$时，曲线的解析形式为$(x-x_{0})^{2}=4p(y-y_{0})$，其中$(x_{0},y_{0})$是抛物线的焦点坐标，p是抛物线的焦距。

三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有关于x轴、y轴和原点的对称性。

2. 焦点与准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线，而抛物线只有焦点和直线。

焦点是曲线上所有点到两个定点的距离之和等于定值的点。

准线是与焦点处于同一直线上的点的轨迹。

3. 离心率：椭圆和双曲线都有离心率的概念，而抛物线没有。

离心率是描述曲线形状和性质的重要参数，它可以判断曲线的形状是否扁平或细长。

4. 焦直线：椭圆和双曲线都有与焦点和准线垂直的直线，称为焦直线，与曲线的交点构成了曲线的形状。

解析几何中的二次曲线

解析几何中的二次曲线二次曲线是解析几何中的重要内容之一，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。

本文将介绍什么是二次曲线，它们的一般方程以及常见的几何特征。

一、什么是二次曲线在解析几何中，二次曲线是由二次方程定义的曲线。

一般来说，它们可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

这些曲线可以通过改变二次方程的系数来得到不同的形状和性质。

下面将分别介绍这三类二次曲线的定义和特点。

1. 椭圆椭圆是二次曲线中最简单的一种。

它可以定义为平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点被称为焦点，连结两个焦点的线段长度为短轴的长度，而与短轴垂直且通过椭圆中心的直线被称为长轴。

椭圆的形状由长轴和短轴的长度决定。

在数学中，椭圆的一般方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。

2. 双曲线双曲线也是二次曲线中一种常见的形式。

它可以定义为平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹。

类似于椭圆，这两个定点被称为焦点。

双曲线的形状也由焦点之间的距离决定。

双曲线可以分为两支，每一支都有一个焦点。

在数学中，双曲线的一般方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为离心率的倒数，b为离心率与焦点之间的距离的乘积。

3. 抛物线抛物线是另一种常见的二次曲线形式。

它可以定义为平面上到一个定点的距离等于到一个直线的垂直距离的点的轨迹。

抛物线的形状由定点和直线的位置决定。

在数学中，抛物线的一般方程为：$$y = ax^2 + bx + c$$其中，a、b、c为常数，且$a \neq 0$。

二、二次曲线的性质除了上述曲线的定义和方程，二次曲线还有一些重要的性质。

1. 焦点和准线对于椭圆和双曲线而言，焦点和准线是其重要特征。

(完整版)二次曲线知识点归纳总结

(完整版)二次曲线知识点归纳总结一、二次曲线的定义与特点二次曲线是由二次项和一次项组成的方程，通常具有以下特点：- 方程的最高次数为2；- 方程的二次项系数不为0；- 方程在坐标系中的图像可以表示为一条弯曲的曲线。

二、二次曲线的标准方程二次曲线的标准方程为：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F =0$，其中$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$为常数。

根据方程中$B^2 - 4AC$ 的取值，可以将二次曲线分为三种情况：1. 当 $B^2 - 4AC > 0$ 时，二次曲线为椭圆；2. 当 $B^2 - 4AC = 0$ 时，二次曲线为抛物线；3. 当 $B^2 - 4AC < 0$ 时，二次曲线为双曲线。

三、二次曲线的图像与性质1. 椭圆：常见于求解平面几何问题，具有两个对称轴和中心点，对称轴互相垂直，以中心点为焦点的椭圆正好满足椭圆方程的定义。

2. 抛物线：常见于物体抛射运动的描述，具有一个对称轴和一个顶点，对称轴垂直于抛物线的轨迹，抛物线方程的开口方向和参数决定了抛物线的形状。

3. 双曲线：常见于电磁波传播、双曲线函数的图像等领域，具有两个对称轴和两个焦点，对称轴互相垂直，以两个焦点为焦点的双曲线正好满足双曲线方程的定义。

四、二次曲线的应用1. 数学领域：- 二次曲线是数学分析和几何学的基础，广泛应用于数学定理的证明和推导。

- 抛物线的研究在牛顿力学、光学和电磁学等领域有重要意义。

- 双曲线在微分方程、概率论和复变函数等数学领域发挥重要作用。

2. 物理领域：- 二次曲线在物体运动、力学系统和信号处理等问题中有着广泛的应用。

- 抛物线的轨迹描述了物体在重力作用下的运动规律，是研究机械能转化和守恒的重要工具。

- 双曲线函数可以描述电磁波的传播特性，对于无线通信、光学和电路设计等有重要影响。

3. 工程领域：- 二次曲线在建筑设计中用于确定弧形建筑物的结构参数。

二次曲线的基本性质及方程式

二次曲线的基本性质及方程式二次曲线是一类具有特定形状和性质的曲线，它的方程可以通过一些特定的形式描述。

本文将介绍二次曲线的基本性质以及常见的方程式。

一、二次曲线的基本性质1. 二次曲线的定义：二次曲线是平面上所有满足二次方程的点的集合。

其一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且A和C不能同时为0。

2. 二次曲线的对称性：二次曲线通常具有关于x轴、y轴或者原点的对称性。

当A=C且B=0时，二次曲线关于x轴对称；当A=0且B=C时，二次曲线关于y轴对称；当A=C且B≠0时，二次曲线关于原点对称。

3. 二次曲线的类型：根据方程中各项的系数，可以确定二次曲线的类型。

当B^2-4AC>0时，二次曲线为双曲线；当B^2-4AC=0时，二次曲线为抛物线；当B^2-4AC<0时，二次曲线为椭圆。

4. 二次曲线的焦点和准线：对于双曲线和抛物线，它们都有焦点和准线。

焦点是曲线上所有点到两个定点（称为焦点）的距离之和相等的点；准线是与曲线中所有点到直线的距离相等的直线。

而对于椭圆来说，它也有两个焦点，但没有准线。

二、二次曲线的方程式1. 双曲线的方程式：双曲线的一般方程为Ax^2 - Cy^2 = 1，其中A和C为正常数。

在此一般方程的基础上，双曲线还有一些常见的特殊形式，如横轴为主轴、纵轴为主轴的双曲线方程。

2. 抛物线的方程式：抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

抛物线还可以表达为以顶点为中心的顶点式方程或焦点为中心的焦点式方程。

3. 椭圆的方程式：椭圆的一般方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中h、k分别为椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标；a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆的方程式还可以表达为标准方程或参数方程。

三、应用举例1. 双曲线的应用：双曲线在数学和物理中有广泛的应用。

二次曲线的性质及其应用

二次曲线的性质及其应用二次曲线是平面解析几何中非常重要的一个概念，它是由二次方程所描述的一类曲线。

在这篇文章中，我们将探讨二次曲线的性质以及它的应用。

1. 二次曲线的定义与一般式二次曲线是由一个二次方程所描述的曲线。

一般式的二次曲线方程为：Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0其中，A、B、C、D、E、F都是实数。

2. 二次曲线的分类二次曲线可以分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

它们的区别在于它们的二次曲线方程中的系数不同。

椭圆的一般式为：(x²/a²)+(y²/b²)=1其中，a和b都是正实数。

双曲线的一般式为：(x²/a²)-(y²/b²)=1其中，a和b都是正实数。

抛物线的一般式为：y=ax²+bx+c其中，a不等于0。

3. 二次曲线的性质椭圆、双曲线和抛物线都有一些共同的性质。

首先，它们都是对称的。

椭圆、双曲线和抛物线都具有对称中心，分别称为中心、焦点和焦点。

其次，它们都有焦点和准线的概念。

焦点是指特定形状的曲线上的一个点，焦点所在的直线称为准线。

最后，它们都有离心率的概念。

离心率是椭圆、双曲线和抛物线的一个量，它表示曲线的形状和大小。

离心率可以用以下公式计算：椭圆的离心率：e=sqrt(1-(b²/a²))双曲线的离心率：e=sqrt(1+(b²/a²))抛物线的离心率：e=14. 二次曲线的应用二次曲线在数学中有广泛的应用。

它们在物理、工程和计算机科学等领域也起着重要的作用。

在物理领域，二次曲线被用于描述物理曲线，如牛顿第二运动定律中的自由落体运动。

在工程领域，二次曲线被用于设计工程，如工程的曲线道路。

在计算机科学中，二次曲线被用于图像处理和图形学。

二次曲线不仅可以用于计算机生成的二维图形，还可以被扩展到三维和四维空间。

总之，二次曲线是平面解析几何中非常重要的一个概念，它们具有许多重要的应用。

二次曲线系的探讨(2012.10.16)

关于二次曲线系的几点说明（2012年10月16日）山东临沂沂州实验学校李守峰关于二次曲线系的一点探讨1. 设(,)0f x y =表示二次曲线，(,)0g x y =表示一条直线。

则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多与(,)0f x y =同类。

也就是说若(,)0f x y =表示圆，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示圆；若(,)0f x y =表示椭圆，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示椭圆；若(,)0f x y =表示双曲线，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示双曲线；若(,)0f x y =表示抛物线，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示抛物线。

上述结论告诉我们：过两交点的二次曲线并非包含所有的二次曲线，而是与“母曲线”相似的曲线2. 设(,)0f x y =，(,)0g x y =均表示二次曲线。

则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多与(,)0f x y =或(,)0g x y =同类的二次曲线。

3. 两条相交直线或平行直线的积为退化的二次曲线()()0a x b y c m x n y p ++++= 当它不含xy 项时，可与对称轴平行于坐标轴的二次曲线同类。

4. 对称轴平行于坐标轴的二次曲线，在直角坐标系中的方程不含xy 项。

5. 设C 为二次曲线，AB 为二次曲线的任意弦，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，若C 在此坐标系下的方程为(,)0g x y =，则(,0)0g x =不含x 的一次项。

6. 设由二次曲线(,)0f x y =和直线1x y αβ+=决定的关于x y 、的二次齐次式为220Ay Bxy Cx ++=，则12()()y y B x x A +=-，12()()y y C x x A⋅= 特别的：当直线与二次曲线的两交点与原点的连线互相垂直时0A C +=，也就是说单二次项的系数之和等于0；当直线与二次曲线的两交点与原点的连线关于坐标轴对称时0B =，也就是说齐次式中不含xy 项。

(完整版)2二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是2 2这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆笃£ 1(a 0,b 0)上任一点A的坐标可a2 b2以表示为(acos , bsin )( R)，角就叫做点A的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理•这一条件是否充分，一直是悬案•在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决•到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.［1,2］2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献［3,4］).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线h : y y0 k, (x x0)(i 1,2) 与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1 k20.文献［2］还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍” •文献［5］用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8):结论1抛物线y2 2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补结论2圆锥曲线mx2 ny21(mn 0,m n)的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献［5］中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确•但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论 4.定理 1 若两条二次曲线ax2 by2 cx dy e 0(a b)，a x2 b y2 cx d y e 0 有四个交点，则这四个交点共圆.证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2 2 2(ax by cx dy e) (ax b y cx d y e) 0 ①式①左边的展开式中不含xy的项，选1时，再令式①左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，得也一？，此时曲线①即2 2xycxdyeO ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹•而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆•这就证得了四个交点共圆•定理2若两条直线l i : a x b i y c i 0(i 1,2)与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是aQ? a2d 0.证明由组成的曲线即(a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2(ax by cx dy e) (a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0 ③必要性•若四个交点共圆，则存在，使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy0 (否则③表示曲线，不表示圆)，所以a i b? a?b i 0.项的系数(a1b2 a2d) 0.而充分性•当a i b2 azb 0时，式③左边的展开式中不含xy的项，选I时，再令式③左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，即 a a i a2 b db2，得—•b a此时曲线③即x2 y2 cx dy e 0 ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹•而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆•这就证得了四个交点共圆•推论i若两条直线与二次曲线:ax2 by2 cx dy e 0(a b)有四个交点，贝U这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数•证明设两条直线为|j：ax b i y c i 0(i i,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是a id a?b i 0 •(i)当l i //I2即a i b2 a2t i时，得四个交点共圆的充要条件即a i b2 a2t i 0也即a i a20 或b b20 •⑵当l i与l2不平行即a i b2 a2“时，由a4 a20 0得a4 0, a2 0 0，所以四个交点共圆的充要条件即 ai a20也即直线l 1,l 2的斜率均存在且均不为0且互为b i b 2相反数•由此可得欲证成立.个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P .3,- 在椭圆E 上.2(1) 求椭圆E 的方程；1(2) 设不过原点O 且斜率为一的直线I 与椭圆E 交于不同的两点 A , B ，线段AB 的中2点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C , D ，证明：MA MB MC MD .2解(1)(过程略)椭圆E 的方程是 —y 2 1.4⑵设A(X 1,yJ , Bgy)，线段AB 的中点为M(x °,y 。

二次曲线知识点

椭圆的倾斜角为α的焦点弦双曲线的倾斜角为α的焦点
长｜AB｜=
弦长｜AB｜=
半径为r的圆中，弦心距为d 或圆心角为α的弦长易由勾股定理或三角函数的定义求得
特别地，过焦点与长轴（或实轴）垂直的弦称为椭圆（或双曲线）的通径，其长为
已知P（x',y'）在二次曲线L：Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 上，则过P的L的切线方程为：
一般方程：圆心（-D/2，E/2）,半径
一般方Байду номын сангаас：化为标准方程计算即可
准线方程离心率焦半径光学性质
e=c/a，0<e<1，e越大椭圆 e=c/a，e>1，e越大双曲线
越扁
开口越大
设P(x0,y0）为椭圆上一设P(x0,y0）为双曲线上一
点，则左焦半径｜PF1｜点，则左焦半径｜PF1｜=-
=a+ex0，右焦半径｜PF2｜ a-ex0，右焦半径｜PF2｜
定义
二次曲线知识点小总结
圆
椭圆（焦点在x轴上）
双曲线（焦点在x轴上）
平面内与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的轨迹
第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹第二定义：平面内到一个定点（焦点）和一条不经过此点的定直线（此侧准线）的距离之比为常数e（0<e<1）的点的轨迹
=a-ex0
=a-ex0
从椭圆一焦点发出的光线，经椭圆反射，过另一焦点
从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射，反射光线的反向延长线过另一焦
设直线y=kx+m与二次曲线f（x，y）=0（圆，椭圆，双曲线，抛物线均可）交于A（x1，y1），B（x2，y 韦达定理以及下列公式可求得弦长：

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹．而题中的四个
・
１ ’
２０１７年第４期
河北理科教学研究
问题讨论
交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆．这就证得了四个交点共圆．推论１若两条直线与二次曲线
定理１若两条二次曲线似＋ｂｙ＋
＋ｄ），＋ｅ＝Ｏ（０ ≠６），ｏ＋６Ｙ＋ｃ＋ｄｙ＋ｅ＝Ｏ
必要性．若四个交点共圆，则存在Ａ，使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中
．．
点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数．证明：设两条直线为ｌｉ：ａ＋ｂｉｙ＋Ｃ＝Ｏ（ｉ＝１，２），由定理２得，四个交点共圆的充
要条件是ａｌｂ２＋ａ２ｂ１＝０．（１）当Ｚ１２，即ａｌｂ＝ａ２ｂ。时，四个交点共圆的充要条件为
厂：帆＋＋＋＋ｅ＝Ｏ（ａ ≠６）有四个交
＝
一
，
所以ｋ＋ ∞＝０．由推论１得Ａ，Ｂ，ｃ，Ｄ
四点共圆．再由相交弦定理，立得
ＩＭＡＩ ‘ ＩＭＢＩ＝ｌＭｃｌ ’ ｝１．
竞赛题１（２０１４年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第１３题）设Ａ，Ｂ为双曲线

二次函数与反比例函数初步总结

二次函数与反比例函数初步总结二次函数和反比例函数是高中数学中重要的内容，而且在实际生活中也有广泛的应用。

本文将对二次函数和反比例函数进行初步总结，主要包括定义、特点、图像、性质等方面的内容。

一、二次函数1. 定义：二次函数是形如y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c是已知的实数，a表示二次项的系数，b表示一次项的系数，c 表示常数项。

2.特点：(1)曲线的形状：二次函数的图像是一条平滑的曲线，且开口方向由二次项系数a的正负决定。

-当a>0时，开口向上，形如"U"形；-当a<0时，开口向下，形如"倒U"形。

(2) 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足y = 0的x值。

二次函数的零点个数与判别式Δ（即b²-4ac）有关：-当Δ>0时，二次函数有两个不同的零点；-当Δ=0时，二次函数有两个相等的零点；-当Δ<0时，二次函数没有实数解，无零点。

(3)对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心线，也是二次函数图像的对称轴。

对称轴的方程为x=-b/2a。

(4)极值点：二次函数的极值点是函数图像的最高点或最低点，也是对称轴上的点。

极值点的纵坐标为y轴上的最小值或最大值。

3.图像：通过画出对称轴、极值点、零点等关键点，可以得到二次函数的图像。

通过连接关键点，就能画出完整的二次函数曲线。

二、反比例函数1.定义：反比例函数是形如y=k/x的函数，其中k是常数，x≠0。

2.特点：(1)曲线的形状：反比例函数的图像是一条拱形曲线，且通过原点(0,0)。

当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋于0。

(2)反比例关系：反比例函数表达了两个变量之间的反比关系，即一个变量的增大导致另一个变量的减小，反之亦然。

(3)单调性：反比例函数在定义域内是单调的，即x增大导致y减小，x减小导致y增大。

(4)随x趋于0的变化：当x趋近于0时，y的绝对值趋近于无穷大，即y趋于正无穷或负无穷。

二次函数曲线

二次函数曲线二次函数曲线是指具有某种特殊形状的方程的解析式图形，也有称它为二次曲线。

它是比一次函数曲线更复杂的解析图形。

它的方程一般格式为：y=ax2+bx+c，其中a是不等于0的实常数，b和c也是实常数。

根据二次函数方程的形式，在一个坐标系中，我们可以得到一条品型各异的曲线。

二、二次函数曲线的特点1、二次函数曲线都是一种闭合曲线，它们有一个中心点，这个中心点叫做零点（零点指的是曲线上所有点横坐标相等的点），他们中心点的横坐标也叫斜率的零点，垂线的斜率也是0。

2、二次函数曲线的斜率在任意点都是其斜率函数的最小值或最大值，因此，如果曲线拥有两个斜率函数不同的零点，则曲线可以由这两个点分割成两部分，一部分在曲线的下半部分，一部分在曲线的上半部分3、二次函数曲线都有两个极点，即当x轴等于零点，曲线的斜率最大值时，此点叫做极值点，当二次函数曲线在两个极值点之间有一个开口时，曲线就有两个分叉点，这两个点也叫做分叉点，当曲线上没有两个分叉点时，曲线就是一个封闭的曲线。

三、二次函数曲线的性质1、如果a>0，则曲线向上开口，其极值点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）;如果a<0，则曲线向下开口，其极值点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）。

2、设曲线上有两个分叉点A、B，则A、B两点与零点C三点之间的距离相等。

3、设曲线上有两个极值点A、B，则A、B两点分别在曲线的上下半部分，此时曲线的斜率变化率最大。

4、曲线的凹凸性是由a的正负值决定，当a为正数时，曲线是凹的；当a为负数时，曲线是凸的。

四、二次函数曲线的应用1、二次函数曲线可以用来求解一些特殊的几何形状，比如圆形、椭圆形，特别是有关抛物线和物线的问题。

2、二次函数曲线也应用于三元抛物线相关的题目求解，因为三元抛物线的解析式也是一个二次函数曲线。

3、二次函数曲线也可以用来拟合一些概率论中的函数曲线，比如密度曲线、正太分布曲线、均值方差曲线等等。

高中几何知识解析二次曲线的分类及性质

高中几何知识解析二次曲线的分类及性质二次曲线在高中几何学中是一个重要的概念，它们在代数和几何之间建立了联系。

本文将解析二次曲线的分类及其性质，帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、二次曲线的分类二次曲线是由二次方程定义的。

一般来说，二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

根据二次曲线的方程的系数，我们可以将二次曲线分为以下三种情况：1. 抛物线当a>0时，二次曲线是一个抛物线。

具体而言，a的正负决定了抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

此外，当二次方程无实根时，抛物线完全位于x轴的上方或下方；当二次方程有一个实根时，抛物线与 x 轴相切；当二次方程有两个实根时，抛物线与 x轴相交于两点。

2. 椭圆当a和b的系数符号都相同且不为零时，二次曲线是一个椭圆。

椭圆的形状可以通过a和b的值来确定，其中a决定了椭圆的纵轴长度，b决定了椭圆的横轴长度。

若a>b，椭圆的长轴与y轴平行；若a<b，椭圆的长轴与 x 轴平行。

椭圆的中心为坐标原点(0,0)。

3. 双曲线当a和b的系数符号不同且不为零时，二次曲线是一个双曲线。

双曲线分为两支，形状与椭圆相似，但各支之间有一条明显的空隙。

双曲线的形状也可以通过a和b的值来确定，其中a决定了双曲线的纵轴长度，b决定了双曲线的横轴长度。

若a>b，双曲线的长轴与y轴平行；若a<b，双曲线的长轴与 x 轴平行。

双曲线的中心为坐标原点(0,0)。

二、二次曲线的性质除了分类外，二次曲线还有许多重要的性质值得了解。

1. 对称性二次曲线具有与x轴、y轴或原点对称的性质。

具体而言，当二次曲线关于x轴对称时，方程中只含有偶次项；当二次曲线关于y轴对称时，方程中只含有x的奇次项；当二次曲线关于原点对称时，方程中只含有奇次项。

2. 焦点和准线对于椭圆和双曲线，它们都有焦点和准线。

二次函数的曲线和方程

二次函数的曲线和方程二次函数是数学中一个重要的概念，在数学和科学领域中有很广泛的应用。

它的曲线形状独特，方程形式简洁明了。

本文将从曲线的形状和方程的解析等方面进行分析和讨论。

一、曲线的形状二次函数的曲线通常呈现出一个开口向上或者开口向下的抛物线形状。

开口的方向取决于二次函数中二次项的系数的正负性。

当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。

二、方程形式二次函数的标准方程形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

其中，a决定了抛物线的形状，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线的纵向平移。

三、顶点和对称轴二次函数的曲线都有一个特殊的点，称为顶点。

顶点的横坐标为 -b/2a，纵坐标为 f(-b/2a) = -Δ/4a，其中Δ = b^2 - 4ac为判别式。

对于开口向上的抛物线，顶点是曲线的最低点，对应着最小值；对于开口向下的抛物线，顶点是曲线的最高点，对应着最大值。

同时，二次函数的对称轴是通过顶点的一条线，方程为 x = -b/2a。

四、零点和方程的解析零点就是使得二次函数等于0的x值。

求解二次函数的零点可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法进行。

当判别式Δ大于0时，函数有两个不同的实数根；当Δ等于0时，函数有两个相等的实数根；当Δ小于0时，函数没有实数根，但可能有复数根。

五、对称性二次函数具有轴对称性，即以对称轴为中心，对于对称轴上任意点(x, y)，也存在对称点(x', y')。

其中，x' = 2p - x，y' = y，p为对称轴的x坐标。

六、平移变换利用平移变换，可以将二次函数的曲线在坐标系中进行上下平移、左右平移。

上下平移即在二次函数的方程中将c的值进行更改，左右平移即在二次函数的方程中将b的值进行更改。

平移后，曲线的形状和顶点位置保持不变，只是位置发生变化。

总结：通过以上对二次函数曲线和方程的讨论，我们可以得出以下结论：二次函数的曲线呈现出独特的抛物线形状，方程的形式简单清晰；二次函数的曲线有顶点和对称轴，顶点确定了曲线的最值，对称轴确定了曲线的位置；二次函数的方程可以通过求解零点来解析函数的根；二次函数具有轴对称性；平移变换可以改变二次函数的位置。

二次函数与二次曲线的性质分析

二次函数与二次曲线的性质分析二次函数是一种重要的数学函数，其表达式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数，并且$a$不为零。

当$a$为正数时，这个函数被称为上凸函数，当$a$为负数时，被称为下凸函数。

本文将分析二次函数的一些常见性质，包括图像形状、顶点、对称轴、零点、最值等，并同时探讨与二次函数相关的二次曲线的性质。

1. 图像形状二次函数的图像通常是一个U型或者倒U型曲线，具体形状取决于二次项系数$a$的正负。

当$a>0$时，曲线开口向上，形状为U型；当$a<0$时，曲线开口向下，形状为倒U型。

2. 顶点二次函数图像的顶点是曲线的最低点（a>0）或最高点（a<0）。

顶点的横坐标可由$x = -\frac{b}{2a}$得出，纵坐标则为函数在顶点横坐标处的值。

3. 对称轴对称轴是指二次函数图像的中心对称线，对称轴的方程为$x = -\frac{b}{2a}$。

它将曲线分为两个对称的部分，对称轴上的点与顶点具有相同的纵坐标值。

4. 零点二次函数的零点是指函数取值为零的横坐标点。

零点可以通过将函数置为零，并解方程得到。

当判别式$D = b^2-4ac>0$时，函数存在两个实根；当$D=0$时，函数存在一个实根；当$D<0$时，函数没有实根。

5. 最值对于上凸函数（a>0），最值即为函数的最小值，等于函数在顶点处的纵坐标。

对于下凸函数（a<0），最值即为函数的最大值，也等于函数在顶点处的纵坐标。

二次函数的图像与二次曲线密切相关，二次曲线是平面上的点集合，满足一定的几何关系。

二次曲线的一般方程为$Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0$，其中$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$是常数。

1. 椭圆当$B^2-4AC<0$且$AC>0$时，二次曲线为椭圆。

椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于拉伸的圆。