二次曲线小结

A2 B 2
圆的公式
图形
圆心在原点，半径为 r
圆心在(r,0),半径为r
直角坐标方程
参数方程
* x=rcosθ y=rsinθ
过圆上一点（ x0,y0)的切线 x0x+y0y=r2
xox+yoy=r(x+xo) (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/2 +F=0
二次曲线小结 二次曲线小结
曹杨职校
授课 人： 陈开运
学 习 导 航 与 要 求
圆 椭圆
二次曲线小结
双曲线 双曲线
抛物线
双曲线定义的盲点 双曲线的渐近线
直线与双曲线关系
概 念 的 精 细 化
离心率分析
几种曲线定义
曲线与方程 曲线的切线
观 看 网 上 动 态 曲 线
曲 线 的 个 性 与 共 性
二次曲线发展史 技 巧 与 题 型 归 类 目标诊断题
a
a
b ( x0 a b ( a x 0
x0 a 2 ) a2 x0 a 2
2
2
思考题： ①你能说说离心率e与双曲线渐近线开口 大小的关系吗？ ②你能举出其他已学的函数或方程的曲 线的渐近线的例子吗？
)0
抛物线的学习要求和学习导航





学习要求 掌握抛物线的定义，熟记四种标准方 程，了解 焦参数 p 的几何意义，掌 握抛物线的几何性质并能运用解决有 关问题。 学习导航 掌握抛物线的定义，推导和建立抛物 线的标准方程。用定义解题有时更简 洁，虽然抛物线只一个参数，只须一 个条件就可以求出，但有四个标准方 程，所以必须掌握它的特征和对应的 抛物线的开口方向，对称轴，焦点位 置和准线的关系。 了解二次曲线的几种定义，对提高解 题能力是有帮助的。 直线与抛物线的位置关系，特别注意 相切的情况。由于抛物线与对称轴只 一个交点，而它不是抛物线的切线，
2 2
~
内含
|r1-r2|
~
相交
r1+r2
外切
d>r1+r2
位置 关系
同心
内切
外离
关于相切： （1） 过圆上一点（x0,y0) 公式法： （x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 判别式法：设切线y-y0=k(x-x0)代入圆方 程，消去 y得相应x的二次方程，由 判别式Δ=0可求得 k 从而得切线。 几何法：由圆心到切线距离r确定k而得切 线。 （2）圆外一点（x0,y0)的切线可仿上述判 别式法、几何法处理。

圆 锥 截 线
又以焦点F为极点，经过焦点作 准线l的垂线为极轴（取垂足到 焦点的方向为正方向），建立 极坐标系，得到极坐标系中圆 锥曲线的统一方程

ep 1 e cos
思考题 1，一个动点到两个定点（-3，0） （3，0）的斜率的积为-1，这轨 迹是什么曲线？ 若斜率的积为-1/4，是什么曲线？ 若斜率的积为1/4，是什么曲线？ 2，一个动点到两个定点（-3，0） （3，0）的距离的平方差为常 量，这轨迹是什么曲线？
所以直线与抛物线相切并不是直线 与抛物线只有一个公共点的充要条 件。
图形
y2=2px y=0
y2=-2px x2=2py x2=-2py
方程
对称轴
y=0
x=0
x=0 (0,-p/2) y=p/2
焦点 准线
(p/2,0) (-p/2,0) (0,p/2)
x=-p/2 x=p/2
y=-p/2
坐标平移
二次曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 通过坐标平移可以消去一次项，简化方 程的表达式。 坐标系的改变，曲线的位置形状和大小 都没有改变，点的坐标和方程也随之改 变。 坐标的平移公式：x=x’+h x’=x-h y=y’+k y’=y-k 主要题目类型： 1。已知原坐标系，新坐标原点，求一些 点和方程的在新坐标系中的表达式。 2。已知新坐标系，原坐标的原点，求一 些点和方程的在原坐标系中的表达 式。 3。二次曲线方程经过配方成完全平方式


盲点3 ：“常数” 若常数等于零，点的轨迹是什 么？经过演示，不难发现点的 轨迹是线段F1F2的中垂线。 思考题： 学习椭圆，抛物线的定义要注 意什么？
双曲线与它的渐近线
双曲线方程 可得 y a x a 可以看出，随着 x无限变大，y也无限变大 所以双曲线是无界的，为了更好研究它无限 2 伸展的趋势，把上式改为 y b x 1 a 2 a x a2 当x无限变大时， 2 趋近于0 x 这时，y就渐近于±b/a x，说明当x无限增大， 双曲线愈来愈接近直线y=± b/a x, 并且不论x 有多大，在第一象限内总有：
(-a,0) (a,0) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
(0,-a) (0,a) X轴y轴，实轴2a，虚轴2b
对称中心 (0,0)
焦点 (离心率) 焦距 渐进线 y=±bx/a (-c,0) (c,0) e=c/a |F1F2|=2c c2=a2+b2
(0,0)
(0,-c) (0,c) e=c/a |F1F2|=2c c2=a2+b2 y=±ax/b
x2+y2=r2
x2+y2=2rx (x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2+y2 x x12+y12 x1 x22+y22 x2 x32+y32 x3 y 1 y1 1 y2 1 =0 y3 1
* x=r(1+cosθ) y=rsinθ * x=a+rcosθ y=b+rsinθ
你还想学点吗？---离心率概念分析




离心率是反映了二次曲线的形态及 性质的重要概念。 引入定义：椭圆的焦距2c与长轴2a 的比叫做椭圆的离心率，类似的给 出了双曲线，抛物线的离心率定义。 离心率定义 有两个要点：一个距离 与长度有序之比，e=c/a>0 离心率取值范围：椭圆：2c<2a,故 0<e<1,在双曲线：2c>2a,得 e>1,按抛 物线定义，e=1。 离心率与圆周率是几何中的两大比 率，它们的共同特点：均为两个定 量的有序之比，区别在于前者适用 于二次曲线，后者只适用于圆；e值 有相对的任意性（可变），π却具有 唯一性（无理常数）。 离心率深刻揭示了二次曲线的实质， 沟通了它们的关系。椭圆，双曲线， 抛物线三者关系密切，是同一定义
顶点 对称轴 对称中心 焦点
（-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) x轴y轴，长轴长2a，短轴长2b （0，0） （-c,0)(c,0),焦点在x轴
(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0) x轴y轴,长轴长2a，短轴长2b （0，0） （0，-c)(0,c),焦点在y轴
焦距
(离心率)
|F1F2|=2c,c2=a2-b2


直线与椭圆的位置关系： 把直线与椭圆的方程组消元后 得一元二次方程，它的判别式 Δ>0直线与椭圆相交 Δ=0直线与椭圆相切 Δ <0直线与椭圆相离
椭圆的标准方程与性质
标准方程 图形
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b

掌握由圆的定义推导圆的标准方程，理 解参数 a,br的几何意义，掌握一般方程 和标准方程的互化，用圆方程解决有关 问题，解决直线与圆、圆与圆的位置关 系。 学习导航： 圆的定义与标准方程 圆的几何定义 几何量间的关系d(P,M)=r 代数等 2 2 2 式 (x-a) +(y-b) =r ,a,b,r的意义。 由(x-a)2+(y-b)2=r2 x2+y2+Dx+Ey +F=0 且与Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0比 较，得出圆方程 A=C≠0，B=0， 2 2 且D +E -4F>0 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心（-D/2，-E/2） 4F 半径 r= D E 4 圆与直线的关系，圆心M（a,b),半径r 直线 Ax+By+C=0, d Aa Bb C
e=c/a
|F1F2|=2c.c2=a2-b2
e=c/a
双曲线的学习要求和学习导航




学习要求 知道双曲线的定义，理解双曲 线标准方程的参数a,b,c,e的几何 意义和相互关系，根据条件熟 练写出双曲线的标准方程，灵 活应用双曲线的定义，方程及 性质解有关问题。 学习导航 学习时，要与椭圆的标准方程 进行比较，加深这两种曲线之 间的区别和联系。 必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双 曲线所固有的，与坐标的建立 无关。 双曲线有心但不封闭，所以存 在这样的特殊情况，直线平行
圆心在（a,b),半径为r
圆心在(-D/2,-E/2),半 径为 D 2 E 2 4F
4
*过三点A(x1,y1)， B(x2,y2)C(x3,y3)的圆
**过圆 x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和 圆x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆
m(x2+y2+D1x+E1y+F1 )+ n(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 其中m,n不同时为零


用平移公式简化。 4。把x=x’+h , y=y’+k 代入曲线 方程，使一次项系数为0，简化 曲线方程。
你还想学点吗？



除了书本上二次曲线的定义外，还 有一种统一的定义：平面上，一个 动点到一个定点和一条定直线的距 离之比是一个常数，动点的轨迹叫 做圆锥曲线。这一定点叫做焦点， 定直线叫做准线，这个常数叫做离 心率。离心率小于1时叫做椭圆， 离心率大于1时叫做双曲线，离心 率等于1时叫做抛物线。 以焦点F为原点，经过焦点作准线l 的垂线为x轴，（取垂足到焦点的 方向为正方向）建立直角坐标系。 设焦点到准线的距离为p ,离心率为 e，可得到直角坐标系中圆锥曲线 的统一方程： (1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0
椭圆的学习要求与导航




学习要求 知道椭圆定义并推出椭圆标准方程， 理解参数a,b,c,e 的相互关系和几何意义。 能灵活应用椭圆定义、方程及性质解 决问题（椭圆作图）。 学习导航 椭圆方程的定义及参数a,b,c,(e)是椭圆 所特有的，与坐标无关。 a>b>0,c2=a2b2,(e=c/a)必须牢固掌握。 椭圆的性质（有心、封闭的曲线）， 椭圆曲线的范围，掌握曲线（椭圆） 对称性的判别，与坐标轴的交点。 特别： 1.椭圆的焦点一定在长轴上， 2. a,b,c三个参数的关系是满足以 a为斜 边的 直角三角形勾股定理a2=b2+c2。 3.标准方程中a对应的变量x（或y)，表 明焦点就在x轴（或y轴）。
双曲线定义的三个“盲点”




双曲线定义：“平面内与两个定点 F1F2的距离之差的绝对值是常量（小 于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。” 定义内有三个盲点：“小于|F1F2|”， “绝对值”，“常数”，稍有不慎， 就回出错。 盲点1：“小于|F1F2|” 将“小于|F1F2|”改成“大于|F1F2|”， 经过演示，点的轨迹不存在。将 “小于|F1F2|”改成“等于|F1F2|”，经 过演示，点的轨迹不再是双曲线， 而是以F1F2为起点的两条射线。 盲点2： “绝对值” 若将“绝对值”去掉，经过演示点 的轨迹不再是两支曲线，只有一支， 即左支或右支。

双曲线的渐进线但与双曲线仅 有一个交点，而并不相切。因 此，直线与双曲线只有一个交 点，是直线与双曲线相切的必 要而非充分条件。
什么时候直线与双曲线有一个交 点？两个交点？没有交点？
双曲线的标准方程与性质
标准方程 Hale Waihona Puke Baidu形
x2 y2 2 1 2 a b y2 x2 2 1 2 a b
顶点 对称轴
2 2
x2 y2 1 a2 b2
b
b a2 b y x 1 2 x a x a X无限变大，双曲线无限逼近渐近线，但永远 不会相连接。 设在第一象限内取x0 ，渐近线对应y1,双曲线 b b 2 x0 a 2 对应y0 ，有 y y0 x0
1
说明了①在第一象限内，对同样的x渐近 线的值大于双曲线的值，②x无限增大， y1-y0 也无限趋向于0
附 录
纲要信号图表
一般二次方程的讨论
Excel作图
圆的学习要求和导航

继续
d>r相离，d=r相切，d<r相交 圆与圆关系 两圆的圆心(a1,b1),(a2,b2),两圆的半径r1,r1 两圆的圆心距 d (a1 a2 ) 2 (b1 b2 ) 2
d的 范围 0
学习要求：