第5章 格林函数

5.1 标量格林函数
（1）函数
格林函数是点源产生的场。一般格林函数的源采用单位点 源。点源是物理上的小体积源缩小到一点，其密度对体积的积 分仍为有限值的理想化模型。 单位点源的密度分布用狄拉克提出的 函数来描述。 函 数是一种符号函数，起初是狄拉克在量子力学中提出来的，由 于它对数学物理很有用，许多数学家都对它进行研究，赋予它 严格的数学意义，得到许多有用的性质，并形成了称为“广义 函数论”的数学分支。在数学中已证明， 函数可以看作某些 古典函数的广义极限。
三类边界条件，或是辐射条件，上式的右边均为零，即 G r2 ,r1 = G r1 ,r2 , 因此，格林函数具有偶对称性。 （5—20)
标量格林函数的求法
5．2 用镜像法求标量格林函数
对于半空间的边值问题，例如无限大理想导电面以上半无限大 空间中点源产生的场，标量格林函数可以写作 G G0 G ' (5-21) Go 为自由空间格林函数，满足方程 2G0 r,r ' k 2G0 r,r ' r - r ' (5-22) 并满足辐射条件； G ' 满足齐次亥姆霍兹方程及相应的边界条件 (5-23) 2G ' k 2G ' 0 显而易见，由式(5-21)构成的标量格林函数满足方程(5-8)及齐次 边界条件式(5-9)。当 S 为无限大的平面，如果标量格林函数在该平 面边界满足第一类边界条件，显然可取 G ' r,r ' G0 r,r '' (5-25) 式中, r '' 为源点 r ' 关于无限大的平面的镜像位置的位置矢量。如 果标量格林函数在该平面边界满足第二类边界条件，显然可取 G ' r,r ' G0 r,r '' (5-26)
G r, r '
G r, r ' n
S
0
(5-7)
以上两式说明，有界空间的标量格林函数为点源的场，且满足齐次边界条件。
式(5—6)乘以 G r, r ' 减去式(5—8)乘以 r 得
G r,r ' 2 r r 2G r,r ' G r,r ' f r r r,r '
G1 r,r' 0
S
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G1 r,r ' ' dS (5-13) r G1 r,r ' f r ' dV ' r ' n V S 由此可见，对第一类边值问题，求出第一类格林函数 G1 r, r ' 后，
就可利用 G1 r, r' 以及边 界上的法向导数、源分布 f r 以及边界上的 标量场通过式(5—13)的积分计算区域 V 中任一点的标量场。
对第二类边值问题，对应的格林函数记为 G2 r,r ' ， 由第二类格林函数的边界条件
G2 r,r' n
S
0
代人式(5—12)得
G0 r,r' g r,r '
自由空间格林函数满足辐射条件
e 4 r - r '
jk r-r'
lim rG0 有限值
r
lim r（
r
G0 jkG0 ) 0 r
(3)标量格林函数的性质
在求标量格林函数的边值问题时，常常要应用它的性 质。因此，了解标量格林函数的性质 有助于计算标量格 林函数。 1. 标量格林函数在源点处具有奇异性，在源点以外空 间则处处具有连续性； 2. 标量格林函数的一阶导数在源点处具有突变性，其 突变量正好是点源 函数的单位强度。 3. 除此之外，标量格林函数的一个重要的性质是对源 点和场点的偶对称性，即 G r ' ,r G r,r '
r
r n
S
p r
(5-7)
式(5—6)为标量场 r 在区域 V 中所满足的非齐次亥姆霍兹方程,
f r 为已知标量场源函数。式(5—7)为标量场 r 在区域 V 的闭
合边界 S 上所满足的边界条件，
p r 为已知函数，当 0, 0 时边界上的标量场已知，为第一类边界条件，
（5-1）
f (r ' ), r ' V f (r) r r dV 0 r ' V V 三维 函数 r r ' 可以在 3 种坐标系中分解为因函数：
'
（5-2）
在直角坐标系中 r r ' x x' y y ' z z ' 在圆柱坐标系中 1 r r ' ' ' ' z z ' 在圆球坐标系中 1 r r ' '2 r r ' ' ' ' r sin
' '2 ' ' '2 ' 2 1 1 2 V
'
G r' ,r2 r' - r1 G r' ,r1 r ' - r2 dV ' （5-18）
V
利用 函数的性质和标量第二格林定理，得
G r' ,r1 G r' ,r2 ' ' ' dS (5-19) G r2 ,r1 G r1 ,r2 G r ,r2 G r ,r1 n' n' S ' ' 显而易见，无论是格林函数 G r ,r1 或 G r ,r2 ,也无论满足第一类边界条件，还是第二类边界条件或是第
2
3
1




e
jk r-r'

dk x dk y dk z
(5-4)

'

(5-5)
J r Idl r r '
(2)有界空间的标量格林函数
设区域 V 中源分布已知，该区域时谐标量场的定解问题可表示为 2 r k 2 r f r (5-6)
用 G r ' ,r2 乘以方程(5—16)两边减去 G r ' ,r1 乘以方程(5—17)两边，并在区域 V 内积分得
'2G r ' ,r2 k 2G r ' ,r2 r ' - r2
G r ,r G r ,r G r ,r G r ,r dV
上式两边对区域 V 进行体积分，并利用 函数的性质得 r ' G r, r' f r dV G r, r ' 2 r r 2G r,r ' dV
V V
上式第二项利用标量第二格林定理，并交换变量 r 与 r ' 的位置得 r' G r, r ' ' dS r' G r,r' f r dV G r,r ' r ' n n V S 后面将证明，格林函数具有偶对称性，即 G r,r ' G r ' ,r 因此式(5—10)又可写成
G2 r,r ' 、源分布 f r 以及边界上的标量场的法向导数通过式(5—14)的
r ' ' dS （5-14） r G2 r,r ' f r ' dV ' G2 r,r ' n V S 因此，对第二类边值问题，求出第二类格林函数 G2 r,r ' 后，就可利用
1
2
r,r ，这里
'
r 应在 V1 中或 V2 中。
当 r ' 在 V1 和 V2 的界面上时，应满足条件 G3 r,r ' G3 r,r ' 0 0, r '在S 上 n'
（5-15）
对于自由空间，格林函数记为 g r, r ' 或 G0 r,r ' ，称为自由空 间格林函数，其形式为
积分计算区域 V 中任一点的标量场。
和前两类边值问题类似，对第三类边值问题，对应的格林函数记为 G3 r, r ' 。求出第三类格林函数 G3 r, r ' 后，就可利用 G3 r, r ' 、源分 布 f r 以及边界上的标量场的边界条件 计算区域 V 中任一点的标量 场。如果区域 V 由不同媒质的体积 V1 和 V2 两部分组成，则在 V1 和 V2 中，格林函数分别为 G r,r ' 和 G
(5-3a)
(5-3b)
(5-3c)
三维 函数 r r ' 可以展开为傅里叶积分
r r
'
一维 函数 x x ' 还可以在一个有限区间[0，a]展开为傅里叶级数
2 mx mx ' x x sin sin a m1 a a 位于 r ' 点的点电荷的电荷密度与电流元的电流密度可分别用 函数表示为 r q r r '
背景



点源所产生的场为格林函数。由于在线性媒质中电磁 场方程均为线性方程，于是可将任意场源分布分解为 点源的集合，任意场源分布在给定边界条件下所产生 的场等于这些点源分布在同样边界条件下所产生的场 的叠加。因此，在给定边界条件下求得点源的场，即 格林函数后，就可用于求在同样边界条件下任意场源 分布所产生的场。 应用格林函数处理电磁场问题，可以采取不同的坐标 系，利用多种方法建立格林函数，并将场的解答表示 为源分布和格林函数的积分。在某些场合，可以使解 的表达式更加简洁，处理方法更为巧妙。 另外，可以利用格林函数建立积分方程，使难以求解 的积分方程便于数值计算。
外，处处为零；在 r r ' 处 r r ' 则为无限大，且有
1, r ' V r r dV 0 r ' V V 对于任何在 r ' 点连续的函数 f (r ) 有
'
电磁场中点源的密度分布用三维 函数 r r ' 表示， r r ' 除了在 r r ' 处
第 5 章 格林函数
本章主要内容

*5.1 标量格林函数 5.2 用镜像法求标量格林函数 *5.3 标量格林函数的本征函数展开法 5.4 标量格林函数的博里叶变换解法 *#5.5并矢及并矢函数 5.6 自由空间的并矢格林函数 5.7 有界空间的并矢格林函数 5.8 用镜像法建立半空间的并矢格林函数 #5.9 并矢格林函数的本征函数展开
设有标量格林函数 G r ' ,r1 和 G r ' ,r2 ，它们是不同源点 r1 和 r2 在场点 r ' 所产生的标量场，在同一体积 V 内，它们必满足以下方程
'2G r ' ,r1 k 2G r ' ,r1 r ' - r1
（5-16） （5-17）
(5-10)
（5-11）
r ' G r,r' ' dS r G r,r' f r ' dV ' G r,r ' r' n n V S
(5-12)
对于第一类边值问题，对应的格林函数记为 G1 r, r ' ，由第一类格 林函数的边界条件 代人式(5—12)得
对应的问题称为第一类边值问题； 当 0, 0 时边界上的标量场法向导数已知，为第二类边界条件，对应的问题 称为第二类边值问题； 当 0, 0 时通常是在一部分边界上标量场已知而在其余的边界上标量场的法 向导数已知，称为第三类边界条件，也称为混合边界条件，对应的问题称为第三类 边值问题。 以上标量场的边值问题对应的格林函数的边值问题为 2G r, r ' k 2G r, r ' r, r ' (5-8)