第二节 平面简谐波的波动方程
14-2平面简谐波的波动方程
波源(x=0) 的简谐运动 方法1
yO A cos t
x t u
O点的振动状态传到P所需时间
t时刻 P 点相位与 O 点 ( t t )时刻相位相同
yP (t) yO (t t)
P点的振动方程
x y P A cos t u
x
2 π)
(2)
2 π)
由于 uT u
所以(1)、(2)是一致的
x x0 波源在x0处: y A cos t u 2π y A cos t ( x x0 )
如果波沿x轴的负方向传播，则P点的相位要比O点的相 位超前 t x u x x0
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
(3) 波形图中 x1 和 x2 两质点的相位差
x1 y1 A cos t u 1 x2 y2 A cos t u
相位差：
y u O
x1 x2
平面简谐波概念
解：
•
（1）T 2， 40，u 2０，A 10， 2
T
T
且t 0时：yo 5，vo 0
O
2 3
(2) OB长度
Y(cm)
10 •
u
-5 •
解：O B （O B）2
oB
C
20
-5
x(cm)
•
t 0时：yB 0，vB 0
O
-A
x
P
x
P点比O点超前时间 反向波波函数
y
O
P
x
x
以波线上x0处点为参考点
y
则Q点处质点的振动方程为 A x0 Q
O -A
x
P
x
Q点的任一振动状态传到P点，需要时间
则波动方程：
其中：x xo u
— 表示x处质元的振动落后(或超前）xo处质元
振动的时间
(
x u
xo
)
—
表示x处质元的振动落后(或超前）于xo处质元
(2)同一时刻,沿波线各质元振动状态不同,各质元相位 依次落后
*u
=
T
=
u由介质的性质决定
T T振
振 由振源决定.
得波动方程:
当x确定: y(t)——x处质元的振动方程 当t确定： y(x)——t时刻的波形
二、波的强度
1、能流P : 单位时间通过某一面积的波能 P su
—单位:焦耳/秒米2
波动在无吸收的、均匀无限大介质中传播，
1、平面波：A保持不变。
1
2
2、球面波：A与r成反比。 证明：1、 无吸收， P1 P2
2020年高中物理竞赛名校冲刺讲义设计—机械波：第二节 平面简谐波波动方程
2020高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛班上课讲义第九章 机械振动§ 9.2 平面简谐波的波动方程一、平面简谐波波动方程简谐波：如果波源和介质中的各质点都持续地作简谐振动，这种波称为简谐波。
平面简谐波：波面为平面的简谐波。
平面简谐波也称为一维简谐波，其表达式也称波函数(wave function)沿+x 方向传播的一维简谐波 (波速u ，振动角频率为ω)，假设媒质无吸收(质元振幅均为A )介质中任一质点（坐标为 x ）相对其平衡位置的位移（坐标为 y ）随时间的变化关系，即 称为波动方程。
设O 点处质点的振动方程为波线上坐标为x 的任意点P 处质点的振动方程振动从O 点传到P 点所需的时间为t 时刻点 P 的振动与 t-x/u 时刻点O 的振动状态相同，只是落后了Δt 点P 振动方程(,)y x t cos O y A tω=(,)P y f x t ==？x t u∆=cos ()P xy A t uω=-xo任一点p参考点a波速u式中称上式为沿x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程波方程的其它表示式讨论：（1）如果原点的初相位不为零设：点 O 振动方程则：波动方程为（2） 如果平面简谐波沿x 轴负方向传播 则 P 点处质点相位比O 点处质点的相位超前波动方程为二、波动方程的物理意义由 从几方面讨论1 当 x 一定时(设x =x 0，即考察波线上某一点x 0) 给出x =x 0处质点的振动方程即x 0处质元的振动表达式，表示x 处的质点在各个不同的时刻位移随时间的变化情况，由它画出的曲线是x 0处质元的振动曲线。
cos 2π()xy A t νλ=-2πων=u λν=[]0cos O y A t ωϕ=+cos[2π()]xy A t νϕλ=-+cos[2π()]xy A t νϕλ=++0cos[2π()]x y A t νϕλ=-+()y y t =2cos()y A t x πωλ=-0cos ()x y A t u ωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦0cos ()x y A t u ωϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦0cos ()x y A t u ωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2 当t 一定时(设t = t 0，即在某一时刻t 0)，给出t = t 0时刻各质点的位移y 分布情况反映t 0时刻各不同x 处质元的位移状况，即同一时刻x 轴上各个质点离开它们平 衡位置的位移分布，由它画出的曲线即t 0时刻的波形曲线。
平面简谐波的波动方程
m
0.5 10
yc 3102 c os(4 π t 13 π)
m
5
将点 D 坐标:x=9m代入波动方程
y 3102 cos2π( t x )
m
0.5 10
yD 3102 c os(4πo 9 π)
m
5
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y 3102 cos2π( t x ) 0.5 10
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 设原点处振动方程为
y Acos(t )
O
y
t 0
y 0, v 0
y cos(t )
π
2
所以波动方程为
2
y Acos[(t x ) ] Acos[2 ( t x ) ]
T
2π
C
u B 2π d dC
TC
思考:t=T/4时, a,b,c各质点运动方向如何?
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
t =0
y t =T/4
A+∆t
u
求 O、a、b、c 各
b
点振动初相位(t=0).
Oa
c
(π ~ π )
A
A
O
A
O
y o π
y
a
π 2
A
O
y
O
y
A
t=T/4
m (以A为 坐标原点)
u
10m
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
B点落后C点 :B
C
2 π
16-2平面简谐波的波动方程
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
——细棒中平面纵波的波动方程。 解
16.2 平面简谐波和波动方程
概念检测 已知一平面简谐波的表达式为y = A cos ( a tb x )， ( a , b为正值)，则 A. 波的频率为a B. 波的传播速度为b / a C. 波长为π/ b D. 波的周期为2π/ a
0 π / 2
x y A cos[ (t ) 0 ] u π π 0.1cos( t πx ) 2 2
16.2 平面简谐波和波动方程
例题2 一列平面波以波速u沿x轴正向传播，波 长为，已知在x0= /4处的质点的振动表达式 为y0=Acos t，试写出波动方程。
16.2 平面简谐波和波动方程
填空题3. 一个余弦横波以速度u沿x轴正向传播，t 时刻 波形曲线如图所示。试分别指出图中A，B，C各点处 介质质元在该时刻的运动方向
y
A B
u
C
o
x
16.2 平面简谐波和波动方程
概念检测 下图(a)表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t=0 时刻的波形图，则图(b)表示的是
解 “振动状态以波速传播”方法 x/4 t 时刻x处的振动状态，就是 (t ) u 时刻x0处的振动状态，因此
x/4 y A cos[( t )] u 2π π / 4 x ) A cos( t x ) A cos( t 2 u u
根据x0处的振动方程，写出波动方程
16.2 平面简谐波和波动方程
16.2 平面简谐波和波动方程
16.2.1 平面简谐波的波动方程
16.2.2 波动方程的物理意义
16.2.3 波动的微分方程
平面简谐波 波动方程
式中x以m计。
§5-3 波的能量
能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。 当波动传播到该体积元时，将具有动能 Wk和弹性势 能Wp。
x 平面简谐波 y ( x, t ) A cos t u
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
x(1) A cos t1 0 u
x( 2) A cos t1 t 0 u
y(t1 t )
u
S
平均能流密度或波的强度 通过与波传播方向垂直的 单位面积的平均能流，用I 来表示，即
1 平均能流： P w Su uSA2 2 2
2 2 2
u
I wu u A 2 z A 2
2
波的强度
其中介质的特性阻抗 z u 。 I 的单位：瓦特/米2 (W.m-2) 平面余弦行波振幅不变的意义:
加速度
y x 2 A cos t 0 , 2 t u
2
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为 Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。 如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式， (4) 离原点 20cm 和 30cm 两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
第2节 平面简谐波
第 2 节平面简谐波一、平面简谐波的描述；二、平面简谐波函数 如果波源做简谐振动，介质中各点也将相继做同频率的简谐振动，这样形成的波叫简谐波。
如果波面为平面，则这样的波称为平面简谐波。
由于平面简谐波的波面上第一点的振动和传播规律完全一样，可以对平面简谐波用一维的方式来处理。
振动相位相差 的两点之间的距离叫波长，常用 表示。
它实际上就是相邻两振动状态相同的点之间的距离。
设一简谐波沿 x 轴方向传播，t 时刻，原点 O 处振动位移的表达式为：在同一时刻 t，到 O 距离为 x 的 P 点的振动表达式与 O 点的振动具有相同的振幅和 频率，但相位比 O 点落后，这是因为 P 点开始振动的时刻比 O 点晚，所晚的时间就是波从O 点传到 P 点所经历的时间，， 称为波的位相速度 ，也称为波速，它表示单位时间某一振动位相所传播的距离，于是 P 点的位移为：这就是简谐波的运动学方程，由于波是向左传播的，又称为右行波，令： 其中 为波长，它表示振动在一个周期中传播的距离。
于是：令：其中， 称为波数，它表示 米内所包含的波长数。
于是简谐波方程可写成：以上各式都是简谐波的方程， 们由波速相互联系，即：是和时间有关的量， 是和空间有关的量，它若 不随 的变化而变化，则称波是无色散的。
简谐波运动学方程的物理意义 ： 波的运动学方程是一个二元函数，位移 y 既是时间 t 的函数，又是位置 x 的函数。
（1）当 x 一定，y 仅为 t 的函数 。
当时，即盯住其一位置看：它表示处的质点随时间做简谐振动，是一个振动方程。
且时刻 t 和 t+T 振动状态相同，说明波动过程在时间上具有周期性，振动的周期、频率、和振幅都与波源相同，但是相位落后：（2）t 一定时，y 仅为 x 的函数，当时：其中，。
此方程表示任意一时刻各质点离开平衡位置位移分布。
可以看出波动过程在空间 上具有周期性，波长就是波动的空间周期。
（3）波表达式的宗量一定，即位相一定，，随着时间 t 的增加，x 也要相应地增加，波必须在空间传播一定的距离，将宗量对时间求微分：其中 为波的位相速度 ，简称相速。
平面简谐波的波动方程
y
u
t 时刻
tt时刻
O
xx
x
从t时到t+∆x时 : 波线上各质点的相位均向前传播 ∆x 即:
xu t （行波）
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y ( 5 c) c m π [ o 2 (s - .) 1 t5 ( 0 .0 0 c- 1 s ) m 1 x ].
t
u
a 2 t2 y 2 A co (t su x )[ ]
严格区分两种速度(波速和振动速度)
波速(相速)
u
T
v y A si (n t x [ ) ]
t
u
二 波动方程的物理意义
y A co ( t x ) s ] [A c2 o π ( t s x ) [ ]
y co ( t x s ) u [ ] c2 o ( t s T x ) [] m
u2
222
2）求t1 .0 s波形图.
y 1 .0 co 2π (st[x)π ] m 2 .02 .0 2
t 1 .0 s
波形方程
y1.0coπsπ (x) m 2
1.0siπ nx)( m
波形图为 y / m
pO
2π
x
p 2 π x 2 π T x u u x ypA co ts (p)
点 P 振动方程
ypAcos(tu x)
如果原点的 初相位不为零
y A
u
x0,0 O A
x
点 O 振动方程 y O A co t s)(
波 yAco(st [x)]u沿x轴正向
动 方
yAco(st [u x)]u沿 x轴负向
u
T
16_02_平面简谐波 波动方程
x1 点的振动方程： y1 (t ) 0.01cos[200 (t
1 ) ] ( m ) —— x 1 m 400 2
1 ) ] 2 1 (200 t ) [200 (t 2 400 2
2 1
3)
REVISED TIME: 09-10-7
-2-
CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
波数 波数 —— 波线单位长度内波的数目： k
2
x
—— 将 2 k 代入 y ( x, t ) A cos[2 ( t 3 波动方程 简谐波的波函数： y ( x, t ) A cos[ (t 对时间的二阶偏微分： 对坐标的二阶偏微分： 则：
2) 距波源 x2 2m 和 x1 1m 的两点间的振动相差
x2 点的振动方程： y2 (t ) 0.01cos(200 t ) ( m) —— x 0 2
REVISED TIME: 09-10-7 -4CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
x x0 ) 0 ] u
例题 04 如图 XCH004_135_00 所示的是一平面简谐波在 t 0 时刻的波形图，设该简谐波的频率 为 250 Hz ，且此时质点 P 的运动方向向下，求： 1) 该波的波函数； 2) 在距原点 O 为 100 m 处质点的振动方程与质点速度表达式。
x u
x u
x ) 0 ] —— 波动方程，或波函数 u 2 ， uT T
—— 波函数既是时间的周期性函数，又是空间的周期性函数。 波函数的几种表示：利用关系： 2
大学物理第十六章机械波第二节平面简谐波 波动方程
0.4
0.5
t=3T/4
波动方程的推导
(5)质点的最大速率
vm
A
A 2
T
0.5 102
2 m/s
1 30
0.94 m/s
(6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点
的相位落后 。
(7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3 4而到达
高等教育大学教学课件 大学物理
§16-2 平面简谐波 波动方程
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频 率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般 不同，它们的位移也不相同。据波阵面的定义可知， 任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它 们离开各自的平衡位置有相同的位移。
波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变 化关系。
y /cm
M 1 和'
M 2处' 。
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
谢谢欣赏!
Hale Waihona Puke A cos2
t
x
0
y(x,t) Acos( t k x 0) 其中 k 2
平面简谐波的波动表式
波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A c os
t
2
x1
0
物理学14-平面简谐波的波函数与波动方程
若波源（原点）振动初位相不为零 y0 A cos( t 0 )
x y A cos[ (t ) 0 ] u
或
t x y A cos[ 2 ( ) 0 ] T 2x y A cos[ 2t ) 0 ] 2 y A cos[ (ut x) 0 ] A cos[ k (ut x) 0 ]
y
O
u
x
x
p
x O点振动状态传到p点需用 t u t 时刻p处质点的振动状态重复
y
O
u
x
x
p
x t 时刻O处质点的振动状态 u
x p点的振动方程： y A cos ( t ) u 沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程
沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动 x 为p点的振动落后与原点振动的时间 u x 沿x轴负向传播的 y A cos ( t ) 平面简谐波的波动方程 u
在时间t内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离x
y
O
u
t
t t
x x
x
可见，波函数y(x,t)反映了波形的传播。 它描述的是在跑动的波，这种波被称为 行波（travelling wave）
三、平面波的波动微分方程
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
求t 的二阶导数
2x0
若x0= 则 x0处质点落后于原点的位相为2
为x0处质点落后于原点的位相
是波在空间上的周期性的标志
同一波线上任意两点的振动位相差 x2 x1 x 2 1 2 2
பைடு நூலகம்
2、如果给定t，即t=t0 则y=y(x) Y x y A cos[ ( t 0 ) 0 ] u 表示给定时刻波线上各质 O 点在同一时刻的位移分布 ，即给定了t0 时刻的波形
大学物理_波动方程
x 5 10
3
) m
5x) m 2 sin 5x m
《大学物理》
例题3 有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅为1m,周 期为2s,波长为2m.在t=0时,坐标原点处的质点位于平衡位置沿y 轴正向运动.求
(1)波动方程; (2)1s时波形方程并作图; (3)0.5m处的质点振动方程. 解: (1)按题设条件,取波动方程形 式如下: y u
(3)按题设条件,x=0.5m处的质点 振动方程为:
u
1
0 2 x
y 1cos[ (t 0.5) / 2] cos(t )
《大学物理》
例题4 在x=0处有一个波源,振动初相为0,向x轴正向发出谐 波,波长为4m,振幅为0.01m,频率为50赫兹.现在x=10m处有 一个反射装置，将波反射.试求，反射波的波动方程. 解 在x轴上任意x处取一点来 讨论,波反射后到达x处的相位 落后为:
《大学物理》
(2) 波动表式为
y A cos (t
式中 x 以 m 计，t 以 s 计。
x x ) 0.1 10 3 cos 25 10 3 (t ) m 3 u 5 10
(3) 离原点 10cm 处质点的振动表式为
y 0.1 10 3 cos 25 103 (t 0.1 10 3 cos(25 10 3 t
1 5 10 ) m
4
) m
1 5 T 可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，即 2 10 s 。 2 ，或落后 4 1 x 10 cm 0.10m ，相应的相位差为 (4) 该两点间的距离 4
2
平面简谐波的波函数
y (m)
t = 0 时波形
u = 200m·-1 s
1
2
3
4
5
x (m
vo
(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点 x y 0.02cos100 ( t ) 0 位移
u t Δt 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
物理学
第五版
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x Acos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
物理学
第五版
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x y A cos 2π T
2
2πx y A cos t
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
物理学
第五版
(1) 以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5 s 0
2
λ uT 10 m
t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 ) cos 2π ( ) 0.5 10
和加速度。 解： u 200 50 Hz 4
A y (m) t = 0 时波形
大学物理平面简谐波波动方程
§4-2平面简谐波的波动方程振动与波动最简单而又最基本的波动是简谐波！ 简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。
任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。
对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。
需要定量地描述出每个质点的振动状态。
波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程设平面简谐波在介质中沿 x 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点参考点原点的振动方程为()00cos y A t ωϕ=+任取一点 P ，其坐标为 x ，P 点如何振动？ A 和 ω 与原点的振动相同，相位呢？沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 λ 的距离，相位落后 2π现在，O 点的振动要传到 P 点，需要向前传播的距离为 x ，因而 P 点的相位比 O 点落后 22x x ππλλ=P 点的振动方程为区别联系振动研究一个质点的运动。
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。
波动是振动的传播。
x02c o s P y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 由于 P 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭就是沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。
如果波沿 x 轴的负向传播，P 点的相位将比 O 点的振动相位超前2x πλ沿 x 轴负向传播的波动方程为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=++⎪⎝⎭利用 2ωπν=， u λν=沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭02c o s A t x u πνωϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭0c o s x A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即 0c o s x y A t u ωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦原点的振动状态传到 P 点所需要的时间 xt u∆=P 点在 t 时刻重复原点在 x t u ⎛⎫- ⎪⎝⎭时刻的振动状态波动方程也常写为x02c o s y A t x πωϕλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()0c o s A t k x ωϕ=-+ 其中 2k πλ=波数，物理意义为 2π 长度内所具有完整波的数目。
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
欢迎网上答疑
(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
平面简谐波的波动方程三种形式
一、平面简谐波的概念平面简谐波是一种特殊的波动现象，它具有特定的波动方程和波动特性。
简谐波的振幅随时间以正弦或余弦函数变化，具有周期性和频率性，是物理学中常见的一种波动形式。
二、平面简谐波的波动方程1. 时间域的波动方程在时间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
2. 空间域的波动方程在空间域内，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
3. 复数形式的波动方程在复数形式下，平面简谐波的波动方程可以表示为：\[y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi) = \Re(Ae^{i(kx - \omega t + \phi)})\]其中，y表示波动的位移，A表示振幅，k表示波数，ω表示角频率，φ表示初相位。
三、不同形式的波动方程之间的关系1. 时间域的波动方程和空间域的波动方程时间域的波动方程和空间域的波动方程在形式上是相似的，都可以表示为简谐波的位移随时间和空间的变化而发生正弦或余弦函数的周期性振荡。
它们之间通过变量的不同而具有不同的物理意义，但是描述的是同一种波动现象。
2. 复数形式的波动方程和实数形式的波动方程在复数形式下，简谐波的波动方程可以更加简洁地描述，通过复数的指数函数形式可以很方便地进行波动的运算和分析。
复数形式的波动方程和实数形式的波动方程是等价的，可以相互转化，但在不同的数学和物理背景下有着不同的应用优势。
四、平面简谐波的应用领域平面简谐波作为一种特殊的波动形式，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
它在声学、光学、电磁学、机械振动、信号传输等方面有着重要的应用价值，可以用来描述和分析各种复杂的波动现象。
10-2 平面简谐波的波函数
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
5
二
波函数的物理含义
2π
2πx y A cos t
3
2π 2 πν 和 uT 利用 T 可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t
u t Δt 时刻的位移，由此得
y
A
u
P
x
A
O
x
2
yP yO (t Δt ) Acosωt Δt φ
x Acos t u
由于 P 为波传播方向上任一点，因此上 述方程能描述波传播方向上任一点的振动， 具有一般意义，即为沿 x 轴正方向传播的平 面简谐波的波函数，又称波动方程.
16
例2 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程 y A 3102 cos( 4 π t ) ; ( y, t 单位分别为m，s). 求:(1)以 A 为坐标原点，写出波动方程； (2)以 B 为坐标原点，写出波动方程； (3)求传播方向上点C、D 的简谐运动方程； (4)分别求出 BC ，CD 两点间的相位差.
y
u
P x
x
A
A
O
11
故P点的振动方程（波动方程）为：
x y yo (t t ) A cos[ (t ) ] u
简谐波
2.从相位延迟上考虑
y
O
v u
x
x
p
（1）波向右传播，P点 ）波向右传播， 点 相位比O点滞后 相位比 点滞后 2πx
λ
t 设原点振动表达式： y0 = Acos(ω +ϕ0) 设原点振动表达式：
2πx yp = Acos ω ＋ 0 − ) （t ϕ
λ
此即沿 轴正向传播的任一点的振动方程， 轴正向传播的任一点的振动方程 此即沿x轴正向传播的任一点的振动方程， 就是平面简谐波的波动方程 平面简谐波的波动方程。 就是平面简谐波的波动方程。
二、波动方程的物理意义 x y = Acos[ω( t − )+ϕ0] u 1、如果给定 ，即x=x0 、如果给定x，
y( t ) = Acos(ω − t 2 x0 π
y
O
T
t T 振动曲线
则y=y(t) 为x0处质点的振动方程
+ϕ0 ) λ 2 x0 π +ϕ0 x0处质点的振动初相为 −
2 x0 π
三、平面波的波动微分方程
x y = Acos[ω( t − )+ϕ0] u
求t 的二阶导数
x ∂ 2y 2 ω ω = −A cos[ (t − ) +ϕ0] 2 u ∂t
求x的二阶导数 的二阶导数
∂ 2y ω2 x 1 ∂ 2y ω = −A 2 cos[ (t − ) +ϕ0] = 2 2 2 ∂x u u u ∂t
归纳：当波向左或者向右传播，波动方程形式可以为： 归纳：当波向左或者向右传播，波动方程形式可以为： x y = Acos[ω(t m ) +ϕ0] u t x 或 π y = Acos[2 ( m ) +ϕ0] T λ
平面简谐波的波动方程
平面简谐波的波动方程
以《平面简谐波的波动方程》为标题，写一篇3000字的中文文章
“平面简谐波”是物理学中一类重要的现象，它对于理解宇宙结构和运动有着重要意义。
本文旨在介绍平面简谐波的相关理论，并着重讨论其特征、波动方程以及其在现实世界中的应用。
首先，什么是平面简谐波？平面简谐波实际上是一种二维的波，它占据空间中的某一区域，其形状主要取决于空间的形状以及其内的物理参数，当这些参数确定时，它的形状就不会发生变化。
平面简谐波受到外部条件的影响，会向外传播，发展成众多个单位，形成无限的图案，构成了一个完整的波动模式。
其次，平面简谐波的波动方程有什么特点？这一波动方程实际上是一种特殊的偏微分方程，它可以用来描述平面简谐波的特性，其波动方程表达式为：
u(t,x) = K*sin[ω*(t-x/c)]，
其中，K表示波的振幅；ω表示波的频率；c表示波的传播速度。
最后，平面简谐波在实际应用中有什么作用？平面简谐波在很多方面都有广泛的应用，比如它可以用来探索电离层和气象物理等过程中的波，并且为癫痫发作的机制研究也提供了理论支持。
此外，平面简谐波还可以应用于声学，电子学，通信，无线传播，甚至是核物理和化学等领域。
综上所述，平面简谐波是一种具有重要意义的现象，它的波动方
程有助于揭示其波的特性，并有多种应用。
未来，随着科技的发展，许多新技术可能会基于平面简谐波来提升其研究的深度和广度，有望为社会的发展带来更多的福利。
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解： 由题意 波长 周期
u 0.40 m
T 1 8105 s
（1）原点处质点的振动表达式
y0 A cost 0.1103 cos(25103 t) m
（2）波函数
y Acos(t x)
u
0.1103
cos
即
y
Acos t
2 x1
上式代表x1处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
O
t
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t 一定:令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
即
y
A
cos
t1
2 x
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x
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沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x1 x
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y
u
当t=t1时，y
A
cos
t1
0.5
M1
M2
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70
x /cm
0.4
t =0
0.5
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(4)质点的最大速率
vm
A
A 2
T
0.5 102
2 m/s
1 30
0.94 m/s
(5)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点
求：(1) a、b两点振动方向; (2) O点振动方程; (3) 波动表式
解：⑴ 由于波沿x正向传播，因 此任意时刻任意点都将重复其前 的点（图中左侧点）的振动，由 此可知：
a点将向下振动； b点将向上振动。
此外：
这个问题也可以由下一时 刻的波形曲线得到，如左图黄 线示，而且比较直观。
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5 0.08 2
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例4：一列沿ox正向传播的简谐波，在时刻t1=0,t2=0.25s的两个 波形如图所示。求：(1)P的振动表达式，(2)此波的波动表
式，(3)画出O点的振动曲线。
解：⑴ 由已知图分析可得：
T 1s 2 rad / s
及：A 0.2m, 0.6m
谐振动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们 的位移也不相同。据波阵面的定义可知，任一时刻在同 一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡 位置有相同的位移。
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波动表式：描述介质中各质点的位移随时间的变
化关系.
y
yp
u
P
O
t
x
yP(t)= y0(t)
x
t= t - x u
O点处质点的振动表达式为：
y0 (t ') Acos( t '0 )
P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
y0 (t)
=
y0 (t
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
的相位落后 。
(6)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已
分别右移3
4 而到达
y /cm
M1'和 M 2 '处。
0.5 M1
M1' M2
M2'
0.4
0.2
a
0
b
0.2 10 20 30 40 50 60 70 x /cm
0.4
0.5
t=3T/4
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例3 ：如图是一平面余弦横波在时刻t=0的波形。此波形以 v=0.08m/s 的速度沿ox轴正向传播。
x u
0
o x1 x
x
当t2=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的质点平衡位置用x1和x2表示，
则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y(t1
t)
A cos
(t T
mx)
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2
y
A cos(t
m2
x
0
)
角波数 ：表示
单位长 度上波 的相位 变化
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
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y Acos(2 t 2 x )
o
6
p
2
可知：对同一时刻O、P两点位相差为：
o
p
(2 t
2
xo
) (2 t
2
xp
)
2
(xp
xo )
又：o
p
6
2
2
3
OP间距离：x p
Acos
t1
x1
u
y
t1
t x1 ut u
0 u y(t1)
0
o
x
x1 x
在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动
了 x x2 x1 ut ，波速u 是整个波形向前传
播的速度。
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t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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沿x轴正方向传播
u
y
O
P
x
沿x轴负方向传播
u
y
O
P
x
P点落后o点
x u
时间
P点超前o点x
例1 频率为 12.5kHz 的平面余弦波沿细长的
金属棒传播，波速为 5.0103 m / s. 如以棒上某点取为
坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为 A 0.1mm， 试求：（1）原点处质点的振动表达式；
（2） 波函数（向右传播）； （3）离原点10cm处质点的振动表达式； （4）离原点20cm和30cm处质点的振动相位差； （5）在原点振动0.0021s时的波形；
机械波
振动在空间的传播过程叫做波动
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波动的形式是多种多样的，一般可分为： 机械波： 机械振动在弹性介质中的传播。
电磁波： 电磁振动在空间的传播。
物质波： 运动物体伴随的波动。
各种类型的波有其特殊性，例如:声波需要介质才 能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可 以直接把它看作粒子—光子的运动，但各种类型的波 也有普遍的共性 。
u
时间
t = t - x
t = t + x
u
波函数为：
y( x, t )
A
cos[
(t
mx u
)
u
0
]
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上述过程给出了一个写出简谐波方程的步骤： ⑴ 已知某点的振动方程（不一定是波源）
⑵ 根据波的传播方向，判断各点振动的先后次序,
找出时间差 ( > 0)
⑶ 将时间差 代入已知振动方程，即可得波动方程：
⑵ 由已知图可得： A 0.2m, 0.4m
T 0.4 5(s) 2 2 / s
V 0.08
T5
由图有：初始时
｛ y0 0 V0 0
O点有
2
y0(t )
0.2cos( 2 t
5
)
2
m
⑶ 至此可写出波动方程为：
y( x,t) 0.2cos[2 (t x ) ] m
例5：平面简谐波某时刻波形如图。求：OP点距离。设此波向右传
播
解：由图易得： 2 20 40m
波向右传播，则得图示时刻 有（见下图）：
O: yo 3m Vo 0
o
6
P: y p0 0 Vp0 > 0