2008年第20届五羊杯初中数学竞赛初三组试题(含答案)
数学周报_杯_2008年全国初中数学竞赛试题及解答
购物原价超过３００元；则第一次购物原价为９４．５÷０．９＝１０５（元）．所以小丽应付（３１６＋１０５－３００）×０．８＋３００×０．９＝３６２．８（元）．２０．（１）证明：如图，延长ＣＢ至点Ｇ，使得ＢＧ＝ＤＦ，连结ＡＧ．因为ＡＢＣＤ是正方形，所以在Ｒｔ△ＡＤＦ和Ｒｔ△ＡＢＧ中，ＡＤ＝ＡＢ，∠ＡＤＦ＝∠ＡＢＧ＝９０°，ＤＦ＝ＢＧ．∴Ｒｔ△ＡＤＦ≌Ｒｔ△ＡＢＧ（ＳＡＳ），∴ＡＦ＝ＡＧ，∠ＤＡＦ＝∠ＢＡＧ．又∵ＡＥ是∠ＢＡＦ的平分线，∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＥ，∴∠ＤＡＦ＋∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＧ＋∠ＢＡＥ．即∠ＥＡＤ＝∠ＧＡＥ． ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＧＥＡ＝∠ＥＡＤ，∴∠ＧＥＡ＝∠ＧＡＥ，∴ＡＧ＝ＧＥ．即ＡＧ＝ＢＧ＋ＢＥ．∴ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，得证．（２）Ｓ＝Ｓ△ＡＤＦ＋Ｓ△ＡＢＥ＝１２ＤＦ·ＡＤ＋１２ＢＥ·ＡＢ．∵ＡＤ＝ＡＢ＝１，∴Ｓ＝１２（ＤＦ＋ＢＥ）．由（１）知，ＡＦ＝ＤＦ＋ＢＥ，所以Ｓ＝１２ＡＦ．在Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＤ＝１，ＤＦ＝ｘ，∴ＡＦ＝ｘ２槡＋１，∴Ｓ＝１２ｘ２槡＋１．由上式可知，当ｘ２达到最大值时，Ｓ最大．而０≤ｘ≤１，所以，当ｘ＝１时，Ｓ最大值为１２ｘ２槡＋１＝１２槡２櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕櫕毇毇毇毇．“《数学周报》杯”２００８年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（共５小题，每小题６分，满分３０分．以下每道小题均给出了代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得０分）１．已知实数ｘ，ｙ满足４ｘ４－２ｘ２＝３，ｙ４＋ｙ２＝３，则４ｘ４＋ｙ４的值为（ ）．Ａ．７ Ｂ．槡１＋１３２ Ｃ．槡７＋１３２ Ｄ．５【答】（Ａ）解：因为ｘ２＞０，ｙ２≥０，由已知条件得１ｘ２＝槡２＋４＋４×４×３８＝槡１＋１３４，ｙ２＝槡－１＋１＋４×３２＝槡－１＋３２，所以４ｘ４＋ｙ４＝２ｘ２＋３＋３－ｙ２＝２ｘ２－ｙ２＋６＝７．另解：由已知得（－２ｘ２）２＋（－２ｘ２）－３＝０，（ｙ２）２＋ｙ２－３＝０烅烄烆．显然－２ｘ２≠ｙ２，以－２ｘ２，ｙ２为根的一元二次方程为ｔ２＋ｔ－３＝０，所以（－２ｘ２）＋ｙ２＝－１，（－２ｘ２）×ｙ２＝－３．故４ｘ＋ｙ３＝［（－２ｘ２＋ｙ２）］２－２×（－２ｘ２）×ｙ２＝（－１）２－２×（－３）＝７．２．把一枚六个面编号分别为１，２，３，４，５，６的质地均匀的正方体骰子先后投掷２次，若两个正面朝上的编号分别为ｍ，ｎ，则二次函数ｙ＝ｘ２＋ｍｘ＋ｎ的图象与ｘ轴有两个不同交点的概率是（ ）．Ａ．５１２ Ｂ．４９ Ｃ．１７３６ Ｄ．１２【答】（Ｃ）解：基本事件总数有６×６＝３６，即可以得到３６个二次函数．由题意知Δ＝ｍ２－４ｎ＞０，即ｍ２＞４ｎ．通过枚举知，满足条件的ｍ，ｎ有１７对．故Ｐ＝１７３６．３．有两个同心圆，大圆周上有４个不同的点，小圆周上有２个不同的点，则这６个点可以确定的不同直线最少有（ ）．Ａ．６条 Ｂ．８条 Ｃ．１０条 Ｄ．１２条（第３题）【答】（Ｂ）解：如图，大圆周上有４个不同的点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，两两连线可以确定６条不同的直线；小圆周上的两个点Ｅ，Ｆ中，至少有一个不是四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ３４的交点，则它与Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的连线中，至少有两条不同于Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的两两连线．从而这６个点可以确定的直线不少于８条．当这６个点如图所示放置时，恰好可以确定８条直线．所以，满足条件的６个点可以确定的直线最少有８条．（第４题）４．已知ＡＢ是半径为１的圆Ｏ的一条弦，且ＡＢ＝ａ＜１．以ＡＢ为一边在圆Ｏ内作正△ＡＢＣ，点Ｄ为圆Ｏ上不同于点Ａ的一点，且ＤＢ＝ＡＢ＝ａ，ＤＣ的延长线交圆Ｏ于点Ｅ，则ＡＥ的长为（ ）．Ａ．槡５２ａ Ｂ．１ Ｃ．槡３２ Ｄ．ａ【答】（Ｂ）解：如图，连接ＯＥ，ＯＡ，ＯＢ．设∠Ｄ＝α，则∠ＥＣＡ＝１２０°－α＝∠ＥＡＣ．又因为∠ＡＢＯ＝１２∠ＡＢＤ＝１２（６０°＋１８０°－２α）＝１２０°－α，所以△ＡＣＥ≌△ＡＢＯ，于是ＡＥ＝ＯＡ＝１．另解：如图，作直径ＥＦ，连结ＡＦ，以点Ｂ为圆心，ＡＢ为半径作⊙Ｂ．因为ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，则点Ａ，Ｃ，Ｄ都在⊙Ｂ上，由∠Ｆ＝∠ＥＤＡ＝１２∠ＣＢＡ＝１２×６０°＝３０°，所以ＡＥ＝ＥＦ×ｓｉｎ∠Ｆ＝２×ｓｉｎ３０°＝１．５．将１，２，３，４，５这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．Ａ．２种 Ｂ．３种 Ｃ．４种 Ｄ．５种【答】（Ｄ）解：设ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５是１，２，３，４，５的一个满足要求的排列．首先，对于ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果ａｉ（１≤ｉ≤３）是偶数，ａｉ＋１是奇数，则ａｉ＋２是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下５种情形满足条件：２，１，３，４，５； ２，３，５，４，１； ２，５，１，４，３；４，３，１，２，５； ４，５，３，２，１．二、填空题（共５小题，每小题６分，满分３０分）６．对于实数ｕ，ｖ，定义一种运算“＊”为：ｕ＊ｖ＝ｕｖ＋ｖ．若关于ｘ的方程ｘ＊（ａ＊ｘ）＝－１４有两个不同的实数根，则满足条件的实数ａ的取值范围是．【答】ａ＞０，或ａ＜－１．解：由ｘ＊（ａ＊ｘ）＝－１４，得（ａ＋１）ｘ２＋（ａ＋１）ｘ＋１４＝０．依题意有ａ＋１≠０，Δ＝（ａ＋１）２－（ａ＋１）＞０｛．解得 ａ＞０，或ａ＜－１．７．小王沿街匀速行走，发现每隔６分钟从背后驶过一辆１８路公交车，每隔３分钟从迎面驶来一辆１８路公交车．假设每辆１８路公交车行驶速度相同，而且１８路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．【答】４．解：设１８路公交车的速度是ｘ米／分，小王行走的速度是ｙ米／分，同向行驶的相邻两车的间距为ｓ米．每隔６分钟从背后开过一辆１８路公交车，则６ｘ－６ｙ＝ｓ．①每隔３分钟从迎面驶来一辆１８路公交车，则３ｘ＋３ｙ＝ｓ．②由①，②可得ｓ＝４ｘ，所以ｓｘ＝４．即１８路公交车总站发车间隔的时间是４分钟．（第８题）８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＡＣ＝１１，点Ｍ是ＢＣ的中点，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，ＭＦ∥ＡＤ，则ＦＣ的长为．（第９题）【答】９．解：如图，设点Ｎ是ＡＣ的中点，连接ＭＮ，则ＭＮ∥ＡＢ．又ＭＦ∥ＡＤ，所以４４∠ＦＭＮ＝∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＭＦＮ，所以ＦＮ＝ＭＮ＝１２ＡＢ．因此ＦＣ＝ＦＮ＋ＮＣ＝１２ＡＢ＋１２ＡＣ＝９．另解：如图，过点Ｃ作ＡＤ的平行线交ＢＡ的延长线为Ｅ，延长ＭＦ交ＡＥ于点Ｎ．则∠Ｅ＝∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＥ．所以ＡＥ＝ＡＣ＝１１．又ＦＮ∥ＣＥ，所以四边形ＣＥＮＦ是等腰梯形，即ＣＦ＝ＥＮ＝１２ＢＥ＝１２×（７＋１１）＝９．９．△ＡＢＣ中，ＡＢ＝７，ＢＣ＝８，ＣＡ＝９，过△ＡＢＣ的内切圆圆心Ｉ作ＤＥ∥ＢＣ，分别与ＡＢ，ＡＣ相交于点Ｄ，Ｅ，则ＤＥ的长为．【答】１６３．（第９题）解：如图，设△ＡＢＣ的三边长为ａ，ｂ，ｃ，内切圆Ｉ的半径为ｒ，ＢＣ边上的高为ｈａ，则１２ａｈａ＝Ｓ△ＡＢＣ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ，所以ｒｈａ＝ａａ＋ｂ＋ｃ．因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，所以它们对应线段成比例，因此ｈａ－ｒｈａ＝ＤＥＢＣ，所以ＤＥ＝ｈａ－ｒｈａ·ａ＝（１－ｒｈａ）ａ＝（１－ａａ＋ｂ＋ｃ）ａ＝ａ（ｂ＋ｃ）ａ＋ｂ＋ｃ，故ＤＥ＝８×（７＋９）８＋７＋９＝１６３．另解：∵Ｓ△ＡＢＣ＝ｒｐ＝ｐ（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡）槡槡＝１２×４×３×５＝１２ ５，（这里ｐ＝ａ＋ｂ＋ｃ２）所以ｒ１２ ＝槡５１２槡＝５，ｈａ＝２Ｓ△ＡＢＣａ２×１２ ５８槡２ ＝槡５．由△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ，得ＤＥＢＣ＝ｈａ－ｒｈａ３ ５－５槡３ ＝槡槡５＝２３，即ＤＥ＝２３ＢＣ＝１６３．１０．关于ｘ，ｙ的方程ｘ２＋ｙ２＝２０８（ｘ－ｙ）的所有正整数解为．【答】ｘ＝４８，ｙ＝３２｛， ｘ＝１６０，ｙ＝３２｛．解：因为２０８是４的倍数，偶数的平方数除以４所得的余数为０，奇数的平方数除以４所得的余数为１，所以ｘ，ｙ都是偶数．设ｘ＝２ａ，ｙ＝２ｂ，则ａ２＋ｂ２＝１０４（ａ－ｂ）．同上可知，ａ，ｂ都是偶数．设ａ＝２ｃ，ｂ＝２ｄ，则ｃ２＋ｄ２＝５２（ｃ－ｄ），所以，ｃ，ｄ都是偶数．设ｃ＝２ｓ，ｄ＝２ｔ，则ｓ２＋ｔ２＝２６（ｓ－ｔ），于是（ｓ－１３）２＋（ｔ＋１３）２＝２×１３２，其中ｓ，ｔ都是偶数．所以（ｓ－１３）２＝２×１３２－（ｔ＋１３）２≤２×１３２－１５２＜１１２．所以｜ｓ－１３｜可能为１，３，５，７，９，进而（ｔ＋１３）２为３３７，３２９，３１３，２８９，２５７，故只能是（ｔ＋１３）２＝２８９，从而｜ｓ－１３｜＝７．于是ｓ＝６，ｔ＝４｛；ｓ＝２０，ｔ＝４｛．因此ｘ＝４８，ｙ＝３２｛，ｘ＝１６０，ｔ＝３２｛．另解：因为（ｘ－１０４）２＋（ｙ＋１０４）２＝２×１０４２＝２１６３２，则有（ｙ＋１０４）２≤２１６３２．又ｙ正整数，所以１≤ｙ≤４３．令ａ＝｜ｘ－１０４｜，ｂ＝｜ｙ＋１０４｜，则ａ２＋ｂ２＝２１６３２．因为任何完全平方数的个位数为：１，４，５，６，９，由ａ２＋ｂ２＝２１６３２知ａ２，ｂ２的个位数只能是１和１或６和６．当ａ２，ｂ２的个位数是１和１时，则ａ，ｂ的个位数字可以为１或９．但个位数为１和９的数的平方数的十位数字为偶数，与ａ２＋ｂ２的十位数字为３矛盾．当ａ２，ｂ２的个位数是６和６时，则ａ，ｂ的个位数字可以为４或６．由１０５≤ｂ≤１４７，取ｂ＝１０６，１１４，１１６，１２４，１２６，１３４，１３６，１４４，１４６代入ａ２＋ｂ２＝２１６３２得，只有当ｂ＝５４１３６时，ａ＝５６，即｜ｘ－１０４｜＝５６，｜ｙ＋１０４｜＝１３６｛．解得ｘ＝４８，ｙ＝３２｛； ｘ＝１６０，ｙ＝３２｛．三、解答题（共４题，每题１５分，满分６０分）１１．在直角坐标系ｘＯｙ中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与ｘ轴，ｙ轴的正半轴分别交于Ａ，Ｂ两点，且使得△ＯＡＢ的面积值等于｜ＯＡ｜＋｜ＯＢ｜＋３．（１）用ｂ表示ｋ；（２）求△ＯＡＢ面积的最小值．解：（１）令ｘ＝０，得ｙ＝ｂ，ｂ＞０；令ｙ＝０，得ｘ＝－ｂｋ＞０，ｋ＜０．所以Ａ，Ｂ两点的坐标分别为Ａ（－ｂｋ，０），Ｂ（０，ｂ），于是，△ＯＡＢ的面积为Ｓ＝１２ｂ·（－ｂｋ）．由题意，有１２ｂ·（－ｂｋ）＝－ｂｋ＋ｂ＋３．解得 ｋ＝２ｂ－ｂ２２（ｂ＋３），ｂ＞２．（２）由（１）知Ｓ＝１２ｂ·（－ｂｋ）＝ｂ（ｂ＋３）ｂ－２＝（ｂ－２）２＋７（ｂ－２）＋１０ｂ－２＝ｂ－２＋１０ｂ－２＋７＝（ｂ槡－２－１０ｂ槡－２）２槡＋７＋２ １０≥槡７＋２ １０．当且仅当ｂ－２＝１０ｂ－２时，有Ｓ槡＝７＋２ １０，即当ｂ槡＝２＋１０，ｋ＝－１时，不等式中的等号成立．所以，△ＡＢＣ面积的最小值为槡７＋２ １０．１２．是否存在质数ｐ，ｑ，使得关于ｘ的一元二次方程ｐｘ２－ｑｘ＋ｐ＝０有有理数根？解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令Δ＝ｑ２－４ｐ２＝ｎ２，其中ｎ是一个非负整数．则（ｑ－ｎ）（ｑ＋ｎ）＝４ｐ２．由于１≤ｑ－ｎ≤ｑ＋ｎ，且ｑ－ｎ与ｑ＋ｎ同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：ｑ－ｎ＝２，ｑ＋ｎ＝２ｐ２｛， ｑ－ｎ＝４，ｑ＋ｎ＝ｐ２｛， ｑ－ｎ＝ｐ，ｑ＋ｎ＝４ｐ｛．ｑ－ｎ＝２ｐ，ｑ＋ｎ＝２ｐ｛， ｑ－ｎ＝ｐ２，ｑ＋ｎ｛＝４消去ｎ，解得ｑ＝ｑ２＋１，ｑ＝２＋ｐ２２，ｑ＝５ｐ２，ｑ＝２ｐ，ｑ＝２＋ｐ２２．对于第１，３种情形，ｐ＝２，从而ｑ＝５；对于第２，５种情形，ｐ＝２，从而ｑ＝４（不合题意，舍去）；对于第４种情形，ｑ是合数（不合题意，舍去）．又当ｐ＝２，ｑ＝５时，方程为２ｘ２－５ｘ＋２＝０，它的根为ｘ１＝１２，ｘ２＝２它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．★１２．已知ａ，ｂ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２－２ａｘ＋ｂ＝０的两个实数根为ｘ１，ｘ２，关于ｙ的方程ｙ２＋２ａｙ＋ｂ＝０的两个实数根为ｙ１，ｙ２，且满足ｘ１·ｙ１－ｘ２·ｙ２＝２００８．求ｂ的最小值．解：由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝２ａ，ｘ１·ｘ２＝ｂ；ｙ１＋ｙ２＝－２ａ，ｙ１·ｙ２＝ｂ，即ｙ１＋ｙ２＝－２ａ＝－（ｘ１＋ｘ２）＝（－ｘ１）＋（－ｘ２），ｙ１·ｙ２＝ｂ＝（－ｘ１）·（－ｘ２）｛．解得 ｙ１＝－ｘ１，ｙ２＝－ｘ２｛； 或ｙ１＝－ｘ２，ｙ２＝－ｘ１｛．把ｙ１，ｙ２的值分别代入ｘ１·ｙ１－ｘ２·ｙ２＝２００８得ｘ１·（－ｘ１）－ｘ２·（－ｘ２）＝２００．或ｘ１·（－ｘ２）－ｘ２·（－ｘ１）＝２００８（不成立）．即ｘ２２－ｘ２１＝２００８，（ｘ２＋ｘ１）（ｘ２－ｘ１）＝２００８．因为ｘ１＋ｘ２＝２ａ＞０，ｘ１·ｘ２＝ｂ＞０，所以ｘ１＞０，ｘ２＞０．于是有２ａ·４ａ２－４槡ｂ＝２００８．即ａ·ａ２ －槡ｂ＝５０２＝１×５０２＝２×２５１．因为ａ，ｂ都是正整数，所以ａ＝１，ａ２－ｂ＝５０２｛２或ａ＝５０５，ａ２－ｂ｛＝１或ａ＝２，ａ２－ｂ＝２５１｛２或ａ＝２５１，ａ２－ｂ＝４｛．分别解得：ａ＝１，ｂ＝１－５０２｛２或ａ＝５０２，ｂ＝５０２２｛－１或ａ＝２，ｂ＝２－２５１｛２或ａ＝２５１，ｂ＝２５１２－４｛．经检验只有：ａ＝５０２ｂ＝５０２２｛－１，ａ＝２５１ｂ＝２５１２｛－４符合题意．所以ｂ的最小值为：ｂ最小值＝２５１２－４＝６２９９７．６４１３．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角２倍的△ＡＢＣ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ＡＢＣ的三边长分别为ａ＝６，ｂ＝４，ｃ＝５时，∠Ａ＝２∠Ｂ．（第１３（Ａ）题答案）如图，当∠Ａ＝２∠Ｂ时，延长ＢＡ至点Ｄ，使ＡＤ＝ＡＣ＝ｂ．连接ＣＤ，则△ＡＣＤ为等腰三角形．因为∠ＢＡＣ为△ＡＣＤ的一个外角，所以∠ＢＡＣ＝２∠Ｄ．由已知，∠ＢＡＣ＝２∠Ｂ，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．所以△ＣＢＤ为等腰三角形．又∠Ｄ为△ＡＣＤ与△ＣＢＤ的一个公共角，有△ＡＣＤ∽△ＣＢＤ，于是ＡＤＣＤ＝ＣＤＢＤ， 即ｂａ＝ａｂ＋ｃ，所以 ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ）．而６２＝４×（４＋５），所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．说明：满足条件的三角形是唯一的．若∠Ａ＝２∠Ｂ，可得ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ）．有如下三种情形：（ⅰ）当ａ＞ｃ＞ｂ时，设ａ＝ｎ＋１，ｃ＝ｎ，ｂ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得（ｎ＋１）２＝（ｎ－１）（２ｎ－１）．解得ｎ＝５，有ａ＝６，ｂ＝４，ｃ＝５；（ⅱ）当ｃ＞ａ＞ｂ时，设ｃ＝ｎ＋１，ａ＝ｎ，ｂ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得ｎ２＝（ｎ－１）·２ｎ．解得ｎ＝２，有ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝３，此时不能构成三角形；（ⅲ）当ａ＞ｂ＞ｃ时，设ａ＝ｎ＋１，ｂ＝ｎ，ｃ＝ｎ－１（ｎ为大于１的正整数），代入ａ２＝ｂ（ｂ＋ｃ），得（ｎ＋１）２＝ｎ（２ｎ－１），即ｎ２－３ｎ－１＝０，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的２倍的三角形存在，而且只有三边长分别为４，５，６构成的三角形满足条件．★１３．如图，△ＡＢＣ的三边长ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ都是整数，且ａ，ｂ的最大公约数是２．点Ｇ和点Ｉ分别为△ＡＢＣ的重心和内心，且∠ＧＩＣ＝９０°，求△ＡＢＣ的周长．解：如图，连结ＧＡ，ＧＢ．过Ｇ，Ｉ作直线交ＢＣ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ，作△ＡＢＣ的内切圆Ｉ，切ＢＣ边于点Ｄ．记△ＡＢＣ的半周长为Ｐ，内切圆半径为ｒ，ＢＣ，ＡＣ边上的高线长为ｈａ，ｈｂ．∵Ｓ△ＡＢＣ＝ｒｐ＝ｐ（ｐ－ｑ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ槡），∴ｒ＝（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）（ｐ－ｃ）槡ｐ．易知：ＣＤ＝ｐ－ｃ，在Ｒｔ△ＣＩＥ中，ＤＥ＝ｒ２ｐ－ｃ，即ＤＥ＝（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）ｐ．∴ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ＝（ｐ－ｃ）＋（ｐ－ａ）（ｐ－ｂ）ｐ＝ａｂｐ．又∵ＣＩ⊥ＥＦ，ＣＩ平分∠ＡＣＢ，所以ＣＥ＝ＣＦ．由Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＧ＋Ｓ△ＢＥＧ＋Ｓ△ＡＦＧ＋Ｓ△ＦＥＣ，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ３＋１２×（ａ－ａｂｐ）×ｈａ３＋１２×（ｂ－ａｂｐ）×ｈｂ３＋２×１２×ａｂｐ×ｒ，即 Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ３＋（１２×ａ×ｈａ）×ｐ－ｂ３ｐ＋（１２×ｂ×ｈｂ）×ｐ－ａ３ｐ＋ａｂｐ２×ｒｐ．整理得２ｐ２－ｃｐ＝３ａｂ，即３ａｂ＝２ｐ２－ｃｐ＝ｐ（２ｐ－ｃ）＝ｐ（ａ＋ｂ）．设△ＡＢＣ的周长为ｍ，则ｍ＝２ｐ＝６ａｂａ＋ｂ为整数．由已知（ａ，ｂ）＝２，设ａ＝２ｓ，ｂ＝２ｔ，且（ｓ，ｔ）＝１，ｓ，ｔ都是正整数，代入上式，得ｍ＝１２ｓｔｓ＋ｔ．∵（ｓ，ｓ＋ｔ）＝１，（ｔ，ｓ＋１）－１，∴ｓ＋ｔ是１２的约数，即ｓ＋ｔ＝１，２，３，４，６，１２．不妨设ｓ≥１，则（ｓ，ｔ）＝１，得ｓ＝１，ｔ＝１，ｍ＝６烅烄烆； ｓ＝２，ｔ＝１，ｍ＝８烅烄烆； ｓ＝３，ｔ＝１，ｍ＝９烅烄烆；ｓ＝５，ｔ＝１，ｍ＝１０烅烄烆； ｓ＝１１，ｔ＝１，ｍ＝１１烅烄烆； ｓ＝７，ｔ＝５，ｍ＝３５烅烄烆．经检验，只有 ｓ＝７，ｔ＝５，ｍ＝３５烅烄烆． 符合题意，所以 ａ＝１４，ｂ＝１０，ｃ＝１０或ａ＝１０，ｂ＝１４，ｃ＝１１，即所求△ＡＢＣ的周长为３５．７４１４．从１，２，…，９中任取ｎ个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被１０整除，求ｎ的最小值．解：当ｎ＝４时，数１，３，５，８中没有若干个数的和能被１０整除．当ｎ＝５时，设ａ１，ａ２，…，ａ５是１，２，…，９中的５个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被１０整除，则ａ１，ａ２，…，ａ５中不可能同时出现１和９；２和８；３和７；４和６．于是ａ１，ａ２，…，ａ５中必定有一个数是５．若ａ１，ａ２，…，ａ５中含１，则不含９．于是不含４（４＋１＋５＝１０），故含６；于是不含３（３＋６＋１＝１０），故含７；于是不含２（２＋１＋７＝１０），故含８．但是５＋７＋８＝２０是１０的倍数，矛盾．若ａ１，ａ２，…，ａ５中含９，则不含１．于是不含６（６＋９＋５＝２０），故含４；于是不含７（７＋４＋９＝２０），故含３；于是不含８（８＋９＋３＝１０），故含２．但是５＋３＋２＝１０是１０的倍数，矛盾．综上所述，ｎ的最小值为５．★★１４．已知有６个互不相同的正整数ａ１，ａ２，…，ａ６，且ａ１＜ａ２＜…＜ａ６，从这６个数中任意取出３个数，分别设为ａｉ，ａｊ，ａｋ，其中ｉ＜ｊ＜ｋ．记ｆ（ｉ，ｊ，ｋ）＝１ａｉ＋２ａｊ＋３ａｋ．证明：一定存在３个不同的数组（ｉ，ｊ，ｋ），其中１≤ｉ＜ｊ＜ｋ≤６，使得对应着的３个ｆ（ｉ，ｊ，ｋ）两两之差的绝对值都小于０．５．（征求答案獉獉獉獉）。
初三数学竞赛试题(含答案)-
初三数学竞赛试题班级 姓名一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30AB ＝8cm, 里面空 心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( ) (A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯ 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11.ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C s i n c B s i n b +的值是等于 。
第12-16届“五羊杯”初中数学竞赛试题
第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (1)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (4)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (8)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题 (13)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初二试题 (17)第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题 (21)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初一试题 (27)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初二试题 (33)2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题 (39)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 (43)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题 (47)2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (51)2004年第16届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题 (57)第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初一试题(考试时间：90分钟满分：100分)一、选择题(4选l型，选对得5分，否则得0分，本大题满分50分，)1，已知68 9□□□20 312≈690亿(四舍五入)，那么其中的三位数□□□有( )种填写的方法．(A)1 000 (B)999 (C)500 (D)4992，8 642 097 53l，6 420 875 319，4 208 653 197，2 086 43l 975，864 219 753的平均数是( )．(A)4 444 455 555 (B)5 555 544 444(C)4 999 999 995 (D)5 999 999 9943．图中一共能数出( )个长方形(正方形也算作长方形)。
(A)64 (B)63 (C)60 (D)484．五羊牌电视机连续两次降价20％后，又再降价10％，或者连续两次降价25％，则前者的售价比后者的售价( )，(A)少2％ (B)不多也不少 (C)多5％ (D)多2．4％5．甲、乙两人在长400米的直路上来回慢跑，速度分别为3米/秒和2．5米/秒。
2008年第20届五羊杯初中数学竞赛初三组试题(含答案)
第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题（考试时间：90分钟；满分100分）一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).1. 已知1m =+1n =且()()227143678m m a n n -+--=.则a 的值等于( ). A.5-; B.5; C.9-; D.9. 2. sin 27︒=( ).; ;; .3. 若11111x y z x y z++==++,则,,x y z 中,正数的个数为( ). A.1个; B.2个; C.3个; D.都有可能.4. 有正三棱柱111ABC A B C -,底面边长为1.现将其切去一部分,剩余部分为222ABC A B C -,其中2222,3,5AA BB CC ===,则剩余部分的体积为( ).A.8; B.7; C.6; D. 5. 已知关于x 的一元四次方程420x px qx r +++=有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.①p q r +=可能成立;②p r q +=可能成立;③q r p +=可能成立. A.0; B.1; C.2; D.3. 6. 已知一个平方数的十位数为7,那么它的个位数是( ).A.1;B.4;C.6;D.9.7. 若关于x 的方程20x px q ++=的两根分别为1x 和2x ,11x >,3p q ->-,则2x 与1的关系是( ).A.21x >;B.21x <;C.21x =;D.不能确定. 8. 关于,x y 的方程()2220x y x y +=-的所有整数解(),x y 有( )组.A.4;B.8;C.12;D.16.9. 设二次函数()20y ax bx c a =++≠满足:当01x ≤≤时,1y ≤.则a b c ++的最大值是( ).A.3;B.7;C.12;D.17.10. 44442222123100123100++++++++的值是( ).A.459395; B.159405; C.460595; D.160605. 二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).11. 在边长为2的正方形ABCD 的四边上分别取点E 、F 、G 、H .四边形EFGH 四边的平方和2222EF FG GH HE +++最小时其面积为_____.12. 关于x 24x <+的解为_____. 13. 关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根,且,,a b c 的平均值为2b =,则c 的取值范围是_____.14. 关于x 的方程2231x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭的所有实根的和为_____.15. 设点P 为正三角形ABC 的外接圆的圆弧BC 上不同于B 和C 的点,则判断PA 与PB PC +的关系:PA _____PB PC +(填,,,,≥>=<≤).16. 如图,位置,A B 位于河的两岸,河宽为m ,,A B 之间的水平距离为4m.某人走路速度是游泳速度的2倍,欲从位置A 前往位置B ,采用图中的路线,则夹角α=_____时,所花费的时间最少.17. 平面上过某一点A 的k 条不重合的直线称为关于点A 的直线簇,并且此时称k 为直线簇的阶(注意: k 可以取0,此时直线簇退化为一点A ).若,A B 是平面上两个不重合的点,关于点A 和关于点B 的直线簇的阶之和为8,那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为_____,最小为_____.18. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数.记α=,则16α⎡⎤=⎣⎦_____. 19. 已知整数123,,,x x x …,2008x 满足:①12n x -≤≤,1,2,n =…,2008; ②12x x ++…20082008x +=;③2212x x ++ (2)20082008x +=.则3312x x ++ (3)2008x +的最小值为_____,最大值为_____.20. ()min ,x y 是取,x y 中较小的数的函数, ()max ,x y 是取,x y 中较大的数的函数,例如()min 7,87,=()max 3,44=,则方程()()min 2,37max 52,163x x x x x -+-=+的解为_____.第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题标准答案一、选择题(4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).二、填空题(每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).。
“五羊杯”初中数学竞赛初三试题的研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学“五羊杯”初中数学竞赛初三试题的研究一、选题的背景与意义数学竞赛是发现人才的有效手段之一。
一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们后来的事业中卓有建树。
因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。
十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。
了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。
五羊杯自1989年开办以来，取得了很大的成果，挖掘了许多数学人才。
五羊杯的试题由熟悉中学数学竞赛的教授、专家拟定，题型新颖、趣味性强、有较好的思维训练价值，有利于开拓学生的数学视野，提高学生的数学素质。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容是五羊杯初中数学竞赛初三试题。
研究从1989年举办以来到2010年该竞赛的发展趋势，以及这些试题的解题思路和出题背景。
按照初中的知识点来汇编试题，将试题按题型来分类处理。
并且探索题目的新解法和发展前景。
得出五羊杯初三竞赛应试技巧和策略三、研究的方法与技术路线1、查阅相关资料，搜集1989年到2010的五羊杯数学竞赛初三试题。
2、查找文献，对参考文献中的重要结论加以整理和论证，以文献中解题技巧和思路应用到解试题的过程中。
3、通过知识点进行分类和汇编竞赛试题4、通过自己的思考，老师的指导和同学的讨论，得出新的解题方法和思路5、通过浏览奥数网、博士家园、东方论坛数学板块等发布题目收集更好的解题方法四、研究的总体安排与进度2010.12．1—210.12.15：完成文献综述，文献翻译，开题报告。
2010.12.20: 准备开题，开题论证2011.4.4：完成毕业论文初稿，交由指导老师初审。
2011.4.5－2011.4.15：修改毕业论文初稿，定稿。
2011.4.16—2011.4.29：准备论文答辩PPT。
五羊杯数学竞赛试卷初三
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，能被3整除的是：A. 12345B. 12346C. 12347D. 123482. 若a²+b²=25，且a+b=5，则a-b的值为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4. 已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，则a10的值为：A. 25B. 28C. 31D. 345. 一个正方体的体积是64立方厘米，那么它的对角线长是：A. 4厘米B. 6厘米C. 8厘米D. 10厘米6. 下列函数中，是奇函数的是：A. y=x²B. y=x³C. y=xD. y=x²+17. 若log₂x=3，则x的值为：A. 2B. 4C. 8D. 168. 已知二次方程x²-5x+6=0的两个根分别为a和b，则a²+b²的值为：A. 14B. 15C. 16D. 179. 在等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为：A. 18B. 24C. 36D. 4810. 下列命题中，正确的是：A. 若a>b，则a²>b²B. 若a²=b²，则a=bC. 若a²+b²=0，则a=0且b=0D. 若a²+b²=1，则a和b一定是单位圆上的点二、填空题（每题5分，共50分）11. 若x²-4x+3=0，则x的值为______。
12. 在△ABC中，若∠A=90°，AB=3，AC=4，则BC的长度为______。
13. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S10=______。
14. 若log₃x=2，则x的值为______。
“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案)(K12教育文档)
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第十二届“五羊杯"初中数学竞赛试题初三试题（考试时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(4选l 型，选对得5分,否则得0分．本大题满分50分．) 1．方程x ＝3-5535x 3++ 的根是x ＝（ )．（A)4—15 (B ）4+15 （C)15—4 (1）)3-52．设x ＝2-3，则x 7+3x 6-10x 5—29x 4++x 3—2x 2+x －l 的值为（ ）．(A)610-2-323+ （B ） 6102323+++ （C) 6102-327-++ (D ） 6102327+++ 3．若32x＝6·22x—5·6x ,则( ）．(A)2x>3x(B)2x<3x, （C ）2x>3x或2x〈3x都有可能 (D ）以上三者都不对4．如图，两条平行直线m ，n 上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连( ）条直线．（A)20 （B)36 （C ）34 (D ）225．图中一共可以数出( )个锐角． （A ）22 (B)20 (C)18 （D)156．设[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，E 3]＝3，则 ]200220012000[...5]43[]432[]321[3333⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=( ）． （A ）2 000 000 （B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 001 7．如图,长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可以找出( )对．（A)8 (B ）7 (C ）6 （D)48．设A 2＝0．012 345 678 987 654 321×（1+2+3 +……+9+……+3+2+1），B 2＝0，012 345 679，则9·109(1-|A|)B ＝ ( )．(A ）10 （B ）±10 （C ）l (D)±l9．如图,正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并夹在平行线AB 与CD 之间．若PA ＝17，PB ＝2 ，PC ＝5 ，则PD ＝( )， (A)25 （B)19 （C ）32 （D)17 10．如图，D 是△ ABC 的边AB 延长线上一点，DE ∥BC ，E 在AC 延长线上，EF ∥AB ，F 在BC 延长线上，已知S △ADE ＝m ，S △EFC ＝n ，则S 四边形BFED＝（ ）．（A)4mn (B ）3mn （C ）2mn (D) mn二、填空题（每小题填对得5分,不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分)1．分解因式：(x 4+x 2—4)（x 4+x 2+3）+10＝ ．2。
2008年全国 初中数学联赛(含答案)
12008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11.【答案】B【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程2310x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ）EFDCBA2A ．185B ．4C ．215D ．245【答案】D【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，于是AEF ABC △∽△，故35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4sin 5BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=．故选D3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）A ．15B ．310C ．25D ．12. 【答案】C【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．所以所组成的数是3的倍数的概率是82205=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=o ，132ACB ∠=o ，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ）3A ．BM CN >B ．BM CN =C ．BM CN <D ．BM 和CN 的大小关系不确定【答案】B【解析】 ∵12ABC ∠=o ，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1(18012)842MBC ∠=-=o o o．又180********BCM ACB ∠=-∠=-=o o o o ，∴180844848BMC ∠=--=o o o o ，∴BM BC =．又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=-∠=-=o o o o，∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠o o o 168(13224)=-+o o o12ABC ==∠o ，∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．598⎛⎫⎪⎝⎭. D ．98.【答案】B.【解析】 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为4()()98110%120%1010kn kkn ka a --⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中k 为自然数，且0k n ≤≤．要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010in ia -⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1188(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，44981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中i 为不超过n 的自然数.所以r 的最小值为44498910108981010i n i i n ia a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 6．已知实数x ，y 满足(22200820082008x x y y --=，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）A ．2008-B ．2008C ．1-D ．1.【答案】D ．【解析】 ∵(22200820082008x x y y --=，∴222200820082008x x y y y y -=---222200820082008y y x x x x -=---由以上两式可得x y =．所以(2220082008x x -=，解得22008x =，所以522222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．故选D ．二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．设51a -，则5432322a a a a a a a +---+=- ． 【答案】 2-【解析】 ∵2251351a a --==-⎝⎭，∴21a a +=， ∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----． 2．如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 为BD 所在直线上的两点，且5AM 135MAN ∠=o ，则四边形AMCN 的面积为 ．【答案】 52【解析】 设正方形ABCD 的中心为O ，连AO ，则AO BD ⊥，2AO OB = ()222223252MO AM AO ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭O MND CBA6∴2MB MO OB =-又135ABM NDA ∠=∠=o ，13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=--∠o o 45MAB AMB =-∠=∠o ，所以ADN MBA △∽△，故AD DN MB BA =，从而212AD DN BA MB =⋅=． 根据对称性可知，四边形AMCN 的面积1122522222222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯+=⎝△． 3．已知二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为m ，n ，且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分别为p ，q ，则p q += ．【答案】 12【解析】 根据题意，m ，n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根，所以m n a +=-，mn b =．∵1m n +≤，∴1m n m n ++≤≤，1m n m n -+≤≤．∵方程20x ax b ++=的判别式240a b ∆=-≥，∴22()1444a m nb +=≤≤． 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--+--≥≥，故14b -≥，等号当且仅当12m n =-=时取得；22244()()1()1b mn m n m n m n ==+----≤≤，故14b ≤，等号当且仅当12m n ==时取得．7所以14p =，14q =-，于是12p q +=．4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 ．【答案】 1【解析】 21到23，结果都只各占1个数位，共占133⨯=个数位；24到29，结果都只各占2个数位，共占2612⨯=个数位；210到231，结果都只各占3个数位，共占32266⨯=个数位；232到299，结果都只各占4个数位，共占468272⨯=个数位；2100到2316，结果都只各占5个数位，共占52171085⨯=个数位；此时还差2008(312662721085)570-++++=个数位．2317到2411，结果都只各占6个数位，共占695570⨯=个数位．所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是2411的个位数字，即为1．第二试 （A ）一．（本题满分20分）8已知221a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值．【解析】 整理不等式①并将221a b +=代入，得2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ ②在不等式②中，令0x =，得0a ≥；令1x =，得0b ≥．易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥．由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=． 又因为0a ≥，所以62a -或62a +，9于是方程组③的解为6262a b ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以ab 的最小值为14，此时,a b 的值有两组，分别为 62a -，62b +和62a +=，62b -=．二．（本题满分25分）如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =．⑴ 证明：点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值．【解析】 ⑴ 连OA ，OB ，OC ，AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠．因为OD AB ⊥，DB BC ⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=-∠=-∠=∠o o ，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上．⑵ 设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知CE OABD10BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=． 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以BDO ABC △∽△，所以BD BOAB AC=，即2r a l y =，故2al r y =．所以322222224422a l a aS S a S r y y y y ⎛⎫==⋅=⋅ ⎪⎝⎭≥，即2S r 其中等号当a y =时成立，这时AC是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r 2S三．（本题满分25分）设a 为质数，b 为正整数，且()()2925094511a b a b +=+①求a ，b 的值.【解析】 ①式即2634511509509a b a b++⎛⎫= ⎪⎝⎭，设63509a b m +=，4511509a b n +=，则 509650943511m a n ab --== ②故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+=③由①式可知，2(2)a b +能被509整除，而509是质数，于是2a b +能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．11不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解．②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解． ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =．此时方程③的解为3m =或5023m =（舍去）． 把251a =，3m =代入②式，得5093625173b ⨯-⨯==．第二试 （B ）12一．（本题满分20分）已知221a b +=，对于满足条件1x y +=，0xy ≥的一切实数对()x y ，，不等式220ay xy bx -+≥ ①恒成立.当乘积ab 取最小值时，求a ，b 的值.【解析】 由1x y +=，0xy ≥可知01x ≤≤，01y ≤≤．在①式中，令0x =，1y =，得0a ≥；令1x =，0y =，得0b ≥．将1y x =-代入①式，得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥，即()()21210a b x a x a ++-++≥ ②易知10a b ++>，21012(1)a ab +<<++，故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．由题设知，不等式②对于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立，所以它的判别式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤，即14ab ≥由方程组221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ③ 消去b ，得42161610a a -+=，所以223a -或223a +=，13又因为0a ≥，所以62a -或62a +． 于是方程组③的解为6262ab ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩或6262a b ⎧+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以满足条件的a ，b 的值有两组，分别为62a -=，62b +和62a +，62b -= 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设a 为质数，b ，c 为正整数，且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩①②14求()a b c +的值.【解析】 ①式即266341022511509509a b c a b c+-+-⎛⎫=⎪⎝⎭， 设663509a b c m +-=，41022511509a b cn +-=，则5096509423511m a n ab c ---== ③ 故351160n m a -+=，又2n m =，所以2351160m m a -+= ④由①式可知，2(22)a b c +-能被509整除，而509是质数，于是22a b c +-能被509整除，故m 为整数，即关于m 的一元二次方程④有整数根，所以它的判别式251172a ∆=-为完全平方数．不妨设2251172a t ∆=-=（t 为自然数），则2272511(511)(511)a t t t =-=+-．由于511t +和511t -的奇偶性相同，且511511t +≥，所以只可能有以下几种情况：①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得3621022a +=，没有整数解． ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1841022a +=，没有整数解．③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得1261022a +=，没有整数解． ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得6121022a +=，没有整数解．15⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得4181022a +=，解得251a =． ⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加，得2361022a +=，解得493a =，而4931729=⨯不是质数，故舍去．综合可知251a =，此时方程④的解为3m =或5023m =（舍去）． 把251a =，3m =代入③式，得50936251273b c ⨯-⨯-==，即27c b =-．代入②式得(27)2b b --=，所以5b =，3c =，因此()251(53)2008a b c +=⨯+=．。
2008年全国初中数学竞赛从化市预选赛试选赛试卷(含解答)-5
2008年全国初中数学竞赛从化市预选赛试卷（全卷满分为120分, 考试时间120分钟）一、选择题(共6小题，每题5分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是对的，请选出来，填入答题卷相对应的表格中.)1.化简0|1|(1)x x x -+-+的结果为（ ）（Ａ）2 （Ｂ）2x （Ｃ）0 （Ｄ）2x + 2.实数a 、b 满足1ab =,若11,1111a b P Q a b a b=+=+++++，则P 、Q 的关系为( ) （Ａ）P Q > （Ｂ）P Q < （Ｃ）P Q = （Ｄ）()P a b Q =+ 3.某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。
某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他把这两次购物合成一次，则他可以少支付（ ） （Ａ）30.6元 （Ｂ）68.2元 （Ｃ）80.6元 （Ｄ）118.2元4.在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=8，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ）（Ａ）24 （Ｂ）32 （Ｃ）36 （Ｄ）485.在直角坐标系中，横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点.设k 为整数，若直线3y x =-与y kx k =+的交点为整点，则k 的可能值有（ ）（Ａ）2个 （Ｂ）4个 （Ｃ）6个 （Ｄ）7个6.已知,,,a b c d 是非零实数，c 和d 是方程20x ax b ++=的解, a 和b 是方程20x cx d ++=的解, 则a b c d +++的值为（ ）（Ａ）1- （Ｂ）2 （Ｃ）1 （Ｄ）2-二、填空题（共6题，每题5分，共30分，直接把最简答案填写在答卷中对应的横线上.） 7.化简：2()______.a ba b b a ----=8.如图1，90 C E O∠=∠=，3AC =，4BC =，2AE =，则DE =________ ___.ABCDE234图19.三条边长分别为2、3、8的等腰梯形的周长是 . 10.已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点， O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_____ ___. 11.如图2，D 、E 分别是ABC △的边BC 和AB 上的点，ABD △与ACD △的周长相等，CAE △与CBE △的周长相等．若BC a =，AC b =，AB c =,则BD 的长为_________________．12. 设,,a b c 表示一个三角形三边的长，且它们都是自然数，其中a b c ≤≤，如果2008b =，则满足此条件的三角形共有 个.ABCDE图22008年全国初中数学竞赛从化市预选赛试卷答题卷学校 考号 姓名一、选择题(共6小题，每题5分，共30分。
2008年广东省初中数学竞赛初赛试题及参考答案
2008年广东省初中数学竞赛初赛试题说明：1．本卷考试时间为60分钟，共30小题，每小题4分，满分120分。
以下每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入答题栏里。
不填、多填或错填都得0分。
2．答卷前，考生必须将自己的姓名、考号、学校按要求填写在密封线左边的空格内。
3．答题可用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔按各题要求答在试卷上，但不能用铅笔或红笔，解答书写时不要超过装订线。
4．考试结束时，将试卷交回，草稿纸不用上交。
1．22(3)9x m x m --+=是一个多项式的平方，则（ ） A ．6 B ．12 C ．6或0 D ．0或1522．若1a ≤（ ）A ． 1a -（B ．(1a -C ．1a -（D ．a -（13．已知2222()8 ()12 a b a b a b +=-=+，，则的值为（ ） A ．10 B ．8 C ．20 D ．44．关于x 的方程22(81)8 kx k x k k ++=-有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ） A ．116k >-B ．1016k k ≥-≠且C ．116k =-D ．1016k k >-≠且 5．已知a b c 、、为ABC 的三边，且关于x 的一元二次方程2)2()()0c b x b a x a b -+-+-=（有两个相等的实根，则这个三角形是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．不等边三角形 6．已知：三个数a b c 、、的积为负数，和为正数，且a b c ab ac bcx a b c ab ac bc=+++++，则321ax bx cx +++的值为（ ）A ．0B ．1C ． 2D ．－17．若实数a b 、满足等式2273 73,b aa ab b a b=-=-+，则代数式之值为（ ） A ．237- B ．237 C ．2327-或 D ．2327或8．若α为锐角，且cos α=0.6，则（ ）A ．030α︒<<︒B ．3045α︒<<︒C ．4560α︒<<︒D ．6090α︒<<︒ 9．如果 (0)x a a x x x a -=-≠≠，=（ ） A ．2a B ．2x C ．2a - D ．2x -10．如图，AD ∥BC ，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4，若在边DC 上有一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，则这样的点P 存在的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．化简：22(1)(1)a a +--=（ ）A ．2B ．4C ．4aD ．222a +12．如图，点A 在平行四边形的对角线上，试判断12S S ，之间的大小关系（ ）A ．12S S =B ．12S S >C ．12S S <D ．无法确定13．如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点DBC ⊥AD 于点C ，AB=2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ） A ．2 B ．1 C ．1.5 D ．0.514．如图，O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，则OD ：OE ：OF=（ ） A ．::a b c B ．111::a b cC ．cosA:cosB:cosCD ．sinA:sinB:sinC 15．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8，BC=10，则tan ∠EFC 的值为（ ）A ．34B ．43C ．35D ．4516．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截成三等分，则图中四边形EFGH 的面积为（ ）A ．24cm B ．2 C ．2 D ．217．某商店经销一批衬衣，每件进价为a 元，零售价比进价高%m ，后因市第10题第12题A S 1S 2第14题O F E D CB第15题F ED CBA第16题H GF ECBA场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的%n 出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（ ）A ．(1%)(1%)a m n +-元B ．%(1%)am n -元C ．(1%)%a m n +元D ．(1%%)a m n + 元18．三人同行，有两个性别相同的概率是（ ） A ．1 B ．0 C ．13 D ．2319．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿轴正方向连续翻转2008次，点P 依次落在点12342007P P P P P ，，，，，的位置，则20072007P x =的横坐标（ ）A ．2001B ．2004C ．2007D ．2010 20．已知1231235x x x y y y ，，的平均数为，，，的平均数为7，则1122323 23 23x y x y x y +++，，的平均数为（ ） A ．31 B ．313 C ．935D ．1721．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点P 在AD 上，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 等于（ ） A ．75 B ．125 C ．135 D ．14522．如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线l 上 取一点P ，使得∠APB=30°，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．不存在23．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形， 设△AFC 的面积为S ，则（ ）A ．S=2B ．S=2.4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关 24．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面 一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是（ ）A ．2π B． C． D ．5第21题PFE DC BA第23题GF E DCBA 第24题A P25．正三角形ABC 所在平面内有一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形，则这 样的P 点有（ ）A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个26．在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文26个字母a b c z ，，，，，（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格），当明码对应的序号x 为奇数时，密码对应的序号12x y +=；当明码对应的序号x 为偶数时，密码对应的序号13xy =+．A ．gauqB ．shxcC ．sdriD ．love 27．将点A （4，0）绕着原点O 顺时针方向旋转30°角到对应点A ＇，则点A ＇的坐标是（ ） A ． B ．（4，－2） C ．2-） D ．2-（， 28．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于M （0，2），N （0，8）两点，则点P 的坐标是（ ） A ．（5，3） B ．（3，5） C ．（5，4）D ．（4，5） 29．如图所示，二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1212 21 01x x x x <<-<<，其中-，，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④28b a +>A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 30．观察下列三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … …则第50行的最后一个数是（ ）A ．1225B ．1260C ．1270D ．08年广东省初中数学竞赛初赛试题答案。
初三数学竞赛试题及参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解． 故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）． 4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
2008年九年级数学竞赛试题(2)(含答案)-
2008年九年级数学竞赛试题（本试卷满分120分，考试时间：上午9∶00－11∶00）一、选择题（共有8小题，每小题5分，满分40分） 1. 将正偶数按下表排成5列第1列 第2列第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 ……根据上面排列的规律,2008年应排在( ) A. 第502行第1列 B. 第250行第5列 C. 第251行第4列 D. 第251行第5列2．在同一坐标平面内，图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ） Ａ．22(1)1y x =+- Ｂ．223y x =+ Ｃ．221y x =--Ｄ．2112y x =- 3．在方程组⎩⎨⎧=-=+62y x my x 中，已知xy<0，则m 的取值范围是（ ）(A) -3＜m ＜6 (B) -6＜m ＜3 (C) m ＞3 (D) m ＜-6，4．将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一记号，每4cm 也作一记号，然后从有记号 的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）A ．37B ．36C ．35D ．345．如图，⊙O 的圆心在梯形ABCD 的底边AB 上，并与其它 三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB 长为( )A 、4B 、5C 、6D 、无法确定 6．如图，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB 的方程为y ＝33－x ＋33，则cos α＝（ ）A.21B.22C.23D.33 7.将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为,,a b c ，则,,a b c 正好是直角三角形三边长的概率是（ ） A.1216 B.172 C.136D.112学校________________ 班级___________________ 姓名______________________考号_________________………………………………………………装…………………订………………………………………线……………………………………………………8. 如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（ ） A.310B.13C.25D.49二、填空题（有6小题，每小题5分，共30分） 9．若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 值有 个. 10．如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方案摆下去,当每边上摆2008根火柴棒时,共需要摆 根火柴棒.11.已知方程()0332=+-+x a x 在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1 小于2，则a 的取值范围是 ．12. 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC, AD ⊥BD 于D, F 为AC 中点，AB = 5,BC = 7, 则DF = . 13．如图,在直角梯形ABCD 中,AB=BC=4,M 为腰BC 上一点,且△A DM 为等边三角形, 则S △CDM ：S △ABM = .14. 设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，且++21x x …5-=+n x ，++2221x x …192=+n x ，则++5251x x …5n x +的值是 ．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分） 15.已知a,b,c 是实数,且a=2b+2,ab+23c 2+41=0,求a b— c 的值.第8题DA2008根第10题 ABF D第12题 MDCBA第13题16．某中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．17. 如图，已知点O是锐角三角形ABC的外心，过A、B、O三点的圆交AC、BC于E、F，且EF=OC，（1）求证：OC⊥EF，（2）求∠ACB的度数.18.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图像的顶点为M 。
自编五羊杯试题及解析
“五羊杯”初中数学竞赛初一试题一、 选择题（4选1型，每小题选对得5分，否则得0分. 本大题满分50分.）1、规定)1(1......)2()1(1)1(1*+⨯+++⨯+++⨯=b b a a a a b a ，（其中，**b ,a N N b a ∈∈<且）那么=2011*1（ ）. A.20122011 B.20112010 C.201211+ D.201111+ 2、求5011370132451413791⨯+⨯+⨯= （ ）. A.6514 B.458 C.1311 D.11759 3、某校举办数、理、化三种学科竞赛. 其中，参加数学竞赛的学生有57人，参加化学竞赛的学生有78人，参加物理竞赛的学生有66人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有13人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的学生有8人，既参加化学竞赛又参加物理竞赛的学生有5人. 三种竞赛都参加的学生有3人. 则报名参加学科竞赛的学生一共有（ ）人.A.201B.175C.178D.1814、有一家商店卖苹果，14个小时内卖出了782个，其中第一个小时卖出了23个，第二个小时卖出了56个，如果测算这家商店每个小时卖出的苹果数目，则（ ）不成立.A.必有连续2个小时至少卖了118个苹果B.必有连续3个小时至少卖了176个苹果C.必有连续4个小时至少卖了235个苹果D.必有连续6个小时至少卖了353个苹果5、右图中可以数出（ ）个长方形. A. 450 B.350 C.225 D.1256、已知2008年2月1日是星期五，那么，2008年5月4日是（ ）.A.星期一B.星期五C.星期六D.星期日7、已知现在是中午12点整，那么，经过（ ）分钟后，时针与分针第一次反向（即两针夹角为0180）.A.11360 B.11270 C.13360 D.13270 8、已知下面图形经过折叠后可围成一个正方体，则所围成的正方体中，“竞”字的对面是（ ）字.A. 赛B. 学C. 数D. 理9、小陈在玩“扫雷”游戏，下图是“扫雷”游戏的一部分，规则如下：图中数字n 表示在以该数字为中心的8个方格中有n 个地雷(n=1,2,3)，笑脸表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A 、B 、C 、D 四个方格未被探明，其它地方为安全区，没有地雷（包括有数字的方格）。
初三竞赛数学试题及答案
初三竞赛数学试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值：A. 2, 3B. -2, 3C. -3, 2D. 1, 43. 一个圆的半径为r，若圆的周长为2πr，则圆的面积是：A. πr^2B. 2πrC. πrD. r^24. 函数y = 3x - 2的图象与x轴交点的坐标是：A. (0, -2)B. (2/3, 0)C. (0, 0)D. (2, -3)5. 若一个数的平方根等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或16. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的对角线的长度是：A. √(a^2 + b^2)B. √(a^2 + b^2 + c^2)C. √(a^2 + b^2 + c)D. √(a + b + c)二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是______。
2. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。
3. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。
4. 一个数的倒数是它本身，这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个等差数列的首项a1=2，公差d=3，求这个数列的前10项的和。
2. 解不等式：2x - 5 > 3x - 1。
3. 证明：对于任意正整数n，n^3 - n^2 - n + 1能被6整除。
4. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，求斜边的长度。
5. 一个圆的半径为5，求圆的内接正六边形的边长。
答案：一、选择题1. B2. A3. A4. B5. A6. B二、填空题1. 0, 1, -12. 非负数3. 04. ±1三、解答题1. 等差数列前n项和公式为S_n = n/2 * (a1 + an)，其中an = a1 + (n-1)d。
五羊杯竞赛真题答案解析
五羊杯竞赛真题答案解析近年来，五羊杯竞赛已经成为了中国学生中备受瞩目的数学竞赛。
这项竞赛的试题涵盖了数学的各个领域，既考察了学生的基础知识，又考察了他们的逻辑思维和解题能力。
本文将针对最近一年的五羊杯竞赛试题中的若干题目，进行详细解析。
第一道题目是关于概率的。
试题给出了一个某市学生课程的调查结果，并要求计算不同课程被学生选择的概率。
这道题目不仅要求学生具备对概率概念的理解，还要求他们能够运用计数原理和比例的概念进行计算。
解答这道题目，首先需明确所求事件和样本空间，然后分别计算出各个事件对应的样本点数目，最后用样本点数目除以样本空间的大小即可得到所求的概率。
第二道题目是一道数列题。
试题给出了一个数列的前几项，要求学生推测数列的递推公式，并计算出第n项的值。
这道题目要求学生熟练掌握数列的基本概念和性质，能够通过观察数列的规律进行递推。
解答这道题目，首先需观察给出的前几项是否可以找到一个明显的规律，如果无法找到规律，则可以考虑运用数列的性质和递推关系进行分析。
最后，通过递推公式计算出第n项的值。
第三道题目是一道几何题。
试题给出了一个平行四边形和一个角度，要求学生判断给出的角度是否为平行四边形的内角，并给出理由。
这道题目要求学生掌握平行四边形的性质，尤其是内角和外角之和等于180度的性质。
解答这道题目，首先需根据给出的条件画出平行四边形，并标注出所要判断的角度，然后利用平行四边形的性质进行计算，最后给出结论及理由。
通过分析和解答这几道题目，我们可以看出五羊杯竞赛的试题不仅考察了学生的基础知识，还要求学生具备较强的逻辑推理和问题解决能力。
在解答这些数学问题时，学生应该注重理论知识的掌握，同时注重对问题的整体把握，多角度思考和解决问题。
这不仅可以帮助他们在竞赛中脱颖而出，还能培养他们的创造思维和解决问题的能力。
除了理论知识和解题能力的培养，五羊杯竞赛也具有很强的竞争性和激励性。
参加这项竞赛的学生不仅可以和全国各地的优秀学生进行比拼，还可以通过竞赛的成绩来获得学校和社会的认可。
2008年第20届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷
2008年第20届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两根，且（7m2－14m＋a）（3n2－6n－7）＝8，则a 的值等于（）A．－5B．5C．－9D．92．sin27°＝（）A BC D3．若11111x y z x y z++==++，则x，y，z中，正数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．都有可能4．有正三角形ABC，边长为2．D、E分别是AB、AC的中点，则梯形BCED面积为（）A B C D5．已知关于x的一元四次方程x4＋px2＋qx＋r＝0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（）个①p＋q＝r可能成立；②p＋r＝q可能成立；③q＋r＝p可能成立．A．0B．1C．2D．36．已知一个平方数的十位数为7，那么它的个位数是（）A．1B．4C．6D．97．若关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1和x2，x1＞1，p－q＞－3，则x2与1的关系是（）A．x2＞1B．x2＜1C．x2＝1D．不能确定8．关于x，y的方程x2＋y2＝20（x－y）的所有整数解（x，y）有（）组．A．4B．8C．12D．169．设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）满足：当0≤x≤1时，|y|≤1．则|a|＋|b|＋|c|的最大值是（）A．3B．7C．12D．1710．44442222123100123100+++++++的值是（）A．459395B．159405C．460595D．160605二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．在边长为2的正方形ABCD的四边上分别取点E、F、G、H．四边形EFGH四边的平方和EF2＋FG2＋GH2＋HE2最小时其面积为．12．关于x的不等式24112xx x++-+＜的解为．13．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，且a，b，c的平均值为b＝2，则c 的取值范围是．14．关于x的方程2211x xx x⎛⎫+=⎪++⎝⎭，方程的所有的所有实根的和为．15．设点P在等边三角形ABC的外接圆的劣弧BC上（与B、C点不重合），则判断P A与PB＋PC的大小关系：P A PB＋PC．16．如图，位置A，B位于河的两岸，河宽为m，A，B之间的水平距离为4m．某人走路速度是游泳速度的2倍，欲从位置A前往位置B，采用图中的路线，则夹角α＝时，所花费的时间最少．17．平面上过某一点A的k条不重合的直线称为关于点A的直线簇，并且此时称k为直线簇的阶（注意：k可以取0，此时直线簇退化为一点A）．若A，B是平面上两个不重合的点，关于点A和关于点B的直线簇的阶之和为8，那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为，最小为．18．已知[x]表示不超过x的最大整数．记α，则[α16]＝．19．已知整数x1，x2，x3，…，x2008满足：①－1≤x n≤2，n＝1，2，…，2008；②x1＋x2＋…＋x2008＝200；③x12＋x22＋…＋x20082＝2008．则x13＋x23＋…＋x20083的最小值为，最大值为．20．min（x，y）是取x，y中较小的数的函数，max（x，y）是取x，y中较大的数的函数，例如min（7，8）＝7，max（3，4）＝4，则方程min（2x，3x－7）•max（5x＋2，x－1）＝6x＋3的解为．。
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第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题
（考试时间：90分钟；满分100分）
一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).
1. 已知1m =+1n =且()()
227143678m m a n n -+--=.则a 的值等于( ). A.5-; B.5; C.9-; D.9. 2. sin 27︒=( ).
; ;
; .
3. 若
1111
1x y z x y z
++==++,则,,x y z 中,正数的个数为( ). A.1个; B.2个; C.3个; D.都有可能.
4. 有正三棱柱111ABC A B C -,底面边长为1.现将其切去一部分,剩余部分为222ABC A B C -,
其中2222,3,5AA BB CC ===,则剩余部分的体积为( ).
A.
8; B.7; C.6
; D. 5. 已知关于x 的一元四次方程4
2
0x px qx r +++=有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.
①p q r +=可能成立;②p r q +=可能成立;③q r p +=可能成立. A.0; B.1; C.2; D.3. 6. 已知一个平方数的十位数为7,那么它的个位数是( ).
A.1;
B.4;
C.6;
D.9.
7. 若关于x 的方程2
0x px q ++=的两根分别为1x 和2x ,11x >,3p q ->-,则2x 与1的关系是( ).
A.21x >;
B.21x <;
C.21x =;
D.不能确定. 8. 关于,x y 的方程()2
2
20x y x y +=-的所有整数解(),x y 有( )组.
A.4;
B.8;
C.12;
D.16.
9. 设二次函数()20y ax bx c a =++≠满足:当01x ≤≤时,1y ≤.则a b c ++的最大值是( ).
A.3;
B.7;
C.12;
D.17.
10. 4444
2
222
123100123100+++++++
+的值是( ).
A.45939
5; B.159405; C.460595; D.160605
. 二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).
11. 在边长为2的正方形ABCD 的四边上分别取点E 、F 、G 、H .
四边形EFGH 四边的平方和2
2
2
2
EF FG GH HE +++最小时其面积为_____.
12. 关于x 2
4
x <+的解为_____. 13. 关于x 的方程2
0ax bx c ++=有两个不相等的实根,且,,a b c 的平均值为2b =,则c 的取值范围是_____.
14. 关于x 的方程2
2
31x x x ⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭
的所有实根的和为_____.
15. 设点P 为正三角形ABC 的外接圆的圆弧BC 上不同于B 和C 的点,则判断PA 与
PB PC +的关系:PA _____PB PC +(填,,,,≥>=<≤).
16. 如图,位置,A B 位于河的两岸,河宽为m ,,A B 之间的水平
距离为4m.某人走路速度是游泳速度的2倍,欲从位置A 前往位置B ,采用图中的路线,则夹角α=_____时,所花费的时间最少.
17. 平面上过某一点A 的k 条不重合的直线称为关于点A 的直线簇,并且此时称k 为直线簇的阶(注意: k 可以取0,此时直线簇退化为一点A ).若,A B 是平面上两个不重合的点,关于点A 和关于点B 的直线簇的阶之和为8,那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为_____,最小为_____.
18. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数.记α=,则16
α⎡⎤=⎣⎦_____. 19. 已知整数123,,,x x x …,2008x 满足:
①12n x -≤≤,1,2,n =…,2008; ②12x x ++…20082008x +=;
③2212x x ++ (2)
20082008x +=.
则3312x x ++ (3)
2008x +的最小值为_____,最大值为_____.
20. ()min ,x y 是取,x y 中较小的数的函数, ()max ,x y 是取,x y 中较大的数的函数,例如
()min 7,87,=()max 3,44=,则方程()()min 2,37max 52,163x x x x x -+-=+的解为_____.
第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题
标准答案
一、选择题(4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).
二、填空题(每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).。