第十二讲习题课

2 xy x 0 x 1,0 y 2 f(x,y) 3 其它 0
求 P{ X Y 1}
2 N(0, σ ) 4．随机变量X与Y独立且均服从正态分布， 求 P{ X2 Y2 a},(a 0)
5.判断X与Y的独立性。
1 1 x 0,| y | x f(x,y) 其它 0
二、多个随机变量函数的密度函数
1、一般的方法：分布函数法
若(X1, X2, …, Xn)~f (x1, x2, …, xn),
(x1, x2, …, xn)Rn, Y=g(X1, X2, …, Xn),
则可先求Y的分布函数: FY ( y ) P{Y y} P{g( X1 ,...,Xn ) y}
x0 x0 y0 y0
其中>0，>0,试分别就以上两 种联结方式写出L的寿命Z的概 率密度．
小结
多维随机变量
离散型——分布律 归一性 概率计算 分布函数与分布立场律的互变 边缘分布律 分布函数 归一性 概率计算
二维随机变量函数的分布
连续型——概率密度 归一性 概率计算 分布函数与概率密度的互变 边缘概率密度 均匀分布 正态分布

f Z ( z)


f ( z y, y)dy
或
－

z
f ( x, z x)dx.
x+y=z
若X与Y相互独立，则Z＝X＋Y的 密度函数
x+y z
fZ ( z )

f

X
( z y )f Y ( y )dy ＝ f X ( x )f Y ( z x )dx.

或
例1. 设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分 布，求证：Z=X+Y服从N（0，2）分布。 一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi 服从正态分布N(i ,i2),i=1,...,n, 则
a X
i 1 i
n
i
~ N ( ai i , a )
i 1 i 1 2 i 2 i
FN ( z ) 1 [1 Fi ( z )].
i 1 n
特别，当X1, X2, …, Xn独立同分布(分布函 数相同)时，则有
FM(z)＝[F(z)] ;
FN(z)＝1－[1－F(z)] .
n
n
进一步地，若X1, X2, …, Xn独立且具相同 的密度函数f (x)，则M和N的密度函数分别由以 下二式表出 fM(z)＝n[F(z)]
n－1
f (z)；
n－1
fN(z)＝n[1－F(z)]
f (z).
例3. 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成，联 接的方式分别为(i)串联，(ii)并联，如图所示设L1,L2 的寿命分别为X与Y，已知它们的概率密度分别为
e x f X ( x) 0 e y fY ( y ) 0

g ( x1 ,...,x n ) y
...
f ( x1 ,..., x n )dx1 ...dxn ;

然后再求出Y的密度函数:
dFY ( y ) fY ( y ) FY ( y ) . dy
2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布
已知(X, Y)～f(x, y), (x, y)R2, 求Z＝X＋Y 的密度。
n
n
例2.卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg) 服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为 2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载 的概率不超过0.05.
解:设最多装n袋水泥,Xi为第i袋水泥的重量.则 由题意,令 P{ X i 2000 } 0.05
i 1 n n
6. 有一矩形目标，长边长为20，短边长为10. 火炮 向该矩形目标射击，射向垂直于长边.瞄准点是长
边中心.以目标中心为原点，射向为x轴方向，建立
坐标系，弹着点坐标为(X,Y), 且设X与Y独立，又
设, X ~ N(5,202 ) , Y ~ N(0,102 ) ,求命中目标的概率.
7.设保险公司为10件产品进行寿命保险,每件交纳10 元保费，若产品在5年内因质量问题而报废，则可获 赔 100 元 ， 假 设 该 种 产 品 的 寿 命 服 从 正 态 分 布 N(6,0.52), 求保险公司赔本的概率 . （不考虑利息等 其它因素）
8. 设随机变量X，Y，Z独立且均服从参数为p的两点 分布，求随机变量XY-Z的分布律.
2 X ~ N ( 50 n , 2 . 5 n) i i 1 n
2000 50n P{ X i 2000 } 1 ( ) 0.05 2.5 n i 1
查 2000 50n 2000 50n ( ) 0.95 表 1.645 2.5 n 2.5 n 得
n 39
2、极大(小)值的分布 设X1, X2, …, Xn相互独立，其分布函数分别为 F1(x1),F2(x2), …, Fn(xn)，记 M＝max{X1, X2, …, Xn }, N＝min{X1, X2, …, Xn } 则，M和N的分布函数分别为：
FM(z)＝F1(z) … Fn(z)
边缘分布函数
独立性
习题课
1.y ) x 0, y0 F(x, y) b 其它
(1) 参数a,b (2)
P{X 1, Y 1}.
(3)概率密度.
2.同时掷两颗骰子，以X表示其中小的点数，以Y 表示其中大的点数.求二维随机变量(X,Y)的分布律. 3. 随机变量X与Y的联合概率密度为