数字信号处理作业[业界优制]

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3-19． 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频 率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求：
(1) 最小记录时间Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin
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解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为
x(t)=cos(2πfct+jc)［1+cos(2πfmt+jm)］
2-13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率
fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 xˆa (t)和时域离散信号
x(n)， 试完成下面各题：
（1） 写出 xˆa (t)的傅里叶变换表示式Xa(jΩ)； （2） 写出 xˆa (t) 和x(n)的表达式； （3） 分别求出 xˆa (t) 的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为
f (n) fl (n 20m)R20 (n) m
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n), 所以
f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19
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3-18． 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨 率F≤50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数：
对每个序列作20点DFT， 即 X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19 Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19
试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？
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解:
设 fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］
=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式
（3）收敛域|z|<2:
x( n)
3
1
n
2
2n
u(n)
2
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3-13． 已知序列x(n)=anu(n)， 0<a<1, 对x(n)的Z变换X(z)在单
位圆上等间隔采样N点， 采样序列为
X (k) X (z) |zej2πk /N k 0, 1,
求有限长序列IDFT［X(k)］N。 解: xN (n) IDFT[ X (k)] ~x (n)RN (n)
n
n
n
[e j0n e j0n ]e jn
n
2π [ ( 0 2kπ) δ( 0 2kπ)]
k
式中 ω0=Ω0T=0.5π rad
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2-16． 已知
X (z) 3 2 1 1 z 1 1 2z 1 2
求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以
,N 1
x(n lN)RN (n) l
a nlN u(n lN )RN (n)
l
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由于0≤n≤N－1， 所以
1 n lN ≥ 0 即 l ≥ 0 u(n lN ) 0 l 0 因此
xN
(n)
an
l 0
alN
RN
(n)
an 1 aN
RN
(n)
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3-14． 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0 n<0, 8≤n y(n)=0 n<0, 20≤n
所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fc－fm。 x(t)的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F≤100 Hz（对本题 所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这
三个频率成分）。 故
(1)
Tp m in
1 F
1 100
0.01s
10ms
(2) Fsmin 2 fmax 2.2 kHz
(3)
N m in
Tp Tm a x
Tp
f m in
10 103
2.2 103
22
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5-1. 已知系统用下面差分方程描述:
y(n)＝3 y(n 1)－1 y(n 2)＋x(n) 1 x(n 1)
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试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中
1 2 fmax
1 2 10 3
0.5 ms
（3）
Nmin
Tpmin Tmax
0.02 s 0.5 103
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（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使 记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F 变为原来的1/2）。
N min
0.04 s 0.5 ms
n
n
x(n) 2 cos(0nT )
0 2πf0 200π rad
- n T 1 2.5 ms
fs
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2
（3）Xˆ a (
j )
1 T
X a ( j
k
jks )
2π T
[δ(
k
0
k s
)
δ(
0
ks )]
式中
s 2πfs 800π rad/s
X (e j ) x(n)e jn 2 cos(0nT )e jn 2 cos(0n)e jn
解： (1)
X a (j )
xa
(t)e jtdt
2
cos(
0t
)e
jt
dt
[e j0t e j0t ]e jt dt
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1
X a ( j ) 2π[δ( 0 ) δ( 0 )]
（2）
Leabharlann Baidu
xˆa (t) xa (t)δ(t nT ) 2cos(0nT )δ(t nT )
(1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍 （即F缩小一半）的N值。
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解: （1） 已知F=50 Hz， 因而
（2）
Tp min
1 F
1 50
0.02s
Tmax
1 f s min
x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。
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解： 将原式移项得
y(n) 3 y(n 1) 1 y(n 2) x(n) 1 x(n 1)
极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|<0.5，0.5<|z|<2， 2<|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。
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（1）收敛域|z|<0.5：
x(n) [3 (1)n 2 2n ]u( n 1) 2
(2) 收敛域0.5<|z|<2:
x(n) 3 (1)n u(n) 2 2n u(n 1) 2