点和直线对称问题
点和直线的有关对称问题
点和直线的有关对称问题摘要：对称问题是中学数学的一个重要知识点,也是近几年高考中的热点,主要有点、直线、曲线关于点和直线对称两种。
中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具。
解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于点的对称问题加以解决。
关键词:点；直线；中心对称；轴对称对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的速度,它主要有以下几种情况:(一)中心对称⒈点关于点对称⒉直线关于点对称例1:求直线 x+y-2=0 关于点P(a,b)对称的直线方程.分析一:在已知直线上z任取两点A、B,再分别求出A、B关于P点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程.解:在直线x+y-2=0上取两点A(0,2)、B(1,1),则它们关于P(a,b)对称的点分别为A′(2a,2b-2)、B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等.解:设所求直线方程为x+y+λ=0,则点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种常用方法,可进一步推广:曲线C:f(x,y)=0关于点P(a,b)对称的曲线C′的方程为f(2a-x,2b-y)=0.特别的, 曲线f(x,y)=0关于原点对称的曲线方程为: f(-x,-y)=0.(二)轴对称⒈点关于直线对称例2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0的对称点M′的坐标.解二:过点M(-1,3)与直线l 垂直的直线的斜率k=1,则直线方程为x-y+4=0.设M关于直线l 的对称点为M′,则E为线段MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2)解三:设M′(a,b), 线段MM′的垂直平分线上的任意一点为A(x,y).∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2这就是已知直线 l的方程故点M′的坐标为(-2,2)⒉直线关于直线对称例3:⑴求直线a:2x+y-4=0关于直线l :3x+4y-1=0对称的直线b的方程.⑵求直线 l1:2x-y+3=0关于直线l :2x-y+4=0对称的直线l2 的方程.分析:由平面几何知识知,若a、b关于直线 l对称,则应具有以下性质:①当a、b相交时,则对称轴是a、b交角的平分线(且通过交点); 当a、b平行时,则a、b与对称轴的距离相等. ②若点A在直线a上,则点A关于直线 l的对称点B一定在直线b 上,并且AB⊥l ;AB的中点在l 上.⑴解一:由2x+y-4=03x+4y-1=0得a与l的交点Ｅ为（３,２）则E(3,-2)一定在b上,设b的斜率为k,于是(三)特殊的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点为(a,-b)；点(a,b)关于y轴的对称点为(-a,b)；点(a,b)关于原点的对称点为(-a,-b)；点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)；点(a,b)关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m)；点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点为(m-b,m-a).。
与直线有关的对称问题
与直线有关的对称问题山东 杨道叶一、知识精析1．关于直线对称的点若两点111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则线段12PP的中点在对称轴l 上，而且连结1P 、2P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组 12121212022x x y y A B C y y Bx x A⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标222(,)P x y （其中120,A x x ≠≠）。
2．关于直线对称的两条直线此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决。
若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。
3．点关于特殊直线对称点的坐标例1 求与点(3,5)P 关于直线l ：320x y -+=对称的点/P 的坐标。
分析：设点/P 的坐标为00(,)x y ，则直线l 为/PP 的垂直平分线，所以/PP l ⊥，/PP 的中点M 在l 上，列出关于0x ，0y 的方程组，求解即可。
解析：设/00(,)P x y ，则/0053PP y k x -=-，/PP 的中点0035,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。
∴0000511333532022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得0051x y =⎧⎨=-⎩， ∴点/P 的坐标为()5,1-。
评注：另解为：先求出过点(3,5)P 与l 垂直的直线/PP 的方程，解/PP 与直线l 的方程组成的方程组，求得交点M 的坐标，再运用中点坐标公式求出点/P 的坐标。
例2 求直线a ：240x y +-=关于直线l ：3410x y +-=对称的直线b 的方程。
点 ,线关于直线对称问题
13 13
13
A(33 , 9 ) ； 13 13
例 2 已知点 A(x0 , y0 ) ，（1）求 A 关于直线 x y c 0 的对称点坐标；（2）求 A 关
于直线 x y c 0 的对称点坐标；
解（1）设对称点 B(x1, y1) ，则由求对称点公式得：
x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c ，
2
2
2
2
所以对称点是 ( y0 c,x0 c) ；
（2） x1 x0 1 2(x0 y0 c) y0 c ， y1 y0 1 2(x0 y0 c) x0 c
2
2
2
2
即对称点是： ( y0 c, x0 c) ；
二 圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1） 和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：
产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.
上有不同两点关于这条直线对称.
解：设存在两点 A（x1,y1）、B(x2,y2)关于 l 对称，中点为 C（x,y），则
3x12＋4y12=12,
3x22＋4y22=12,
得
y1－y2 x1－x2
=－
3(x1＋x2) 4(y1＋y2)
=－
3x 4y
=－
1 4
,
∴ y=3x.
联立 y=4x＋m,解的 x=－m,y=－3m,
一 点关于直线的对称点的一种公式求法
结论：设直线 l : ax by c 0 ，（ a 、 b 至少有一个不为 0），点 A(x0 , y0 ) 关于直线 l 的
高考高频考点(圆锥曲线)1、点关于直线的对称问题
第1讲 点关于直线的对称问题知识与方法1.如右图所示，已知点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=，求P 关于直线l 的对称点P '这类问题，通常可以设P '的坐标为(),a b ，利用PP '的中点在对称轴l 上，以及PP l '⊥来建立方程组，求解a 和b .2.技巧：当对称轴直线的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，再将点P 的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.典型例题【例题】已知点()1,2A ，则A 关于直线:220l x y −−=的对称的点A '的坐标为_______.【解析】如图，设(),A a b '，则AA '的中点为12,22a b G ++⎛⎫⎪⎝⎭， 点G 在直线l 上，所以1222022a b ++−⋅−=①， 又AA l '⊥，所以221211212b a +−⋅=−+−②， 联立①②可解得：3a =，2b =−，所以点A '的坐标为()3,2−.【答案】()3,2−变式1 已知点()1,2A ，则：（1）点A 关于直线1:10l x y −−=对称的点A '的坐标为_______；（2）点A 关于直线2:10l x y +−=对称的点A ''的坐标为_______；【解析】（1）1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得30x y =⎧⎨=⎩，所以()3,0A '；（2）1101x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩，点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得10x y =−⎧⎨=⎩，所以()1,0A ''−.【答案】（1）()3,0；（2）()1,0−【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是1±，则不能这样做.变式2 已知直线:10l x y −+=和点()2,0A ，()3,3B −−，点P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为_______.【解析】如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得13x y =−⎧⎨=⎩， 所以A 关于直线l 的对称点为()1,3A '−， 由图可知PA PA '=，从而PA PB PA PB '+=+，故当P 为线段A B '与直线l 交点时，PA PB +最小，且最小值为A B '=.【答案】变式3 一只虫子从原点出发，先爬到直线:10l x y −+=上的点P ，再爬到点()1,1A ，则虫子爬行的最短路程为_______.【解析】问题等价于求直线l 上的动点P 到原点O 和点A 的距离之和的最小值，如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得02x y =⎧⎨=⎩， 所以点A 关于直线l 的对称点为()0,2A '，从而PA PA '=，故PO PA PO PA '+=+， 由图可知当P 为线段A O '与l 交点时，PO PA '+取得最小值，此时PO PA +也最小，且最小值为2.【答案】2【反思】求直线l 上的动点P 到直线l 同侧两定点A 、B 距离之和的最小值问题的解题步骤是：（1）求点A 关于直线l 的对称点A '；（2）求A B '的长，即为所求最小值.强化训练1.（★★）点()2,4A 关于直线:2330l x y +−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】设(),A a b '，如图，一方面，AA '的中点24,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，所以24233022a b ++⋅+⋅−=①， 另一方面，AA l '⊥，所以42123b a −⎛⎫⋅−=− ⎪−⎝⎭②， 联立①②解得：2a b ==−，所以A '的坐标为()2,2−−.【答案】()2,2−−2.（★★）点()3,2A −关于直线:10l x y −−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得12x y =−⎧⇒⎨=⎩点A '的坐标为()1,2−.【答案】()1,2−3.（★★★）已知P 是直线:20l x y +−=上的动点，点()3,0A −，()0,1B −，则PA PB +的最小值为_______.【解析】2202x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩， 将点B 的坐标代入这两个式子的右侧可得32x y =⎧⎨=⎩， 所以点B 关于直线l 的对称点为()3,2B '，从而PB PB '=，所以PA PB PA PB '+=+，由图可知当A 、P 、B '三点共线时，PA PB '+取得最小值AB '=，所以()min PA PB +=.【答案】。
常见的对称问题及求解方法
常见的对称问题及求解方法一、中心对称1、点关于点的对称，可以利用中点坐标公式求解例1、已知点(5,6)A 和点(1,2)B ，求点A 关于点B 的对称点A '。
解：设(,)A x y '，由题意可知点B 为点A 与点A '的中点，即有512622x x +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 解得32x y =-⎧⎨=-⎩所以点A '的坐标为(3,2)A '--。
2、直线关于点的对称，可以利用点到直线的距离来求解例2、已知直线:210l x y ++=和点(1,2)A ，求直线l 关于点A 对称的直线l '。
分析：l '与l 互相平行，且点A 到直线l '的距离等于点A 到直线l 的距离 解：设直线l '的方程为：20(1)x y m m ++=≠，则有|= 解得11m =-或1m =（舍）所以直线l '的方程为：2110x y +-=。
3、图形关于点的对称，可以转化为点关于点的对称来求解例3、求曲线1C 22231x y +=的图象关于点(1,1)A 对称的曲线2C 的解析式。
解：在曲线2C 上任取一点(,)P x y ，则它关于点(1,1)A 的对称点为(2,2)Q x y --， 由点Q 在22231x y +=上可得 222(2)3(2)1x y -+-=即曲线2C 的解析式为222(2)3(2)1x y -+-=。
二、轴对称1、点关于直线的对称，可以利用垂直平分线的性质求解例4、已知直线:230l x y ++=和点(1,1)A ，求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标。
解：设(,)A x y '，则由点A 与点A '关于直线l 对称可得，A A l '⊥，且点A 与点A '的中点 在直线l 上。
故有11()1121123022y x x y -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+⋅+=⎪⎩ 解得75195x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以点A '的坐标为719(,)55A '--。
函数的点对称和线对称问题
函数的点对称和线对称问题对称问题是中学数学中常见的一类问题，抽象函数的对称问题是其中的重要组成部分。
函数的对称问题又分为点对称问题和直线对称问题，下面，谈谈这两种对称问题。
一、点对称问题所谓点对称问题，即：中心对称问题，其具体表现形式为：1、若函数恒满足，则函数的图象关于点对称。
2、若函数的定义域为R，且是奇函数，则函数的图象关于点对称。
3、函数与函数的图象关于点对称。
例1、与直线关于点对称的直线的方程是（）解析：对于直线，可以看作是函数，则其关于点对称的函数为，即：，故应选（A）。
例2、定义域为R的函数恒满足，当>2时，单调递增，如果，则有，那么的值为（）解析：由，得即：函数的图象关于点（2，0）对称。
又当>2时，单调递增,所以函数的图象在定义域为R也单调递增，且又因，有则、中必有一个大于2，一个小于2，设小于2，则大于2，,由单调性得所以，应选（C）。
二、直线对称问题所谓直线对称问题，即：轴对称问题，其具体表现形式为：以下函数的定义域都为R1、函数与函数的图象关于轴对称。
2、函数与函数的图象关于轴对称。
3、函数与函数的图象关于直线对称。
4、函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称。
5、若函数对于任意的实数恒有，则函数的图象关于直线对称。
例3、若函数=任意的实数恒有，则（）解析：由对于任意的实数恒有，知二次函数的对称轴为，所以∵抛物线开口向上，在时，单调递增例4、函数=，若是偶函数，则的一个可能值是（）解析：由是偶函数，知函数的一条对称轴为轴。
⑵、定义域为R的函数满足下列三个条件：①,②对于任意的都有，③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是（）⑶、定义域为R的函数满足为奇函数，当时，；那么，当时，的减区间是（）⑷、设定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，则（）。
⑸、若为奇函数，为偶函数，且，则（）。
答案：⑴、（C），⑵、（B），⑶、（C），⑷、0，⑸、。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
高中数学点线对称问题(精选.)
答案：B
2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是
A.y2=8－4x
B.y2=4x－8
C.y2=16－4x
D.y2=4x－16
解析：设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C，在曲线 C 上任取一点 P（x，y），则 P（x，y）关
于直线 x=2 的对称点为 Q（4－x，y）.因为 Q（4－x，y）在曲线 y2=4x 上，
答案：（5，6） 10.已知△ABC 的一个顶点 A（－1，－4），∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2： x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程. 解：设点 A（－1，－4）关于直线 y+1=0 的对称点为 A′（x1，y1），则 x1=－1，y1=2×（－1）－（－ 4）=2，即 A′（－1，2）. 在直线 BC 上，再设点 A（－1，－4）关于 l2：x+y+1=0 的对称点为 A″（x2，y2），则有
即 (4 0)2 (5 3)2 =4 5 .
所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若 A、B 坐标分别为 A（－4，2）、B（3，1），求点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状.
解：由题意，点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上，设 A′点坐标为（x1，y1），则 x1、y1 满足
y y0 ·k=－1， x x0
可求出 x′、y′.
y y0 =k· x x0 +b，
2
2
特殊地，点 P（x0，y0）关于直线 x=a 的对称点为 P′（2a－x0，y0）；点 P（x0，y0）关于直线 y=关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可
点与线的四种对称关系
• 2、直线关于点的对称 • 例2 求直线 3x y 4 0 关于点P（2，－1） 对称的直线l的方程。 • 评注：充分利用直线关于点对称的特性： 对称直线与已知直线平行且点P到两条直线 的距离相等。几何图形特性的灵活运用， 可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在 直线上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连 线即为所求直线。
• 4、直线关于直线的对称 • 例4 求直线 l1 : x y 2 0 关于直线 l : 3x y 3 0 对称的直线l的方程。 • 分析：设所求直线l上任一点为P（），利 用“相关点法”求其对称点坐标，并将其 对称点坐标代入直线方程进行求解。 • 评注：直线关于直线对称实质是点关于线 的对称。此题还可在直线上任取一点（非 两直线交点）并求其关于直线的对称点， 则该对称点与两直线交点的连线便是所求 对称直线。
• 3、点关于直线的对称 • 例3 求点A（2，2）关于直线 2x 4y 9 0 的对称点坐标。 • 利用点关于直线对称的性质求解。 • 评注：解题时，有时可先通过求中间量， 再利用中间量求解结果。 • 分析：设B（a，b）是A（2，2）关于直线 的对称点，则直线AB与l垂直，线段AB中点 在直线上。
直线中的对称问题主要有：点 关于点对称；点关于直线对称；直 线关于点对称；直线关于直线对称。 下面谈谈各类对称问题的具体求解 方法。
樊成华
• 1、点关于点的对称 • 例1 已知点A（－2，3），求关于点P（1， 1）的对称点B（）。 • 分析：利用点关于点对称的几何特性，直 接应用中点坐标公式求解。 •B（），则由中点坐标公式得解 得所以点A关于点P（1，1）的对称点为B （4，－1）。 • 评注：利用中点坐标公式求解完之后，要 返回去验证，以确保答案的准确性。
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
点和直线对称问题1
4），经过直线 l： 2x y 7 0 变式2 光线通过A（ 2， 上P点反射，若反射线通过点B（5， 8），求反射线
x0 2 y0 4 2 7 0 2 2 由A （ 10， -2）， B（5,8）可得直线 AB 方程： AB ： 2x y 18 0
M
A'
解题要点:l1∥l2,l1上A点关于M对称点A’在l2上
1,6） 例2： 求直线l1 : x 2 y 1 0, 关于点M（ 对称的直线方程。
解题要点:l1上取两点关于M的对称点在l2上
l1
A
l2
B&#对称
例3.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方程为 3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点A’的 坐标。
探究四、直线关于直线对称 一
y
l1
二
l1
l
l2
l2
l
y
o
x
o
x
由M 到l1 , l2的距离相等可得：
| 1+12-1 | 1 +2
2 2
l1
l2
M
=
| 1+12+C| 1 +2
2 2
解得：C 25或C （舍去） 1
l2的方程为：x 2 y 25 0
解题要点:l1∥l2,点M到两直线等距。
例2： 求直线l : x 2 y 1 0, 关于点M（ 1,6） 1
点和直线—对称问题
点关于点的对称 中心对称问题 对 称 问 题 轴对称问题
线关于点的对称
点关于线的对称
线关于线的对称
学习目标：
1．了解关于点和直线对称的四种形式 2．掌握四种对称的求解方法 3．体会立体几何中的数形结合思想
[高考数学知识点]数学对称问题
![[高考数学知识点]数学对称问题](https://img.taocdn.com/s3/m/fae1bacb4b35eefdc9d3331b.png)
[高考数学知识点]数学对称问题对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵敏的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
一、点关于点或直线对称点问题1、设点P〔x，y〕关于点〔a，b〕对称点为P〔x，y〕，x=2a-x由中点坐标公式可得：y=2b-y2、点P〔x，y〕关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x=x-〔Ax+By+C〕P〔x，y〕那么y=y-〔AX+BY+C〕事实上：∵PPL及PP的中点在直线L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
〔-〕=-1〔B0〕特别地，点P〔x，y〕关于1、x轴和y轴的对称点分别为〔x，-y〕和〔-x，y〕2、直线x=a和y=a的对标点分别为〔2a-x，y〕和〔x，2a-y〕3、直线y=x和y=-x的对称点分别为〔y，x〕和〔-y，-x〕例1光线从A〔3，4〕发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B〔1，5〕，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A〔5，0〕，B关于y轴对称点B为〔-1，5〕，直线AB的方程为5x+6y-25=0｀C〔0，〕｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于点或直线的对称曲线问题求曲线F〔x，y〕=0关于点或直线的对称曲线方程时，只须将曲线F〔x，y〕=O上任意一点〔x，y〕关于点或直线的对称点的坐标交换方程F〔x，y〕=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F〔x，y〕=0关于点〔a，b〕的对称曲线的方程是F 〔2a-x，2b-y〕=02、曲线F〔x，y〕=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F〔x-〔Ax+By+C〕，y-〔Ax+By+C〕〕=0特别地，曲线F〔x，y〕=0关于〔1〕x轴和y轴对称的曲线方程分别是F〔x，-y〕和F〔-x，y〕=0〔2〕关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F〔2a-x，y〕=0和F〔x，2a-y〕=0〔3〕关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F〔y，x〕=0和F〔-y，-x〕=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f〔x〕的图象而言，去掉y轴左边图象，保存y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f〔|x|〕的图象；保存x轴上方图象，将x 轴下方图象翻折上去得到y=|f〔x〕|的图象。
点和直线对称问题教学设计
点和直线对称问题教学设计教学设计是一个系统性的过程，需要考虑到学生的先验知识、教学目标、教学内容、教学方法、教学手段和评价方式。
针对点和直线对称的教学设计，我将从以下几个方面展开回答：1. 教学目标：知识目标，学生能够理解点关于直线的对称、直线关于另一直线的对称、点关于点的对称等概念。
能力目标，学生能够运用对称性质解决相关几何问题，培养学生的逻辑推理和空间想象能力。
情感目标，激发学生对几何学习的兴趣，培养学生的团队合作和交流能力。
2. 教学内容：点关于直线的对称、直线关于另一直线的对称、点关于点的对称等基本概念。
对称性质在几何问题中的应用，如图形的对称性质、对称图形的性质等。
3. 教学方法：示范引导法，通过具体的几何图形，向学生展示点和直线对称的基本性质，引导学生发现规律。
合作学习法，设计小组讨论、合作解题等环节，让学生在交流合作中相互学习、相互促进。
提问引导法，运用提问引导学生思考，激发学生的求知欲和思考能力。
4. 教学手段：几何工具，如直尺、圆规、折纸等，辅助学生进行几何图形的绘制和观察。
多媒体教学，利用多媒体课件、动画等形式生动直观地展示点和直线对称的性质。
5. 教学评价：学习过程评价，通过观察学生在课堂上的表现、小组合作的情况等，及时调整教学策略。
学习成果评价，设计针对点和直线对称的练习题和问题，检验学生对知识的掌握和运用能力。
在教学设计中，需要充分考虑学生的实际情况和学习特点，注重培养学生的综合能力和创新思维，使教学内容更加贴近学生的生活和实际应用，帮助他们建立扎实的数学基础。
同时，教师在教学过程中要注重激发学生的学习兴趣，引导他们主动参与，形成良好的学习氛围。
对称问题----关于点(或直线)的对称
对称问题---关于直线的对称
对于任意一条曲线，我们又如 何求其对称方程呢？
y
ax by c 0
o
x
对称问题---关于点的对称
y
ax by c 0
●P(m,n)
O
x
同理，任意曲线 f (x, y) 0 ，关于点P(m,n)对称的曲线方程为： f (2m x, 2n y) 0.
对称问题---关于点的对称
y
ax by c 0
●P(m,n)
x O
ax by c 0
现在在直线 P的对称点的坐标为（x,y).
上任取一点A，设其坐标为（x0,y0) ,设它关 于点
根据前面我们知道，它关于点P的对称点的坐标为（2m-x0,2n-y0),则 x0=2m-x,y0=2n-y ,因为(x0,y0)满足已知直线的方程，所以有：
对称问题---关于直线的对称
y
●P'
ax by c 0
●P
o
x
可以在曲线上任取一点P(x0,y0)，它对应的点为P'(x,y). 利用它们的关系求出所 求曲线的方程。
对称问题---关于直线的对称
y
ax by c 0
o
x
a(2m x) b(2n y) c 0, 化简后就是所求直线的方程。
对称问题---关于直线的对称
y
P●
‘ ax by c 0
●P(m,n)
o
x
设点P'的坐标为(x,y), 线段PP'与已知直线垂直，则它们斜率的乘积为-1，即：
y n ( a) 1 xm b
，
再者，线段PP'的中点在已知直线上，所以又有：a x m b y n c 0
直线对称与点对称的认识与应用
直线对称与点对称的认识与应用直线对称和点对称是几何学中两个重要的概念，它们在几何问题的解决中起到了关键的作用。
本文将对直线对称和点对称进行深入的认识和应用探讨。
一、直线对称的定义与性质直线对称，又称镜像对称，是指平面上的一个点关于一条直线的对称点仍在该直线上。
简单来说，就是一个图形绕着直线对折后完全重合。
直线对称有以下几个性质：1. 直线对称是一个等价关系，即对称是相互的。
如果点A关于直线l对称得到点B，那么点B关于直线l也对称得到点A。
2. 直线对称保持距离，即对称前后两点之间的距离是不变的。
即使这两个点不在直线上，对称后它们之间的距离也是不变的。
3. 直线对称保持角度，即对称前后两线段间的夹角是相等的。
4. 直线对称是可逆的，即对称前后两次对称可以回到原来的位置。
二、直线对称的应用1. 判断图形的对称性：利用直线对称的性质可以判断一个图形是否具有直线对称。
只需找到一个直线，使得图形绕该直线对折后完全重合，即可判断图形具有直线对称。
到对称图形。
只需把给定图形绕对称中心进行对折，并使对折后的图形与原图形完全重合，即可得到所求的对称图形。
3. 解决几何问题：在解决某些几何问题时，可以灵活运用直线对称的性质。
如在证明定理时，可以通过找到适当的直线使得已知条件与所求结论具有对称关系，从而简化证明过程。
三、点对称的定义与性质点对称是指平面上的一个点关于另一个点的对称点仍在以该点为中心的圆上。
简单来说，就是一个点关于另一个点旋转180度的位置。
点对称有以下几个性质：1. 点对称是一个等价关系，即对称是相互的。
如果点A关于点O 对称得到点B，那么点B关于点O也对称得到点A。
2. 点对称是保持距离、角度和面积的。
对称前后两点之间的距离、两线段间的夹角以及图形的面积均保持不变。
3. 点对称是可逆的，即对称前后两次对称可以回到原来的位置。
四、点对称的应用1. 判断图形的对称性：利用点对称的性质可以判断一个图形是否具有点对称。
点关于直线的对称点的坐标怎么求几种特殊位置的对称对称问题需要注意
一、点关于直线对称的点的解题步骤①设所求对称点A的坐标为(a，b)。
②根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。
将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。
因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。
③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为1，即k1*k2=1。
设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(bd)/(ac)=1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。
④联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。
二、点关于直线对称的点的求法直线y=kx+b，斜率是K，已知点是A（a,b)，设对称点是P(x,y),则AP中点坐标是x'=(x+a)/2,y'=(y+b),一定在y=kx+b上，代入得一方程（1）又AP一定与y=kx+b垂直，则AP斜率=1/k,即（yb)/(xa)=1/k,(2)(1)(2)解得P坐标。
三、点关于直线对称的点的相关知识点1、两个点A（x1,y1），B（x2,y2）的中点C的坐标为[（x1+x2）/2,(y1+y2）/2]；2、如果两个点关于某直线对称，则这两个点的中点在这条直线（对称轴）上;3.如果直线y=k1x+b1,与直线y=k2x+b2互相垂直，则k1•k2=1。
3、点关于直线对称点画法：过点作直线的垂线并延长至A'，使它们到直线的距离相等即可4、直线关于点对称直线画法：同样过点作直线垂线，然后再点的另外一旁截取相等距离的点，过这点作直线的平行直线即可。
四、对称问题:(l)点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
设P（x0，y0）,对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P'(2ax0,2by0)。
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·P
x
法一： l2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l1∥l2 ,点斜式；
法三： l1∥l2点P到两直线等距。
练习:直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)的对 称直线方程
.
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y-1=0
对称的直线l 的方程。
解： 7x+y+6=0
C、3x-4y+5=0
D、-3y+4x-5=0
五、反射问题
例5.光 线 通A（ 过2， 4） ， 经 过l直 ：2x线 y70 反 射 ， 若 反 射 线B（ 通 5， 8） 过， 点求 入 射 线 和 反 所在的直线. 方程
y-4 2 ·2=-1
A′ (10，-2) y
x-2 y+4 2·2 - 2 -7=0
.
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方
程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的
对称点A’的坐标。
y-4
-3· x-(-4) =-1
解： 3·-42+x +
4+y
A·
2 -2=0
解题要点： k • kAA’ = -1 O
AA’中点在l 上
y
·A′ (x，y)
(2，6)
点P（x,y）关于a,点 b）（ 对称的点_(的 2_a _坐 x_,2b _标 _y_)
点 P（ x,y）关于 yx直 对线 称的点_(的 _ y, _ x)坐 __ 点 P（ x,y）关于 y直 x对线 称的点 (__ y的 ,_x_ )坐 _
点 P（ x,y）关于 yx直 m 对 线称的点 (y_m _的 ,x __ m 坐 )_ 点 P（ x,y）关于 y直 xm 对 线称的( 点 y_m _的 , _x _m 坐
.
三、直线关于点对称
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称
的直线l 2的方程。
y
l1 l2
解: 设A(x，y)为l2上任意一点
则A关于P的对称点A′在l1上
∴3(4-x)-(-2-y)-4=0
O
解即题直要线l点2的：方程为3x-y-10=0(4-x,-2-Ay)′
A（x,y）
点和直线——对称问题
高一数学组
一、点关于点对称
例1. 已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A点
关于B点的对称点C的坐标。
-4=
5+x 2
1= 8+y 2
得C(-13，-6)
y
·A
解题要点：中Biblioteka 坐标公式的运用 ·BOx
C·(x,y)
练习：点P（x，y）关于点M（a，b）的对 称点Q的坐标。
y
3x-10y-1=0
y=0
A·
·B(7，2)
M
O P(1／3，0) P
x
A′
(-3，-1)
练习: 已知P在x轴上，A(-3，1) ，B(5，-3)且
︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是_(_-1_，__0)
最小值是_4_√_5_
y
x+2y+1=0 y=0
M
A(-3,1)
· P (-1，0)
O
A′
x
l
练习:已知点A的坐标为(-4,3)，则A关于x轴、y轴、 原点、直线 y=x、y=-x、y=x+1的对称点分别是
_(-_4_，_-_3) (_4_，__3) (4_，__-_3_) (_3_，__-_4) _(-_3_，__4_) _(_2_，__-3_)
y
A(-4,3)
o
x
小结：
点P（x,y）关x于 轴对称的点的 _(x_坐 ,__y标 )__是 __ 点P（x,y）关y轴 于对称的点的 _(_坐 x_,_y标 )__是 __ 点P（x,y）关于原点对称 坐的 标(_点 是 _x_,的 _y_) __
A′B：2x+y-18=0 l：2x-y-7=0
A· (-2，4)
AP：2x-11y+48=0
O
·B(5，8)
P
(25／4，11／2)
x
A′
l
(x，y)
六 、最值问题
例6.已知P在x轴上，A(-3，1) ，B(7，2)且 ︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是_(1_／__3_,0_)
∣︱MA︱-︱MB︱∣最大 =∣AB∣
x
·B(5,-3)
变式训练：在直线l:3x-y-1=0上找一 点P,使它到A(4,1),B(0,4)两点的距离 之才差最大
.
l
y
l2
l1
O
x
P
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
练习 1：光线沿l直 1:x线 y10射入，遇到 直线 l2 :2xy40立即反射，求反射光 线所在直 l的线方程
.
变式训练：和直线3x-4y+5=0关于y=x对称 的直线的方程为( D )
A、3x+4y-5=0
B、3y+4x+5=0