随机过程2014_5

5.1 随机过程通过非线性系统的分析
计算信号输出统计特性的直接法
1. 一维概率密度
X(t) Y=g(x) Y(t)
y = g ( x) 单调
f Y ( y, t ) =| J | f X ( x, t )
y = g ( x) 不单调
| J1 | f X ( x1 , t )+ | J 2 | f X ( x2 , t ) + fY ( y , t ) =
5.2 离散时间随机过程基本概念
三、数字特征
2、均方值 3、方差
ψ
2 Xn
= E[ X ] = ∫ x 2 f ( x; n)dx
2 n −∞
n
+∞
2 σX = D[ X n ] = E[( X n − mX ) 2 ]
n
2 2 2 2 2 = − = − σX E X E X ψ m [ ] n n X X
= = mX n E [ X n ] mX RX ( n1 , n2= ) E X n1 X n2 = RX ( m )
2 2 2 Xn = E = <∞ ψX ψ X
n
= n2 − n1 m
3、联合宽平稳
（前提是两个随机过程各自平稳）
RXY ( n1 , n2 = ) RXY ( m ) m = n2 − n1
第 5讲 随机过程通过非线性系统分析 及离散时间随机过程 叶 方
哈尔滨工程大学信息与通信工程学院
随机过程
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
X(t) Y=g(x) Y(t)
已知：输入的统计特性和系统的非线性特性 求解：输出的统计特征。 难点： 对线性系统，只需知道系统的特性函数和输入随机过程的数 字特征；对非线性系统，还需已知输入过程的一、二维分布律， 甚至高维分布律或高阶矩 对一般非线性系统（动态非线性系统或称为有惰性非线性系 统）的特性描述，甚至测量都非常困难。
5.3 离散时间随机过程平稳性和遍历性
一、平稳性
4、自相关序列性质
◆
若平稳随机序列不含任何周期分量，则
m →∞ m →∞ 2 lim RX (m) = RX (∞) = mX
lim K X (m) = K X (∞) = 0
◆
如果Y (n) = X (n − n0 )，其中n0为某一个固定的离散时刻， 则有RY (m) = RX (m)，K Y (m) = K X (m)
K X (n1 , n2 ) = RX (n1 , n2 ) − m X n1 m X n2
5.3 离散时间随机过程平稳性和遍历性
一、平稳性
1、严平稳
离时间随机过程经过时间平移 K后其概率统计特性保持不变
FX ( x1+ K , x2+ K , , xN + K ;1 + K , 2 + K , , N + K ) = FX ( x1 , x2 , , xN ;1, 2, , N )
n n
n
4、自相关函数
RX (n1 , n2 ) = E[ X n1 X n2 ] =∫
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
x1 x2 f X ( x1 , x2 ; n1 , n2 )dx1dx2
5、自协方差函数
K X (n1 , n2 ) = E[( X n1 − m X n )( X n2 − m X n )] 1 2
2 σ =E Y − ( E[Y ]) =2 ( E[Y ]) 2 Y 2
2
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
平方律检波器
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
平方律检波器
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
平方律检波器
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
平方律检波器
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
5.2 离散时间随机过程基本概念
二、概率分布
1、一维情况
xn ; n) P { X n ≤ xn } 概率分布函数 FX n ( =
2、二维情况
概率密度函数 f X n ( xn ; n) =
∂FX n ( xn ; n) ∂xn
概率分布函数 FX n ( xn , xm ; n, m) = P { X n ≤ xn , X m ≤ xm } 概率密度函数 f X n ( xn , xm ; n, m) =
◆
2 K X ( m) = R X ( m) − m X
自相关系数
2 K X ( m) RX ( m) − m X rX (m) = = 2 σX K X (0)
5.3 离散时间随机过程平稳性和遍历性
二、遍历性
1、时间均值
N 1 A < X (n) >= X (n) = lim Xn ∑ N →∞ 2 N + 1 n=− N _______
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
平方律检波器
平方律检波器的传输特性为 y = bx 2 ，其中b是常数。 求输出的N阶矩及自相关函数
E Y (t )
n 2n n = bx f x ; t dx b E X (t ) ( ) ( ) x ∫ ∞ 2 n −∞
2
y = bx 2
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
典型的无惰性时不变非线性系统

硬限制 线性半波检波 线性全波检波 二次失真 平方律检波器
y(t)=sgn(x(t ))
x(t ), 若x(t ) ≥ 0 y(t)＝ 0, 若x(t ) < 0
y(t)=|x(t ) |
y(t)=x(t ) + ε x(t ) 2 y(t)= bx(t ) 2
重点讨论线性半波检波、线性全波检波和平方律检波
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
计算信号输出统计特性的直接法
已知：输入的统计特性、系统的非线性变换函数 求解：输出的统计特征。 方法：直接根据定义求解。 特点：简单、直观。 设随机信号X (t ) 的一维概率密度为 f X ( x; t ) ，二维概率密度 函数为 f x ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) ， 非线性系统的特性为 y = g ( x)，求 X (t ) 通过该非线性系统得到的输出信号Y(t)的统计特性
2
n ⋅ ⋅ … − 1 3 5 2 n 1 σ ( ) x n = E x 0
n ≥ 2的偶数 n为奇数
n n 2n = ⋅ ⋅ … − E y ( t ) b 1 3 5 2 n 1 σ ( ) x
2 E[y(t )] = bσ x
2 2 4 = = E y( t ) 3 b σ x 3 ( E[y(t )]) 2
2、时间自相关序列
ℜ X (n, n + m) = X (n) X (n + m)
_____________________
N 1 = lim X n X n+m ∑ N →∞ 2 N + 1 n=− N
3、宽遍历
设X (n)是一个平稳随机序列，如果 A < X (n) >= X (n) = E[ X (n)] = mX ℜ X (n, n + m) = X (n) X (n + m) = E[ X (n) X (n + m)] = RX (m) 两者依概率1成立，则称X (n)为宽遍历序列
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
无惰性时不变非线性系统
无惰性系统：输出 Y(t) 在 t1 时刻的特性完全由 X(t) 在 t1 时刻的特性决定，而不取决于 X(t) 在其他时刻 的特性，这样的系统称为无惰性系统。 特点：系统不含惰性元件。 时不变系统： Y (t + ε ) =
g[ X (t + ε )]
0
x
R Y ( t1 , t2 ) b= E X (t1 ) X (t2 ) b
2 2
2
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
( x1 ) ( x2 ) f x1x2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) dx1dx2
2 2
X (t ) 严平稳
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
平方律检波器
设检波器输入端作用的 x(t )是一个零均值的正态噪声， 求输出的均值、均方值和方差 方差为σ X 的正态随机变量X的各阶矩为：
统计独立
= P{ X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 , , X N ≤ xN ; Y1 ≤ y1 , Y2 ≤ y2 , , YM ≤ yM } FXY ( x1 , x2 , , xN ; y1 , y2 , , yM ;1, 2, , N ;1, 2,, M )
= FX ( x1 , x2 , , xN ;1, 2, , N ) FY ( y1 , y2 , , yM ;1, 2, , M )
5.2 离散时间随机过程基本概念
二、概率分布
4、相互独立
FX ( x1 , x2 , , xN ;1, 2, , N ) = FX ( x1 ;1) FX ( x2 ; 2) FX ( xN ; N )
随机变量相互独立
5、联合分布
联合分布函数
FXY ( x1 , x2 , , xN ; y1 , y2 , , yM ;1, 2, , N ;1, 2,, M )
∂ 2 FX n ( xn , xm ; n, m) ∂xn ∂xm
3、n维情况
概率分布函数 FX ( x1 , x2 , , xN ;1, 2, , N ) = P { X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 , , X N ≤ xN }
∂ N FX ( x1 , x2 , , xN ;1, 2, , N ) 概率密度函数 f X ( x1 , x2 , , xN ;1, 2, , N ) = ∂x1∂x2 ∂xN
同理可从联合概率密度函数进行表述
5.2 离散时间随机过程基本概念
三、数字特征
1.均值

mX E [ X n ] ∫ xf x ( x; n)dx = 定义 = −∞ 性质 (1) E[ X n + Ym ] = E[ X n ] + E[Ym ]
n
+∞
(2) E[aX n Hale Waihona Puke Baidu = aE[ X n ]
推论： • 平稳离散随机过程的一维概率分布与时间无关 FX ( xn ; n) = FX ( xn ) • 平稳离散随机过程的二维概率分布与时间差有关
FX ( x = FX ( xn , xm ; n − m) n , xm ; n, m)
5.3 离散时间随机过程平稳性和遍历性
一、平稳性
2、宽平稳
平方律检波器
5.2 离散时间随机过程基本概念
一、定义
连续时间随机过程X (t , ς )，简记X (t )
参量t取离散值t1 , t2 ,tn
离散时间随机过程， 样本为随机变量X (t1 )，X (t 2 )， ，X (t n )所构成的序列
随机序列（参数离散的随机过程） 表示方式：X 1 , X 2 , , X n X ( n) { X t , t = 1,2,..., N }
f X ( x)
E [Y (t1 )Y (t2 ) ] = E{g[ X (t1 )]g[ X (t2 )]} =∫
∞ −∞ −∞
∫
∞
f X ( x1 , x 2 , τ )
g ( x1 ) g ( x2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
X(t)的二维概率密度
若输入 X (t ) 二阶严平稳 则输出广义平稳的。
5.3 离散时间随机过程平稳性和遍历性
一、平稳性
4、自相关序列性质
◆
2 2 ] =ψ X RX (0) = E[ X n ≥0 2 K X (0) = E[( X n − mX ) 2 ] = σ X ≥0
◆
RX ( m) = RX ( − m) K X ( m) = K X ( − m)
◆
RX (0) ≥ RX (m) K X (0) ≥ K X (m)
其中：
J1 = dx1 / dy
J 2 = dx2 / dy
5.1 随机过程通过非线性系统的分析
计算信号输出统计特性的直接法
2. 均值和自相关函数
{g[ X (t )]} = E [Y (t ) ] E =
X(t) Y(t) X(t) 的一维概率密度 Y=g(x)
∫
+∞
−∞
g ( x) f X ( x, t )dx
a为常数
(3) E[ X nYm ] = E[ X n ]E[Ym ]称X n与Ym线性独立， 其充分条件为f XY ( x, y; n, m) = f X ( x; n) fY ( y; m) 即X n与Ym统计独立
线性独立的含义是随机序列 X n和Ym中的任意两个随机变量都互不相关。 统计独立一定线性独立，反之不一定